Équations de Maxwell

Exercice 1. Champ magnétique dans un condensateur en charge ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Condensateur plan à armatures circulaires de rayon $R$, séparées de $e$ petit devant $R$, chargé par un courant $i(t)$.

On néglige les effets de bord et on se place en ARQS.

Calculer $B$ entre les armatures.

Exercice 2. Décharge d'une sphère dans un milieu ohmique ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Une sphère conductrice de rayon $a$ porte la charge $Q(t)$.

Elle est plongée dans un milieu de conductivité $\gamma$ que l'on modélise avec la permittivité $\varepsilon_0$, initialement neutre.

Trouver $Q(t)$ et $B$.

Exercice 10. Établir l'équation de Poynting ★

Application du cours · 15 min · Type oral Mines

À l'aide de $$\operatorname{div}(E \wedge B) = B \cdot \operatorname{rot} E - E \cdot \operatorname{rot} B,$$ établir $$\frac{\partial u}{\partial t} + \operatorname{div} \Pi = -j \cdot E.$$ En déduire qu'en régime statique, dans une région sans courant, le flux de $\Pi$ à travers toute surface fermée est nul.

Exercice 3. Énergie magnétique d'un solénoïde ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Solénoïde long de rayon $R$, $n$ spires par mètre, courant $i(t)$ lentement variable.

Montrer par un bilan de Poynting que la puissance entrante égale la variation d'énergie magnétique.

Exercice 4. Câble coaxial ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · D'après un écrit CCINP MP

Câble coaxial à conducteurs parfaits, de rayons $a$ et $b$, qui transporte le courant $I$ sous la tension $U$ vers une charge.

Calculer la puissance transportée.

Exercice 9. Chauffage par induction ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type oral Centrale

Cylindre conducteur de rayon $R$, de hauteur $h$, de conductivité $\gamma$, placé dans $$B = B_0 \cos(\omega t)\, u_z$$ uniforme.

On néglige le champ des courants induits, hypothèse valable si $R$ est petit devant l'épaisseur de peau.

Puissance moyenne dissipée ?

Exercice 5. Poisson pour une couche chargée ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Charge volumique $\rho_0$ pour $|x| < a$, vide ailleurs, sans charge surfacique.

Trouver $V$ et $E$.

Exercice 6. Tunnel à travers une Terre homogène ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Terre homogène de masse M et de rayon R. Un point matériel se déplace sans frottement dans un tunnel rectiligne passant par le centre. Période ?

Exercice 7. Champ d'un pointeur laser ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Pointeur de $1~\mathrm{mW}$, faisceau de $1~\mathrm{mm}$ de diamètre.

On admet une structure d'onde plane, avec une valeur moyenne $$\langle \Pi \rangle = \frac{\varepsilon_0\, c\, E_0^2}{2}.$$

Amplitude de $E$, puis focalisation sur $10~\mu\mathrm{m}$ de diamètre, puis laser de $1~\mathrm{W}$ focalisé de même.

Exercice 8. Champ entre deux plans conducteurs ★★★

Approfondissement · 35 min · Type écrit Centrale

Dans le vide entre deux plans conducteurs parfaits $x = 0$ et $x = a$, on propose $$E = E_0 \sin\left(\frac{\pi x}{a}\right) \cos(\omega t - kz)\, u_y,$$ qui s'annule sur les plans comme l'imposent les relations de passage fournies.

Condition sur $k$, calcul de $B$.