Dérivation des fonctions réelles

Exercice 1 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Soit $f(x) = x^2 \sin(1/x)$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = 0$. Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ mais pas de classe $C^1$.

Exercice 9 ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Écrit, plus délicat

Soit $f$ continue sur $[a, b]$, dérivable sur $]a, b]$, avec $f'(x)$ qui tend vers $\ell$ réel quand $x$ tend vers $a$ par la droite. Montrer que $f$ est dérivable à droite en $a$ et $f'(a) = \ell$. Application : $f(x) = e^{-1/x}$ pour $x > 0$, $f(0) = 0$.

Exercice 2 ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Retrouver la dérivée de $\arctan$, puis montrer que $\arctan x + \arctan(1/x) = \pi/2$ pour $x > 0$. Que vaut la somme pour $x < 0$ ?

Exercice 3. Montrer que (2/π)x ≤ sin x ≤ x sur [0, π/2] ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Exercice 4 ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Khôlle vers écrit

Montrer que $\frac{1}{x + 1} < \ln(x + 1) - \ln x < \frac{1}{x}$ pour $x > 0$. En déduire un équivalent de $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$.

Exercice 5 ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Écrit, type Agro-Véto

On pose $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \cos(u_n)$. Montrer que $\cos x = x$ a une unique solution $\ell$ dans $[0, 1]$, que $u_n \in [0, 1]$, puis que $|u_{n+1} - \ell| \leq \sin(1)\,|u_n - \ell|$, et conclure.

Exercice 6 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Un polynôme réel $P$ de degré $n \geq 2$ a $n$ racines réelles distinctes. Montrer que $P'$ a exactement $n - 1$ racines réelles distinctes.

Exercice 7 ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type oral Agro-Véto

Soit f continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[, avec f(a) = f(b) = 0. Montrer qu'il existe c dans ]a, b[ tel que f′(c) = f(c).

Exercice 8. Réfraction et principe de Fermat ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Écrit, type G2E

Un rayon va de $A = (0, a)$ à $B = (d, -b)$, avec $a, b, d > 0$, à la vitesse $v_1$ au-dessus de l'axe et $v_2$ en dessous.

Il le traverse en $(x, 0)$ et met $$\begin{aligned} T(x) &= \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_1} \\ &\quad + \frac{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}{v_2}. \end{aligned}$$ Montrer que $T$ a un unique minimum, où $$\frac{\sin(i_1)}{v_1} = \frac{\sin(i_2)}{v_2},$$ avec $$\sin(i_1) = \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}$$ et $$\sin(i_2) = \frac{d - x}{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}.$$ KLOCALFIGURE0TOKEN

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 10. Solutions de ln x = ax ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Écrit, type Agro-Véto

Selon le réel $a$, combien l'équation $$\ln x = ax$$ a-t-elle de solutions sur $]0, +\infty[$ ?

Exercice HP. Une dérivée oscillante et des points stationnaires ★★★

Approfondissement hors programme

Approfondissement facultatif · hors programme en BCPST1

Soit $a\in\R$. On définit $g_a:\R\to\R$ par $g_a(0)=0$ et, pour $x\ne0$, $$g_a(x)=ax+x^2\sin(1/x).$$ Un point stationnaire désigne un point où la dérivée s’annule.

1. Démontrer que $g_a$ est dérivable sur $\R$, calculer sa dérivée et montrer que celle-ci est discontinue en zéro.
2. Démontrer que, pour tout $\varepsilon>0$ et tout $\lambda\in[a-1,a+1]$, il existe $x\in]0,\varepsilon[$ tel que $g_a'(x)=\lambda$. On pourra utiliser le théorème de Darboux établi dans le cours.
3. En déduire que, si $|a|\leq1$, il existe une suite strictement décroissante de points stationnaires positifs qui converge vers zéro.
4. Montrer que, quel que soit $a\in\R$, la fonction $g_a$ n’a pas d’extremum local en zéro.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.