Déterminants

Exercice 1. Inversibilité avec paramètre ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Pour $m$ réel, soit $A_m$ la matrice de lignes $$(m, 1, 1), \quad (1, m, 1), \quad (1, 1, m).$$ Pour quelles valeurs de $m$ est-elle inversible ?

Donner son rang dans les autres cas.

Exercice 2. Le déterminant « a sur la diagonale, b ailleurs » ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Calculer le déterminant de la matrice d'ordre $n \geq 2$ dont les coefficients diagonaux valent $a$ et les autres valent $b$.

Exercice 3. Tridiagonal trigonométrique ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit CCINP

Soit $\theta$ dans $]0, \pi[$.

On note $D_n$ le déterminant d'ordre $n$ avec $2\cos\theta$ sur la diagonale, $1$ juste au-dessus et juste au-dessous, et $0$ ailleurs.

Montrer que $$D_n = \frac{\sin((n + 1)\theta)}{\sin\theta}.$$

Exercice 4. Vandermonde ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit CCINP

Pour $x_1, \dots, x_n$ dans $K$, soit $V(x_1, \dots, x_n)$ le déterminant de la matrice de ligne $i$ égale à $$(1, x_i, x_i^2, \dots, x_i^{n-1}).$$ Montrer que $V$ est le produit des $(x_j - x_i)$ pour $i < j$.

En déduire que, pour $a, b, c$ réels, $$((X - a)^2, (X - b)^2, (X - c)^2)$$ est une base de $\R_2[X]$ si et seulement si $a, b, c$ sont distincts.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 5. Antisymétrique d'ordre impair ★

Application du cours · 5 min · Niveau khôlle

Soit $A$ dans $\mathcal{M}_n(K)$, avec $n$ impair et $A$ transposée égale à $-A$.

Montrer que $A$ n'est pas inversible.

Exercice 7. Matrices entières d'inverse entier ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Soit $A$ dans $\mathcal{M}_n(\R)$ à coefficients entiers, inversible, et dont l'inverse est à coefficients entiers.

Montrer que $\det A$ vaut $1$ ou $-1$.

Exercice 8. Positivité de det(A² + I_n) ★★★

Approfondissement · 25 min · Niveau écrit Centrale

Soit $A$ dans $\mathcal{M}_n(\R)$.

Montrer que $\det(A^2 + I_n) \geq 0$.

Exercice 10. Endomorphisme de polynômes ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Sur $\R_n[X]$, soit $$u(P) = P + P'.$$ Montrer que $u$ est un automorphisme.

Exercice 6. Déterminant de la transposition ★★★

Approfondissement · 25 min · Niveau écrit CCINP ou Mines

Soit $u$ l'endomorphisme de $\mathcal{M}_n(K)$ qui à $M$ associe sa transposée.

Calculer $\det u$.

Exercice 9. Trace et forme alternée ★★★

Approfondissement · 40 min · Type oral Mines, niveau X pour la dernière question

Soit $u$ dans $\mathcal{L}(E)$ et $e$ une base.

On pose $$\begin{aligned} f(x_1, \dots, x_n) &= \sum \det_e(x_1, \dots, \\ &\qquad u(x_i), \dots, x_n), \end{aligned}$$ la somme portant sur $i$ de $1$ à $n$.

Montrer que $f = \operatorname{tr}(u) \det_e$, puis en déduire que la trace ne dépend pas de la base.

Exercice classique. Une famille tridiagonale dépendant d’un paramètre ★★★

Classique du chapitre

Pour $n\geq 1$ et $x\in\R$, on considère la matrice réelle $A_n(x)$ définie par $(A_n(x))_{ii}=x$, $(A_n(x))_{ij}=1$ si $|i-j|=1$, et $(A_n(x))_{ij}=0$ si $|i-j|\geq 2$. On pose $P_n(x)=\det A_n(x)$ et, par convention, $P_0(x)=1$.

1. Établir une récurrence entre $P_n(x)$, $P_{n-1}(x)$ et $P_{n-2}(x)$, puis calculer $P_2(x)$ et $P_3(x)$.

2. Pour $\theta\in(0,\pi)$, démontrer que $P_n(2\cos\theta)=\sin((n+1)\theta)/\sin\theta$ pour tout $n\geq 0$.

3. Déterminer toutes les valeurs réelles de $x$ pour lesquelles $A_n(x)$ est singulière. Justifier qu’il n’existe aucune valeur supplémentaire.

4. Calculer $\det A_n(2)$ pour tout $n\geq 1$. Déterminer également les tailles pour lesquelles $A_n(1)$ est inversible.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.