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MPSI · Maths · semaine 39

Familles sommables

Sommabilité des familles de réels positifs puis de complexes, théorème de Fubini pour les sommes doubles, produit de Cauchy et applications.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. La somme d'une famille de réels positifs est la borne supérieure des sommes finies. Elle existe toujours dans [0,+∞][0,+\infty] et ne dépend d'aucun ordre. La famille est sommable si cette somme est finie.

  2. Dans le cas positif, sommation par paquets et théorème de Fubini sont vrais sans hypothèse de sommabilité. Le calcul sert lui-même à décider de la sommabilité.

  3. Une famille de complexes est sommable si la famille des modules l'est. Pour I=NI=\N, c'est exactement la convergence absolue, et la sommabilité s'obtient par domination.

  4. Pour une famille sommable de complexes, la somme est :

    • invariante par permutation ;
    • linéaire ;
    • compatible avec le regroupement en paquets ;
    • compatible avec l'interversion de Fubini.

    L'hypothèse de sommabilité y est indispensable.

  5. Le produit de deux familles sommables est sommable, de somme le produit des sommes. La version indexée par N\N est le produit de Cauchy, qui redonne la propriété de morphisme de l'exponentielle complexe.

Pourquoi ce chapitre

Additionner un nombre fini de termes ne pose aucun problème : on peut les regrouper, les permuter, les réordonner, le résultat ne change pas. Une série, elle, est liée à un ordre, celui des entiers, et à un passage à la limite.

Les familles sommables rétablissent la liberté du cas fini pour des familles infinies indexées par un ensemble quelconque. Sommer « en vrac » devient licite.

Le programme organise l'étude en deux temps :

  • d'abord les familles de réels positifs, où l'on calcule dans l'ensemble des réels positifs augmenté de plus l'infini, sans se poser de question d'existence ;
  • ensuite les familles de complexes, où la sommabilité est exigée.

Ce cadre servira en seconde année :

  • pour les probabilités sur un univers dénombrable ;
  • pour les séries entières.

La consigne pratique du programme est de commencer par un calcul formel, puis de le justifier dans un second temps.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Calcul de somme 2

Exercice 3. Une famille indexée par Z ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Soit aa complexe.

Montrer que la famille (a∣n∣)(a^{|n|}) indexée par Z\Z est sommable si et seulement si ∣a∣<1|a| < 1, et calculer alors sa somme.

Voir l'indice

Technique partition de Z en deux paquets.

Voir le corrigé offert
  1. Si ∣a∣≥1|a| \geq 1, la sous-famille indexée par NN a des modules au moins égaux à 11. La série correspondante diverge grossièrement, donc la famille n'est pas sommable.
  2. Si ∣a∣<1|a| < 1, on sépare ZZ en NN et les entiers strictement négatifs. Par paquets positifs, la somme des modules vaut 1/(1−∣a∣)+∣a∣/(1−∣a∣)1/(1 - |a|) + |a|/(1 - |a|), finie. La famille est sommable.
  3. Les paquets s'appliquent alors à la famille : 1/(1−a)+a/(1−a)=(1+a)/(1−a).1/(1 - a) + a/(1 - a) = (1 + a)/(1 - a).

piège : Compter deux fois le terme n=0n = 0 en prenant NN et les entiers négatifs ou nuls. Les paquets doivent être disjoints.

Exercice 1. Sommes des ζ(n) − 1 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Pour n≥2n \geq 2, on note ζ(n)=∑k≥11kn.\zeta(n) = \sum_{k \geq 1} \frac{1}{k^n}. Montrer que ∑n≥2(ζ(n)−1)=1\sum_{n \geq 2} (\zeta(n) - 1) = 1 et que ∑n≥1(ζ(2n)−1)=34.\sum_{n \geq 1} (\zeta(2n) - 1) = \frac{3}{4}.

Voir le début du corrigé
  1. Pour n≥2n \geq 2, ζ(n)−1=∑k≥21/kn\zeta(n) - 1 = \sum_{k\geq 2} 1/k^n. …

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Sommabilité d'une famille 2

Exercice 2. Sommes doubles de type Riemann ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Khôlle

Soit ss réel.

Pour quels ss la famille des 1(p+q)s\frac{1}{(p + q)^s}, indexée par N∗2\N^{*2}, est-elle sommable ?

En déduire, pour α>0\alpha > 0, une condition nécessaire et suffisante de sommabilité de la famille des 1(p2+q2)α.\frac{1}{(p^2 + q^2)^{\alpha}}.

Voir le début du corrigé
  1. Pour n≥2n \geq 2, la diagonale Dn={(p,q)∈N∗2:p+q=n}D_n = \{(p, q) \in N^{*2} : p + q = n\} contient n−1n - 1 couples. …

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Exercice 9. Support d'une famille sommable ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Type oral Mines

Soit II un ensemble quelconque et (ui)(u_i) une famille sommable de réels positifs, de somme SS.

Pour k≥1k \geq 1, on pose Ik={i∈I:ui≥1k}.I_k = \left\{ i \in I : u_i \geq \frac{1}{k} \right\}. Montrer que IkI_k est fini, de cardinal au plus kSkS.

En déduire que l'ensemble des ii tels que ui>0u_i > 0 est réunion d'une suite de parties finies.

Voir le début du corrigé
  1. Soit FF une partie finie de IkI_k. …

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Interversion de sommes 3

Exercice 4. Fubini sans sommabilité ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Sur N2\N^2, on pose up,q={1si q=p,−1si q=p+1,0sinon.u_{p,q} = \begin{cases} 1 & \text{si } q = p, \\ -1 & \text{si } q = p + 1, \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases} Calculer les deux sommes itérées.

Conclure.

Voir le début du corrigé
  1. À pp fixé, la ligne contient deux termes non nuls, 11 et −1-1. …

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Exercice 5. Somme des restes ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Soit (uk)(u_k) une suite de réels positifs et Rn=∑k≥n+1uk dans [0,+∞].R_n = \sum_{k \geq n+1} u_k \text{ dans } [0, +\infty]. Montrer que ∑n≥0Rn=∑k≥1k uk dans [0,+∞].\sum_{n \geq 0} R_n = \sum_{k \geq 1} k\,u_k \text{ dans } [0, +\infty]. Appliquer à uk=1k!u_k = \frac{1}{k!}, puis à uk=1k2u_k = \frac{1}{k^2} pour k≥1k \geq 1 (avec u0=0u_0 = 0).

Voir le début du corrigé
  1. ∑nRn\sum_n R_n est la somme des uku_k sur les couples (n,k)(n, k) tels que 0≤n<k0 \leq n < k. …

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Exercice 8. Série de Lambert ★★

Classiques de khôlle et concours · 35 min · D'après un écrit CCINP MP

Pour m≥1m \geq 1, on note d(m)d(m) le nombre de diviseurs positifs de mm.

Soit zz complexe avec ∣z∣<1|z| < 1.

Montrer que ∑n≥1zn1−zn=∑m≥1d(m) zm.\sum_{n \geq 1} \frac{z^n}{1 - z^n} = \sum_{m \geq 1} d(m)\,z^m.

Voir le début du corrigé
  1. Comme ∣zn∣<1|z^n| < 1, on a zn/(1−zn)=∑k≥1znkz^n/(1 - z^n) = \sum_{k\geq 1} z^{nk}.

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Produit de Cauchy 2

Exercice 7. Série des sommes partielles de l'exponentielle ★

Application du cours · 15 min · Écrit CCINP

Soit xx complexe avec ∣x∣<1|x| < 1 et Sn=∑k=0n1k!.S_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}. Montrer que ∑Snxn\sum S_n x^n converge absolument et vaut ex1−x\frac{e^x}{1 - x}.

Voir le début du corrigé
  1. ∑xn/n!\sum x^n/n! converge absolument pour tout xx, et ∑xn\sum x^n aussi car ∣x∣<1|x| < 1.

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Exercice 6. Un produit de Cauchy divergent ★★★

Approfondissement · 35 min · Écrit CCINP

Soit an=(−1)nn+1.a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n + 1}}. Montrer que ∑an\sum a_n converge, mais que le produit de Cauchy de cette série par elle-même diverge.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de MPSI (2021), parties e) et f) du chapitre « Procédés sommatoires discrets » du second semestre. Ce chapitre s'ouvre sur les séries numériques, objet de la fiche « Séries numériques », et se poursuit par les familles sommables, traitées ici.