Rayonnement thermique

Exercice 1. Températures d'étoiles ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Le spectre de Bételgeuse culmine vers $0{,}85~\mathrm{\mu m}$, celui de Sirius vers $0{,}29~\mathrm{\mu m}$.

Estimer leurs températures de surface et prévoir leurs couleurs.

Quelle hypothèse a-t-on faite ?

Exercice 2. Température du Soleil à partir de la constante solaire ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

On donne $$\Phi_s = 1{,}36 \times 10^{3}~\mathrm{W\,m^{-2}},$$ la distance Terre-Soleil $$d = 1{,}50 \times 10^{11}~\mathrm{m}$$ et le rayon solaire $$R_S = 6{,}96 \times 10^{8}~\mathrm{m}.$$ Le Soleil est assimilé à un corps noir.

Déterminer sa température de surface.

Exercice 3. Température d'équilibre d'une planète ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

Montrer que la température d'équilibre radiatif d'une planète sans atmosphère, d'albédo $A$, à la distance $d$ du Soleil, ne dépend pas de son rayon.

Exprimer $T_e$ en fonction de $T_S$, $R_S$, $d$ et $A$.

Application à la Terre et à Mars, avec $$d = 1{,}52~\mathrm{UA}, \qquad A = 0{,}25.$$

Exercice 4. Plaque au soleil et validité de la linéarisation ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Type écrit CCINP

Une plaque noire horizontale, isolée en face arrière, absorbe $800~\mathrm{W\,m^{-2}}$.

Sa face avant échange par convection ($h = 10~\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}$) avec l'air à $T_0 = 293~\mathrm{K}$ et par rayonnement avec un environnement noir à $T_0$.

Déterminer sa température en régime stationnaire, d'abord en linéarisant, puis exactement.

Exercice 5. Sensibilité climatique élémentaire ★

Application du cours · 15 min · Type écrit CCINP

Dans le modèle à une couche, estimer la variation de $T_s$ causée par une hausse de $1~\%$ de la constante solaire, puis par une baisse de l'albédo de $0{,}30$ à $0{,}28$.

Commenter le lien avec la fonte des glaces.

Exercice 10. Temps de relaxation et stabilité du climat ★★★

Approfondissement · 45 min · Type oral Centrale

La surface, sans atmosphère, a une capacité thermique surfacique $C$ (couche océanique de $50~\mathrm{m}$).

Écrire l'équation d'évolution de $T$.

Linéariser autour de $T_e$ et donner le temps de relaxation.

L'albédo dépend maintenant de $T$, avec $\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}T} < 0$.

À quelle condition l'équilibre reste-t-il stable ?

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 6. Couche partiellement absorbante ★★

Classiques de khôlle et concours · 35 min · Type écrit CCINP

La couche absorbe une fraction $a$ du rayonnement infrarouge de surface et transmet le reste.

Elle émet $a\sigma T_a^4$ de chaque côté et reste transparente au solaire.

Établir $T_s$ en fonction de $T_e$ et de $a$.

Quelle valeur de $a$ donne $T_s = 288~\mathrm{K}$ ?

En déduire $T_a$ et l'effet d'une hausse de $a$ de $0{,}01$.

Exercice 8. Atmosphère qui absorbe une partie du solaire ★★

Classiques de khôlle et concours · 35 min · Type écrit Centrale

La couche est opaque à l'infrarouge mais absorbe aussi une fraction $\beta$ de la puissance solaire $$F = (1 - A)\frac{\Phi_s}{4}.$$ Établir $T_s$ en fonction de $T_e$ et de $\beta$.

Cas $\beta = 1$.

Application à $\beta = 0{,}2$.

Exercice 9. Plusieurs couches et Vénus ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Type écrit Centrale

L'atmosphère est modélisée par $n$ couches minces, toutes transparentes au solaire et opaques à l'infrarouge.

Montrer que $$T_s^4 = (n + 1)\,T_e^4.$$ Estimer $n$ pour Vénus, avec $$T_e \approx 232~\mathrm{K}, \qquad T_s \approx 735~\mathrm{K}.$$

Exercice 7. Écrans radiatifs ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit Mines

Deux plans parallèles noirs très étendus sont maintenus à $T_1 > T_2$, dans le vide.

Calculer le flux surfacique échangé.

On intercale $N$ écrans minces noirs parallèles.

Montrer que le flux est divisé par $N + 1$.

Application à l'isolation multicouche des satellites.