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MP · Physique · semaine 31

Particule dans un potentiel

États stationnaires, puits de potentiel infini et fini, marche et barrière de potentiel, effet tunnel, oscillateur harmonique, évolution d'une superposition d'états.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. On résout région par région :

    • oscillant si E>VE>V ;
    • exponentiel réel si E<VE<V.

    Puis on raccorde par continuité de φ\varphi et de φ′\varphi', sauf devant un mur infini où seule φ\varphi est continue.

  2. Dans un puits infini de largeur LL : En=n2h28mL2E_n=\frac{n^2h^2}{8mL^2} et : φn(x)=2Lsin⁡(nπxL).\varphi_n(x)= \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right).

    L'énergie de confinement E1E_1 n'est jamais nulle, conformément à l'inégalité d'Heisenberg.

  3. Sur une marche avec E>V0E>V_0 :

    • la particule est partiellement réfléchie alors qu'une particule classique passerait toujours ;
    • RR et TT se calculent avec les courants de probabilité.

  4. Sur une marche avec E<V0E<V_0 :

    • la réflexion est totale ;
    • la fonction d'onde pénètre sous forme d'onde évanescente sur une longueur : δ=ℏ2m(V0−E).\delta=\frac{\hbar} {\sqrt{2m(V_0-E)}}.

  5. À travers une barrière de largeur finie :

    • la transmission n'est pas nulle : c'est l'effet tunnel, exponentiellement sensible à la largeur, à la hauteur et à la masse ;
    • une superposition de deux états stationnaires oscille à la fréquence de Bohr : E2−E1h.\frac{E_2-E_1}{h}.
Pourquoi ce chapitre

RemarqueApplications de la mécanique ondulatoire

C'est le chapitre d'applications de la mécanique ondulatoire. Les potentiels traités sont constants par morceaux, mais ils contiennent quatre résultats :

  • une particule confinée ne peut prendre que certaines énergies ;
  • elle possède une énergie minimale non nulle ;
  • elle est partiellement réfléchie par une marche qu'elle devrait franchir ;
  • elle traverse une barrière qu'elle ne devrait pas pouvoir franchir.

Ces quatre résultats expliquent la stabilité des atomes, la couleur des boîtes quantiques, la radioactivité alpha et le microscope à effet tunnel.

RemarqueCapacités attendues

Le programme met l'accent sur l'interprétation des résultats plutôt que sur les calculs, ceux de la barrière n'étant pas exigibles.

Aux concours, on demande surtout :

  • des raccordements ;
  • des lectures de graphes ;
  • des ordres de grandeur.

Classiques et HP

Méthodes et approfondissements du chapitre · le statut est précisé pour MP.

Classiques et HP réservés

Prolongements et démonstrations de Physique.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Probabilité de présence 3

Exercice 1. Probabilités de présence dans le puits infini ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Un électron est dans l'état φn\varphi_n du puits infini [0,L][0, L].

Calculer la probabilité PnP_n de le trouver entre 00 et L/4L/4.

Commenter pour n=1,2,3n = 1, 2, 3 et nn grand.

Voir l'indice

Technique intégrer sin⁡2\sin^2 par linéarisation.

Voir le corrigé offert
  1. Pn = (2/L) ∫ sin²(n π x/L) dx sur [0, L/4] = [x/L − sin(2 n π x/L)/(2 n π)] entre 0 et L/4.
  2. D'où Pn = 1/4 − sin(n π/2)/(2 n π).
  3. P₁ ≈ 0,25 − 0,16 = 0,09. P₂ = 0,25. P₃ = 1/4 + 1/(6π) ≈ 0,30.
  4. Quand n croît, Pn tend vers 1/4, valeur classique d'une particule qui parcourt le puits à vitesse constante. Au fondamental, la particule évite les bords.

piège : Oublier le facteur 2/L, ou croire que la densité quantique est uniforme comme la densité classique.

Exercice 8. Oscillation de la probabilité de présence ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

À t=0t = 0, la particule du puits infini [0,L][0, L] est dans l'état φ1+φ22.\frac{\varphi_1 + \varphi_2}{\sqrt{2}}. Calculer la probabilité PG(t)P_G(t) de la trouver dans la moitié gauche.

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  1. |ψ|² = (φ₁² + φ₂²)/2 + φ₁ φ₂ cos(ω t), avec ω = (E₂ − E₁)/ħ = 3 E₁/ħ.

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Exercice 9. Position moyenne et parité ★★★

Approfondissement · 35 min · Type oral Centrale

Même situation.

Calculer la position moyenne ⟨x⟩(t)=∫x ∣ψ∣2 dx.\langle x\rangle(t) = \int x\,|\psi|^2\,dx.

Que se passe-t-il avec (φ1+φ3)/2(\varphi_1 + \varphi_3)/\sqrt{2} ?

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  1. Les termes φ₁² et φ₂² sont symétriques par rapport à L/2 et donnent L/2.

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États stationnaires du puits 2

Exercice 2. Puits infini centré et parité ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Le puits est maintenant [−L/2,L/2][-L/2, L/2].

Déterminer les états stationnaires et montrer qu'ils sont pairs ou impairs.

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  1. φ = A cos(k x) + B sin(k x). Les conditions φ(L/2) = 0 et φ(−L/2) = 0 donnent, par somme et différence, A cos(k L/2) = 0 et B sin(k L/2) = 0.

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Exercice 4. Couleur d'une molécule conjuguée ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · D'après un écrit CCINP MP

Les NN électrons π\pi d'une chaîne conjuguée (NN pair) sont modélisés par des particules indépendantes dans un puits infini de longueur LL.

Chaque niveau accueille deux électrons.

Exprimer la longueur d'onde de la première absorption.

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  1. Les niveaux 1 à N/2 sont pleins. …

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Estimation par Heisenberg 2

Exercice 3. Taille et énergie de l'atome d'hydrogène ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

L'électron d'un atome d'hydrogène est confiné dans une région de taille a autour du proton. Estimer a et l'énergie du fondamental par l'inégalité d'Heisenberg.

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  1. p ≈ ħ/a, donc E(a) ≈ ħ²/(2 m a²) − e²/(4π ε₀ a).

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Exercice 10. Confinement nucléaire ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Type oral Mines

Un nucléon est confiné dans un noyau de taille L≈5 fm.L \approx 5~\mathrm{fm}.

Estimer son énergie cinétique minimale.

On donne ℏc≈197 MeV⋅fmetmpc2≈938 MeV.\hbar c \approx 197~\mathrm{MeV\cdot fm} \quad\text{et}\quad m_p c^2 \approx 938~\mathrm{MeV}.

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  1. Estimation d'Heisenberg : (197)²/(2 × 938 × 25) ≈ 0,8 MeV.

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Effet tunnel et diffusion 3

Exercice 5. Marche avec E = 2 V₀ ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Khôlle

Une particule d'énergie E=2V0E = 2 V_0 arrive sur une marche montante de hauteur V0V_0.

Calculer RR, TT et ∣C/A∣|C/A|.

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  1. k₂ = √(2m(E − V₀))/ħ = k₁/√2.

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Exercice 6. Réflexion totale et onde stationnaire ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · D'après un écrit CCINP MP

Marche avec E<V0E < V_0.

Donner φ\varphi dans les deux régions sous forme réelle à une phase près, la densité de probabilité, et comparer la pénétration pour un électron et pour un proton avec V0−E=1 eV.V_0 - E = 1~\mathrm{eV}.

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  1. B/A = (k − i q)/(k + i q) = exp(−2iα) avec tan α = q/k.

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Exercice 7. Sensibilité du microscope à effet tunnel ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · D'après un écrit CCINP MP

Entre la pointe et l'échantillon, l'électron franchit une barrière de hauteur V₀ − E ≈ 4 eV. On admet T ∝ exp(−2 q a). Variation relative du courant quand a augmente de 0,1 nm, puis comparaison avec un proton à travers une barrière de 0,5 nm.

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  1. q = √(2 m × 4 eV)/ħ = 2/(0,20 nm), soit environ 1,0·10¹⁰ m⁻¹.

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique-chimie de MP (arrêté du 5 janvier 2021, parties 6.3 « États stationnaires d'une particule dans des potentiels constants par morceaux » et 6.4 « États non stationnaires d'une particule dans un puits de potentiel infini »).