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BCPST1 · Maths · semaine 13

Calculs de dérivées, de primitives et d'intégrales

Règles de dérivation des sommes, produits, quotients et composées, dérivées des fonctions usuelles. Dérivées partielles d'une fonction de deux variables, introduites en lien avec l'usage qui en est fait en physique. Primitives usuelles, calcul d'intégrales à l'aide d'une primitive, intégration par parties et changement de variable.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Les trois règles à ne jamais confondre sont le produit, le quotient, dont le numérateur est u′v−uv′u'v-uv', et la composée, dont la dérivée est u′u' fois la dérivée de la fonction extérieure évaluée en uu.
  2. Une dérivée partielle se calcule en figeant l'autre variable, et le physicien précise toujours quelle grandeur est maintenue constante.
  3. Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante, ce qui suppose bien un intervalle.
  4. Six formes composées couvrent la plupart des primitives à trouver, et la vérification se fait en dérivant.
  5. L'intégration par parties vient de la dérivée d'un produit, le changement de variable exige de changer aussi les bornes.
Pourquoi ce chapitre

Ce chapitre a pour but de consolider les règles de dérivation et de mettre en place quelques techniques de primitivation, afin de pouvoir résoudre des équations différentielles et de suivre les calculs faits en sciences physiques.

RemarqueAspects théoriques

Le lien entre primitive et intégrale est admis à ce stade. L'intégrale est interprétée en termes d'aire.

  • Les propriétés de l'intégrale seront établies plus tard dans l'année.
  • La théorie du changement de variable est également reportée.

ExempleUsages en sciences

  • Une vitesse de réaction est une dérivée.
  • Une quantité de matière accumulée est une intégrale.
  • Un travail est une intégrale de force.
  • Une dérivée partielle apparaît dès qu'une grandeur dépend de deux variables comme la pression et la température.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Primitives par reconnaissance 3

Exercice 4 ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Donner une primitive, sur un intervalle à préciser, de : (a) x(1+x2)2\dfrac{x}{(1 + x^2)^2}, (b) ex1+ex\dfrac{e^x}{1 + e^x}, (c) sin⁡xcos⁡x\sin x \cos x, (d) x1+x2\dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}}.

Voir l'indice

Technique reconnaissance des six formes avec ajustement de constante.

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Résultat

sur R\R, (a) −12(1+x2)-\frac{1}{2(1 + x^2)}, (b) ln⁡(1+ex)\ln(1 + \e^x), (c) sin⁡2x2\frac{\sin^2 x}{2}, (d) 1+x2\sqrt{1 + x^2}.

  1. (a) Sur R\R, x(1+x2)2=12u′u−2\frac{x}{(1 + x^2)^2} = \frac{1}{2} u'u^{-2} avec u=1+x2u = 1 + x^2, donc 12×u−1−1=−12(1+x2)‾\underline{\frac{1}{2} \times \frac{u^{-1}}{-1} = -\frac{1}{2(1 + x^2)}} (forme u′unu'u^n).
  2. (b) Sur R\R, ex1+ex=u′u\frac{\e^x}{1 + \e^x} = \frac{u'}{u} avec u=1+ex>0u = 1 + \e^x > 0, donc ln⁡(1+ex)\ln(1 + \e^x) (forme u′/uu'/u).
  3. (c) Sur R\R, sin⁡xcos⁡x=u′u\sin x \cos x = u'u avec u=sin⁡xu = \sin x, donc sin⁡2x2\frac{\sin^2 x}{2} (forme u′uu'u).
  4. (d) Sur R\R, x1+x2=12u′u\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{1}{2} \frac{u'}{\sqrt u} avec u=1+x2u = 1 + x^2, donc 1+x2\sqrt{1 + x^2} (forme u′/uu'/\sqrt u).

piège : En (a), appliquer la forme u′/uu'/u, alors que l'exposant −2-2 relève de u′unu'u^n. Ou oublier le facteur 12\frac{1}{2}.

Exercice 1 ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Montrer que f(x)=ln⁡(x+x2+1)f(x) = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) est définie et dérivable sur R\mathbb{R}, et calculer f′f'. En déduire une primitive de 1x2+1\dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}.

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Exercice 2 ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Démontrer tan⁡′=1+tan⁡2\tan' = 1 + \tan^2 sur ]−π2,π2[\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[. En déduire une primitive de tan⁡2\tan^2 sur cet intervalle.

Voir le début du corrigé
  1. Sur ]−π/2,π/2[\intoo{-\pi/2}{\pi/2}, cos⁡\cos ne s'annule pas, donc tan⁡′=cos⁡2+sin⁡2cos⁡2=1+tan⁡2‾\underline{\tan' = \frac{\cos^2 + \sin^2}{\cos^2} = 1 + \tan^2} (formule du quotient).

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Dérivées partielles 1

Exercice 3 ★

Application du cours · 10 min · Khôlle, lien avec la physique

Pour une mole de gaz de Van der Waals, P(V,T)=RTV−b−aV2P(V, T) = \dfrac{RT}{V - b} - \dfrac{a}{V^2} avec a,b>0a, b > 0 et V>bV > b. Calculer ∂P∂T\dfrac{\partial P}{\partial T} et ∂P∂V\dfrac{\partial P}{\partial V}. Vérifier que pour un gaz parfait (a=b=0a = b = 0), V∂P∂V=−PV \dfrac{\partial P}{\partial V} = -P.

Voir le début du corrigé
  1. À VV fixé, seul le premier terme dépend de TT, donc ∂P∂T=RV−b‾\underline{\frac{\partial P}{\partial T} = \frac{R}{V - b}}.

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Intégration par parties 3

Exercice 5. Intégration par parties ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Calculer l'intégrale ∫01x2ex dx\displaystyle\int_0^1 x^2 e^x \, dx.

Voir le début du corrigé
  1. ∫01x2ex dx=[x2ex]01−2∫01xex dx=e−2∫01xex dx\int_0^1 x^2 \e^x \,\dd x = \big[x^2 \e^x\big]_0^1 - 2 \int_0^1 x \e^x \,\dd x = \e - 2 \int_0^1 x \e^x \,\dd x (IPP, x2x^2 dérivé en 2x2x, ex\e^x primitivé en ex\e^x).

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Exercice 6. Intégrale de eˣ sin x ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type écrit Agro-Véto

Calculer I=∫0πexsin⁡x dxI = \displaystyle\int_0^{\pi} e^x \sin x \, dx.

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Exercice 7 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit G2E

Pour nn entier naturel, on pose In=∫01xne−x dxI_n = \displaystyle\int_0^1 x^n e^{-x} \, dx. Calculer I0I_0, montrer que In+1=(n+1)In−1eI_{n+1} = (n + 1) I_n - \dfrac{1}{e}, puis calculer I1I_1 et I2I_2.

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Changement de variable 3

Exercice 8 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit Agro-Véto

À l'aide du changement de variable x=sin⁡tx = \sin t, calculer l'intégrale ∫011−x2 dx\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1 - x^2} \, dx. Interpréter.

Voir le début du corrigé
  1. Soit x=sin⁡tx = \sin t. x=0x = 0 pour t=0t = 0, x=1x = 1 pour t=π/2t = \pi/2, et dx=cos⁡t dt\dd x = \cos t \,\dd t.

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Exercice 9 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type écrit G2E

Calculer l'intégrale ∫01dx1+ex\displaystyle\int_0^1 \dfrac{dx}{1 + e^x}, d'abord par une astuce algébrique, puis avec u=exu = e^x.

Voir le début du corrigé
  1. Astuce : 11+ex=1−ex1+ex\frac{1}{1 + \e^x} = 1 - \frac{\e^x}{1 + \e^x}, de primitive x−ln⁡(1+ex)x - \ln(1 + \e^x), donc ∫01dx1+ex=1−ln⁡(1+e)+ln⁡2‾\underline{\int_0^1 \frac{\dd x}{1 + \e^x} = 1 - \ln(1 + \e) + \ln 2}.

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Exercice 10 ★★★

Approfondissement · 25 min · Type oral, plus délicat

On pose I=∫0π/2sin⁡xsin⁡x+cos⁡x dxI = \displaystyle\int_0^{\pi/2} \dfrac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx et JJ la même intégrale avec cos⁡x\cos x au numérateur. À l'aide du changement de variable x=π2−tx = \dfrac{\pi}{2} - t, montrer que I=JI = J et en déduire II.

Voir le début du corrigé
  1. Sur [0,π/2]\intff{0}{\pi/2}, sin⁡\sin et cos⁡\cos sont positifs et ne s'annulent pas simultanément, donc sin⁡x+cos⁡x>0\sin x + \cos x > 0.

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Décomposition et modèle logistique 1

Exercice 11 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type écrit Agro-Véto, lien avec la biologie

Soient r>0r > 0 et K>0K > 0. (a) Vérifier que pour 0<N<K0 < N < K, 1N(1−N/K)=1N+1K−N\dfrac{1}{N(1 - N/K)} = \dfrac{1}{N} + \dfrac{1}{K - N}, et en déduire une primitive de N↦1N(1−N/K)N \mapsto \dfrac{1}{N(1 - N/K)} sur ]0,K[\left]0, K\right[. (b) Pour A>0A > 0, montrer que N(t)=K1+Ae−rtN(t) = \dfrac{K}{1 + A e^{-rt}} vérifie N′=rN(1−N/K)N' = rN(1 - N/K).

Voir le début du corrigé
  1. (a) 1N+1K−N=KN(K−N)=1N(1−N/K)\frac{1}{N} + \frac{1}{K - N} = \frac{K}{N(K - N)} = \frac{1}{N(1 - N/K)} (réduction au même dénominateur).

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de BCPST première année (2021), partie « Analyse 3 : Calculs de dérivées, de primitives et d'intégrales ». Elle couvre les règles de dérivation, les dérivées partielles d'une fonction de deux variables, les primitives usuelles, l'intégration par parties et le changement de variable.