Le cours

Résumé en cinq points

Dans une base d'un espace de dimension $n$ , il existe une unique forme $n$ -linéaire alternée valant 1 sur cette base, c'est le déterminant, et toute forme $n$ -linéaire alternée en est un multiple.
Déterminant non nul équivaut à famille libre, à base, à endomorphisme bijectif, à matrice inversible.
Le déterminant est multiplicatif, $\det(AB) = \det A\,\det B$ , mais ne respecte pas l'addition.
$\det(\lambda A) = \lambda^n \det A$ , $\det(A^{-1}) = 1/\det A$ , et le déterminant de la transposée égale le déterminant, ce dernier point étant admis.
On calcule par opérations élémentaires jusqu'à une forme triangulaire, ou par développement selon la ligne ou la colonne la plus creuse.

Pourquoi ce chapitre

Le déterminant est un nombre attaché à une famille de $n$ vecteurs dans un espace de dimension $n$ , à un endomorphisme, ou à une matrice carrée. Il répond à une question unique : la famille est-elle une base, l'application est-elle bijective, la matrice est-elle inversible.

La réponse est toujours la même : oui si et seulement si le déterminant est non nul.
C'est un critère scalaire, donc utilisable dans une discussion avec paramètre, ce que le rang ne permet pas aussi commodément.
Il a un sens géométrique, aire orientée en dimension 2 et volume orienté en dimension 3, qui éclaire toutes ses propriétés.
En deuxième année, il servira à définir le polynôme caractéristique et à réduire les endomorphismes.

1Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base

1.1Formes n-linéaires alternées

Définition 1.1Application $n$ -linéaire alternée

Une application $f$ de $E^n$ dans $\K$ est linéaire par rapport à chaque variable, ou $n$ -linéaire, si pour chaque indice $i$ , en figeant les $n-1$ autres vecteurs, l'application obtenue en faisant varier le $i$ -ième est linéaire. Elle est alternée si elle s'annule dès que deux des vecteurs sont égaux.

Propriété 1.2Conséquences de l'alternance

Soit $f$ une application $n$ -linéaire alternée.

$f$ change de signe quand on échange deux variables : on dit qu'elle est antisymétrique.
Ajouter à un vecteur une combinaison linéaire des autres ne change pas la valeur de $f$ .

Démonstration

Pour l'antisymétrie, on développe $f$ sur une famille où deux positions contiennent $x + y$ et on utilise les annulations. Pour la seconde propriété, les termes ajoutés font apparaître deux vecteurs égaux.

La notion générale de forme multilinéaire est hors programme, on se limite à ce cadre.

1.2Théorème fondamental

Théorème 1.3Déterminant dans une base

Hypothèses

$E$ est de dimension $n$ ;
$e$ est une base de $E$ .

Alors il existe une unique application $\det_e : E^n \to \K$ , linéaire par rapport à chaque variable, alternée, et telle que $\det_e(e) = 1$ . On l'appelle déterminant dans la base $e$ .

Résultat admis.

Théorème 1.4Forme $n$ -linéaire alternée

Hypothèses

$f$ est $n$ -linéaire alternée sur $E^n$ ;
$e$ est une base de $E$ .

Alors $f$ est un multiple de $\det_e$ , précisément $f = f(e)\,\det_e.$

C'est le résultat qui sert dans la plupart des démonstrations du chapitre : il ramène toute question à une vérification sur une base.

1.3Expressions en dimension 2 et 3

Propriété 1.5Dimension 2

Si $x$ a pour coordonnées $(a, c)$ et $y$ pour coordonnées $(b, d)$ dans la base $e$ , alors $\det_e(x, y) = ad - bc.$

Propriété 1.6Dimension 3

Si les coordonnées des trois vecteurs forment la matrice de colonnes $(a, d, g)$ , $(b, e, h)$ et $(c, f, i)$ , le déterminant vaut $\begin{aligned} &aei + bfg + cdh\\ &- ceg - bdi - afh. \end{aligned}$

MéthodeRègle de Sarrus

Recopier les deux premières colonnes à droite de la matrice.
Faire la somme des trois produits le long des diagonales descendantes.
Retrancher la somme des trois produits le long des diagonales montantes.

Attention

La règle de Sarrus ne vaut qu'en dimension 3. Il ne faut jamais tenter de l'étendre à l'ordre 4.

Interprétation géométrique :

dans $\R^2$ muni de la base canonique, la valeur absolue du déterminant de deux vecteurs est l'aire du parallélogramme qu'ils construisent, et le signe indique l'orientation ;
dans $\R^3$ , la valeur absolue du déterminant de trois vecteurs est le volume du parallélépipède associé ;
un déterminant nul signifie que le parallélogramme est aplati, donc que les vecteurs sont liés, ce qui rend le théorème du critère de base très naturel.

1.4Changement de base

Propriété 1.7Changement de base

Si $e$ et $e'$ sont deux bases de $E$ , alors $\det_{e'} = \det_{e'}(e)\,\det_e.$

En appliquant cette relation à la famille $e'$ elle-même, on obtient $\det_{e'}(e)\,\det_e(e') = 1$ . Ces deux nombres sont donc non nuls et inverses l'un de l'autre.

1.5Critère de base

Théorème 1.8Critère de base

Hypothèses

$(x_1, \dots, x_n)$ est une famille de $n$ vecteurs de $E$ ;
$e$ est une base de $E$ quelconque.

Alors $(x_1, \dots, x_n)$ est une base si et seulement si $\det_e(x_1, \dots, x_n) \neq 0$ . Cela vaut pour une base $e$ quelconque, donc pour toutes.

Démonstration

Si la famille est liée, un vecteur est combinaison des autres, et par multilinéarité et caractère alterné le déterminant est nul. Si la famille est une base, le changement de base ci-dessus montre que le déterminant est non nul, puisque son produit avec un autre déterminant vaut 1.

Exemple 1.9Famille libre et famille liée

Les vecteurs $(1, 2)$ et $(3, 4)$ de $\R^2$ forment une base, car $1 \times 4 - 3 \times 2 = -2$ est non nul.
Les vecteurs $(1, 2, 3)$ , $(2, 4, 6)$ et $(0, 1, 1)$ sont liés : le déterminant vaut $0$ puisque la deuxième colonne est le double de la première.

2Déterminant d'un endomorphisme

2.1Définition

Définition 2.1Déterminant d'un endomorphisme

Soit $u$ un endomorphisme de $E$ de dimension $n$ . L'application qui à $(x_1, \dots, x_n)$ associe $\det_e(u(x_1), \dots, u(x_n))$ est $n$ -linéaire alternée. Elle est donc un multiple de $\det_e$ , et ce multiple ne dépend pas de la base choisie. On l'appelle déterminant de $u$ , noté $\det u$ .

Ainsi, pour toute famille de $n$ vecteurs, $\det_e(u(x_1), \dots, u(x_n)) = \det(u)\,\det_e(x_1, \dots, x_n).$

Cette définition est intrinsèque, elle ne dépend d'aucune base.

Exemple 2.2Cas simples

Le déterminant de l'identité vaut $1$ , celui d'une homothétie de rapport $\lambda$ vaut $\lambda^n$ .

2.2Composée et automorphismes

Théorème 2.3Déterminant d'une composée

Pour tous endomorphismes $u$ et $v$ de $E$ : $\det(v \circ u) = \det(v)\,\det(u).$

Démonstration

On applique la relation de définition deux fois de suite à une base $e$ , en évaluant $\det_e$ des images par $v \circ u$ .

Théorème 2.4Caractérisation des automorphismes

L'endomorphisme $u$ est un automorphisme si et seulement si $\det u \neq 0$ , et dans ce cas $\det(u^{-1}) = \frac{1}{\det(u)}.$

La caractérisation vient du critère de base : $u$ est bijectif si et seulement si l'image d'une base est une base. La formule de l'inverse vient de $\det(u)\det(u^{-1}) = \det(\mathrm{id}) = 1$ .

3Déterminant d'une matrice carrée

3.1Définition et premières propriétés

Définition 3.1Déterminant d'une matrice

Le déterminant d'une matrice $A$ de $\mathcal{M}_n(\K)$ est le déterminant de la famille de ses colonnes dans la base canonique de $\K^n$ . C'est aussi le déterminant de l'endomorphisme canoniquement associé à $A$ . On le note $\det A$ .

Le déterminant est $n$ -linéaire alterné par rapport aux colonnes. En particulier, multiplier une colonne par $\lambda$ multiplie le déterminant par $\lambda$ .

Propriété 3.2Déterminant de $\lambda A$

Pour toute matrice $A$ de $\mathcal{M}_n(\K)$ et tout scalaire $\lambda$ : $\det(\lambda A) = \lambda^n \det A.$

Attention

L'exposant $n$ est une source classique d'erreurs.

3.2Produit, inverse, transposée

Propriété 3.3Produit et inverse

Pour toutes matrices $A$ et $B$ de $\mathcal{M}_n(\K)$ : $\det(AB) = \det(A)\,\det(B).$ $A$ est inversible si et seulement si $\det A \neq 0$ , et alors $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}.$

Attention

Il n'existe aucune formule pour $\det(A + B)$ .

Propriété 3.4Transposée

Pour toute matrice $A$ carrée, $\det(A^{\top}) = \det(A)$ .

La démonstration est hors programme. Conséquence pratique : toutes les propriétés énoncées sur les colonnes valent aussi sur les lignes.

Propriété 3.5Matrices semblables

Deux matrices semblables ont le même déterminant.

Démonstration

$\det(P^{-1}AP) = \det(P^{-1})\det(A)\det(P) = \det(A)$ .

Le déterminant est un invariant de similitude, ce qui rend cohérente la définition du déterminant d'un endomorphisme via n'importe quelle base.

4Calcul pratique

4.1Effet des opérations élémentaires

Propriété 4.1Opérations élémentaires

Échanger deux lignes ou deux colonnes change le déterminant en son opposé.
Multiplier une ligne ou une colonne par $\lambda$ multiplie le déterminant par $\lambda$ .
Ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne ne change pas le déterminant, et de même pour les colonnes.

On se ramène par pivot à une matrice triangulaire, en notant soigneusement chaque échange et chaque multiplication.

Attention

Quand on met un facteur en facteur sur une ligne, il sort une seule fois, pas $n$ fois. Quand on multiplie toute la matrice par $\lambda$ , il sort $n$ fois.

4.2Matrices triangulaires

Propriété 4.2Matrice triangulaire

Le déterminant d'une matrice triangulaire, supérieure ou inférieure, est le produit de ses coefficients diagonaux. En particulier le déterminant d'une matrice diagonale est le produit de la diagonale.

On retrouve ainsi la condition d'inversibilité des matrices triangulaires.

4.3Développement selon une ligne ou une colonne

Définition 4.3Cofacteur

On note $A_{i,j}$ la matrice obtenue en supprimant la ligne $i$ et la colonne $j$ de $A$ . Le cofacteur associé est $(-1)^{i+j}\det(A_{i,j}).$

Propriété 4.4Développement

Selon la $j$ -ième colonne : $\det A$ est la somme, pour $i$ variant de $1$ à $n$ , des $a_{i,j}$ multipliés par leur cofacteur.
Selon la $i$ -ième ligne : formule analogue en sommant sur $j$ .

La démonstration n'est pas exigible. La comatrice est hors programme.

Le signe $(-1)^{i+j}$ se retient avec le damier : un signe plus en haut à gauche, puis alternance.

MéthodeChoisir le développement

Choisir la ligne ou la colonne qui contient le plus de zéros.
Au besoin, créer d'abord des zéros par opérations élémentaires.
Développer.

Développer bêtement un déterminant d'ordre 4 donne 24 produits, alors qu'un pivot préalable ramène le calcul à quelques lignes.

Exemple 4.5Développement d'un déterminant d'ordre 3

Soit la matrice de $\mathcal{M}_3(\R)$ de lignes $(1, 2, 3)$ , $(0, 1, 4)$ , $(5, 6, 0)$ . On développe selon la première colonne : $\begin{aligned} \det A &= 1\cdot\begin{vmatrix}1 & 4\\ 6 & 0\end{vmatrix}\\ &\quad + 5\cdot\begin{vmatrix}2 & 3\\ 1 & 4\end{vmatrix}\\ &= -24 + 25 = 1. \end{aligned}$ Le signe devant le terme en $5$ est plus, puisque $i + j = 4$ . La matrice est donc inversible.

4.4Déterminants classiques d'ordre 2 et 3

Propriété 4.6Ordre 2 et inverse

Pour la matrice d'ordre 2 de lignes $(a, b)$ et $(c, d)$ , le déterminant vaut $ad - bc$ . Si elle est inversible, $A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}.$

À retenir

L'inverse d'une matrice d'ordre 2 s'obtient en échangeant $a$ et $d$ , en changeant les signes de $b$ et $c$ , et en divisant par $ad - bc$ . À connaître par cœur.

Méthodes

MéthodeSavoir si une famille de $n$ vecteurs de $\K^n$ est une base

Écrire la matrice de la famille.
Calculer son déterminant.
S'il est non nul, c'est une base.

MéthodeDiscuter selon un paramètre

Calculer le déterminant en fonction du paramètre.
Le factoriser.
Lire les valeurs qui l'annulent : ce sont les cas particuliers à traiter séparément, par exemple pour savoir si un système a une solution unique.

MéthodeCalculer un déterminant d'ordre supérieur à 3

Ne jamais développer tout de suite.
Chercher des zéros par opérations élémentaires.
Chercher une structure : lignes dont la somme est constante, colonnes proportionnelles, forme triangulaire par blocs.

MéthodeMontrer qu'un déterminant est nul

Chercher une relation linéaire entre les lignes ou les colonnes.

MéthodeProuver qu'une matrice est inversible

Calculer le déterminant, souvent le chemin le plus court, sans calculer l'inverse.

MéthodeVérifier un résultat

Tester sur un cas particulier simple, l'identité ou une matrice diagonale, où le résultat est évident.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Énoncer précisément le théorème d'existence et d'unicité du déterminant dans une base, en sachant qu'il est admis.
Démontrer qu'une famille est liée si et seulement si son déterminant dans une base est nul.
Démontrer que $\det(v \circ u) = \det(v)\det(u)$ à partir de la caractérisation des formes $n$ -linéaires alternées.
Justifier que le déterminant d'un endomorphisme ne dépend pas de la base choisie.
Calculer un déterminant d'ordre 3 de deux façons, par Sarrus et par développement.
Calculer un déterminant d'ordre 4 en créant des zéros par opérations élémentaires, en justifiant chaque étape.
Discuter l'inversibilité d'une matrice dépendant d'un paramètre réel.
Donner sans hésiter $\det(\lambda A)$ , $\det(A^{-1})$ , $\det(A^{\top})$ , et rappeler qu'il n'y a pas de formule pour $\det(A + B)$ .

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Existence et unicité, pour une base e de E, d'une forme det_e sur Eⁿ, linéaire par rapport à chaque variable, alternée, avec det_e(e) = 1. Admis, démonstration hors programme.
Toute application f de Eⁿ dans K, linéaire par rapport à chaque variable et alternée, vérifie f = f(e) det_e. Exigible, et la preuve se déduit en deux lignes de l'unicité.
Une forme n-linéaire alternée est antisymétrique. Elle ne change pas si on ajoute à un vecteur une combinaison linéaire des autres. Exigible avec démonstration.
Expression de det_e en dimension 2 et 3 en fonction des coordonnées. Interprétation dans R² et R³ comme aire orientée et volume orienté. Exigible.
Pour deux bases e et e', det_e' = det_e'(e) det_e. Exigible avec démonstration.
Une famille de n vecteurs de E est une base si et seulement si son déterminant dans une base e est non nul. Exigible avec démonstration.
Définition du déterminant d'un endomorphisme, indépendante de la base. Exigible avec démonstration.
det(v ∘ u) = det v × det u. Exigible avec démonstration.
u est un automorphisme si et seulement si det u ≠ 0, et alors det(u⁻¹) = 1/det u. Exigible avec démonstration.
Pour A et B dans M_n(K), det(AB) = det A × det B et det(λA) = λⁿ det A. Exigible.
A est inversible si et seulement si det A ≠ 0, et alors det(A⁻¹) = 1/det A. Exigible.
Deux matrices semblables ont le même déterminant. Exigible.
det de la transposée égale det A. Admis, démonstration hors programme.
Effet des opérations élémentaires sur les lignes et sur les colonnes. Exigible.
Développement selon une ligne ou une colonne. Énoncé exigible, démonstration non exigible.
Le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit des coefficients diagonaux. Exigible, par récurrence et développement.
Hors programme, à signaler si un exercice les utilise : la comatrice, les formules de Cramer, la formule générale avec les permutations, le déterminant par blocs (à redémontrer si on s'en sert).

Clés de démonstration

Multiple de det_e. Si f(e) ≠ 0, la forme f/f(e) est n-linéaire alternée et vaut 1 sur e, donc c'est det_e par unicité. Si f(e) = 0, la forme f + det_e vaut 1 sur e, donc elle égale det_e, et f = 0. Astuce : on se ramène à la normalisation, puis on traite à part le cas où l'on ne peut pas diviser.

Antisymétrie. On écrit que f s'annule quand on place x + y en positions i et j. On développe en quatre termes, dont deux sont nuls car ils contiennent deux vecteurs égaux. Il reste f(…, x, …, y, …) + f(…, y, …, x, …) = 0. Astuce : un vecteur répété annule tout.

Changement de base. L'application det_e' est n-linéaire alternée, donc c'est un multiple de det_e, et le coefficient s'obtient en l'évaluant sur e. Astuce : c'est le théorème du multiple appliqué tel quel.

Critère de base. Si la famille est liée, un vecteur est combinaison des autres. On développe par linéarité, et chaque terme contient un vecteur répété, donc le déterminant est nul. Si la famille x est une base, on a det_e(x) × det_x(e) = det_x(x) = 1, donc det_e(x) ≠ 0. Astuce : une famille libre de n vecteurs en dimension n est une base.

Indépendance de det u. L'application (x₁, …, x_n) ↦ det_e(u(x₁), …, u(x_n)) est n-linéaire alternée, donc égale c_e det_e. Pour une autre base e', on multiplie par det_e'(e) et on trouve la même constante devant det_e'. Astuce : le facteur de changement de base apparaît des deux côtés et se simplifie.

Composée. On évalue det_e(v(u(e₁)), …, v(u(e_n))). On applique la définition à v avec la famille u(e), puis à u avec la famille e. On obtient det v × det u × det_e(e). Astuce : deux applications successives de la relation de définition.

Automorphismes. u est bijectif si et seulement si u(e) est une base, c'est-à-dire si et seulement si det_e(u(e)) = det u est non nul. Ensuite det u × det u⁻¹ = det(id) = 1. Astuce : critère de base et multiplicativité.

Triangulaire. Pour une matrice triangulaire supérieure, la première colonne vaut (a₁₁, 0, …, 0). On développe selon cette colonne, la sous-matrice restante est encore triangulaire, et on conclut par récurrence sur n. Astuce : pour une matrice triangulaire inférieure, on passe par la transposée.

Exemples et contre-exemples à connaître

det(2I_n) = 2ⁿ, et non 2. C'est le test le plus simple de la formule det(λA) = λⁿ det A.
Avec A = diag(1, 0) et B = diag(0, 1), on a det A = det B = 0 mais det(A + B) = 1. Le déterminant n'est pas additif.
La matrice de rotation d'angle θ a pour déterminant 1. Celle d'une réflexion du plan a pour déterminant −1. Une projection autre que l'identité a pour déterminant 0. C'est la lecture géométrique : conservation, renversement ou écrasement de l'aire.
La matrice antisymétrique de lignes (0, 1) et (−1, 0) a pour déterminant 1. En ordre impair, toute antisymétrique réelle ou complexe a un déterminant nul (exercice 5). La parité de n compte.
Une matrice nilpotente a un déterminant nul, puisque det(A)ᵖ = det(Aᵖ) = 0.
La matrice dont tous les coefficients valent 1 a un déterminant nul dès que n ≥ 2, car deux colonnes sont égales.
I₂ et la matrice de lignes (1, 1) et (0, 1) ont le même déterminant, 1, sans être semblables : la seule matrice semblable à I₂ est I₂. Le déterminant est un invariant de similitude, mais il ne la caractérise pas.
L'échange de deux vecteurs de base a pour déterminant −1, et l'homothétie de rapport λ a pour déterminant λⁿ.
AB et BA ont toujours le même déterminant, même quand AB ≠ BA.

Techniques du chapitre

Lignes de somme constante. On remplace la première colonne par la somme de toutes les colonnes, puis on factorise. Mini-exercice : la matrice de lignes (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2). Chaque ligne a pour somme 6. Après C₁ ← C₁ + C₂ + C₃, on factorise 6 et la première colonne devient (1, 1, 1). On fait L₂ − L₁ et L₃ − L₁, il reste 6 × ((1)(−1) − (−2)(−1)) = −18.

Pivot jusqu'à une forme triangulaire. On note chaque opération et son effet. Mini-exercice : la matrice d'ordre 4 de coefficient min(i, j). On fait L₄ − L₃, puis L₃ − L₂, puis L₂ − L₁, dans cet ordre, en partant du bas. On obtient une matrice triangulaire supérieure de diagonale (1, 1, 1, 1), donc un déterminant égal à 1.

Relation de récurrence pour un ordre n. On développe selon la première ligne, puis on redéveloppe le second mineur selon sa première colonne. Mini-exercice : D_n, tridiagonal avec 2 sur la diagonale et −1 juste au-dessus et juste au-dessous. On obtient D_n = 2D_n−1 − D_n−2, avec D₁ = 2 et D₂ = 3. Donc D_n − D_n−1 = 1, et D_n = n + 1.

Repérer une relation linéaire. On cherche une combinaison nulle des colonnes. Mini-exercice : la matrice de lignes (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9). On a C₁ − 2C₂ + C₃ = 0, donc le déterminant est nul, sans aucun calcul.

Base adaptée pour un endomorphisme. On choisit une base où la matrice est diagonale ou triangulaire. Mini-exercice : s, symétrie de R³ par rapport à un plan P parallèlement à une droite D. Dans une base formée d'une base de P et d'un vecteur de D, la matrice est diag(1, 1, −1), donc det s = −1.

Multiplicativité comme contrainte. On passe une égalité matricielle au déterminant. Mini-exercice : s'il existe A dans M_n(R) avec A² = −I_n, alors det(A)² = (−1)ⁿ. Un carré de réel est positif, donc n est pair.

Aire par déterminant. Mini-exercice : le triangle de sommets A(1, 0), B(3, 1), C(2, 4). On calcule det(AB, AC) = 2 × 4 − 1 × 1 = 7, donc l'aire vaut 7/2.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Inversibilité avec paramètre

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Pour m réel, soit A_m la matrice de lignes (m, 1, 1), (1, m, 1), (1, 1, m). Pour quelles valeurs de m est-elle inversible ? Donner son rang dans les autres cas.

Technique somme des lignes constante, puis factorisation.

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Chaque ligne a pour somme m + 2. On fait C₁ ← C₁ + C₂ + C₃ et on factorise m + 2. 2. La première colonne devient (1, 1, 1). Les opérations L₂ − L₁ et L₃ − L₁ donnent les lignes (0, m − 1, 0) et (0, 0, m − 1). 3. Donc det A_m = (m + 2)(m − 1)². La matrice est inversible si et seulement si m ∉ {1, −2}. 4. Pour m = 1, toutes les colonnes sont égales et non nulles, le rang vaut 1. 5. Pour m = −2, le déterminant extrait de lignes (−2, 1) et (1, −2) vaut 3, qui est non nul. Les deux premières colonnes sont donc libres, et le rang vaut 2.

piège : Développer brutalement, obtenir un polynôme de degré 3, puis peiner à le factoriser.

Exercice 2. Le déterminant « a sur la diagonale, b ailleurs »

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Calculer le déterminant de la matrice d'ordre n ≥ 2 dont les coefficients diagonaux valent a et les autres valent b.

Technique somme des colonnes, puis soustraction de la première ligne.

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Toutes les lignes ont pour somme a + (n − 1)b. On remplace C₁ par la somme des colonnes, puis on factorise. 2. La première ligne devient (1, b, …, b), et la ligne i devient (1, b, …, a, …, b), avec a en position i. 3. Pour i ≥ 2, l'opération L_i ← L_i − L₁ donne une ligne nulle sauf a − b en position i. 4. La matrice est triangulaire supérieure, de diagonale (1, a − b, …, a − b). Le déterminant vaut donc (a + (n − 1)b)(a − b)ⁿ⁻¹.

piège : Oublier que le facteur a + (n − 1)b est sorti d'une seule colonne, donc une seule fois.

Exercice 3. Tridiagonal trigonométrique

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Soit θ dans ]0, π[. On note D_n le déterminant d'ordre n avec 2cos θ sur la diagonale, 1 juste au-dessus et juste au-dessous, et 0 ailleurs. Montrer que D_n = sin((n + 1)θ)/sin θ.

Technique récurrence d'ordre 2 obtenue par double développement.

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On développe selon la première ligne. Le premier terme donne 2cos θ × D_n−1. 2. Le second terme vaut 1 × (−1)³ × M, où M est le mineur obtenu en supprimant la ligne 1 et la colonne 2. La première colonne de M vaut (1, 0, …, 0), donc M = D_n−2. 3. Ainsi, pour n ≥ 3, D_n = 2cos θ D_n−1 − D_n−2, avec D₁ = 2cos θ et D₂ = 4cos²θ − 1. 4. La formule est vraie au rang 1, car sin 2θ = 2 sin θ cos θ. Elle est vraie au rang 2, car sin 3θ = sin θ (4cos²θ − 1). 5. Hérédité double : la formule sin((n + 2)θ) + sin(nθ) = 2 sin((n + 1)θ) cos θ donne exactement la relation de récurrence.

piège : Oublier le signe (−1)¹⁺² du damier, ce qui donne un + devant D_n−2.

Exercice 4. Vandermonde

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Pour x₁, …, x_n dans K, soit V(x₁, …, x_n) le déterminant de la matrice de ligne i égale à (1, x_i, x_i², …, x_iⁿ⁻¹). Montrer que V est le produit des (x_j − x_i) pour i < j. En déduire que, pour a, b, c réels, ((X − a)², (X − b)², (X − c)²) est une base de R₂[X] si et seulement si a, b, c sont distincts.

Technique opérations sur les colonnes de la droite vers la gauche, puis récurrence.

Voir le corrigé

On effectue C_j ← C_j − x₁C_j−1, pour j allant de n à 2, dans cet ordre, afin que chaque colonne utilisée soit encore intacte. 2. La première ligne devient (1, 0, …, 0). Pour i ≥ 2, la ligne i devient (1, x_i − x₁, x_i(x_i − x₁), …, x_iⁿ⁻²(x_i − x₁)). 3. On développe selon la première ligne, puis on factorise x_i − x₁ dans chaque ligne. On obtient V(x₁, …, x_n) = (x₂ − x₁)⋯(x_n − x₁) V(x₂, …, x_n). 4. Une récurrence sur n conclut, avec V(x) = 1 à l'ordre 1. 5. Dans la base (1, X, X²), les colonnes des trois polynômes sont (a², −2a, 1), (b², −2b, 1) et (c², −2c, 1). On factorise −2 sur la deuxième ligne, puis on échange les lignes 1 et 3. On obtient 2V(a, b, c), qui est non nul si et seulement si a, b, c sont distincts.

piège : Faire les opérations de gauche à droite, avec des colonnes déjà modifiées.

Exercice 5. Antisymétrique d'ordre impair

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit A dans M_n(K), avec n impair et A transposée égale à −A. Montrer que A n'est pas inversible.

Technique transposée et formule det(λA).

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On a det A = det(A transposée) = det(−A). 2. Par la formule det(λA) = λⁿ det A, det(−A) = (−1)ⁿ det A = −det A, car n est impair. 3. Donc 2 det A = 0, puis det A = 0, puisque K est R ou C. 4. A n'est pas inversible.

piège : Écrire det(−A) = −det A sans invoquer l'imparité de n. L'exemple 4 montre que c'est faux en ordre 2.

Exercice 7. Matrices entières d'inverse entier

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit A dans M_n(R) à coefficients entiers, inversible, et dont l'inverse est à coefficients entiers. Montrer que det A vaut 1 ou −1.

Technique multiplicativité et intégralité.

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Par récurrence sur n, en développant selon la première colonne, le déterminant d'une matrice à coefficients entiers est un entier. 2. On a det A × det A⁻¹ = det I_n = 1, produit de deux entiers. 3. Les seuls entiers inversibles dans Z sont 1 et −1. 4. La réciproque est vraie aussi, mais elle utilise la comatrice, hors programme.

piège : Affirmer sans justification que le déterminant d'une matrice entière est entier.

Exercice 10. Endomorphisme de polynômes

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Sur R_n[X], soit u(P) = P + P'. Montrer que u est un automorphisme.

Technique matrice triangulaire dans la base canonique.

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u est linéaire et envoie R_n[X] dans lui-même, car la dérivation baisse le degré. 2. u(Xᵏ) = Xᵏ + kXᵏ⁻¹, donc la matrice dans (1, X, …, Xⁿ) est triangulaire supérieure avec des 1 sur la diagonale. 3. det u = 1 ≠ 0, donc u est bijectif.

piège : Oublier de vérifier que u est bien un endomorphisme, sans quoi son déterminant n'a pas de sens.

Exercice 6. Déterminant de la transposition

Approfondissement · Niveau écrit CCINP ou Mines

Soit u l'endomorphisme de M_n(K) qui à M associe sa transposée. Calculer det u.

Technique base adaptée à une décomposition en somme directe.

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Toute matrice s'écrit de façon unique comme somme d'une symétrique et d'une antisymétrique, M = (M + Mᵀ)/2 + (M − Mᵀ)/2, où Mᵀ désigne la transposée. Ces deux sous-espaces sont donc supplémentaires, de dimensions n(n + 1)/2 et n(n − 1)/2. 2. u vaut l'identité sur le premier sous-espace et moins l'identité sur le second. 3. On concatène une base de chacun. La matrice de u est diagonale, avec n(n − 1)/2 coefficients égaux à −1. 4. Donc det u = (−1) puissance n(n − 1)/2. Vérification pour n = 2 : dans la base (E₁₁, E₁₂, E₂₁, E₂₂), u échange E₁₂ et E₂₁, et on trouve −1.

piège : Confondre det u, déterminant d'un endomorphisme de l'espace M_n(K) qui est de dimension n², avec le déterminant d'une matrice M.

Exercice 8. Positivité de det(A² + I_n)

Approfondissement · Niveau écrit Centrale

Soit A dans M_n(R). Montrer que det(A² + I_n) ≥ 0.

Technique factoriser sur C et conjuguer.

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A commute avec I_n, donc A² + I_n = (A + iI_n)(A − iI_n) dans M_n(C). 2. On a donc det(A² + I_n) = det(A + iI_n) × det(A − iI_n). 3. Pour M dans M_n(C), le déterminant de la matrice conjuguée est le conjugué de det M. Cela se montre par récurrence et développement, car le conjugué d'une somme de produits est la somme des produits des conjugués. 4. A est réelle, donc A − iI_n est la conjuguée de A + iI_n. Avec z = det(A + iI_n), on obtient z × z̄ = |z|², qui est positif ou nul.

piège : Écrire det(A² + I_n) = det(A)² + 1. Il n'y a pas de formule pour le déterminant d'une somme.

Exercice 9. Trace et forme alternée

Approfondissement · Type oral Mines, niveau X pour la dernière question

Soit u dans L(E) et e une base. On pose f(x₁, …, x_n) = Σ det_e(x₁, …, u(x_i), …, x_n), la somme portant sur i de 1 à n. Montrer que f = tr(u) det_e, puis en déduire que la trace ne dépend pas de la base.

Technique vérifier les hypothèses du théorème du multiple, puis évaluer sur e.

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Linéarité en x_k. Dans le terme i ≠ k, x_k apparaît seul, et det_e est linéaire. Dans le terme i = k, il apparaît via u(x_k), composée de deux applications linéaires. 2. Caractère alterné. On suppose x_j = x_k avec j < k. Les termes d'indice i différent de j et de k contiennent deux vecteurs égaux, ils sont nuls. Les termes i = j et i = k diffèrent par l'échange des positions j et k, donc ils sont opposés par antisymétrie. 3. Donc f = f(e) det_e. 4. On écrit u(e_i) = Σ_k a_ki e_k. Par linéarité, seul le terme k = i survit dans det_e(e₁, …, u(e_i), …, e_n), qui vaut donc a_ii. On obtient f(e) = tr A. 5. Attention, f est construite avec det_e, elle dépend donc de e, que l'on garde fixée. Soit e' une autre base, où la matrice de u est A'. Le calcul de l'étape 4, fait avec les coordonnées dans e', donne f(e') = tr(A') det_e(e'). Le théorème du multiple, appliqué dans la base e', donne f = tr(A') det_e(e') det_e'. Or det_e' = det_e'(e) det_e et det_e(e') det_e'(e) = 1, donc f = tr(A') det_e. En évaluant en e et en comparant avec f(e) = tr A, on obtient tr A' = tr A.

piège : Oublier les deux termes croisés dans la preuve du caractère alterné, ou les croire nuls chacun.

Erreurs fréquentes

Écrire det(λA) = λ det A, ou sortir un facteur n fois alors qu'il ne concerne qu'une ligne.
Utiliser une formule inexistante pour det(A + B), ou pour le déterminant d'une matrice non carrée.
Enchaîner des opérations simultanées dépendantes, comme L₁ ← L₁ − L₂ et L₂ ← L₂ − L₁ en même temps, ou écrire L_i ← 2L_i − L_j sans diviser le résultat par 2.
Appliquer Sarrus en ordre 4, ou oublier le signe du damier dans un développement.
Conclure d'un déterminant nul que la matrice est nulle ou qu'une colonne est nulle, alors qu'on sait seulement que les colonnes sont liées.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de PCSI (2021), deuxième semestre, section « Matrices et déterminants », paragraphe B « Déterminants ». Elle suppose connus la dimension, les applications linéaires et la représentation matricielle. $\K$ désigne $\R$ ou $\C$ , et $E$ un $\K$ -espace vectoriel de dimension $n$ .

Déterminants

Résumé en cinq points

1Déterminant d'une famille de vecteurs dans une base

1.1Formes n-linéaires alternées

1.2Théorème fondamental

1.3Expressions en dimension 2 et 3

1.4Changement de base

1.5Critère de base

2Déterminant d'un endomorphisme

2.1Définition

2.2Composée et automorphismes

3Déterminant d'une matrice carrée

3.1Définition et premières propriétés

3.2Produit, inverse, transposée

4Calcul pratique

4.1Effet des opérations élémentaires

4.2Matrices triangulaires

4.3Développement selon une ligne ou une colonne

4.4Déterminants classiques d'ordre 2 et 3

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Inversibilité avec paramètre

Exercice 2. Le déterminant « a sur la diagonale, b ailleurs »

Exercice 3. Tridiagonal trigonométrique

Exercice 4. Vandermonde

Exercice 5. Antisymétrique d'ordre impair

Exercice 7. Matrices entières d'inverse entier

Exercice 10. Endomorphisme de polynômes

Exercice 6. Déterminant de la transposition

Exercice 8. Positivité de det(A² + In)

Exercice 9. Trace et forme alternée

Erreurs fréquentes

Au concours

Exercice 8. Positivité de det(A² + I_n)