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BCPST1 · Maths · semaine 26

Développements limités et études de fonctions

Notation petit o, définition et unicité d'un développement limité en 0, opérations et primitivation. Formule de Taylor-Young admise et développements limités usuels de exp, cos, sin, 1/(1+x), ln(1+x) et (1+x) puissance alpha. Applications au calcul d'équivalents et de limites et à l'étude locale d'une fonction.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Un développement limité d'ordre nn approche la fonction par un polynôme de degré au plus nn, avec un reste négligeable devant xnx^n. Les coefficients sont uniques.
  2. La formule de Taylor-Young, admise, garantit l'existence du développement pour une fonction de classe Cn\mathcal C^n, avec les coefficients donnés par les dérivées successives.
  3. Six développements usuels sont à connaître par cœur en 00. Tout le reste s'en déduit par somme, produit, composée et primitivation, en tronquant à l'ordre voulu.
  4. Le premier terme non nul de la partie régulière donne l'équivalent. C'est le lien entre développements limités et calcul de limites.
  5. L'ordre 11 donne la tangente. Le premier terme non nul suivant donne la position de la courbe par rapport à cette tangente, selon son signe et la parité de son degré.
Pourquoi ce chapitre

Un développement limité approche une fonction compliquée par un polynôme au voisinage d'un point. C'est la généralisation de la tangente, qui est déjà l'approximation d'ordre 11.

L'intérêt est double :

  • En mathématiques, le développement limité lève les indéterminations que les équivalents ne savent pas traiter, en particulier celles qui viennent de compensations dans une somme.
  • En sciences expérimentales, il fournit les approximations usuelles pour les petites variations.

ExempleApproximations usuelles

  • L'approximation des petits angles, sin⁡θ≈θ\sin\theta \approx \theta, sert en optique et en mécanique.
  • L'approximation exp⁡(x)≈1+x\exp(x) \approx 1+x sert pour les faibles conversions en cinétique chimique.
  • L'approximation ln⁡(1+x)≈x\ln(1+x) \approx x sert pour les faibles variations relatives.

RemarquePratique demandée par le programme

  • Les exercices ne doivent pas viser la virtuosité calculatoire.
  • Sur les exemples numériques, on ne dépasse pas l'ordre 33.
  • Tout développement en un point autre que 00, ou à l'infini, est ramené en 00 par un changement de variable.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Développements limités 2

Exercice 1. DL de ln(1 + sin x) ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Calculer le DL d'ordre 3 en 0 de ln⁡(1+sin⁡x)\ln(1 + \sin x).

Voir l'indice

Technique composée avec u(0)=0u(0) = 0.

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Résultat

ln⁡(1+sin⁡x)=x−x22+x36+o(x3)\ln(1 + \sin x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3).

  1. Soit u=sin⁡x=x−x36+o(x3)u = \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3). Alors uu tend vers 00 et u∼xu \sim x.
  2. ln⁡(1+u)=u−u22+u33+o(u3)\ln(1 + u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} + o(u^3) (DL usuel, u→0u \to 0). Comme u∼xu \sim x, o(u3)=o(x3)o(u^3) = o(x^3).
  3. u2=x2+o(x3)‾\underline{u^2 = x^2 + o(x^3)} (le terme suivant est en x4x^4). De même, u3=x3+o(x3)‾\underline{u^3 = x^3 + o(x^3)}.
  4. Donc ln⁡(1+sin⁡x)=x−x36−x22+x33+o(x3)=x−x22+x36+o(x3)\ln(1 + \sin x) = x - \frac{x^3}{6} - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3).
  5. Contrôle à l'ordre 1 : f(0)=0f(0) = 0 et f′(0)=cos⁡01+sin⁡0=1f'(0) = \frac{\cos 0}{1 + \sin 0} = 1, cohérent.

piège : Oublier le terme u33\frac{u^3}{3}, qui apporte un x3x^3, ou le jeter en le croyant d'ordre supérieur.

Exercice 3 ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

On pose F(x)=∫0xexp⁡(−t2) dtF(x) = \int_0^x \exp(-t^2)\, dt. Donner le DL d'ordre 33 de FF en 00. En déduire la limite de F(x)−xx3\frac{F(x) - x}{x^3}.

Voir le début du corrigé
  1. FF est dérivable sur R\R et F′(x)=e−x2F'(x) = \e^{-x^2} (théorème fondamental de l'analyse).

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Calcul de limites 2

Exercice 2 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Calculer les limites en 00 de (a) ln⁡(1+x)−xx2\frac{\ln(1 + x) - x}{x^2}, (b) sin⁡x−xcos⁡xx3\frac{\sin x - x \cos x}{x^3}, (c) 1x−1ln⁡(1+x)\frac{1}{x} - \frac{1}{\ln(1 + x)}.

Voir le début du corrigé
  1. (a) ln⁡(1+x)−x=−x22+o(x2)‾\underline{\ln(1 + x) - x = -\frac{x^2}{2} + o(x^2)} (DL de ln⁡(1+x)\ln(1 + x) à l'ordre 2). …

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Exercice 5. Limite par développements limités ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Calculer la limite en 1 de xx−xln⁡x−x+1.\frac{x^x - x}{\ln x - x + 1}.

Voir le début du corrigé
  1. Soit x=1+hx = 1 + h, h→0h \to 0. Alors xx=exp⁡((1+h)ln⁡(1+h))x^x = \exp\big((1 + h)\ln(1 + h)\big).

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Tangente et position relative 4

Exercice 6 ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

On pose f(x)=ln⁡(x)xf(x) = \frac{\ln(x)}{x} pour x>0x > 0. Donner la tangente en 11 et la position de la courbe par rapport à elle.

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  1. Soit x=1+hx = 1 + h. Alors f(1+h)=ln⁡(1+h)×11+hf(1 + h) = \ln(1 + h) \times \frac{1}{1 + h}.

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Exercice 4 ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Donner le DL d'ordre 3 de tan en 0, puis la position de la courbe par rapport à sa tangente en 0.

Voir le début du corrigé
  1. 1cos⁡x=1+x22+o(x2)‾\underline{\frac{1}{\cos x} = 1 + \frac{x^2}{2} + o(x^2)} (technique 3).

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Exercice 8 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit Agro-Véto

On pose f(x)=(1+x)1/xf(x) = (1 + x)^{1/x} pour x>−1x > -1, x≠0x \neq 0. Étudier le prolongement en 00. En déduire la limite de n(e−(1+1n)n)n\left(e - \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right).

Voir le début du corrigé
  1. f(x)=exp⁡(ln⁡(1+x)x)f(x) = \exp\left(\frac{\ln(1 + x)}{x}\right), avec ln⁡(1+x)x=1−x2+x23+o(x2)\frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} + o(x^2).

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Exercice 7 ★★★

Approfondissement · 35 min · Type écrit Agro-Véto

On pose g(x)=xex−1g(x) = \frac{x}{e^x - 1} pour x≠0x \neq 0. Montrer que gg se prolonge en une fonction dérivable en 00, donner la tangente et la position. Montrer que g(x)+x2g(x) + \frac{x}{2} est paire et en déduire le DL d'ordre 33.

Voir le début du corrigé
  1. ex−1=x(1+x2+x26+o(x2))\e^x - 1 = x\left(1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{6} + o(x^2)\right). …

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Asymptotes 1

Exercice 9 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type écrit G2E

On pose f(x)=x2+x+1f(x) = \sqrt{x^2 + x + 1}. Montrer que la courbe admet des asymptotes en +∞+\infty et en −∞-\infty, et préciser la position. Le programme ne cite pas les asymptotes, l'énoncé guide.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Identification de coefficients 1

Exercice 10 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit, plus délicat

Déterminer les réels aa et bb tels que 1+ax1+bx−ex=o(x2)\frac{1 + ax}{1 + bx} - e^x = o(x^2). Donner ensuite un équivalent de cette différence.

Voir le début du corrigé
  1. (1+ax)(1−bx+b2x2+o(x2))=1+(a−b)x+b(b−a)x2+o(x2)(1 + ax)\left(1 - bx + b^2x^2 + o(x^2)\right) = 1 + (a - b)x + b(b - a)x^2 + o(x^2).

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Fiche rédigée à partir du programme officiel de BCPST première année (2021), partie « Analyse 9 – Développements limités et études de fonctions réelles ». Elle couvre :