Le cours

Résumé en cinq points

L'intégrale d'une fonction continue est une aire algébrique. Les conventions sur l'ordre des bornes rendent Chasles toujours valable, mais positivité et croissance exigent que la borne inférieure soit la plus petite.
Les sommes de Riemann convergent vers l'intégrale. Elles donnent le calcul approché et permettent de reconnaître des limites de sommes.
La valeur moyenne est atteinte par la fonction en au moins un point du segment.
Le théorème fondamental affirme que la fonction qui à $x$ associe l'intégrale de $a$ à $x$ de $f$ est l'unique primitive de $f$ s'annulant en $a$ . Toute fonction continue sur un intervalle admet donc des primitives.
Intégration par parties et changement de variable sont les deux techniques de calcul. La première vient de la dérivée d'un produit, la seconde exige de changer les bornes.

Pourquoi ce chapitre

L'intégrale est l'outil du cumul.

On connaît un débit et on veut un volume total.
On connaît une vitesse de réaction et on veut une quantité de matière formée.
On connaît la concentration plasmatique d'un médicament au cours du temps et on veut la dose effectivement reçue, ce que les pharmacologues appellent l'aire sous la courbe.
On connaît une température heure par heure et on veut une moyenne journalière.

Le chapitre donne un statut propre à l'intégrale, jusqu'ici seulement admise comme lien avec les primitives, et démontre ce lien. C'est le théorème fondamental de l'analyse. Il fournit aussi le calcul approché par sommes de Riemann, qui est la base des méthodes numériques d'intégration.

RemarqueNotion d'aire

La notion d'aire est ici intuitive et ne doit soulever aucune question théorique. On admet l'aire, puis on en déduit les propriétés.

Les démonstrations des propriétés de l'intégrale ne sont pas exigibles, mais il faut savoir les justifier :

par l'aire ;
ou par les sommes de Riemann.

Classiques et HP

Méthodes et approfondissements du chapitre · le statut est précisé pour BCPST1.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Tous 11 Application 1 Classiques 8 Approfondissement 2

Calcul d'intégrales 3

Exercice 1. Intégration par parties ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Calculer $\int_1^{\e} t \ln(t)\,\dd t$ .

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Technique intégration par parties en dérivant le logarithme.

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Résultat

$\int_1^{\e} t \ln(t)\,\dd t = \frac{\e^2 + 1}{4}$ .

Soit $u'(t) = t$ et $v(t) = \ln t$ , donc $u(t) = \frac{t^2}{2}$ et $v'(t) = \frac1t$ , de classe $\mathcal C^1$ sur $[1, \e]$ .
Donc $\int_1^{\e} t \ln t\,\dd t = \left[\frac{t^2}{2} \ln t\right]_1^{\e} - \int_1^{\e} \frac t2\,\dd t$ (propriété 4.6, intégration par parties).
Or $\underline{\left[\frac{t^2}{2} \ln t\right]_1^{\e} = \frac{\e^2}{2}}$ ( $\ln 1 = 0$ ) et $\underline{\int_1^{\e} \frac t2\,\dd t = \frac{\e^2 - 1}{4}}$ .
Donc $\int_1^{\e} t \ln t\,\dd t = \frac{\e^2}{2} - \frac{\e^2 - 1}{4} = \frac{\e^2 + 1}{4}$ .

piège : Dériver $t$ et intégrer $\ln t$ , ce qui oblige à connaître une primitive de $\ln$ et complique tout.

Exercice 4. Intégrale de eᵗ sin t ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle vers écrit

Pour $t$ dans $[0, \pi]$ , calculer $I = \int_0^{\pi} \e^{t} \sin(t)\,\dd t.$

Voir le début du corrigé

Avec $u' = \e^t$ et $v = \sin t$ : $I = [\e^t \sin t]_0^{\pi} - J$ , où $J = \int_0^{\pi} \e^t \cos t\,\dd t$ (propriété 4.6, intégration par parties). …

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Exercice 8 ★★★

Approfondissement · 25 min · Écrit, niveau Mines

Avec le changement de variable $u = \pi - t$ , calculer $I = \int_0^{\pi} \frac{t \sin(t)}{1 + \cos^2 t}\,dt$ .

Voir le début du corrigé

Soit $u = \pi - t$ : bornes échangées, $\dd t = -\dd u$ , $\sin(\pi - u) = \sin u$ , $\cos^2(\pi - u) = \cos^2 u$ .

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Sommes de Riemann 2

Exercice 2 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Déterminer les limites de $a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2 + k^2}$ et de $b_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2 + kn}}$ .

Voir le début du corrigé

$\frac{k}{n^2 + k^2} = \frac1n \times \frac{k/n}{1 + (k/n)^2}$ , donc $a_n = \frac1n \sum_{k=1}^{n} f(k/n)$ avec $f(t) = \frac{t}{1 + t^2}$ , continue sur $[0, 1]$ .

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Exercice 9 ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Écrit, niveau Centrale

Soit $f$ de classe $C^1$ sur $[a, b]$ , $M$ le maximum de $|f'|$ sur $[a, b]$ , et $R_n$ la somme de Riemann à gauche. Montrer $\left|\int_a^b f - R_n\right| \leq \frac{M(b - a)^2}{2n}$ .

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$M$ existe ( $\abs{f'}$ continue sur un segment, théorème 3.7, fonction continue sur un segment). …

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Théorème de la moyenne 1

Exercice 3 ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Soit $f$ continue sur $[0, 1]$ telle que $\int_0^1 f(t)\,dt = \frac{1}{2}$ . Montrer que $f$ admet un point fixe dans $[0, 1]$ .

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Soit $g(t) = f(t) - t$ , continue sur $[0, 1]$ .

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Suites d'intégrales 3

Exercice 5 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit, type Agro-Véto

Pour $n$ entier, $I_n = \int_0^1 \frac{t^n}{1 + t}\,dt$ . Calculer $I_0$ , montrer $I_n + I_{n+1} = \frac{1}{n + 1}$ , puis la limite de $\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^k}{k + 1}$ .

Voir le début du corrigé

$\underline{I_0 = [\ln(1 + t)]_0^1 = \ln 2}$ (propriété 4.4, calcul par une primitive).

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Exercice 7 ★★

Classiques de khôlle et concours · 35 min · Écrit, type Agro-Véto

Intégrales de Wallis. $I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n(t)\,dt$ . Montrer que $I_n > 0$ , que $(I_n)$ décroît, que $(n + 2)I_{n+2} = (n + 1)I_n$ , puis que $(n + 1)I_{n+1}I_n = \frac{\pi}{2}$ pour tout $n$ . L'intégration par parties est suggérée.

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$\sin^n$ continue, positive, non nulle sur $[0, \pi/2]$ , donc $I_n > 0$ (propriété 2.4, stricte positivité).

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Exercice 10 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Écrit, difficile

Soit $f$ de classe $C^1$ sur $[a, b]$ . Montrer que $\int_a^b f(t) \cos(nt)\,dt$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$ .

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Pour $n \geqslant 1$ , soit $u'(t) = \cos(nt)$ , $u(t) = \frac{\sin(nt)}{n}$ , $v = f$ .

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Fonctions définies par une intégrale 1

Exercice 6 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit, type G2E

Pour $x > 0$ , $G(x) = \int_x^{2x} \frac{e^{-t}}{t}\,dt$ . Étudier les variations de $G$ et ses limites en $0$ et en $+\infty$ .

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$t \mapsto \frac{\e^{-t}}{t}$ continue sur $\intoo{0}{+\infty}$ , qui contient $x$ et $2x$ . …

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Classique du chapitre 1

Exercice classique. Encadrer une intégrale et choisir le nombre de trapèzes ★★★

Classique du chapitre

Soit $f:[0,1]\to\R$ définie par $f(x)=1/(1+x)$ et soit $I=\int_0^1f(x)\,\dd x$ . Pour tout entier $n\geq1$ , on pose $T_n=\frac1n\left(\frac{f(0)+f(1)}2+\sum_{k=1}^{n-1}f(k/n)\right).$ On pourra utiliser l’identité locale et l’estimation démontrées dans le cours.

Calculer $f''$ , déterminer $\|f''\|_\infty$ sur $[0,1]$ et identifier $I$ à l’aide d’une primitive.
Justifier que $T_n$ majore $I$ et établir un encadrement de $I$ en fonction de $T_n$ et de $n$ .
Calculer exactement $T_2$ et en déduire un encadrement rationnel de $I$ .
Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel la borne obtenue garantit une erreur de quadrature au plus égale à $10^{-3}$ . Préciser si cela prouve que ce $n$ est minimal pour l’erreur réelle.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Fiche rédigée à partir du programme officiel de BCPST première année (2021), partie « Analyse 8 : Intégration d'une fonction continue réelle sur un segment ». Elle couvre :

la définition de l'intégrale par l'aire ;
les sommes de Riemann ;
les propriétés de l'intégrale ;
la valeur moyenne ;
le théorème fondamental de l'analyse ;
l'intégration par parties ;
le changement de variable.

Intégration sur un segment

Le cours et les corrigés complets

Résumé en cinq points

Classiques et HP

Exercices classiques corrigés

Calcul d'intégrales 3

Exercice 1. Intégration par parties ★

Exercice 4. Intégrale de eᵗ sin t ★★

Exercice 8 ★★★

Sommes de Riemann 2

Exercice 2 ★★

Exercice 9 ★★

Théorème de la moyenne 1

Exercice 3 ★★

Suites d'intégrales 3

Exercice 5 ★★

Exercice 7 ★★

Exercice 10 ★★

Fonctions définies par une intégrale 1

Exercice 6 ★★

Classique du chapitre 1

Exercice classique. Encadrer une intégrale et choisir le nombre de trapèzes ★★★