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PC · Physique · semaine 16

Systèmes ouverts en régime stationnaire

Le premier et le deuxième principe de la thermodynamique écrits pour un système ouvert en régime stationnaire, dans le cas d'un écoulement unidimensionnel entre une section d'entrée et une section de sortie. Relations sur l'enthalpie massique et sur l'entropie massique, avec les termes d'échange et de création. Ces relations sont appliquées à l'étude de machines thermiques réelles à l'aide des diagrammes thermodynamiques.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. En régime stationnaire, avec une entrée et une sortie et un écoulement unidimensionnel, le débit massique se conserve et la variation de toute grandeur extensive du système fermé auxiliaire vaut Δx dm\Delta x\,\dd m.
  2. Premier principe : Δh+Δe=wu+q\Delta h+\Delta e=w_u+q. Le travail de transvasement est contenu dans l'enthalpie. Δe\Delta e est négligeable sauf dans une tuyère.
  3. Deuxième principe : Δs=se+sc\Delta s=s_e+s_c, avec se=∫δq/Tfs_e=\int\delta q/T_f et sc⩾0s_c\geqslant 0, nulle si et seulement si l'évolution est réversible.
  4. Par organe :
    • turbine et compresseur adiabatiques, Δe\Delta e négligeable : wu=Δhw_u=\Delta h ;
    • échangeur, Δe\Delta e négligeable : q=Δhq=\Delta h ;
    • détendeur, Δe\Delta e négligeable : Δh=0\Delta h=0 ;
    • tuyère adiabatique sans travail utile : Δe=−Δh\Delta e=-\Delta h.
  5. Les diagrammes (T,s)(T,s) et (P,h)(P,h) permettent de lire directement les transferts. Le diagramme (P,h)(P,h) est l'outil naturel des machines frigorifiques, où toutes les grandeurs utiles sont des différences d'abscisses.
Pourquoi ce chapitre

En PCSI, les principes de la thermodynamique ont été écrits pour un système fermé, une masse de fluide bien identifiée. Or presque toutes les machines industrielles fonctionnent en flux continu :

  • une turbine ;
  • un compresseur ;
  • une chaudière ;
  • un détendeur ;
  • un échangeur ;
  • un réacteur d'avion ;
  • un réfrigérateur ;
  • une pompe à chaleur.

Tous sont traversés en permanence par un fluide. Ce chapitre réécrit les deux principes pour cette situation. L'enthalpie massique prend la place de l'énergie interne.

Le programme exige la maîtrise des démonstrations et leur application à des situations concrètes. Avec le bilan d'entropie, on accède au rendement isentropique des machines réelles, donc à la mesure de leur imperfection.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Écoulement stationnaire 2

Exercice 1. Vanne de laminage d'un gaz parfait ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

De l'air, assimilé à un gaz parfait (r=287 J/(K kg)r = 287~\mathrm{J/(K~kg)}), traverse une vanne calorifugée.

Il entre à 20 bar20~\mathrm{bar} et 290 K290~\mathrm{K} et sort à 5 bar5~\mathrm{bar}.

Donner la température de sortie et l'entropie créée par kilogramme.

Commenter.

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Technique Bilan enthalpique, puis bilan entropique.

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  1. Pas de pièce mobile, donc wu=0w_u = 0. Vanne calorifugée, donc q=0q = 0. Δe\Delta e est négligeable. On en déduit Δh=0\Delta h = 0.
  2. Pour un gaz parfait, hh ne dépend que de TT. On a donc Ts=290 KT_s = 290\ \mathrm{K}.
  3. q=0q = 0 donne se=0s_e = 0. Alors sc=Δs=−rln⁡(Ps/Pe)=287ln⁡4≈398 J/(K kg).s_c = \Delta s = -r \ln(P_s/P_e) = 287 \ln 4 \approx 398\ \mathrm{J/(K\ kg)}.
  4. scs_c est strictement positive : la détente est irréversible. Le travail qu'aurait pu fournir une turbine est perdu.

piège : Conclure que la détente est réversible parce que la température ne change pas.

Exercice 2. Tuyère d'éjection ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Des gaz de combustion, assimilés à de l'air (cp=1 004 J/(K kg)c_p = 1\,004~\mathrm{J/(K~kg)}, γ=1,4\gamma = 1{,}4), entrent dans une tuyère calorifugée à 800 K800~\mathrm{K} avec une vitesse négligeable.

Ils sortent à 500 K500~\mathrm{K}.

Calculer la vitesse de sortie.

Quel rapport de pressions faut-il si l'évolution est réversible ?

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Rendement isentropique 3

Exercice 4. Pompe d'alimentation ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Une pompe fait passer de l'eau liquide de 0,10{,}1 à 50 bar50~\mathrm{bar}.

On prend v=1,0×10−3 m3/kgv = 1{,}0 \times 10^{-3}~\mathrm{m^3/kg} et c=4,18 kJ/(K kg)c = 4{,}18~\mathrm{kJ/(K~kg)}, avec dh=c dT+v dP.\mathrm{d}h = c\,\mathrm{d}T + v\,\mathrm{d}P. Calculer le travail réversible.

Si le rendement isentropique vaut 0,700{,}70, de combien l'eau s'échauffe-t-elle ?

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Exercice 3. Compresseur réel ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

De l'air (cp=1,00 kJ/(K kg)c_p = 1{,}00~\mathrm{kJ/(K~kg)}, r=0,286 kJ/(K kg)r = 0{,}286~\mathrm{kJ/(K~kg)}, γ=1,40\gamma = 1{,}40) est comprimé adiabatiquement de 1 bar1~\mathrm{bar}, 290 K290~\mathrm{K}, jusqu'à 6 bar6~\mathrm{bar}.

Le rendement isentropique vaut 0,850{,}85.

Calculer la température de sortie, le travail massique et l'entropie créée.

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  1. Isentropique : Tis=290×60,286≈484 KT_{is} = 290 \times 6^{0{,}286} \approx 484\ \mathrm{K}, donc wis=194 kJ/kgw_{is} = 194\ \mathrm{kJ/kg}.

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Exercice 5. Turbine à vapeur ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · D'après un écrit CCINP

De la vapeur entre dans une turbine à 60 bar60~\mathrm{bar} et 500 ∘C500~^\circ\mathrm{C}, avec h=3 422 kJ/kgets=6,88 kJ/(K kg).h = 3\,422~\mathrm{kJ/kg} \quad\text{et}\quad s = 6{,}88~\mathrm{kJ/(K~kg)}. Elle sort à 0,1 bar0{,}1~\mathrm{bar}, où Tsat=319 K,hl=192,T_{\mathrm{sat}} = 319~\mathrm{K}, \qquad h_l = 192, hv=2 584 kJ/kg,h_v = 2\,584~\mathrm{kJ/kg}, sl=0,65etsv=8,15 kJ/(K kg).s_l = 0{,}65 \quad\text{et}\quad s_v = 8{,}15~\mathrm{kJ/(K~kg)}. Le rendement isentropique vaut 0,850{,}85 et le débit 20 kg/s20~\mathrm{kg/s}.

Calculer le titre de sortie, la puissance fournie et l'entropie créée.

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  1. Isentropique : xis = (6,88 − 0,65)/7,50 ≈ 0,83, puis his = 192 + 0,83 × 2 392 ≈ 2 180 kJ/kg.

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Cycles thermodynamiques 3

Exercice 6. Réfrigérateur sur diagramme (P, h) ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · D'après un écrit CCINP

Un fluide frigorigène décrit le cycle de la fiche.

L'évaporation a lieu à −10 ∘C-10~^\circ\mathrm{C}, la condensation à 31 ∘C31~^\circ\mathrm{C}.

On lit h1=393h_1 = 393 (vapeur saturée), h2=425h_2 = 425 (sortie réelle du compresseur), h3=243h_3 = 243 (liquide saturé), en kJ/kg\mathrm{kJ/kg}.

À −10 ∘C-10~^\circ\mathrm{C}, hl=186 kJ/kgh_l = 186~\mathrm{kJ/kg}.

Calculer l'efficacité, le titre en entrée d'évaporateur et le débit pour 1 kW1~\mathrm{kW} de froid.

Comparer à Carnot.

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  1. Détendeur : h4=h3=243h_4 = h_3 = 243 kJ/kg.

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Exercice 8. Turbine à gaz idéale ★★★

Approfondissement · 40 min · Type écrit Mines

De l'air, assimilé à un gaz parfait (cpc_p, γ\gamma constants), entre dans un compresseur à T1T_1.

On note π\pi le rapport de pressions et a=πγ−1γ.a = \pi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}. Il est chauffé à pression constante jusqu'à T3T_3, puis détendu dans une turbine jusqu'à la pression initiale.

Compression et détente sont isentropiques.

On néglige la masse de combustible.

Exprimer le rendement, puis le aa qui maximise le travail net.

Application : T1=300 K,T3=1 200 K,T_1 = 300~\mathrm{K}, \qquad T_3 = 1\,200~\mathrm{K}, cp=1,0 kJ/(K kg),γ=1,4.c_p = 1{,}0~\mathrm{kJ/(K~kg)}, \qquad \gamma = 1{,}4.

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  1. Par Laplace, T2=aT1T_2 = a T_1 et T4=T3/aT_4 = T_3/a.

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Exercice 9. Compression étagée ★★★

Approfondissement · 35 min · Type oral Centrale

On comprime de l'air de P1=1 barP_1 = 1~\mathrm{bar} à P3=16 barP_3 = 16~\mathrm{bar} en deux compresseurs isentropiques.

Entre les deux, un refroidissement isobare ramène l'air à T1=300 KT_1 = 300~\mathrm{K}.

On prend cp=1,0 kJ/(K kg),c_p = 1{,}0~\mathrm{kJ/(K~kg)}, r=0,286 kJ/(K kg),r = 0{,}286~\mathrm{kJ/(K~kg)}, et k=γ−1γ=0,286k = \frac{\gamma - 1}{\gamma} = 0{,}286.

Quelle pression intermédiaire minimise le travail ?

Comparer à un étage unique et à la compression isotherme réversible.

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Échangeur thermique 1

Exercice 7. Échangeur à contre-courant ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit e3a

Dans un échangeur calorifugé, 1 kg/s1~\mathrm{kg/s} d'eau chaude passe de 80 ∘C80~^\circ\mathrm{C} à 40 ∘C40~^\circ\mathrm{C}.

De l'eau froide entre à 10 ∘C10~^\circ\mathrm{C} avec un débit de 2 kg/s2~\mathrm{kg/s}.

On prend c=4,18 kJ/(K kg)c = 4{,}18~\mathrm{kJ/(K~kg)}.

Température de sortie de l'eau froide et entropie créée par seconde ?

Voir le début du corrigé
  1. L'ensemble est calorifugé et sans pièce mobile : D1cΔT1+D2cΔT2=0D_1 c \Delta T_1 + D_2 c \Delta T_2 = 0. …

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique-chimie de la voie PC (arrêté du 5 janvier 2021, applicable à la rentrée 2022), partie « Thermodynamique », paragraphe « Systèmes ouverts en régime stationnaire ». Elle établit les deux relations exigibles, Δh+Δe=wu+q\Delta h + \Delta e = w_u + q et Δs=se+sc\Delta s = s_e + s_c, et montre comment les exploiter sur des machines réelles à l'aide des diagrammes (T,s)(T,s) et (P,h)(P,h).