Le cours

Résumé en cinq points

Dérivable en $a$ signifie $f(a+h) = f(a) + f'(a)h + h\varepsilon(h)$ . La dérivabilité entraîne la continuité, jamais l'inverse.
Les opérations sur les dérivées sont mécaniques, et la dérivée d'une réciproque s'obtient en dérivant $f(f^{-1}(y)) = y$ .
Un extremum local en un point intérieur impose une dérivée nulle. La réciproque est fausse, et les bornes du domaine sont à examiner à part.
Rolle donne l'annulation d'une dérivée, les accroissements finis relient variation globale et dérivée locale, et l'inégalité des accroissements finis fournit des majorations explicites.
Sur un intervalle, le signe de la dérivée caractérise les variations, et la formule de Leibniz donne la dérivée $n$ -ième d'un produit avec les coefficients binomiaux.

Pourquoi ce chapitre

La dérivation relie le local et le global. Le nombre dérivé est une information ponctuelle, et pourtant le signe de la dérivée sur un intervalle donne le sens de variation sur tout l'intervalle. Ce passage du local au global est assuré par un seul théorème, celui des accroissements finis, lui-même conséquence du théorème de Rolle. Tout le chapitre s'organise autour de ce noyau.

Les applications sont nombreuses :

sens de variation ;
inégalités ;
encadrement d'erreur avec l'inégalité des accroissements finis ;
étude des suites récurrentes ;
développements limités du chapitre d'analyse asymptotique, et plus tard intégration.

La formule de Leibniz est le pendant de la formule du binôme pour les dérivées successives d'un produit.

1Nombre dérivé

1.1Définition

Définition 1.1Dérivabilité en un point

Soit $f$ définie sur $I$ et $a \in I$ . La fonction $f$ est dérivable en $a$ si le taux d'accroissement $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ admet une limite finie quand $x$ tend vers $a$ en restant différent de $a$ . Cette limite est le nombre dérivé, noté $f'(a)$ .

En posant $x = a + h$ , la condition s'écrit : $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ tend vers $f'(a)$ quand $h$ tend vers $0$ .

Propriété 1.2Développement limité à l'ordre 1

La fonction $f$ est dérivable en $a$ si et seulement s'il existe un réel $c$ et une fonction $\varepsilon$ de limite nulle en $0$ tels que $f(a+h) = f(a) + c\,h + h\,\varepsilon(h).$ On a alors $c = f'(a)$ .

Cette écriture fait de la dérivée la meilleure approximation affine de $f$ au voisinage de $a$ .

1.2Interprétation géométrique

Le taux d'accroissement est la pente de la corde joignant les points d'abscisses $a$ et $x$ . Sa limite est la pente de la tangente au graphe au point d'abscisse $a$ .

Propriété 1.3Équation de la tangente

Si $f$ est dérivable en $a$ , la tangente au graphe au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = f(a) + f'(a)(x - a).$

Pour f(x)=x² en a=1, la sécante entre a et a+h (h=1/2) tend vers la tangente de pente 2.

Ici, pour $f(x)=x^2$ et $a=1$ , la pente de la sécante vaut $\frac{(1+h)^2-1}{h}=2+h$ ; quand $h\to0$ , elle tend vers $f'(1)=2$ . La figure montre le cas $h=1/2$ : la sécante a pente $5/2$ .

Exemple 1.4Tangente verticale

Si le taux d'accroissement tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ , $f$ n'est pas dérivable en $a$ , mais le graphe admet une tangente verticale. Exemple : la racine carrée en $0$ .

1.3Dérivabilité et continuité

Propriété 1.5Dérivabilité et continuité

Si $f$ est dérivable en $a$ , alors $f$ est continue en $a$ .

Cela découle du développement limité à l'ordre 1, le terme correctif tendant vers $0$ .

Attention

La réciproque est fausse. La valeur absolue est continue en $0$ , et son taux d'accroissement vaut $1$ à droite et $-1$ à gauche, donc elle n'est pas dérivable en $0$ . Le graphe présente un point anguleux.

1.4Dérivabilité à droite et à gauche

On définit la dérivée à droite et la dérivée à gauche en imposant $x > a$ ou $x < a$ dans la limite du taux d'accroissement.

Propriété 1.6Dérivabilité et dérivées latérales

Hypothèse

$a$ est un point intérieur à $I$ .

Alors $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche en $a$ et si ces deux nombres dérivés coïncident.

Géométriquement, les deux demi-tangentes doivent être alignées.

1.5Fonction dérivée

Définition 1.7Fonction dérivée

La fonction $f$ est dérivable sur $I$ si elle l'est en tout point de $I$ . La fonction qui à $x$ associe $f'(x)$ est la fonction dérivée.

Aux extrémités appartenant à $I$ , on entend la dérivabilité du côté intérieur.

2Opérations

Soient $f$ et $g$ dérivables en $a$ , et $\lambda$ , $\mu$ des réels.

Propriété 2.1Combinaison linéaire, produit, quotient

$\lambda f + \mu g$ est dérivable en $a$ , de dérivée $\lambda f'(a) + \mu g'(a)$ .
$fg$ est dérivable en $a$ , de dérivée $f'(a)g(a) + f(a)g'(a)$ .
Si $g(a) \neq 0$ , $f/g$ est dérivable en $a$ , de dérivée $\frac{f'(a)g(a) - f(a)g'(a)}{g(a)^2}.$

Propriété 2.2Composition

Hypothèses

$f$ est dérivable en $a$ ;
$g$ est dérivable en $f(a)$ .

Alors $g \circ f$ est dérivable en $a$ , de dérivée $f'(a) \times g'(f(a))$ .

C'est la formule la plus utilisée du chapitre : l'ordre des termes doit être automatique.

Propriété 2.3Dérivée d'une réciproque

Hypothèses

$f$ est une bijection continue et strictement monotone de $I$ sur $J$ ;
$f$ est dérivable en $a$ , avec $f'(a) \neq 0$ ;
$b = f(a)$ .

Alors $f^{-1}$ est dérivable en $b$ et $(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}.$ En fonction de la variable, $(f^{-1})'(y) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(y))}$ .

Si $f'(a) = 0$ , la tangente au graphe de $f$ est horizontale, donc celle du graphe de $f^{-1}$ est verticale, et $f^{-1}$ n'est pas dérivable en $b$ .

Cette formule se retrouve en dérivant l'identité $f(f^{-1}(y)) = y$ par composition. C'est ainsi qu'on obtient les dérivées d'Arcsin, d'Arccos et d'Arctan.

À retenir

Toute fonction obtenue par sommes, produits, quotients et composées de fonctions usuelles est dérivable sur tout intervalle où l'expression a un sens et où les dénominateurs ne s'annulent pas. On le justifie en une phrase.

3Extremum local et point critique

Définition 3.1Point critique

Un point critique de $f$ est un point où la dérivée s'annule.

Théorème 3.2Condition nécessaire d'extremum

Hypothèses

$f$ est dérivable en $a$ ;
$a$ est un point intérieur à $I$ ;
$f$ admet un extremum local en $a$ .

Alors $f'(a) = 0$ .

Les deux hypothèses sont indispensables.

Exemple 3.3Point intérieur nécessaire

La fonction identité sur $\intff{0}{1}$ admet un minimum en $0$ et un maximum en $1$ , sans que sa dérivée s'annule. Les extremums sur un segment peuvent être aux bornes.

Attention

La réciproque est fausse : la fonction cube a une dérivée nulle en $0$ sans y avoir d'extremum. Un point critique est un candidat, pas une conclusion.

Pour conclure à un extremum, on étudie le signe de la dérivée de part et d'autre du point critique.

4Rolle et accroissements finis

4.1Théorème de Rolle

Théorème 4.1Théorème de Rolle

Hypothèses

$f$ est continue sur le segment $\intff{a}{b}$ , avec $a < b$ ;
$f$ est dérivable sur $\intoo{a}{b}$ ;
$f(a) = f(b)$ .

Alors il existe $c \in \intoo{a}{b}$ tel que $f'(c) = 0$ .

Les hypothèses sont dissymétriques : continuité sur le fermé, dérivabilité seulement sur l'ouvert. Cela permet de l'appliquer à des fonctions à tangente verticale aux bornes.

Démonstration

La fonction $f$ est continue sur un segment, donc bornée et atteint ses bornes. Si le maximum et le minimum sont tous deux atteints aux extrémités, alors $f$ est constante, et n'importe quel $c$ convient. Sinon, l'un des deux est atteint en un point intérieur $c$ , qui est donc un extremum local en un point intérieur, d'où $f'(c) = 0$ .

Le théorème donne l'existence de $c$ , jamais son unicité ni sa valeur. Application typique : établir l'existence de zéros d'une dérivée, ou montrer qu'une fonction dont la dérivée ne s'annule pas est injective.

4.2Égalité des accroissements finis

Théorème 4.2Égalité des accroissements finis

Hypothèses

$f$ est continue sur $\intff{a}{b}$ ;
$f$ est dérivable sur $\intoo{a}{b}$ .

Alors il existe $c \in \intoo{a}{b}$ tel que $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a).$

Démonstration

On applique Rolle à la fonction $g$ définie par $g(x) = f(x) - f(a) - (x-a)\,\frac{f(b)-f(a)}{b-a},$ qui prend la même valeur en $a$ et en $b$ .

Interprétation géométrique : il existe un point où la tangente est parallèle à la corde. Interprétation cinématique : sur un trajet, la vitesse instantanée égale au moins une fois la vitesse moyenne.

4.3Inégalité des accroissements finis

Théorème 4.3Inégalité des accroissements finis

Hypothèses

$f$ est dérivable sur $I$ ;
$\abs{f'}$ est majorée par $K$ sur $I$ .

Alors pour tous $x$ et $y$ de $I$ : $\abs{f(x) - f(y)} \leqslant K\,\abs{x - y}.$ On dit que $f$ est $K$ -lipschitzienne sur $I$ .

C'est la version utilisable en pratique, car elle fournit une majoration explicite sans faire intervenir un point $c$ inconnu.

MéthodeMajorer l'erreur d'une suite récurrente

Soit $u_{n+1} = f(u_n)$ , avec $f$ $K$ -lipschitzienne sur un intervalle stable $I$ contenant tous les termes, et $l$ un point fixe de $f$ dans $I$ .

Écrire $\abs{u_{n+1} - l} = \abs{f(u_n) - f(l)} \leqslant K\abs{u_n - l}$ .
En déduire par récurrence $\abs{u_n - l} \leqslant K^n\abs{u_0 - l}$ .
Si $K < 1$ , la suite converge vers $l$ à vitesse géométrique, avec une majoration de l'erreur à chaque rang.

C'est le schéma standard des exercices d'oral.

4.4Variations et dérivée

Théorème 4.4Variations et dérivée

Hypothèse

$f$ est dérivable sur un intervalle $I$ .

Alors :

$f$ est constante sur $I$ si et seulement si $f'$ est nulle sur $I$ ;
$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'$ est positive ou nulle sur $I$ ;
$f$ est strictement croissante sur $I$ si et seulement si $f'$ est positive ou nulle sur $I$ et ne s'annule sur aucun intervalle de longueur non nulle.

En particulier, si $f'$ est strictement positive, $f$ est strictement croissante, mais cette condition n'est pas nécessaire : la fonction cube est strictement croissante avec une dérivée nulle en $0$ .

Toutes ces caractérisations sont des conséquences de l'égalité des accroissements finis, appliquée à deux points quelconques de $I$ .

Attention

L'hypothèse « $I$ est un intervalle » est essentielle. La fonction inverse a une dérivée strictement négative sur son domaine sans y être décroissante.

4.5Théorème de la limite de la dérivée

Théorème 4.5Limite de la dérivée

Hypothèses

$f$ est continue sur $I$ ;
$f$ est dérivable sur $I$ privé du point $a$ ;
$f'(x)$ tend vers une limite $l \in \overline{\R}$ quand $x$ tend vers $a$ , $x \neq a$ .

Alors le taux d'accroissement de $f$ en $a$ tend vers $l$ . En particulier, si $l$ est finie, $f$ est dérivable en $a$ avec $f'(a) = l$ , et $f'$ est continue en $a$ .

C'est le bon outil pour étudier la dérivabilité en un point de raccord, quand le calcul direct du taux d'accroissement est pénible.

Attention

Si $f'$ n'a pas de limite en $a$ , on ne peut rien conclure : $f$ peut tout de même être dérivable en $a$ .

5Dérivées successives et classes KXF207FXK

Définition 5.1Classe $C^k$

Pour $k$ entier, on définit par récurrence la dérivée d'ordre $k$ . La fonction $f$ est de classe $C^k$ sur $I$ si elle est $k$ fois dérivable et si sa dérivée $k$ -ième est continue sur $I$ . Elle est de classe $C^\infty$ si elle est de classe $C^k$ pour tout $k$ .

On a les inclusions : être de classe $C^{k+1}$ entraîne être de classe $C^k$ , qui entraîne être $k$ fois dérivable.

Propriété 5.2Opérations sur les classes $C^k$

Une combinaison linéaire, un produit, un quotient à dénominateur ne s'annulant pas, une composée, une réciproque de fonctions de classe $C^k$ sont de classe $C^k$ .

Les démonstrations relatives à la composition et à la réciproque ne sont pas exigibles.

Théorème 5.3Formule de Leibniz

Hypothèse

$f$ et $g$ sont $n$ fois dérivables.

Alors $(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}.$

C'est l'analogue exact de la formule du binôme, avec la même démonstration par récurrence utilisant la formule de Pascal. Elle est efficace quand l'un des deux facteurs est un polynôme, car ses dérivées s'annulent à partir d'un certain rang.

Exemple 5.4Dérivée $n$ -ième de $x^2\e^x$

On prend $f(x) = x^2$ et $g(x) = \e^x$ . Seuls trois termes subsistent, et le résultat est $\big(x^2 + 2nx + n(n-1)\big)\e^x.$

Remarque

Hors programme, pour la culture : si $f$ est de classe $C^k$ sur $I$ privé d'un point $a$ et si chacune de ses dérivées jusqu'à l'ordre $k$ admet une limite finie en $a$ , alors $f$ se prolonge en une fonction de classe $C^k$ sur $I$ . C'est la version itérée du théorème de la limite de la dérivée, et elle se redémontre à la demande par récurrence.

6Fonctions à valeurs complexes

Définition 6.1Dérivée d'une fonction à valeurs complexes

Pour $f$ définie sur $I$ à valeurs dans $\C$ , $f$ est dérivable si $\operatorname{Re}(f)$ et $\Im(f)$ le sont, et $f' = (\operatorname{Re} f)' + \ii\,(\Im f)'.$

Le taux d'accroissement converge alors au sens du module.

Les résultats sur les combinaisons linéaires, les produits et les quotients s'étendent sans changement.

Propriété 6.2Dérivée de l'exponentielle d'une fonction

Si $\varphi$ est dérivable à valeurs complexes, alors la dérivée de $\exp(\varphi)$ est $\varphi'\exp(\varphi)$ .

Cela permet de dériver $x \mapsto \e^{(a+\ii b)x}$ directement.

Attention

Le théorème de Rolle et l'égalité des accroissements finis sont faux pour les fonctions à valeurs complexes. Contre-exemple : $f(t) = \e^{\ii t}$ sur $\intff{0}{2\pi}$ vérifie $f(0) = f(2\pi) = 1$ , et pourtant sa dérivée $\ii\e^{\ii t}$ ne s'annule jamais.

L'inégalité des accroissements finis reste vraie pour une fonction de classe $C^1$ à valeurs complexes. Ce résultat, admis à ce stade, sera justifié dans le chapitre d'intégration.

Méthodes

MéthodeÉtudier la dérivabilité en un point de raccord

Calculer le taux d'accroissement, ou bien
appliquer le théorème de la limite de la dérivée quand $f$ est continue au point et que $f'$ a une limite.

MéthodeDémontrer une inégalité

Introduire la différence des deux membres.
La dériver et en étudier le signe.
Conclure par le tableau de variations et la valeur à une borne.

MéthodeProuver qu'une équation a une unique solution

Établir la continuité.
Montrer la stricte monotonie par la dérivée.
Appliquer le théorème de la bijection.

MéthodeMajorer un écart

Utiliser l'inégalité des accroissements finis plutôt que l'égalité, afin d'éviter le point $c$ inconnu.

MéthodeCalculer une dérivée $n$ -ième d'un produit

Appliquer Leibniz en choisissant comme premier facteur celui dont les dérivées s'arrêtent.

MéthodeAppliquer Rolle

Vérifier la continuité sur le fermé.
Vérifier la dérivabilité sur l'ouvert.
Vérifier l'égalité des valeurs aux extrémités.
Énumérer ces trois hypothèses avant de conclure.

Attention

Pour une fonction à valeurs complexes, ne jamais invoquer Rolle ni l'égalité des accroissements finis.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Donner les deux définitions équivalentes de la dérivabilité en un point et écrire l'équation de la tangente.
Montrer que la dérivabilité entraîne la continuité, et donner un contre-exemple à la réciproque.
Démontrer la formule de la dérivée d'une réciproque et l'appliquer à Arctan.
Énoncer la condition nécessaire d'extremum en un point intérieur, et donner deux contre-exemples montrant que les hypothèses et la réciproque ne se relâchent pas.
Démontrer le théorème de Rolle à partir du théorème des bornes atteintes, puis en déduire l'égalité des accroissements finis.
Démontrer qu'une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante, et expliquer où sert l'hypothèse d'intervalle.
Appliquer l'inégalité des accroissements finis à une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ pour obtenir une majoration de l'erreur.
Énoncer la formule de Leibniz et calculer la dérivée $n$ -ième d'un produit du type polynôme fois exponentielle.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Dérivabilité en a équivaut à un développement limité à l'ordre 1 : f(a + h) = f(a) + ch + hε(h) avec ε de limite nulle. Exigible avec démonstration.
Dérivable en a entraîne continue en a, réciproque fausse : exigible avec démonstration.
Dérivabilité en un point intérieur équivaut à dérivabilité à droite et à gauche avec le même nombre dérivé : exigible.
Opérations, combinaison linéaire, produit, quotient à dénominateur non nul, composée : exigibles avec démonstration, au moins pour le produit et la composée.
Réciproque : si f est une bijection continue strictement monotone de I sur J, dérivable en a avec f'(a) ≠ 0, alors f⁻¹ est dérivable en f(a) de dérivée 1/f'(a). Exigible avec démonstration. Si f'(a) = 0, f⁻¹ n'est pas dérivable en f(a).
Condition nécessaire d'extremum local en un point intérieur : f'(a) = 0. Exigible avec démonstration, les deux hypothèses sont indispensables.
Théorème de Rolle : f continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[, f(a) = f(b), alors il existe c ∈ ]a, b[ avec f'(c) = 0. Exigible avec démonstration.
Égalité des accroissements finis, mêmes hypothèses sans f(a) = f(b) : il existe c ∈ ]a, b[ avec f(b) − f(a) = f'(c)(b − a). Exigible avec démonstration.
Inégalité des accroissements finis : f dérivable sur I avec |f'| ≤ K, alors f est K-lipschitzienne sur I. Exigible avec démonstration.
Caractérisation des fonctions dérivables constantes, croissantes, strictement croissantes sur un intervalle : exigible avec démonstration.
Théorème de la limite de la dérivée : f continue sur I, dérivable sur I privé de a, f' de limite l en a, alors le taux d'accroissement en a tend vers l. Si l est finie, f est dérivable en a et f' continue en a. Exigible avec démonstration.
Classe C^k, opérations : les démonstrations pour la composée et la réciproque ne sont pas exigibles.
Formule de Leibniz pour la dérivée n-ième d'un produit : exigible avec démonstration par récurrence.
Prolongement de classe C^k : si f est C^k sur I privé de a et si chaque dérivée jusqu'à l'ordre k a une limite finie en a, f se prolonge en une fonction C^k sur I. Figure au programme de 2013, la fiche le présente comme complément, il se redémontre par récurrence à partir du théorème précédent.
Fonctions à valeurs complexes : dérivabilité par parties réelle et imaginaire, opérations inchangées. Rolle et l'égalité des accroissements finis sont faux. L'inégalité des accroissements finis pour une fonction C¹ est admise à ce stade.
Hors programme signalé : théorème de Darboux, règle de L'Hôpital, formules de Taylor avec reste, qui relèvent des chapitres d'analyse asymptotique et d'intégration.

Clés de démonstration

Dérivable entraîne continue. On écrit f(a + h) − f(a) = h(c + ε(h)), produit d'une quantité qui tend vers 0 par une quantité bornée. L'astuce : le développement limité à l'ordre 1 est la bonne forme pour tout ce qui est local.

Dérivée d'une composée. On ne divise pas par f(x) − f(a), qui peut s'annuler. On écrit g(f(a) + k) = g(f(a)) + g'(f(a))k + kε(k) avec k = f(a + h) − f(a), puis on divise par h. L'astuce : la forme développement limité évite le quotient dangereux.

Réciproque. Pour y tendant vers b = f(a), on pose x = f⁻¹(y), qui tend vers a par continuité de f⁻¹. Le taux (f⁻¹(y) − a)/(y − b) est l'inverse de (f(x) − f(a))/(x − a), qui tend vers f'(a) ≠ 0. L'astuce : la continuité de f⁻¹ vient du théorème de la bijection, il faut la citer.

Extremum en un point intérieur. Pour un maximum, le taux d'accroissement est négatif ou nul à droite de a et positif ou nul à gauche. La limite commune est donc à la fois ≤ 0 et ≥ 0. L'astuce : point intérieur pour disposer des deux côtés.

Rolle. f est continue sur un segment donc atteint son maximum et son minimum. Si les deux sont atteints aux bornes, f est constante. Sinon l'un est atteint en un point intérieur, où la dérivée s'annule. L'astuce : le théorème des bornes atteintes, c'est pour cela qu'il faut la continuité sur le fermé.

Accroissements finis. On retranche la corde : g(x) = f(x) − f(a) − (x − a)(f(b) − f(a))/(b − a) vérifie g(a) = g(b) = 0. Rolle donne c avec g'(c) = 0. L'astuce : une fonction auxiliaire qui prend la même valeur aux deux bornes.

Inégalité des accroissements finis. Pour x < y dans I, l'égalité donne f(y) − f(x) = f'(c)(y − x), et |f'(c)| ≤ K. L'astuce : appliquer l'égalité sur le segment [x, y], qui est inclus dans I parce que I est un intervalle.

Monotonie. Si f' ≥ 0 et x < y, alors f(y) − f(x) = f'(c)(y − x) ≥ 0. Réciproquement, si f est croissante, ses taux d'accroissement sont positifs, donc leur limite aussi. L'astuce : même argument pour la constance avec f' = 0.

Limite de la dérivée. Pour x ≠ a, l'égalité des accroissements finis entre a et x donne un c_x strictement entre a et x avec (f(x) − f(a))/(x − a) = f'(c_x). Quand x tend vers a, c_x tend vers a par encadrement, donc f'(c_x) tend vers l. L'astuce : la continuité de f en a est nécessaire pour appliquer l'égalité des accroissements finis sur [a, x].

Leibniz. Récurrence sur n, on dérive la somme au rang n, on regroupe les termes de même indice avec la formule de Pascal. L'astuce : c'est mot pour mot la preuve du binôme.

Exemples et contre-exemples à connaître

La valeur absolue est continue en 0, non dérivable : taux 1 à droite, −1 à gauche. Continue n'entraîne pas dérivable.
La racine carrée en 0 : le taux vaut 1/√h et tend vers +∞. Tangente verticale, pas de dérivée.
x ↦ x³ a une dérivée nulle en 0 sans extremum. Un point critique est un candidat. La même fonction est strictement croissante avec une dérivée qui s'annule : f' > 0 est suffisant, pas nécessaire.
L'identité sur [0, 1] a un minimum en 0 et un maximum en 1, sans dérivée nulle. Les bornes échappent à la condition nécessaire.
x ↦ 1/x a une dérivée strictement négative sur R*, mais 1/(−1) < 1/1. Sans intervalle, le signe de la dérivée ne dit rien sur la monotonie.
f(x) = x² sin(1/x) prolongée par f(0) = 0 est dérivable en 0 avec f'(0) = 0, car |f(h)/h| ≤ |h|. Pourtant f'(x) = 2x sin(1/x) − cos(1/x) n'a pas de limite en 0. Le théorème de la limite de la dérivée n'a pas de réciproque, et dérivable n'entraîne pas C¹.
t ↦ e^it sur [0, 2π] prend la même valeur aux deux bornes, et sa dérivée ie^it ne s'annule jamais. Rolle est faux pour les fonctions complexes.
Arcsin est dérivable sur ]−1, 1[ de dérivée 1/√(1 − x²), mais pas en ±1 : la dérivée de sin s'annule en ±π/2, donc la tangente à la réciproque est verticale.

Techniques du chapitre

Technique 1, dérivabilité en un point de raccord par le taux d'accroissement. Mini-exercice : f(x) = x² ln|x| pour x ≠ 0, f(0) = 0. Le taux en 0 vaut x ln|x|, qui tend vers 0 par croissances comparées. Donc f est dérivable en 0 et f'(0) = 0. Ailleurs, f est dérivable par opérations.

Technique 2, dérivabilité par le théorème de la limite de la dérivée. Mini-exercice : g(x) = e^−1/x pour x > 0, g(x) = 0 pour x ≤ 0. g est continue en 0, dérivable ailleurs, et g'(x) = e^−1/x/x² pour x > 0, qui tend vers 0 en 0 en posant u = 1/x. À gauche g' = 0. Donc g est C¹ sur R avec g'(0) = 0.

Technique 3, inégalité par étude de la différence. Mini-exercice : montrer sin x ≤ x pour x ≥ 0. On pose h(x) = x − sin x, h'(x) = 1 − cos x ≥ 0, h croissante sur [0, +∞[ et h(0) = 0. Donc h ≥ 0.

Technique 4, majorer un écart par l'inégalité des accroissements finis. Mini-exercice : montrer |Arctan a − Arctan b| ≤ |a − b|. La dérivée 1/(1 + x²) est majorée par 1 sur R, donc Arctan est 1-lipschitzienne. Aucun point c inconnu n'apparaît dans la conclusion.

Technique 5, Rolle pour compter des zéros. Mini-exercice : si P est un polynôme réel de degré n ayant n racines réelles distinctes, alors P' a n − 1 racines réelles distinctes. Entre deux racines consécutives de P, Rolle donne une racine de P'. On obtient n − 1 racines distinctes, séparées par celles de P, et P' est de degré n − 1, il n'y en a pas d'autre.

Technique 6, suite récurrente contractante. Mini-exercice : u₀ = 2 et u_n+1 = 1 + 1/u_n. On pose f(x) = 1 + 1/x. Sur [3/2, 2], f est à valeurs dans [3/2, 5/3], donc dans [3/2, 2], et |f'(x)| = 1/x² ≤ 4/9. Le point fixe l = (1 + √5)/2 est dans [3/2, 2]. Par l'inégalité des accroissements finis et récurrence, |u_n − l| ≤ (4/9)ⁿ |u₀ − l|, donc u_n tend vers l.

Technique 7, Leibniz avec un facteur polynomial. Mini-exercice : dérivée n-ième de x ↦ xe^2x. Seuls deux termes survivent : x × 2ⁿ e^2x + n × 1 × 2^{n − 1} e^2x = 2^{n − 1}(2x + n)e^2x. Vérification en n = 1 : (2x + 1)e^2x.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Soit f(x) = x|x| sur R. Montrer que f est de classe C¹ mais pas de classe C²

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique expression par morceaux, taux d'accroissement au raccord.

Voir le corrigé

Pour x > 0, f(x) = x², et pour x < 0, f(x) = −x². Sur chaque demi-droite ouverte, f est dérivable avec f'(x) = 2x puis −2x, soit f'(x) = 2|x|.
En 0, le taux vaut |x|, qui tend vers 0. Donc f'(0) = 0, et f' = 2|x| sur R, fonction continue. f est C¹.
f' = 2|x| n'est pas dérivable en 0, d'après l'exemple de la valeur absolue. f n'est pas C².

piège : Écrire f'(0) = 0 « parce que les deux formules donnent 0 » sans passer par le taux ou par le théorème de la limite de la dérivée.

Exercice 2. Montrer que pour tout x > 0, x/(1 + x) < ln(1 + x) < x

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique deux fonctions auxiliaires, signe de la dérivée, valeur en 0.

Voir le corrigé

Soit u(x) = x − ln(1 + x) sur [0, +∞[. u'(x) = 1 − 1/(1 + x) = x/(1 + x) > 0 pour x > 0. u est strictement croissante et u(0) = 0, donc u(x) > 0 pour x > 0.
Soit v(x) = ln(1 + x) − x/(1 + x). v'(x) = 1/(1 + x) − 1/(1 + x)² = x/(1 + x)² > 0 pour x > 0. Même conclusion.

Trois courbes pour lire l’encadrement du logarithme.

Pour x > 0, la courbe du logarithme reste entre les deux autres ; les trois ne se rejoignent qu'en 0. Le tracé illustre le résultat sur la fenêtre représentée : la démonstration sur tout l'intervalle repose sur les dérivées et la stricte monotonie établies ci-dessus.

piège : Oublier de dire que l'inégalité est stricte parce que la monotonie est stricte, ou évaluer en un autre point que 0.

Exercice 3

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit f continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[, avec f(a) = f(b) = 0, et λ un réel. Montrer qu'il existe c ∈ ]a, b[ tel que f'(c) = λf(c).

Technique fonction auxiliaire avec facteur exponentiel, puis Rolle.

Voir le corrigé

On pose g(x) = e^−λxf(x). g est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[, et g(a) = g(b) = 0.
Rolle donne c ∈ ]a, b[ avec g'(c) = 0, soit e^−λc(f'(c) − λf(c)) = 0.
Comme l'exponentielle ne s'annule pas, f'(c) = λf(c).

piège : Ne pas trouver la fonction auxiliaire. Le réflexe : f' − λf = 0 est une équation différentielle dont les solutions sont Ce^λx, on divise par cette solution.

Exercice 4

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Montrer que Arcsin est dérivable sur ]−1, 1[ et calculer sa dérivée. En déduire Arcsin(x) + Arccos(x) = π/2 pour tout x ∈ [−1, 1].

Technique dérivée d'une réciproque, puis fonction de dérivée nulle sur un intervalle.

Voir le corrigé

sin est une bijection continue strictement croissante de [−π/2, π/2] sur [−1, 1], dérivable, de dérivée cos qui ne s'annule que en ±π/2. Pour x ∈ ]−1, 1[, θ = Arcsin(x) est dans ]−π/2, π/2[ et cos θ ≠ 0, donc Arcsin est dérivable en x de dérivée 1/cos θ.
cos θ > 0 sur cet intervalle et cos²θ = 1 − x², donc la dérivée vaut 1/√(1 − x²).
De même Arccos est dérivable sur ]−1, 1[ de dérivée −1/√(1 − x²). La somme Arcsin + Arccos a une dérivée nulle sur l'intervalle ]−1, 1[, donc elle est constante, égale à sa valeur en 0, qui est 0 + π/2.
En ±1, la somme vaut π/2 + 0 et −π/2 + π. La formule est vraie sur [−1, 1] tout entier, par calcul direct aux bornes ou par continuité.

piège : Écrire la dérivée avec ±√(1 − x²) sans discuter le signe du cosinus, ou conclure sur [−1, 1] avec un argument de dérivée qui n'est valable que sur l'ouvert.

Exercice 5

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit u₀ = 0 et u_n+1 = √(2 + u_n). Montrer que la suite converge vers 2 et majorer |u_n − 2|.

Technique point fixe, intervalle stable, inégalité des accroissements finis.

Voir le corrigé

f(x) = √(2 + x) est définie et croissante sur [0, +∞[, à valeurs dans [√2, +∞[ inclus dans [0, +∞[. Par récurrence, u_n ≥ 0 pour tout n. Le point fixe vérifie l² = 2 + l avec l ≥ 0, donc l = 2.
f'(x) = 1/(2√(2 + x)) ≤ 1/(2√2) sur [0, +∞[, notons k = 1/(2√2) < 1.
Par l'inégalité des accroissements finis, |u_n+1 − 2| = |f(u_n) − f(2)| ≤ k|u_n − 2|, puis par récurrence |u_n − 2| ≤ 2kⁿ.
Comme k < 1, u_n tend vers 2, à vitesse géométrique.

piège : Appliquer l'inégalité des accroissements finis sur un intervalle qui ne contient pas tous les termes, ou sans avoir vérifié que 2 est dans cet intervalle.

Exercice 6. Soit f(x) = (x² + 1)e^−x. Calculer f⁽ⁿ⁾ pour tout n ≥ 2 et en déduire f⁽ⁿ⁾(0)

Classiques de khôlle et concours · Écrit, type CCINP

Technique Leibniz avec le polynôme comme facteur qui s'éteint.

Voir le corrigé

La dérivée k-ième de e^−x est (−1)^k e^−x. Le polynôme p(x) = x² + 1 a pour dérivées 2x, puis 2, puis 0.
Leibniz : f⁽ⁿ⁾ = p × (−1)ⁿ e^−x + n × 2x × (−1)^{n − 1} e^−x + (n(n − 1)/2) × 2 × (−1)^{n − 2} e^−x.
Factorisation : f⁽ⁿ⁾(x) = (−1)ⁿ e^−x(x² − 2nx + n² − n + 1).
En 0 : f⁽ⁿ⁾(0) = (−1)ⁿ (n² − n + 1). Contrôle en n = 2 : f'' = e^−x(x² − 4x + 3), et le calcul direct de f' = e^−x(−x² + 2x − 1) puis f'' le confirme.

piège : Oublier le coefficient binomial devant le terme en p'', ou se tromper de signe sur (−1)^{n − 1}.

Exercice 7

Approfondissement · Écrit, type Centrale

Soit f de classe C² sur [a, b] avec f(a) = f(b) = 0, et x ∈ ]a, b[. Montrer qu'il existe c ∈ ]a, b[ tel que f(x) = f''(c)(x − a)(x − b)/2.

Technique fonction auxiliaire avec un paramètre ajusté, Rolle appliqué deux fois.

Voir le corrigé

On fixe x et l'on choisit le réel K tel que f(x) = K(x − a)(x − b), possible car (x − a)(x − b) ≠ 0. On pose g(t) = f(t) − K(t − a)(t − b).
g est C² sur [a, b] et s'annule en a, x et b. Rolle sur [a, x] et sur [x, b] donne deux points c₁ < c₂ où g' s'annule.
Rolle sur [c₁, c₂] appliqué à g' donne c avec g''(c) = 0, soit f''(c) = 2K.
Donc K = f''(c)/2, et f(x) = f''(c)(x − a)(x − b)/2.

piège : Oublier que K dépend de x, ou appliquer Rolle à g' sans vérifier que g' est dérivable, ce que garantit la classe C².

Exercice 8

Approfondissement · Écrit, type Mines

Soit f dérivable sur R avec f(0) = 0 et |f'(x)| ≤ |f(x)| pour tout x. Montrer que f est nulle.

Technique borner sur un petit segment, faire apparaître M ≤ M/2, puis propager.

Voir le corrigé

Sur [0, 1/2], f est continue, on note M = max|f|, atteint en un point x₁. L'inégalité des accroissements finis sur [0, x₁] avec |f'| ≤ M donne |f(x₁) − f(0)| ≤ M x₁ ≤ M/2, soit M ≤ M/2.
Donc M = 0 et f est nulle sur [0, 1/2].
On recommence sur [1/2, 1] avec f(1/2) = 0, puis par récurrence sur chaque [k/2, (k + 1)/2]. Même chose vers la gauche. f est nulle sur R.

piège : Appliquer l'inégalité des accroissements finis avec K = |f(x)| qui dépend du point, au lieu d'un majorant uniforme M sur le segment.

Erreurs fréquentes

Appliquer Rolle ou l'égalité des accroissements finis sans énumérer les trois hypothèses, ou à une fonction à valeurs complexes.
Déduire la monotonie du signe de la dérivée sur un domaine qui n'est pas un intervalle. Le contre-exemple 1/x doit venir immédiatement.
Dériver une réciproque sans vérifier que f' ne s'annule pas au point concerné. Arcsin en 1 le rappelle.
Conclure « f n'est pas dérivable en a » parce que f' n'a pas de limite en a. Le théorème ne va que dans un sens, l'exemple x² sin(1/x) le montre.
Confondre point critique et extremum, et oublier les bornes d'un segment dans la recherche des extremums.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de MPSI (2021), partie « Fonctions d'une variable réelle : limites et continuité, dérivabilité, convexité », section B « Dérivabilité ». Les fonctions sont définies sur un intervalle $I$ non vide et non réduit à un point, et à valeurs réelles, sauf dans le dernier paragraphe.

Dérivation

Résumé en cinq points

1Nombre dérivé

1.1Définition

1.2Interprétation géométrique

1.3Dérivabilité et continuité

1.4Dérivabilité à droite et à gauche

1.5Fonction dérivée

2Opérations

3Extremum local et point critique

4Rolle et accroissements finis

4.1Théorème de Rolle

4.2Égalité des accroissements finis

4.3Inégalité des accroissements finis

4.4Variations et dérivée

4.5Théorème de la limite de la dérivée

5Dérivées successives et classes KXF207FXK

6Fonctions à valeurs complexes

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Soit f(x) = x|x| sur R. Montrer que f est de classe C¹ mais pas de classe C²

Exercice 2. Montrer que pour tout x > 0, x/(1 + x) < ln(1 + x) < x

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6. Soit f(x) = (x² + 1)e^−x. Calculer f⁽ⁿ⁾ pour tout n ≥ 2 et en déduire f⁽ⁿ⁾(0)

Exercice 7

Exercice 8

Erreurs fréquentes

Au concours

Dérivation

Résumé en cinq points

1Nombre dérivé

1.1Définition

1.2Interprétation géométrique

1.3Dérivabilité et continuité

1.4Dérivabilité à droite et à gauche

1.5Fonction dérivée

2Opérations

3Extremum local et point critique

4Rolle et accroissements finis

4.1Théorème de Rolle

4.2Égalité des accroissements finis

4.3Inégalité des accroissements finis

4.4Variations et dérivée

4.5Théorème de la limite de la dérivée

5Dérivées successives et classes KXF207FXK

6Fonctions à valeurs complexes

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Soit f(x) = x|x| sur R. Montrer que f est de classe C¹ mais pas de classe C²

Exercice 2. Montrer que pour tout x > 0, x/(1 + x) < ln(1 + x) < x

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6. Soit f(x) = (x² + 1)e−x. Calculer f(n) pour tout n ≥ 2 et en déduire f(n)(0)

Exercice 7

Exercice 8

Erreurs fréquentes

Au concours

Exercice 6. Soit f(x) = (x² + 1)e^−x. Calculer f⁽ⁿ⁾ pour tout n ≥ 2 et en déduire f⁽ⁿ⁾(0)