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PC · Physique · semaine 29

Introduction à la physique du laser

Milieu amplificateur de lumière avec l'absorption, l'émission stimulée et l'émission spontanée, les coefficients d'Einstein et la nécessité d'une inversion de population. Propriétés optiques d'un faisceau spatialement limité de profil gaussien, avec le waist, la longueur de Rayleigh et l'ouverture angulaire. Transformation d'un faisceau par une lentille et élargisseur de faisceau, afin de déterminer la dimension et la position de la section minimale.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Trois processus relient matière et rayonnement :

    • absorption ;
    • émission spontanée incohérente ;
    • émission stimulée qui duplique le photon incident à l'identique.

  2. Les coefficients d'Einstein donnent les trois taux. Pour des niveaux non dégénérés, B12=B21B_{12}=B_{21}, donc le milieu amplifie si et seulement si N2>N1N_2>N_1.

  3. Une inversion de population est un état hors équilibre thermique, impossible avec deux niveaux seulement, d'où les systèmes à trois ou quatre niveaux et le pompage.

  4. Un faisceau gaussien est caractérisé par :

    • son waist w0w_0 ;
    • sa longueur de Rayleigh πw02/λ\pi w_0^2/\lambda ;
    • son ouverture angulaire λ/(πw0)\lambda/(\pi w_0).

    Le produit du waist par l'ouverture est fixé par la longueur d'onde.

  5. Une lentille de focale f′f' éclairée par un faisceau cylindrique de rayon ww forme, dans la description simplifiée, au voisinage de son plan focal image un waist de rayon λf′/(πw)\lambda f'/(\pi w). Élargir le faisceau avant la lentille réduit la tache et augmente l'éclairement.

Pourquoi ce chapitre

Le laser rend concrètes plusieurs notions du programme :

  • quantification des niveaux d'énergie ;
  • échanges entre matière et rayonnement ;
  • diffraction ;
  • optique géométrique.

Le chapitre se divise en deux parties indépendantes :

  • La première explique comment un milieu peut amplifier la lumière au lieu de l'absorber, et pourquoi cela exige une situation impossible à l'équilibre thermique.
  • La seconde donne les outils pour prévoir la taille d'une tache focale et donc la puissance surfacique disponible, aussi bien pour une découpe industrielle que pour un montage d'optique.

Prévoir la taille d'une tache focale permet de prévoir la puissance surfacique disponible.

Aux concours, l'exercice type est une construction géométrique de faisceau suivie d'un calcul d'éclairement.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Inversion de population 4

Exercice 1. Populations à l'équilibre thermique ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Deux niveaux non dégénérés sont séparés de 2,0 eV2{,}0~\mathrm{eV}.

Calculer N2/N1N_2/N_1 à 300 K300~\mathrm{K}.

Quelle température donnerait N2/N1=0,5N_2/N_1 = 0{,}5 ?

Peut-on obtenir l'inversion en chauffant ?

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Technique Loi de Boltzmann.

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  1. kBT=0,0259 eVk_B T = 0{,}0259\ \mathrm{eV} à 300 K300\ \mathrm{K}, donc ΔE/(kBT)≈77,2\Delta E/(k_B T) \approx 77{,}2 et N2/N1=exp⁡(−77,2)≈3×10−34.N_2/N_1 = \exp(-77{,}2) \approx 3 \times 10^{-34}.
  2. N2/N1=0,5N_2/N_1 = 0{,}5 impose T=ΔE/(kBln⁡2)≈3,3×104 K.T = \Delta E/(k_B \ln 2) \approx 3{,}3 \times 10^4\ \mathrm{K}.
  3. Le rapport croît avec TT mais reste strictement inférieur à 11. Il tend vers 11 quand TT tend vers l'infini. Chauffer ne donne jamais l'inversion.
  4. L'inversion est donc un état hors équilibre, entretenu par pompage.

piège : Croire qu'il suffit d'une température « assez élevée ». Même infinie, elle ne donne que l'égalité.

Exercice 3. Échec du pompage à deux niveaux ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

On éclaire un milieu à deux niveaux non dégénérés par un rayonnement résonant de densité uu.

On pose W=Bu.W = B u. Établir N2/N1N_2/N_1 en régime permanent et discuter la limite des fortes intensités.

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  1. On écrit dN2/dt=WN1−WN2−A21N2dN_2/dt = W N_1 - W N_2 - A_{21} N_2.

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Exercice 4. Système à trois niveaux ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit CCINP

Le niveau fondamental 1 est pompé vers le niveau 3 avec le taux WW par atome.

Le niveau 3 se vide très rapidement vers le niveau 2 métastable, de durée de vie τ\tau.

On néglige l'émission stimulée et on note NN la population totale.

Établir la condition d'inversion et l'appliquer pour τ=3 ms\tau = 3~\mathrm{ms} puis τ=10 ns\tau = 10~\mathrm{ns}.

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  1. La désexcitation 33 vers 22 est très rapide, donc N3≈0N_3 \approx 0 et tout atome pompé arrive en 22.

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Exercice 5. Système à quatre niveaux ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit CCINP

Le fondamental 0 est pompé vers le niveau 3, qui se vide aussitôt vers le niveau 2, de durée de vie τ2\tau_2.

Le niveau 2 se désexcite vers le niveau 1, qui se vide vers 0 avec la durée de vie τ1\tau_1.

On suppose le niveau 1 assez haut pour être vide à l'équilibre thermique.

Comparer N1N_1 et N2N_2 en régime permanent pour τ1=10 ns\tau_1 = 10~\mathrm{ns} et τ2=0,2 ms\tau_2 = 0{,}2~\mathrm{ms}.

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  1. On écrit dN1/dt=N2/τ2−N1/τ1dN_1/dt = N_2/\tau_2 - N_1/\tau_1, en négligeant l'émission stimulée.

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Durée de vie des niveaux 1

Exercice 2. Durée de vie et niveau métastable ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Un niveau excité a une durée de vie τ=10 ns\tau = 10~\mathrm{ns}.

Quelle fraction des atomes reste excitée au bout de 30 ns30~\mathrm{ns} ?

Même question au bout de 1 μs1~\mathrm{\mu s} pour un niveau métastable de durée de vie 3 ms3~\mathrm{ms}.

Conclure.

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Faisceau gaussien 2

Exercice 6. Faisceau hélium-néon ★

Application du cours · 20 min · Niveau khôlle

Un laser de longueur d'onde 633 nm633~\mathrm{nm} a un waist de rayon 0,40 mm0{,}40~\mathrm{mm}.

Calculer zRz_R et θ\theta, puis le rayon du faisceau à 10 m10~\mathrm{m} et à 1 km1~\mathrm{km}.

Construire l'allure.

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Exercice 7. Exploiter le profil radial ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit CCINP

On donne un faisceau de puissance P=5,0 mWP = 5{,}0~\mathrm{mW} et de rayon w=1,0 mmw = 1{,}0~\mathrm{mm}, de profil I0exp⁡(−2r2w2).I_0 \exp\left(-\frac{2r^2}{w^2}\right). Exprimer I0I_0.

Quelle fraction de la puissance traverse un diaphragme de rayon ww, puis de rayon 1,5 w1{,}5\,w ?

Voir le début du corrigé
  1. On a P=∫I0exp⁡(−2r2/w2) 2πr drP = \int I_0 \exp(-2r^2/w^2)\,2\pi r\,dr. …

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Focalisation d'un faisceau 3

Exercice 8. Tache focale d'un laser de découpe ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit CCINP

Un laser néodyme YAG de 10 W10~\mathrm{W}, à 1 064 nm1\,064~\mathrm{nm}, émet un faisceau cylindrique de rayon 1,5 mm1{,}5~\mathrm{mm}.

Il est focalisé par une lentille de focale 50 mm50~\mathrm{mm}.

Déterminer la position et le rayon du waist, sa longueur de Rayleigh et l'éclairement sur l'axe.

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  1. Le faisceau est cylindrique, donc le waist se forme au voisinage du plan focal image.

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Exercice 9. Élargir puis focaliser ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Type écrit Mines

Un faisceau hélium-néon de rayon 0,50 mm0{,}50~\mathrm{mm} traverse un élargisseur formé de lentilles de focales 10 mm10~\mathrm{mm} et 100 mm100~\mathrm{mm}.

On le focalise ensuite par une lentille de focale 200 mm200~\mathrm{mm}.

Comparer la tache obtenue avec celle obtenue sans élargisseur.

Quelle longueur de Rayleigh a le faisceau élargi ?

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  1. En sortie de l'élargisseur, w2=0,50×100/10=5,0 mmw_2 = 0{,}50 \times 100/10 = 5{,}0\ \mathrm{mm}, et la divergence est divisée par 1010.

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Exercice 10. Danger oculaire ★★★

Approfondissement · 35 min · Type oral Centrale

On modélise l'œil par une lentille de focale 17 mm17~\mathrm{mm} dans l'air.

Il reçoit un faisceau de 1,0 mW1{,}0~\mathrm{mW}, de rayon 1,0 mm1{,}0~\mathrm{mm}, à 633 nm633~\mathrm{nm}.

Estimer l'éclairement sur la rétine.

On le comparera à celui de l'image du Soleil.

On prendra pour le Soleil un éclairement de 103 W/m210^3~\mathrm{W/m^2}, un diamètre apparent de 9,3 mrad9{,}3~\mathrm{mrad} et une pupille de 1,5 mm1{,}5~\mathrm{mm} de rayon.

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique-chimie de PC (arrêté du 5 janvier 2021), partie 6.4 « Introduction à la physique du laser ». Le programme annonce une introduction descriptive pour les milieux amplificateurs et simplifiée pour l'optique des faisceaux limités. On se limite au mode fondamental gaussien.