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BCPST1 · Maths · semaine 22

Limites et continuité des fonctions réelles

Limite d'une fonction en un point ou à l'infini, limites à droite et à gauche, opérations et composition. Croissances comparées, fonctions équivalentes et usage des équivalents pour lever des indéterminations. Continuité, prolongement par continuité, théorème des valeurs intermédiaires et théorème de la bijection.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Les théorèmes sur les limites de fonctions reprennent ceux des suites :
    • opérations ;
    • encadrement ;
    • passage à la limite dans les inégalités larges ;
    • limite monotone.
  2. L'exponentielle l'emporte sur la puissance, qui l'emporte sur le logarithme. Les équivalents servent aux produits et aux quotients, jamais aux sommes ni aux compositions.
  3. Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes. Ce résultat est admis, et ses deux hypothèses sont indispensables.
  4. Le théorème des valeurs intermédiaires donne l'existence d'une solution, la stricte monotonie donne l'unicité. Sa démonstration par dichotomie est aussi un algorithme de calcul approché.
  5. Une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle y réalise une bijection sur un intervalle image, et sa réciproque est continue et de même sens de variation. La fonction arctangente en est l'exemple du programme.
Pourquoi ce chapitre

Ce chapitre est le pendant continu du chapitre sur les suites. Les théorèmes s'y répondent presque un à un, ce qui aide à les retenir.

RemarqueThéorème des valeurs intermédiaires

Le théorème des valeurs intermédiaires garantit l'existence d'une solution à une équation sans la calculer. C'est ce qui justifie, en chimie, qu'un bilan de matière admet une solution physiquement acceptable, et c'est le fondement de l'algorithme de dichotomie.

ExempleCourbe d'étalonnage

Le théorème de la bijection permet de renverser une relation. Une courbe d'étalonnage relie une concentration à une absorbance. C'est la stricte monotonie et la continuité qui autorisent à lire la courbe à l'envers, donc à déduire la concentration d'une mesure d'absorbance.

RemarqueAttendus du programme

Le programme demande de présenter la définition d'une limite avec ε\varepsilon et α\alpha, mais précise que les détails techniques ne sont pas un attendu. L'objectif est opératoire :

  • savoir énoncer les théorèmes avec leurs hypothèses exactes ;
  • savoir les appliquer.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Calcul de limites 4

Exercice 1 ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Trouver les limites suivantes. (a) xln⁡x\sqrt{x} \ln x en 0+0^+. (b) x2exp⁡(−x)x^2 \exp(-\sqrt{x}) en +∞+\infty. (c) (ln⁡x)3x\dfrac{(\ln x)^3}{x} en +∞+\infty.

Voir l'indice

Technique se ramener aux deux familles de croissances comparées du programme.

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Résultat

(a) xln⁡x→0\sqrt{x}\ln x \to 0 en 0+0^+, (b) x2e−x→0x^2\e^{-\sqrt{x}} \to 0 en +∞+\infty, (c) (ln⁡x)3/x→0(\ln x)^3/x \to 0 en +∞+\infty.

  1. (a) xln⁡x=xα(ln⁡x)β\sqrt{x}\ln x = x^{\alpha}(\ln x)^{\beta} avec α=1/2\alpha = 1/2 et β=1\beta = 1, donc xln⁡x→0‾\underline{\sqrt{x}\ln x \to 0} (propriété 2.2, croissances comparées en zéro).
  2. (b) Soit t=x→+∞t = \sqrt{x} \to +\infty. Donc x2e−x=t4e−t→0‾\underline{x^2\e^{-\sqrt{x}} = t^4\e^{-t} \to 0} (propriété 2.3, croissances comparées à l'infini, propriété 1.9, composition).
  3. (c) Soit t=ln⁡x→+∞t = \ln x \to +\infty. Alors x=etx = \e^{t}, donc (ln⁡x)3/x=t3e−t→0‾\underline{(\ln x)^3/x = t^3\e^{-t} \to 0} (même propriété).

piège : Dire « le logarithme tend vers −∞-\infty donc le produit tend vers −∞-\infty » en (a). C'est une forme 0×∞0 \times \infty, qu'on ne tranche pas au signe.

Exercice 2. Forme indéterminée avec racine ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Trouver la limite de x2+x−x\sqrt{x^2 + x} - x en +∞+\infty, puis en −∞-\infty.

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Exercice 3 ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Trouver les limites en 00 de (a) (exp⁡(2x)−1)ln⁡(1+x)xsin⁡(3x)\dfrac{(\exp(2x) - 1) \ln(1 + x)}{x \sin(3x)} et de (b) 1+x−1sin⁡(2x)\dfrac{\sqrt{1 + x} - 1}{\sin(2x)}.

Voir le début du corrigé
  1. (a) e2x−1∼2x\e^{2x} - 1 \sim 2x, ln⁡(1+x)∼x\ln(1 + x) \sim x et sin⁡(3x)∼3x\sin(3x) \sim 3x (équivalents usuels composés avec les limites, propriété 2.7, équivalents usuels en zéro).

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Exercice 6. Limite avec partie entière ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Montrer que x E(1/x)x\,E(1/x) tend vers 11 quand xx tend vers 00, où EE désigne la partie entière.

Voir le début du corrigé
  1. Pour tout réel uu, u−1<E(u)⩽uu - 1 < E(u) \leqslant u (propriété 3.2, encadrement), appliqué à u=1/xu = 1/x.

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Existence de limite 1

Exercice 4 ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Montrer que x↦cos⁡(1/x)x \mapsto \cos(1/x) n'a pas de limite en 0+0^+. Montrer en revanche que x↦xcos⁡(1/x)x \mapsto x \cos(1/x) tend vers 00.

Voir le début du corrigé
  1. Soit xn=12nπx_n = \frac{1}{2n\pi} et yn=12nπ+πy_n = \frac{1}{2n\pi + \pi} pour n⩾1n \geqslant 1. …

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Prolongement par continuité 1

Exercice 5 ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Étudier le prolongement par continuité en 00 de f(x)=xxf(x) = x^x, définie sur ]0,+∞[]0, +\infty[, puis celui de g(x)=sin⁡(x)∣x∣g(x) = \dfrac{\sin(x)}{|x|}.

Voir le début du corrigé
  1. f(x)=exln⁡x‾\underline{f(x) = \e^{x\ln x}} et xln⁡x→0x\ln x \to 0 en 0+0^+ (croissances comparées, propriété 2.2, croissances comparées en zéro).

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Équation à racine unique 2

Exercice 7 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Écrit, type Agro-Véto

Montrer que l'équation x=exp⁡(−x)x = \exp(-x) a une unique solution réelle α\alpha. Localiser α\alpha dans ]0,1[]0, 1[, puis donner le nombre d'étapes de dichotomie nécessaires pour obtenir α\alpha à 10−310^{-3} près.

Voir le début du corrigé
  1. Soit f(x)=x−e−xf(x) = x - \e^{-x}, continue et strictement croissante sur R\R (somme de deux fonctions strictement croissantes).

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Exercice 8 ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Écrit, type Agro-Véto

Pour n≥1n \geq 1, on pose fn(x)=xn+x−1f_n(x) = x^n + x - 1. (a) Montrer que fnf_n a une unique racine unu_n dans [0,1][0, 1]. (b) Montrer que la suite (un)(u_n) est croissante. (c) Montrer qu'elle tend vers 11.

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Fonctions réciproques 2

Exercice 11 ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Calculer arctan⁡(1)\arctan(1), arctan⁡(3)\arctan(\sqrt{3}) et arctan⁡(−1)\arctan(-1). Montrer que arctan⁡(x)+arctan⁡(1/x)=π2\arctan(x) + \arctan(1/x) = \dfrac{\pi}{2} pour x>0x > 0, et en déduire la valeur de cette somme pour x<0x < 0.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 9 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Écrit, type G2E

On pose f(x) = x + ln x sur ]0, +∞[. (a) Montrer que f est une bijection de ]0, +∞[ sur R. On note g sa réciproque. (b) Calculer g(1) et les limites de g. (c) Montrer que g(y) ~ y en +∞.

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Valeurs intermédiaires 1

Exercice 10 ★★★

Approfondissement · 30 min · Écrit plus délicat, d'après un classique d'oral X-ENS

Soit f continue sur [0, 1] avec f(0) = f(1). Montrer qu'il existe c dans [0, 1/2] tel que f(c + 1/2) = f(c).

Voir le début du corrigé
  1. Soit g(x)=f(x+1/2)−f(x)g(x) = f(x + 1/2) - f(x) sur [0,1/2][0, 1/2], bien définie et continue (composition et différence, propriété 3.3, opérations sur les fonctions continues).

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Fiche rédigée à partir du programme officiel de BCPST première année (2021), partie « Analyse 6 : Limites, continuité des fonctions réelles ». Elle couvre les limites et leurs opérations, les croissances comparées et les équivalents, la continuité, le théorème des valeurs intermédiaires, le théorème de la bijection et la fonction arctangente.