Le cours

Résumé en cinq points

Une somme de sous-espaces est directe quand la décomposition du vecteur nul est triviale, et la dimension d'une somme est majorée par la somme des dimensions avec égalité exactement dans le cas direct.
Un sous-espace stable par $u$ se lit sur la matrice de $u$ dans une base adaptée sous forme triangulaire par blocs, une décomposition en somme directe de sous-espaces stables donne une matrice diagonale par blocs.
Si $u$ et $v$ commutent, le noyau et l'image de $u$ sont stables par $v$ .
La trace est linéaire, vérifie $\tr(AB) = \tr(BA)$ et est invariante par similitude, ce qui la rend définissable pour un endomorphisme.
Un polynôme annulateur permet d'inverser, de calculer des puissances et, au chapitre suivant, de localiser les valeurs propres.

Pourquoi ce chapitre

C'est le chapitre d'outillage de l'algèbre linéaire de deuxième année. Il a trois fonctions.

Réactiver les acquis de première année : familles libres, bases, rang, matrices, déterminants.
Installer les objets sans lesquels la réduction des endomorphismes est impossible à écrire proprement : somme directe d'une famille de sous-espaces, sous-espaces stables, matrices par blocs, trace et polynômes d'endomorphismes.
Entraîner le va-et-vient permanent entre le point de vue vectoriel et le point de vue matriciel.

Aux concours, ce chapitre apparaît rarement seul. Il apparaît comme première question d'un problème de réduction, sous la forme « montrer que $F$ est stable par $u$ » ou « trouver un polynôme annulateur de $A$ ».

1Produit d'espaces vectoriels, somme de sous-espaces

1.1Produit d'un nombre fini d'espaces vectoriels

Définition 1.1Produit d'espaces vectoriels

Si $E_1, \dots, E_p$ sont des $\K$ -espaces vectoriels, le produit $E_1 \times \dots \times E_p$ est muni des lois définies coordonnée par coordonnée. C'est un $\K$ -espace vectoriel.

Propriété 1.2Dimension d'un produit

Hypothèse

chaque $E_i$ est de dimension finie.

Alors $\dim(E_1 \times \dots \times E_p) = \sum_{i=1}^{p} \dim(E_i).$

Démonstration

On construit une base du produit en prenant, pour chaque $i$ , les vecteurs $(0, \dots, e, \dots, 0)$ où $e$ parcourt une base de $E_i$ et occupe la place $i$ . Cette famille est libre et génératrice.

Exemple 1.3

$\R^2 \times \R^3$ est isomorphe à $\R^5$ , de dimension 5.

1.2Somme et somme directe d'une famille finie de sous-espaces

Définition 1.4Somme de sous-espaces

Soient $F_1, \dots, F_p$ des sous-espaces de $E$ . Leur somme $F_1 + \dots + F_p$ est l'ensemble des vecteurs $x_1 + \dots + x_p$ avec $x_i \in F_i$ . C'est un sous-espace de $E$ , le plus petit contenant tous les $F_i$ .

Définition 1.5Somme directe

La somme est directe quand la décomposition est unique : tout vecteur de la somme s'écrit d'une seule façon $x_1 + \dots + x_p$ avec $x_i \in F_i$ . On note alors $F_1 \oplus \dots \oplus F_p$ .

Propriété 1.6Critère pratique

La somme est directe si et seulement si la seule décomposition du vecteur nul est la décomposition triviale : si $x_1 + \dots + x_p = 0$ avec $x_i \in F_i$ , alors tous les $x_i$ sont nuls.

C'est ce critère que l'on utilise en pratique, exactement comme pour prouver qu'une famille est libre.

Attention

Pour $p = 2$ , la somme est directe si et seulement si $F_1 \cap F_2 = \{0\}$ . Pour $p \geqslant 3$ , cette condition ne suffit plus.

Exemple 1.7Contre-exemple dans $\R^2$

Soient $F_1$ , $F_2$ , $F_3$ les droites engendrées par $(1, 0)$ , $(0, 1)$ et $(1, 1)$ . Elles sont deux à deux d'intersection nulle, pourtant $(1, 0) + (0, 1) - (1, 1) = 0$ est une décomposition non triviale du vecteur nul. La somme n'est pas directe.

1.3Bases adaptées

Définition 1.8Base adaptée

Soit $E$ de dimension finie. Une base adaptée à un sous-espace $F$ est une base de $E$ dont les premiers vecteurs forment une base de $F$ . Une base adaptée à une décomposition $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_p$ est obtenue en concaténant une base de $F_1$ , puis une base de $F_2$ , et ainsi de suite.

Réciproquement, partitionner une base de $E$ en $p$ paquets fournit une décomposition de $E$ en somme directe des $p$ sous-espaces engendrés par chaque paquet.

1.4Dimension d'une somme

Propriété 1.9Dimension d'une somme

Hypothèse

$F_1, \dots, F_p$ sont de dimension finie.

Alors $\dim\Big(\sum_{i=1}^{p} F_i\Big) \leqslant \sum_{i=1}^{p} \dim(F_i),$ avec égalité si et seulement si la somme est directe.

Démonstration

On concatène une base de chaque $F_i$ . La famille obtenue engendre la somme, donc la dimension de la somme est au plus le cardinal de cette famille, qui vaut la somme des dimensions. Il y a égalité exactement quand cette famille concaténée est libre, ce qui équivaut au fait que la somme est directe.

À retenir

Si les $F_i$ sont en somme directe et si la somme des dimensions vaut $\dim(E)$ , alors $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_p$ .

C'est l'argument de dimension qui conclut la plupart des exercices de diagonalisation.

2Matrices par blocs et sous-espaces stables

2.1Calcul par blocs

Une matrice peut être découpée en blocs rectangulaires.

Deux matrices découpées de façon compatible s'additionnent bloc par bloc.
Elles se multiplient bloc par bloc, en respectant l'ordre des facteurs, à condition que les tailles rendent les produits de blocs définis.
La transposée s'obtient en transposant le tableau de blocs puis chaque bloc.

Attention

Les blocs ne commutent pas. Dans un produit par blocs on écrit $A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21}$ , jamais $B_{11}A_{11} + B_{21}A_{12}$ .

2.2Déterminant d'une matrice triangulaire par blocs

Propriété 2.1Déterminant par blocs

Hypothèse

$M$ est triangulaire supérieure (ou inférieure) par blocs, de blocs diagonaux carrés $A_1, \dots, A_r$ .

Alors $\det(M) = \det(A_1) \times \dots \times \det(A_r).$

Attention

Ce résultat n'a pas d'analogue pour un découpage quelconque. Pour une matrice de blocs $A$ , $B$ , $C$ , $D$ tous non nuls, $\det(M)$ n'est pas égal à $\det(A)\det(D) - \det(B)\det(C)$ en général.

2.3Sous-espaces stables

Définition 2.2Sous-espace stable

Un sous-espace $F$ de $E$ est stable par l'endomorphisme $u$ si $u(F) \subset F$ . On définit alors l'endomorphisme induit par $u$ sur $F$ , noté souvent $u_F$ , qui à $x \in F$ associe $u(x)$ , vu comme élément de $F$ .

Propriété 2.3Traduction matricielle

Hypothèses

$E$ est de dimension finie ;
$F$ est un sous-espace de dimension $r$ stable par $u$ .

Alors dans une base adaptée à $F$ , la matrice de $u$ est triangulaire supérieure par blocs, le bloc en haut à gauche, de taille $r$ , étant la matrice de l'endomorphisme induit. Réciproquement, si la matrice de $u$ dans une base est triangulaire supérieure par blocs, le sous-espace engendré par les $r$ premiers vecteurs est stable.

Propriété 2.4Décomposition en sous-espaces stables

Hypothèses

$E = F_1 \oplus \dots \oplus F_p$ ;
tous les $F_i$ sont stables par $u$ .

Alors dans une base adaptée à cette décomposition, la matrice de $u$ est diagonale par blocs.

C'est exactement le mécanisme de la réduction.

2.4Commutation et stabilité

Propriété 2.5Noyau et image

Hypothèse

$u$ et $v$ commutent.

Alors $\Ker(u)$ et $\Im(u)$ sont stables par $v$ .

Démonstration

Soit $x \in \Ker(u)$ . Alors $u(v(x)) = v(u(x)) = v(0) = 0$ , donc $v(x) \in \Ker(u)$ . Soit $y = u(x) \in \Im(u)$ . Alors $v(y) = v(u(x)) = u(v(x)) \in \Im(u)$ .

Ce lemme d'une ligne est utilisé tout le temps, en particulier avec $v = u$ , ce qui donne la stabilité de $\Ker(u)$ et $\Im(u)$ par $u$ lui-même.

3Trace

3.1Trace d'une matrice

Définition 3.1Trace

La trace d'une matrice carrée $A$ de taille $n$ , notée $\tr(A)$ , est la somme de ses coefficients diagonaux.

L'application trace est une forme linéaire sur l'espace des matrices carrées de taille $n$ . On a $\tr(A^\top) = \tr(A)$ .

3.2La relation fondamentale

Propriété 3.2Relation $\tr(AB) = \tr(BA)$

Hypothèse

$A$ est de taille $n \times p$ et $B$ de taille $p \times n$ .

Alors $\tr(AB) = \tr(BA)$ .

Démonstration

$\tr(AB)$ est la somme sur $i$ des coefficients diagonaux de $AB$ , c'est-à-dire la double somme sur $i$ et $j$ de $a_{ij} b_{ji}$ . En échangeant les noms des indices on reconnaît la double somme qui définit $\tr(BA)$ .

Attention

$\tr(ABC)$ n'est pas égal à $\tr(ACB)$ en général. Seule la permutation circulaire est licite : $\tr(ABC) = \tr(BCA) = \tr(CAB)$ .

3.3Invariance par similitude et trace d'un endomorphisme

Propriété 3.3Invariance par similitude

Hypothèse

$A$ et $B$ sont semblables : $B = P^{-1}AP$ .

Alors $\begin{aligned} \tr(B) &= \tr((P^{-1}A)P)\\ &= \tr(P(P^{-1}A))\\ &= \tr(A). \end{aligned}$

La trace est donc un invariant de similitude. Cela permet de définir la trace d'un endomorphisme $u$ d'un espace de dimension finie comme la trace de sa matrice dans une base quelconque, le résultat ne dépendant pas de la base.

Exemple 3.4Trace d'un projecteur

Si $p$ est un projecteur de $E$ de dimension finie, alors $\tr(p) = \rg(p)$ . En effet, dans une base adaptée à $E = \Im(p) \oplus \Ker(p)$ , la matrice de $p$ est diagonale avec $r$ coefficients égaux à 1 et le reste nul, où $r$ est le rang.

4Polynômes d'endomorphismes et de matrices carrées

4.1Définition

Définition 4.1Polynôme d'un endomorphisme

Soit $u$ un endomorphisme de $E$ et $P = a_0 + a_1X + \dots + a_dX^d \in \K[X]$ . On pose $P(u) = a_0 \operatorname{id}_E + a_1 u + \dots + a_d u^d,$ où $u^k$ désigne la composée de $u$ avec lui-même $k$ fois, avec la convention $u^0 = \operatorname{id}_E$ . Même définition pour une matrice carrée $A$ , avec $A^0 = I_n$ .

4.2Propriétés

Propriété 4.2Calcul sur les polynômes d'endomorphismes

L'application qui à $P$ associe $P(u)$ est linéaire, et elle transforme le produit en composée : $(PQ)(u) = P(u) \circ Q(u).$ Comme $PQ = QP$ dans $\K[X]$ , deux polynômes du même endomorphisme $u$ commutent toujours.

Conséquence : le noyau de $P(u)$ est stable par $u$ , puisque $u$ et $P(u)$ commutent. On applique ici le lemme de la section précédente.

4.3Polynôme annulateur

Définition 4.3Polynôme annulateur

Un polynôme $P$ est annulateur de $u$ si $P(u) = 0$ , l'endomorphisme nul. Même définition pour une matrice.

Propriété 4.4Inversibilité et inverse

Hypothèses

$P$ est annulateur de $u$ ;
$P(0) \neq 0$ .

Alors $u$ est inversible et son inverse est un polynôme en $u$ .

Exemple 4.5

Si $u^2 - 3u + 2\operatorname{id}_E = 0$ , alors $u \circ (3\operatorname{id}_E - u) = 2\operatorname{id}_E$ , donc $u$ est inversible d'inverse $(3\operatorname{id}_E - u)/2$ .

MéthodeCalculer $A^n$ avec un polynôme annulateur

Effectuer la division euclidienne $X^n = QP + R$ avec $\deg(R) < \deg(P)$ .
En déduire $A^n = R(A)$ .

Exemple 4.6

Si $P = (X-1)(X-2)$ annule $A$ , on écrit $X^n = Q(X)(X-1)(X-2) + aX + b$ . En évaluant en 1 et 2 on obtient $a + b = 1$ et $2a + b = 2^n$ , d'où $a = 2^n - 1, \qquad b = 2 - 2^n,$ puis $A^n = (2^n - 1)A + (2 - 2^n)I$ .

Attention

Un polynôme annulateur n'est pas unique : tout multiple d'un polynôme annulateur est annulateur. La notion de polynôme minimal est hors programme en PC.

5Interpolation de Lagrange et déterminant de Vandermonde

5.1Polynômes interpolateurs

Définition 5.1Polynômes interpolateurs de Lagrange

Soient $x_0, \dots, x_n$ des éléments distincts de $\K$ . Pour chaque $i$ , on pose $L_i = \prod_{j \neq i} \frac{X - x_j}{x_i - x_j}.$ Chaque $L_i$ est de degré $n$ et vérifie $L_i(x_i) = 1$ et $L_i(x_j) = 0$ pour $j \neq i$ .

Théorème 5.2Base de Lagrange

La famille $(L_0, \dots, L_n)$ est une base de $\K_n[X]$ , l'espace des polynômes de degré au plus $n$ .

Démonstration

La famille a $n + 1$ éléments et $\K_n[X]$ est de dimension $n + 1$ , il suffit donc de prouver la liberté. Si une combinaison linéaire de coefficients $c_i$ est nulle, on l'évalue en $x_i$ et on obtient $c_i = 0$ .

Propriété 5.3Expression dans cette base

Tout $P \in \K_n[X]$ s'écrit $P = \sum_{i=0}^{n} P(x_i)\,L_i.$

On le voit en évaluant la relation en chaque $x_i$ , ou en remarquant que la différence des deux membres est un polynôme de degré au plus $n$ ayant $n + 1$ racines. En prenant $P = 1$ , on obtient $L_0 + \dots + L_n = 1$ .

5.2Déterminant de Vandermonde

Théorème 5.4Déterminant de Vandermonde

Le déterminant de Vandermonde associé à $x_0, \dots, x_n$ est le déterminant de la matrice dont la ligne $i$ est $(1, x_i, x_i^2, \dots, x_i^n)$ . Il vaut $\prod_{0 \leqslant i < j \leqslant n} (x_j - x_i).$

Démonstration

On raisonne par récurrence sur $n$ . On fixe $x_0, \dots, x_{n-1}$ et on voit le déterminant comme une fonction polynomiale de $x_n$ , de degré au plus $n$ . Ce polynôme s'annule en $x_0, \dots, x_{n-1}$ , il est donc divisible par le produit des $(x_n - x_i)$ pour $i < n$ . Le coefficient dominant est le déterminant de Vandermonde d'ordre $n - 1$ , ce qui permet de conclure.

Le déterminant est non nul si et seulement si les $x_i$ sont deux à deux distincts. Cela redonne le problème d'interpolation : le système linéaire qui cherche les coefficients d'un polynôme de degré au plus $n$ prenant des valeurs imposées en $n + 1$ points distincts a une solution unique.

Méthodes

MéthodeMontrer qu'une somme est directe

Partir d'une décomposition du vecteur nul.
Prouver que tous les termes sont nuls.

Ne jamais utiliser les intersections deux à deux quand il y a trois sous-espaces ou plus.

MéthodeMontrer qu'une décomposition remplit $E$

Vérifier la somme directe.
Comparer la somme des dimensions à $\dim(E)$ .

MéthodeProuver qu'un sous-espace est stable par $u$

Prendre un vecteur générique de $F$ .
Vérifier que son image est encore dans $F$ .

Quand $F$ est un noyau ou une image, chercher d'abord une commutation.

MéthodeFabriquer un polynôme annulateur

Chercher une relation entre $I$ , $A$ , $A^2$ par calcul direct.
Ou exploiter une propriété géométrique, par exemple $p^2 = p$ pour un projecteur et $s^2 = \operatorname{id}_E$ pour une symétrie.

MéthodeCalculer $A^n$

Privilégier la division euclidienne par un polynôme annulateur.
Ne se lancer dans une diagonalisation qu'ensuite.

MéthodeManipuler la trace

Penser à $\tr(AB) = \tr(BA)$ .
Utiliser l'invariance par similitude, qui permet de passer d'une matrice à l'endomorphisme.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Donner un contre-exemple montrant que trois sous-espaces deux à deux d'intersection nulle ne sont pas forcément en somme directe.
Démontrer l'inégalité sur la dimension d'une somme et caractériser le cas d'égalité.
Écrire la matrice de $u$ dans une base adaptée à un sous-espace stable, et reconnaître la stabilité sur une matrice triangulaire par blocs.
Prouver que si $u$ et $v$ commutent alors $\Ker(u)$ est stable par $v$ .
Démontrer $\tr(AB) = \tr(BA)$ , en déduire l'invariance de la trace par similitude.
Montrer que la trace d'un projecteur est son rang.
Utiliser un polynôme annulateur pour inverser une matrice puis pour calculer ses puissances par division euclidienne.
Prouver que les polynômes interpolateurs de Lagrange forment une base de $\K_n[X]$ et calculer un déterminant de Vandermonde d'ordre 3.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Dimension d'un produit fini d'espaces de dimension finie, égale à la somme des dimensions. Exigible avec démonstration par construction d'une base.
Caractérisation d'une somme directe par l'unicité de la décomposition du vecteur nul. Exigible avec démonstration, c'est la définition reformulée.
Pour deux sous-espaces, somme directe si et seulement si intersection nulle. Exigible avec démonstration. Pour trois sous-espaces ou plus, la condition sur les intersections deux à deux ne suffit pas, contre-exemple exigible.
Une partition d'une base de E en p paquets donne une décomposition de E en somme directe des p sous-espaces engendrés. Exigible.
dim(F₁ + … + F_p) ≤ dim F₁ + … + dim F_p, avec égalité si et seulement si la somme est directe. Exigible avec démonstration par concaténation de bases.
Opérations par blocs, combinaison linéaire, produit, transposition, pour des découpages compatibles. Admises, à savoir manipuler en respectant l'ordre des facteurs.
Déterminant d'une matrice triangulaire par blocs, égal au produit des déterminants des blocs diagonaux. Exigible, la preuve par récurrence sur la taille du premier bloc est rarement demandée en khôlle.
F stable par u si et seulement si, dans une base adaptée à F, la matrice de u est triangulaire supérieure par blocs. Exigible avec démonstration.
E somme directe de sous-espaces stables si et seulement si la matrice de u est diagonale par blocs dans une base adaptée. Exigible.
Si u et v commutent, ker u et Im u sont stables par v. Exigible avec démonstration.
Linéarité de la trace, tr(Aᵀ) = tr(A), et tr(AB) = tr(BA) pour A de taille n × p et B de taille p × n. Exigibles avec démonstration.
Invariance de la trace par similitude, définition de la trace d'un endomorphisme. Exigible avec démonstration.
(PQ)(u) = P(u) ∘ Q(u), deux polynômes en u commutent, le noyau de P(u) est stable par u. Exigibles avec démonstration.
Si P annule u avec P(0) ≠ 0, alors u est inversible et son inverse est un polynôme en u. Exigible avec démonstration.
Calcul de uⁿ par division euclidienne de Xⁿ par un polynôme annulateur. Exigible.
Les polynômes interpolateurs de Lagrange en n + 1 points distincts forment une base de K_n[X], tout P s'écrit Σ P(x_i) L_i, et Σ L_i = 1. Exigibles avec démonstration.
Déterminant de Vandermonde, égal au produit des (x_j − x_i) pour i < j, non nul si et seulement si les points sont distincts. Exigible avec démonstration par récurrence, lien avec l'unicité de l'interpolation.
Hors programme en PC, à signaler, le polynôme minimal, le lemme des noyaux, la dimension du commutant en général, et le déterminant d'une matrice par blocs quelconque via un complément de Schur.

Clés de démonstration

Dimension d'une somme. On concatène une base de chaque F_i, la famille obtenue engendre la somme, donc la dimension est majorée par son cardinal. Elle est libre si et seulement si toute combinaison nulle a ses paquets nuls, ce qui est exactement la somme directe. Astuce, ne pas séparer liberté et somme directe, c'est le même énoncé lu deux fois.

Contre-exemple à trois sous-espaces. Trois droites distinctes du plan sont deux à deux d'intersection nulle. Leur somme est le plan, de dimension 2, alors que la somme des dimensions vaut 3. L'inégalité stricte prouve que la somme n'est pas directe, sans même exhiber une décomposition non triviale de 0.

Stabilité et blocs. Si F est stable et si (e₁, …, e_r) est une base de F complétée en base de E, l'image de chaque e_i avec i ≤ r se décompose sur e₁, …, e_r seulement, donc les r premières colonnes ont des zéros sous la ligne r. Réciproquement, une colonne à zéros en bas dit que u(e_i) ∈ F. Astuce, lire une matrice colonne par colonne, une colonne est l'image d'un vecteur de base.

tr(AB) = tr(BA). Le coefficient diagonal (i, i) de AB vaut Σ_j a_ij b_ji, on somme sur i, on obtient une double somme symétrique en échangeant les noms des indices. Astuce, les deux matrices ne sont pas carrées, seuls les produits AB et BA le sont, le résultat vaut quand même.

Inverse par polynôme annulateur. Si a₀ + a₁u + … + a_d u^d = 0 avec a₀ ≠ 0, on isole a₀ id = −u ∘ (a₁ id + … + a_d u^d−1), et on divise par −a₀. Astuce, l'inverse obtenu commute avec u, ce qui est parfois la vraie question.

Puissances par division euclidienne. Xⁿ = QP + R avec deg R < deg P, on évalue en u, P(u) = 0 donc uⁿ = R(u). Pour trouver R, on évalue en les racines de P, et si une racine est multiple on dérive. Astuce, ne jamais calculer Q.

Base de Lagrange. La famille a n + 1 éléments dans un espace de dimension n + 1, il suffit de prouver la liberté, on évalue une combinaison nulle en chaque x_i. Pour Σ L_i = 1, le polynôme Σ L_i − 1 est de degré au plus n et s'annule en n + 1 points. Astuce, un polynôme de degré au plus n avec n + 1 racines est nul, c'est l'argument de tout le paragraphe.

Vandermonde. On voit le déterminant comme un polynôme en x_n, de degré au plus n, dont le coefficient de x_nⁿ est le Vandermonde d'ordre n − 1 par développement selon la dernière ligne. Il s'annule en x₀, …, x_n−1 car deux lignes deviennent égales. Astuce, la récurrence porte sur le coefficient dominant, pas sur le déterminant entier.

Exemples et contre-exemples à connaître

Trois droites distinctes du plan, deux à deux d'intersection nulle, somme non directe. C'est le contre-exemple numéro un du chapitre.
Une matrice par blocs de quatre blocs non nuls n'a pas pour déterminant det(A)det(D) − det(B)det(C). Avec les quatre blocs de taille 1 c'est vrai, avec des blocs de taille 2 c'est faux en général.
La matrice de lignes (1, 1) et (0, 1) laisse stable la droite du premier vecteur de base, mais aucune autre droite. Une matrice triangulaire n'a pas forcément de décomposition diagonale par blocs.
tr(ABC) ≠ tr(ACB) en général, seules les permutations circulaires sont permises. Avec A = E₁₂, B = E₂₁, C = E₁₁ dans M₂(K), tr(ABC) = 1 et tr(ACB) = 0.
Une matrice de trace nulle n'est pas nulle, la matrice E₁₂ en est un exemple. La trace ne détermine ni le rang ni l'inversibilité.
Un projecteur a pour trace son rang, une symétrie a pour trace dim F − dim G où F et G sont les sous-espaces des vecteurs invariants et anti-invariants.
Le polynôme X² annule la matrice E₁₂, pourtant E₁₂ ≠ 0. Un polynôme annulateur peut avoir des racines multiples sans que u soit « simple ».
Le polynôme X² − 1 annule l'identité, X − 1 aussi. Un polynôme annulateur n'est pas unique, tout multiple en est un.
Les polynômes de Lagrange en 0 et 1 sont L₀ = 1 − X et L₁ = X. Tout polynôme de degré au plus 1 s'écrit P(0)(1 − X) + P(1)X, c'est l'interpolation affine.
Le déterminant de Vandermonde de 1, 2, 3 vaut (2 − 1)(3 − 1)(3 − 2) = 2. Une vérification numérique à savoir faire en dix secondes.

Techniques du chapitre

Prouver qu'une somme est directe par le vecteur nul. Mini-exercice, dans K₂[X], F₁ = Vect(1), F₂ = Vect(X), F₃ = Vect(X²). Si a + bX + cX² = 0 avec a ∈ F₁, bX ∈ F₂, cX² ∈ F₃, l'identification des coefficients donne a = b = c = 0. Somme directe, et par dimension elle vaut K₂[X].

Conclure par argument de dimension. Mini-exercice, dans M_n(R), symétriques et antisymétriques. Leur intersection est nulle car une matrice égale à sa transposée et à son opposée est nulle. Les dimensions valent n(n + 1)/2 et n(n − 1)/2, de somme n². Donc M_n(R) est la somme directe des deux.

Prouver une stabilité par commutation. Mini-exercice, si u² = u et v commute avec u, alors Im u est stable par v. Pour y = u(x), v(y) = v(u(x)) = u(v(x)) ∈ Im u. On n'a même pas utilisé u² = u, la commutation suffit.

Lire une stabilité sur une matrice. Mini-exercice, A de lignes (2, 1, 0), (0, 3, 0), (1, 1, 5). Les deux premières colonnes ont un coefficient non nul en troisième ligne, donc Vect(e₁, e₂) n'est pas stable. En revanche la troisième colonne est (0, 0, 5), donc Vect(e₃) est stable.

Calculer une trace sans calculer le produit. Mini-exercice, pour X colonne non nulle de Rⁿ, la matrice XXᵀ est de rang 1 et tr(XXᵀ) = tr(XᵀX) = Σ x_i², qui est le carré de la norme de X.

Inverser par polynôme annulateur. Mini-exercice, A vérifie A² − 5A + 6I = 0. Alors A(A − 5I) = −6I, donc A est inversible et A⁻¹ = (5I − A)/6. Vérification, A × (5I − A)/6 = (5A − A²)/6 = 6I/6.

Puissances par division euclidienne. Mini-exercice, même A. Xⁿ = Q(X − 2)(X − 3) + aX + b, évaluation en 2 et 3, 2a + b = 2ⁿ et 3a + b = 3ⁿ, donc a = 3ⁿ − 2ⁿ et b = 3 × 2ⁿ − 2 × 3ⁿ. Ainsi Aⁿ = (3ⁿ − 2ⁿ)A + (3 × 2ⁿ − 2 × 3ⁿ)I.

Interpoler. Mini-exercice, le polynôme de degré au plus 2 valant 1 en 0, 3 en 1 et 7 en 2. Avec Lagrange, L₀ = (X − 1)(X − 2)/2, L₁ = −X(X − 2), L₂ = X(X − 1)/2, et P = L₀ + 3L₁ + 7L₂ = X² + X + 1 après développement. Contrôle en 1, 1 + 1 + 1 = 3.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Somme directe et supplémentaire

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit u un endomorphisme de E de dimension finie vérifiant u³ = u. Montrer que E = ker u ⊕ ker(u − id) ⊕ ker(u + id).

Technique décomposition explicite d'un vecteur, puis vecteur nul.

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Analyse, on cherche x = x₀ + x₁ + x₂ avec u(x₀) = 0, u(x₁) = x₁, u(x₂) = −x₂. En appliquant u et u², u(x) = x₁ − x₂ et u²(x) = x₁ + x₂. 2. Donc x₁ = (u(x) + u²(x))/2, x₂ = (u²(x) − u(x))/2, x₀ = x − u²(x). 3. Synthèse, u(x − u²(x)) = u(x) − u³(x) = 0, et (u − id)(u(x) + u²(x)) = u²(x) + u³(x) − u(x) − u²(x) = 0 grâce à u³ = u, de même pour x₂. 4. Unicité, si x₀ + x₁ + x₂ = 0 avec les mêmes conditions, en appliquant u et u² on obtient x₁ − x₂ = 0 et x₁ + x₂ = 0, donc x₁ = x₂ = 0 puis x₀ = 0.

piège : Vérifier seulement que les trois noyaux sont deux à deux d'intersection nulle, ce qui ne suffit pas pour trois sous-espaces.

Exercice 2. Sous-espace stable et endomorphisme induit

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit u un endomorphisme de E et F un sous-espace stable par u. Montrer que si u est injectif et E de dimension finie, l'endomorphisme induit u_F est bijectif de F sur F. Que se passe-t-il en dimension infinie ?

Technique injectivité héritée puis dimension.

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u_F est injectif car ker u_F ⊂ ker u = {0}. 2. F est de dimension finie et u_F est un endomorphisme injectif de F, donc bijectif. 3. En dimension infinie, contre-exemple, E = K[X], u la multiplication par X, F = E lui-même. u est injectif mais pas surjectif, le polynôme 1 n'est pas atteint.

piège : Dire que u_F est surjectif « parce que u l'est », alors que u(F) ⊂ F n'a rien à voir avec u(E) = E.

Exercice 3. Commutation et noyau

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soient u et v deux endomorphismes de E qui commutent. Montrer que ker u et Im u sont stables par v. En déduire que si u est un projecteur, v commute avec u si et seulement si Im u et ker u sont stables par v.

Technique lemme de commutation dans un sens, décomposition sur la somme directe dans l'autre.

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Sens direct, si u(x) = 0 alors u(v(x)) = v(u(x)) = 0. Si y = u(x), alors v(y) = u(v(x)) ∈ Im u. 2. Réciproque pour un projecteur, E = Im u ⊕ ker u. Pour x = x₁ + x₂ avec x₁ ∈ Im u et x₂ ∈ ker u, u(x) = x₁. 3. v(x) = v(x₁) + v(x₂) avec v(x₁) ∈ Im u et v(x₂) ∈ ker u par stabilité, donc u(v(x)) = v(x₁). 4. Et v(u(x)) = v(x₁). Les deux coïncident pour tout x.

piège : Oublier que u(x₁) = x₁ pour x₁ ∈ Im u n'est vrai que pour un projecteur.

Exercice 4. Trace d'un projecteur

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit p un projecteur d'un espace de dimension finie. Montrer tr(p) = rg(p). En déduire que si p et q sont deux projecteurs avec p + q projecteur, alors rg(p + q) = rg(p) + rg(q).

Technique base adaptée à E = Im p ⊕ ker p, puis linéarité de la trace.

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Dans une base adaptée, p a pour matrice diag(1, …, 1, 0, …, 0) avec r = rg(p) coefficients 1, donc tr(p) = r. 2. Si p + q est un projecteur, rg(p + q) = tr(p + q) = tr(p) + tr(q) = rg(p) + rg(q).

piège : Croire que le rang est additif en général, il ne l'est que par ce détour via la trace.

Exercice 5. Une forme linéaire sur M_n(K)

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit f une forme linéaire sur M_n(K) telle que f(AB) = f(BA) pour toutes matrices A, B. Montrer qu'il existe λ ∈ K tel que f = λ tr.

Technique calcul sur les matrices élémentaires E_ij.

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Pour i ≠ j, E_ij = E_iiE_ij et E_ijE_ii = 0, donc f(E_ij) = f(E_iiE_ij) = f(E_ijE_ii) = f(0) = 0. 2. Pour tout i, E_ii = E_i1E_1i et E_1iE_i1 = E₁₁, donc f(E_ii) = f(E₁₁). On note λ cette valeur commune. 3. Par linéarité, f(A) = Σ a_ij f(E_ij) = λ Σ a_ii = λ tr(A).

piège : Ne pas justifier les produits E_ijE_kl = δ_jk E_il, qui sont tout l'exercice.

Exercice 6. Polynôme annulateur et inverse

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit A de lignes (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0). Calculer A², en déduire un polynôme annulateur de degré 2, puis A⁻¹ et Aⁿ.

Technique relation A² = aA + bI, division euclidienne.

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A² a pour coefficients diagonaux 2 et non diagonaux 1, donc A² = A + 2I. Le polynôme X² − X − 2 = (X − 2)(X + 1) annule A. 2. A(A − I) = 2I, donc A⁻¹ = (A − I)/2. 3. Xⁿ = Q(X − 2)(X + 1) + aX + b, évaluation, 2a + b = 2ⁿ et −a + b = (−1)ⁿ, donc a = (2ⁿ − (−1)ⁿ)/3, b = (2ⁿ + 2(−1)ⁿ)/3. 4. Aⁿ = aA + bI avec ces valeurs. Contrôle n = 1, a = 1, b = 0.

piège : Se tromper de signe dans (−1)ⁿ, le contrôle n = 1 ou n = 2 l'attrape toujours.

Exercice 7. Noyau et image d'un polynôme en u

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Soit u un endomorphisme et P, Q deux polynômes. Montrer que ker P(u) et Im P(u) sont stables par u et par Q(u). Montrer que si P divise Q, alors ker P(u) ⊂ ker Q(u).

Technique commutation des polynômes en u.

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P(u) commute avec u et avec Q(u), car ce sont tous des polynômes en u et K[X] est commutatif. 2. Le lemme de commutation donne la stabilité de ker P(u) et Im P(u) par u et par Q(u). 3. Si Q = PR, alors Q(u) = R(u) ∘ P(u), donc si P(u)(x) = 0 alors Q(u)(x) = R(u)(0) = 0.

piège : Écrire Q(u) = P(u) ∘ R(u) sans remarquer que l'ordre est indifférent ici, puis se croire bloqué.

Exercice 8. Commutant d'une matrice

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Soit A la matrice de lignes (1, 1) et (0, 1). Déterminer l'ensemble des matrices M de M₂(K) qui commutent avec A. Montrer que c'est Vect(I, A).

Technique résolution du système MA = AM.

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Pour M de lignes (a, b) et (c, d), AM a pour lignes (a + c, b + d) et (c, d), MA a pour lignes (a, a + b) et (c, c + d). 2. L'égalité impose c = 0 et a = d, b libre. 3. Donc M = aI + b(A − I) = (a − b)I + bA, ce qui décrit Vect(I, A), de dimension 2.

piège : Conclure « le commutant est Vect(I, A) » pour toute matrice, alors que pour A = I le commutant est tout M₂(K).

Exercice 9. Vandermonde d'ordre 3 et interpolation

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

Calculer le déterminant de la matrice de lignes (1, a, a²), (1, b, b²), (1, c, c²). En déduire que trois points d'abscisses distinctes déterminent une unique parabole y = αx² + βx + γ.

Technique opérations sur les colonnes pour factoriser.

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C₃ ← C₃ − aC₂ puis C₂ ← C₂ − aC₁ donnent la première ligne (1, 0, 0), la deuxième (1, b − a, b(b − a)), la troisième (1, c − a, c(c − a)). 2. Développement selon la première ligne, déterminant (b − a)(c − a) fois le déterminant de lignes (1, b) et (1, c), soit (b − a)(c − a)(c − b). 3. Le système en (γ, β, α) donné par les trois conditions a pour matrice la matrice de Vandermonde, inversible car les abscisses sont distinctes, d'où l'unicité et l'existence de la parabole.

piège : Écrire le produit avec les mauvais signes, la convention est (x_j − x_i) pour i < j.

Exercice 12. Déterminant par blocs

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soient A ∈ M_p(K), B ∈ M_p,q(K), D ∈ M_q(K), et M la matrice par blocs de lignes (A, B) et (0, D). Montrer que M est inversible si et seulement si A et D le sont, et donner alors M⁻¹ par blocs.

Technique déterminant triangulaire par blocs, puis résolution par blocs.

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det(M) = det(A)det(D), donc M inversible si et seulement si A et D inversibles. 2. On cherche M⁻¹ de blocs (X, Y) et (Z, T). Le produit M M⁻¹ = I donne AX + BZ = I, AY + BT = 0, DZ = 0, DT = I. 3. D inversible impose Z = 0 et T = D⁻¹, puis X = A⁻¹ et Y = −A⁻¹BD⁻¹. 4. M⁻¹ a pour blocs (A⁻¹, −A⁻¹BD⁻¹) et (0, D⁻¹). Contrôle, le produit dans l'autre ordre donne aussi I.

piège : Écrire −BA⁻¹D⁻¹ ou −D⁻¹BA⁻¹, l'ordre des blocs n'est pas libre.

Exercice 10. Trace et nilpotence

Approfondissement · Niveau écrit Centrale

Soit A ∈ M_n(K) telle que tr(A^k) = 0 pour tout k de 1 à n. On admet le résultat, hors programme, que A est alors nilpotente. Montrer directement le cas particulier suivant, si A² = 0 dans M₂(K), alors tr(A) = 0 et det(A) = 0.

Technique polynôme annulateur et Cayley-Hamilton en taille 2, ce dernier étant au programme du chapitre suivant, on le contourne ici.

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A n'est pas inversible, sinon A = A⁻¹A² = 0, et la matrice nulle n'est pas inversible, contradiction. Donc det(A) = 0. 2. Pour M de lignes (a, b), (c, d), un calcul direct donne M² = (a + d)M − (ad − bc)I. Avec det = 0, M² = tr(M) M. 3. Si A² = 0 et A ≠ 0, alors tr(A) A = 0 donne tr(A) = 0. Si A = 0, la trace est nulle.

piège : Invoquer « les valeurs propres sont nulles » alors que le chapitre ne dispose pas encore de la réduction, ou utiliser le résultat général admis sans l'avoir signalé.

Exercice 11. Somme de deux polynômes de Lagrange

Approfondissement · Niveau écrit Centrale

Soient x₀, …, x_n distincts et L_i les polynômes de Lagrange associés. Calculer Σ x_i L_i, puis Σ x_i^k L_i pour 0 ≤ k ≤ n. Que vaut Σ x_iⁿ⁺¹ L_i ?

Technique écriture d'un polynôme de K_n[X] dans la base de Lagrange.

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Pour P ∈ K_n[X], P = Σ P(x_i) L_i. Avec P = X, Σ x_i L_i = X. Avec P = X^k pour k ≤ n, Σ x_i^k L_i = X^k. 2. Pour k = n + 1, Xⁿ⁺¹ n'est pas dans K_n[X]. On effectue la division euclidienne de Xⁿ⁺¹ par Π(X − x_i), Xⁿ⁺¹ = Π(X − x_i) + R avec deg R ≤ n, donc R(x_i) = x_iⁿ⁺¹ et Σ x_iⁿ⁺¹ L_i = R = Xⁿ⁺¹ − Π(X − x_i).

piège : Écrire Σ x_iⁿ⁺¹ L_i = Xⁿ⁺¹, ce qui est impossible pour une raison de degré.

Erreurs fréquentes

Prouver une somme directe de trois sous-espaces par les intersections deux à deux.
Oublier de vérifier la compatibilité des tailles ou l'ordre des facteurs dans un produit par blocs.
Permuter deux facteurs non adjacents dans une trace, tr(ABC) = tr(ACB) est faux en général.
Traiter un polynôme annulateur comme s'il était unique ou minimal, alors que seule l'existence est au programme et que tout multiple convient.
Calculer le quotient Q dans la division euclidienne de Xⁿ par un polynôme annulateur, alors que seul le reste sert, obtenu par évaluation aux racines.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de PC (2021), partie « Algèbre linéaire », section A « Compléments sur les espaces vectoriels, les endomorphismes et les matrices ». Dans tout le cours, $\K$ désigne $\R$ ou $\C$ , et tous les espaces vectoriels sont des $\K$ -espaces vectoriels.

Compléments sur les espaces vectoriels, les endomorphismes et les matrices

Résumé en cinq points

1Produit d'espaces vectoriels, somme de sous-espaces

1.1Produit d'un nombre fini d'espaces vectoriels

1.2Somme et somme directe d'une famille finie de sous-espaces

1.3Bases adaptées

1.4Dimension d'une somme

2Matrices par blocs et sous-espaces stables

2.1Calcul par blocs

2.2Déterminant d'une matrice triangulaire par blocs

2.3Sous-espaces stables

2.4Commutation et stabilité

3Trace

3.1Trace d'une matrice

3.2La relation fondamentale

3.3Invariance par similitude et trace d'un endomorphisme

4Polynômes d'endomorphismes et de matrices carrées

4.1Définition

4.2Propriétés

4.3Polynôme annulateur

5Interpolation de Lagrange et déterminant de Vandermonde

5.1Polynômes interpolateurs

5.2Déterminant de Vandermonde

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Somme directe et supplémentaire

Exercice 2. Sous-espace stable et endomorphisme induit

Exercice 3. Commutation et noyau

Exercice 4. Trace d'un projecteur

Exercice 5. Une forme linéaire sur Mn(K)

Exercice 6. Polynôme annulateur et inverse

Exercice 7. Noyau et image d'un polynôme en u

Exercice 8. Commutant d'une matrice

Exercice 9. Vandermonde d'ordre 3 et interpolation

Exercice 12. Déterminant par blocs

Exercice 10. Trace et nilpotence

Exercice 11. Somme de deux polynômes de Lagrange

Erreurs fréquentes

Au concours

Exercice 5. Une forme linéaire sur M_n(K)