Ton programme de MPI : ce chapitre est traité par Électrostatique (MP).

Hors programme en MPI, donc pas exigible :

Tracé numérique de lignes de champ (capacité numérique de MP)

Le cours

Résumé en cinq points

Le champ électrostatique est un vecteur polaire. Il est contenu dans les plans de symétrie de la distribution et perpendiculaire aux plans d'antisymétrie.
Le théorème de Gauss relie le flux sortant à la charge intérieure divisée par $\varepsilon_0$ . Il n'est exploitable que si la symétrie impose direction et dépendance du champ.
Trois résultats sont à savoir établir : la sphère chargée en volume, le cylindre infini et le plan infini. À partir du plan, on obtient la capacité $\dfrac{\varepsilon_0 S}{e}$ du condensateur plan.
Le champ dérive d'un potentiel, $\vec{E} = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,V$ . Localement, $\operatorname{div}\vec{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0}$ et $\overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\vec{E} = \vec{0}$ , d'où les équations de Poisson et de Laplace.
Un dipôle crée un potentiel en $1/r^2$ et un champ en $1/r^3$ . Dans un champ uniforme il subit un couple $\vec{p}\wedge\vec{E}$ et possède l'énergie $-\vec{p}\cdot\vec{E}$ . Dans un champ non uniforme il est attiré vers les champs forts.

Pourquoi ce chapitre

C'est le premier chapitre d'électromagnétisme de MP et il fixe des réflexes utilisés jusqu'aux ondes électromagnétiques. Le programme met l'accent sur les situations à haut degré de symétrie, où les propriétés de flux et de circulation suffisent à déterminer le champ sans aucune intégration vectorielle.

L'exercice type n'est pas un calcul de champ par superposition : c'est une analyse de symétries suivie d'un théorème de Gauss.
Le potentiel transforme un problème vectoriel en un problème scalaire.
Le dipôle sert de modèle à la matière polarisée et reviendra dans le rayonnement dipolaire.

1Charges et distributions

La charge électrique est conservée et quantifiée, multiple entier de la charge élémentaire $e = 1{,}60 \times 10^{-19} \unite{C}$ .

Définition 1.1Densités de charge

Selon l'échelle d'observation, on modélise une distribution par :

une densité volumique $\rho$ en $\unite{C.m^{-3}}$ ;
une densité surfacique $\sigma$ en $\unite{C.m^{-2}}$ ;
une densité linéique $\lambda$ en $\unite{C.m^{-1}}$ .

Le choix est affaire d'échelle :

on adopte le modèle surfacique quand l'épaisseur chargée est petite devant les autres dimensions ;
on adopte le modèle linéique quand deux dimensions sont petites.

Propriété 1.2Relations entre modèles

Ces modèles sont reliés entre eux :

une couche d'épaisseur $h$ et de densité volumique $\rho$ est équivalente, vue de loin, à une densité surfacique $\sigma = \rho h$ ;
un cylindre de section $S$ chargé uniformément équivaut à une densité linéique $\lambda = \rho S$ .

La charge totale s'obtient par intégration de la densité sur le domaine, ce qui est immédiat dans les cas uniformes et à géométrie simple.

AttentionChamp discontinu

Un modèle surfacique conduit à un champ discontinu à la traversée de la surface : c'est le prix de l'idéalisation.

2Loi de Coulomb, champ et potentiel

2.1Champ créé par des charges ponctuelles

Loi 2.1Loi de Coulomb

La force exercée par une charge $q_1$ sur une charge $q_2$ est portée par la droite qui les joint, répulsive pour des charges de même signe, et sa norme vaut $\frac{\abs{q_1 q_2}}{4\pi\varepsilon_0 r^2}.$ On pose $\varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12} \unite{F.m^{-1}}$ , et $\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9{,}0 \times 10^{9}$ en unités du système international.

Définition 2.2Champ d'une charge ponctuelle

Le champ électrostatique créé par une charge ponctuelle $q$ en un point à la distance $r$ vaut $\vec{E} = \frac{q\,\vec{u}_r}{4\pi\varepsilon_0 r^2},$ où $\vec{u}_r$ pointe de la charge vers le point.

Propriété 2.3Principe de superposition

Le champ créé par un ensemble de charges ponctuelles est la somme vectorielle des champs individuels.

Exemple 2.4Ordres de grandeur à citer

Champ créé par un proton à $0{,}1 \unite{nm}$ : de l'ordre de $10^{11} \unite{V.m^{-1}}$ , échelle des champs internes à la matière.
Champ disruptif de l'air sec : $3 \times 10^{6} \unite{V.m^{-1}}$ , au-delà duquel il y a claquage.
Champ atmosphérique par beau temps au voisinage du sol : de l'ordre de $100 \unite{V.m^{-1}}$ .
Champ dans un condensateur de travaux pratiques : quelques $10^{4} \unite{V.m^{-1}}$ .

2.2Potentiel

Propriété 2.5Potentiel électrostatique

La circulation du champ électrostatique le long d'un chemin fermé est nulle. Le champ dérive donc d'un potentiel scalaire : $\vec{E} = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,V.$

L'unité du champ s'exprime indifféremment en $\unite{V.m^{-1}}$ ou en $\unite{N.C^{-1}}$ .

Propriété 2.6Potentiel d'une charge ponctuelle

Avec la convention d'un potentiel nul à l'infini, le potentiel créé par une charge ponctuelle $q$ vaut $V = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}.$ Le potentiel créé par un ensemble de charges ponctuelles est la somme algébrique des potentiels, ce qui est bien plus simple qu'une somme vectorielle.

Propriété 2.7Différence de potentiel

La différence de potentiel entre deux points est l'opposée de la circulation du champ de l'un à l'autre : $V(A) - V(B) = \int_A^B \vec{E}\cdot\dd\vec{l}.$

Le programme demande de citer l'expression du gradient en coordonnées cartésiennes. En coordonnées sphériques et cylindriques, l'expression est fournie.

3Symétries et invariances

Cet outil rend le théorème de Gauss exploitable, et il est exigible à part entière.

Propriété 3.1Invariances

Si la distribution est invariante par translation selon un axe, les composantes du champ ne dépendent pas de la coordonnée associée.
Si elle est invariante par rotation autour d'un axe, elles ne dépendent pas de l'angle.
Une distribution à symétrie sphérique ne laisse qu'une dépendance en $r$ .

Propriété 3.2Plan de symétrie

Hypothèses

un plan est plan de symétrie de la distribution de charges.

Alors en tout point de ce plan le champ électrostatique appartient à ce plan. Plus généralement, le champ est symétrique par rapport à ce plan.

Propriété 3.3Plan d'antisymétrie

Hypothèses

un plan change la distribution en son opposée.

Alors en tout point de ce plan le champ est perpendiculaire à ce plan.

AttentionChamp électrique et champ magnétique

Ces règles viennent du fait que le champ électrostatique est un vrai vecteur, ou vecteur polaire, contrairement au champ magnétique. Elles n'ont pas les mêmes conclusions dans les deux cas : c'est l'erreur la plus fréquente.

MéthodeExploiter les symétries

Chercher d'abord toutes les invariances, ce qui réduit le nombre de variables.
Chercher, pour le point $M$ étudié, un plan de symétrie passant par $M$ , ce qui réduit le nombre de composantes.
Souvent deux plans de symétrie suffisent à imposer la direction du champ.
Conclure, par exemple, que le champ est radial et ne dépend que de $r$ .

4Théorème de Gauss

4.1Énoncé

Théorème 4.1Théorème de Gauss

Hypothèses

surface fermée, orientée vers l'extérieur.

Alors le flux du champ électrostatique à travers cette surface est égal à la charge intérieure à cette surface divisée par $\varepsilon_0$ : $\oiint \vec{E}\cdot\dd\vec{S} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.$

Le théorème est admis dans le programme de MP.

RemarqueDeux remarques

Le flux ne dépend que de la charge intérieure, mais le champ en chaque point dépend de toutes les charges, intérieures et extérieures.
Le théorème est toujours vrai, mais il n'est utile que si la symétrie permet de sortir le champ de l'intégrale.

4.2Les trois cas exigibles

Propriété 4.2Sphère uniformément chargée en volume

Hypothèses

sphère de rayon $R$ , de charge totale $Q$ , uniformément chargée en volume ;
surface de Gauss sphérique.

Alors, à l'extérieur, $E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2},$ identique au champ d'une charge ponctuelle $Q$ placée au centre. Le programme demande d'établir et d'énoncer ce résultat. À l'intérieur, seule la charge de la boule de rayon $r$ compte : $E = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0},$ champ qui croît linéairement depuis le centre. Le champ est continu en $r = R$ .

Propriété 4.3Cylindre infini chargé en volume

Hypothèses

cylindre infini de rayon $R$ uniformément chargé en volume ;
surface de Gauss cylindrique fermée par deux disques, dont le flux est nul.

Alors, à l'extérieur, $E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r},$ où $\lambda$ est la charge par unité de longueur. À l'intérieur, $E = \frac{\rho r}{2\varepsilon_0}.$

AttentionDécroissance du champ du cylindre

Le champ est radial et décroît en $1/r$ à l'extérieur, et non en $1/r^2$ .

Propriété 4.4Plan infini chargé en surface

Hypothèses

plan infini uniformément chargé avec la densité $\sigma$ ;
cylindre de Gauss traversant le plan symétriquement.

Alors le champ est perpendiculaire au plan, uniforme de chaque côté, de norme $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0},$ dirigé en s'éloignant du plan si $\sigma$ est positive. Il est discontinu à la traversée, avec un saut $\sigma/\varepsilon_0$ .

4.3Analogie avec la gravitation

Le champ gravitationnel obéit à une loi en inverse du carré comme le champ électrostatique. La correspondance est la suivante :

la masse remplace la charge ;
$\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ est remplacé par $-G$ .

Théorème 4.5Théorème de Gauss de la gravitation

Le flux du champ gravitationnel à travers une surface fermée vaut $-4\pi G$ fois la masse intérieure.

Le programme demande explicitement de savoir l'utiliser, notamment pour retrouver le champ à l'intérieur d'un astre sphérique homogène.

5Condensateur plan

On modélise un condensateur plan par deux plans infinis parallèles, distants de $e$ , portant les densités surfaciques opposées $\sigma$ et $-\sigma$ .

Propriété 5.1Champ du condensateur plan

Par superposition des champs de deux plans infinis, le champ est nul à l'extérieur et vaut $\sigma/\varepsilon_0$ entre les armatures, dirigé de l'armature positive vers la négative.

Propriété 5.2Capacité du condensateur plan

La tension entre les armatures vaut $U = E e = \dfrac{\sigma e}{\varepsilon_0}$ . La charge d'une armature d'aire $S$ vaut $Q = \sigma S$ . D'où $C = \frac{Q}{U} = \frac{\varepsilon_0 S}{e}.$

Le programme demande d'établir et de citer ce résultat.

RemarqueConditions de validité

Le modèle néglige les effets de bord, ce qui suppose que la distance entre armatures est petite devant leurs dimensions transverses.
Pour un diélectrique entre les armatures, la capacité est multipliée par la permittivité relative, résultat qui dépasse le cadre du programme.

Exemple 5.3Ordre de grandeur

Deux plaques de $10 \unite{cm}$ de côté séparées de $0{,}1 \unite{mm}$ d'air donnent environ $0{,}9 \unite{nF}$ . Une capacité de l'ordre du microfarad suppose donc une très grande surface enroulée ou un diélectrique.

Le condensateur cylindrique se traite par la même méthode, théorème de Gauss puis circulation, mais il ne figure pas parmi les capacités exigibles du programme de MP.

6Cartes de champ

Définition 6.1Ligne et tube de champ

Une ligne de champ est une courbe tangente en chacun de ses points au champ.
Un tube de champ est l'ensemble des lignes de champ s'appuyant sur un contour fermé.

Propriété 6.2Lignes de champ électrostatique

Elles partent des charges positives et aboutissent aux charges négatives, ou partent à l'infini.
Elles ne se croisent pas, sauf en un point où le champ est nul.

Propriété 6.3Surfaces équipotentielles

Les surfaces équipotentielles sont orthogonales aux lignes de champ.
Le champ est dirigé dans le sens des potentiels décroissants.
Là où les lignes se resserrent, le champ est plus intense et les équipotentielles sont plus rapprochées.

Capacités exigibles associées :

orienter les lignes de champ d'une distribution donnée ;
passer des lignes de champ aux équipotentielles et inversement ;
relier le resserrement des lignes à l'intensité du champ ;
vérifier qu'une carte proposée est compatible avec les symétries et les invariances de la distribution. Ce dernier point est un bon moyen de contrôle en fin d'exercice.

MéthodeTracer des lignes de champ (capacité numérique)

Calculer le champ en un point par superposition des contributions des charges.
Normaliser.
Avancer d'un petit pas dans cette direction, et recommencer.

Les points délicats sont le choix du pas et l'arrêt de l'intégration au voisinage des charges, où le champ diverge.

7Équations locales et énergie

7.1Équations locales

Les lois locales de l'électrostatique s'obtiennent comme cas particuliers des équations de Maxwell en régime stationnaire.

Loi 7.1Équations locales de l'électrostatique

$\operatorname{div}\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}, \qquad \overrightarrow{\operatorname{rot}}\,\vec{E} = \vec{0}.$

La première est la forme locale du théorème de Gauss, obtenue par le théorème d'Ostrogradski.
La seconde traduit le caractère conservatif de la circulation, obtenue par le théorème de Stokes.

Propriété 7.2Équations de Poisson et de Laplace

En reportant $\vec{E} = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,V$ dans la première équation, on obtient l'équation de Poisson : $\Delta V + \frac{\rho}{\varepsilon_0} = 0.$ Dans une région vide de charges, elle se réduit à l'équation de Laplace : $\Delta V = 0.$

Le programme demande d'établir ces deux équations, ainsi que leurs analogues en gravitation, où le laplacien du potentiel gravitationnel vaut $4\pi G\rho$ .

7.2Énergie potentielle d'une charge

Propriété 7.3Énergie potentielle d'une charge ponctuelle

Hypothèses

le champ est extérieur, c'est-à-dire créé par d'autres charges ;
la charge $q$ ne modifie pas la distribution qui crée le champ.

Alors une charge ponctuelle $q$ placée en un point où règne un potentiel extérieur $V$ possède l'énergie potentielle $E_p = qV$ . La force qu'elle subit est l'opposée du gradient de cette énergie.

Exemple 7.4Électronvolt

Une charge élémentaire accélérée sous une tension de $1 \unite{V}$ gagne une énergie de $1$ électronvolt, soit $1{,}6 \times 10^{-19} \unite{J}$ .

8Dipôle électrostatique

8.1Moment dipolaire

Définition 8.1Moment dipolaire

Un doublet de charges opposées, $-q$ en $N$ et $+q$ en $P$ , a pour moment dipolaire $\vec{p} = q\,\overrightarrow{NP}$ , vecteur orienté de la charge négative vers la charge positive.

Il s'exprime en $\unite{C.m}$ , et souvent en debye : $1 \unite{D} = 3{,}34 \times 10^{-30} \unite{C.m}$ .

Exemple 8.2Molécule d'eau

Une molécule d'eau a un moment de $1{,}85 \unite{D}$ , soit environ $6 \times 10^{-30} \unite{C.m}$ , ce qui correspond à une charge élémentaire séparée de quelques dixièmes d'ångström.

8.2Approximation dipolaire

Propriété 8.3Potentiel et champ d'un dipôle

Hypothèses

distance $r$ très grande devant la taille du doublet ;
$\theta$ est l'angle entre $\vec{p}$ et le rayon vecteur.

Alors le potentiel vaut $V = \frac{\vec{p}\cdot\vec{u}_r}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2}.$ Le champ s'en déduit par gradient : $\vec{E} = \frac{p\,(2\cos\theta\,\vec{u}_r + \sin\theta\,\vec{u}_\theta)}{4\pi\varepsilon_0 r^3}.$

À retenir

Le potentiel décroît en $1/r^2$ et le champ en $1/r^3$ , plus vite que pour une charge ponctuelle, parce que les deux charges se compensent de loin.

Le champ n'est pas à symétrie sphérique, il dépend de $\theta$ . Les lignes de champ sortent de la charge positive et se referment sur la négative. Le dessin présente un plan d'antisymétrie, le plan médiateur, où le champ est parallèle à $\vec{p}$ mais de sens opposé.

8.3Dipôle dans un champ extérieur

Propriété 8.4Champ extérieur uniforme

La résultante des deux forces est nulle.
Le couple vaut $\vec{p} \wedge \vec{E}$ .
L'énergie potentielle d'interaction vaut $-\vec{p}\cdot\vec{E}$ .

Le dipôle tend donc à s'aligner sur le champ, position pour laquelle l'énergie est minimale, donc stable. La position antiparallèle est un équilibre instable.

Propriété 8.5Champ extérieur non uniforme

Il apparaît en plus une force résultante, dont l'expression est fournie par l'énoncé et qui s'écrit comme le gradient de $\vec{p}\cdot\vec{E}$ pour un dipôle rigide. Le dipôle est alors attiré vers les régions de champ intense, ce qui explique qu'un objet isolant neutre soit attiré par un corps chargé.

Méthodes

MéthodeRésoudre un problème d'électrostatique

Commencer systématiquement par les invariances puis par les plans de symétrie, avant tout calcul.
N'appliquer le théorème de Gauss qu'après avoir établi la direction du champ et la variable dont il dépend. La surface de Gauss doit épouser la symétrie.
Pour un potentiel, préférer la superposition scalaire, puis dériver, plutôt que la superposition vectorielle.
Vérifier la continuité du champ à la traversée d'une distribution volumique, et la discontinuité de $\sigma/\varepsilon_0$ à la traversée d'une nappe surfacique.
Contrôler le comportement à grande distance : une distribution de charge totale non nulle donne un champ en $1/r^2$ , une distribution globalement neutre donne un comportement dipolaire en $1/r^3$ .

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Exploiter invariances et plans de symétrie pour prévoir la direction du champ et les variables dont il dépend.
Établir, par le théorème de Gauss, le champ créé en tout point par une sphère uniformément chargée en volume, et le comparer à celui d'une charge ponctuelle à l'extérieur.
Faire de même pour le cylindre infini chargé en volume et pour le plan infini chargé en surface.
Établir la capacité du condensateur plan par superposition de deux plans infinis.
Établir les équations de Poisson et de Laplace à partir des équations locales, et donner leurs analogues gravitationnels.
Établir le potentiel et le champ d'un doublet de charges dans l'approximation dipolaire, et tracer l'allure des lignes de champ.
Établir le couple et l'énergie potentielle d'un dipôle dans un champ uniforme, et discuter la stabilité des positions d'équilibre.
Commenter une carte de lignes de champ, l'orienter, y placer des équipotentielles et vérifier sa compatibilité avec les symétries.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Le programme de physique ne distingue pas « avec » et « sans » démonstration comme en maths. On indique donc ce que le programme et le jury attendent en pratique.

Loi de Coulomb et principe de superposition, pour des charges ponctuelles dans le vide : à citer.
Circulation du champ électrostatique nulle sur tout contour fermé, donc E = − grad V : à citer. Le gradient en cartésiennes est à connaître. En sphériques et cylindriques, il est fourni.
Potentiel d'une charge ponctuelle q/(4π ε₀ r), nul à l'infini : à citer.
Règles de symétrie. Le champ appartient à tout plan de symétrie de la distribution passant par M. Il est orthogonal à tout plan d'antisymétrie passant par M. Ces règles sont admises sous forme de principe et doivent être exploitées.
Théorème de Gauss, pour une surface fermée orientée vers l'extérieur : admis.
Champ d'une boule uniformément chargée en volume, en tout point : à établir.
Pour toute distribution à symétrie sphérique, le champ extérieur est celui d'une charge ponctuelle placée au centre et portant la charge totale : à établir et à énoncer.
Champ d'un cylindre infini uniformément chargé en volume : à établir.
Champ d'un plan infini uniformément chargé en surface : à établir.
Capacité du condensateur plan ε₀ S/e, effets de bord négligés : à établir et à citer.
Équations locales div E = ρ/ε₀ et rot E = 0 : cas particuliers des équations de Maxwell, qui sont posées. Équations de Poisson et de Laplace : à établir.
Énergie potentielle q V d'une charge ponctuelle dans un champ extérieur : à établir et à exploiter.
Potentiel et champ d'un doublet dans l'approximation dipolaire : à établir.
Résultante nulle et couple p ∧ E pour un doublet dans un champ uniforme : à établir.
Énergie potentielle d'interaction −p · E : à citer et à exploiter.
Force sur un dipôle en champ non uniforme : fournie par l'énoncé.
Théorème de Gauss gravitationnel, flux égal à −4π G M_int : à utiliser.
Relations de passage : exploitables, mais toujours rappelées par l'énoncé.
Hors programme : conducteurs en équilibre, capacité d'un conducteur isolé, angle solide, diélectriques, énergie électrostatique d'une distribution. Le calcul d'un champ par intégration sur une distribution continue n'est pas exigible, les expressions se limitent aux charges ponctuelles.

Clés de démonstration

Boule chargée en volume. Tout plan passant par le centre et par M est plan de symétrie, donc E = E(r) u_r. La symétrie sphérique ôte toute dépendance angulaire. Sur la sphère de Gauss de rayon r, le flux vaut 4π r² E(r). Astuce : à l'intérieur, la charge intérieure est Q r³/R³, et non Q.

Cylindre infini. Deux plans de symétrie passent par M : celui qui contient l'axe et celui qui est orthogonal à l'axe. Donc E = E(r) u_r. La surface de Gauss est un cylindre coaxial de hauteur h. Astuce : le flux à travers les deux disques est nul car E est radial, il ne reste que 2π r h E(r).

Plan infini. Tout plan orthogonal au plan chargé et passant par M est plan de symétrie. E est donc normal au plan, et l'invariance par translation le rend fonction de z seul. Le plan chargé est lui-même plan de symétrie, donc E_z(−z) = −E_z(z). Astuce : ce dernier argument permet d'écrire le flux du cylindre de Gauss sous la forme 2 S E(z), sans supposer E uniforme au départ.

Condensateur plan. On superpose les champs de deux plans de densités σ et −σ. Ils s'annulent à l'extérieur et s'ajoutent entre les armatures. La tension est la circulation de E d'une armature à l'autre, U = σ e/ε₀, puis C = σ S/U. Astuce : dire explicitement que e est petit devant la taille des armatures, ce qui justifie le modèle de plans infinis.

Poisson et Laplace. On reporte E = − grad V dans div E = ρ/ε₀. Comme div grad V est le laplacien de V, on obtient ΔV + ρ/ε₀ = 0, puis ΔV = 0 en l'absence de charge. Astuce : en gravitation, on remplace ρ/ε₀ par −4π G ρ, d'où ΔΦ = 4π G ρ.

Énergie q V. Le travail élémentaire de q E sur un déplacement dl vaut −q grad V · dl = −q dV. C'est l'opposé de la variation de q V. Astuce : le champ doit être extérieur, sinon la charge se compterait elle-même.

Doublet dans l'approximation dipolaire. Soit O le milieu de NP, avec NP = d. On a 1/PM ≈ (1/r)(1 + d cos θ/(2r)) et 1/NM ≈ (1/r)(1 − d cos θ/(2r)). La différence donne V = p cos θ/(4π ε₀ r²). Astuce : on fait le développement limité à l'ordre 1 en d/r, et on dérive ensuite en sphériques pour obtenir le champ.

Couple en champ uniforme. Les forces q E et −q E se compensent. Leur moment en O vaut OP ∧ q E + ON ∧ (−q E) = q NP ∧ E = p ∧ E. Astuce : comme la résultante est nulle, ce moment est le même en tout point.

Exemples et contre-exemples à connaître

Sphère creuse chargée en surface. Le champ est nul à l'intérieur et vaut Q/(4π ε₀ R²) juste à l'extérieur. Le saut normal vaut σ/ε₀. C'est l'exemple type de la discontinuité d'un modèle surfacique.
Deux charges égales q. Au milieu, E est nul mais V vaut q/(π ε₀ d), où d est la distance entre les charges. Un champ nul n'impose pas un potentiel nul.
Dipôle, plan médiateur. V y est nul mais E ne l'est pas. Un potentiel nul n'impose pas un champ nul.
Surface fermée entourant un dipôle. Le flux est nul alors que le champ n'est nul nulle part sur la surface. Un flux nul ne dit rien du champ local.
Cube uniformément chargé. Le théorème de Gauss reste vrai mais il est inutilisable, car aucune symétrie ne sort E de l'intégrale.
Plan infini. Son champ ne décroît pas avec la distance, ce qui est un artefact de l'infini. Un disque réel donne un champ en 1/r² à grande distance.
Fil ou cylindre infini. Le potentiel vaut −λ ln(r/r₀)/(2π ε₀) + constante. On ne peut pas le prendre nul à l'infini, car la distribution s'étend elle-même à l'infini.
Terre homogène. À l'intérieur, le champ de gravitation est proportionnel à r et vaut g₀ r/R. Un point dans un tunnel oscille harmoniquement.

Techniques du chapitre

Mener l'analyse de symétrie point par point. Mini-exercice : une distribution invariante par rotation autour de Oz et par translation selon Oz. Direction du champ en M ? Solution : le plan (M, Oz) et le plan orthogonal à Oz passant par M sont deux plans de symétrie. E est dans leur intersection, donc E = E(r) u_r.

Calculer une charge intérieure pour une densité non uniforme. Mini-exercice : dans une boule de rayon R, ρ = ρ₀ r/R. Trouver E pour r < R. Solution : Q_int est l'intégrale de ρ₀ r'/R × 4π r'² dr' de 0 à r, soit π ρ₀ r⁴/R. Gauss donne alors E = ρ₀ r²/(4 ε₀ R).

Remplacer un trou par une charge opposée. Mini-exercice : un plan de densité σ est percé d'un disque. Comment calculer le champ sur l'axe du trou ? Solution : on superpose le plan complet de densité σ, dont le champ σ/(2 ε₀) s'obtient par Gauss, et un disque de densité −σ. Le disque n'a pas assez de symétrie pour Gauss. Son champ sur l'axe s'obtient par intégration, calcul non exigible, qui doit donc être fourni par l'énoncé. Il ne reste alors qu'une somme sur l'axe.

Obtenir un potentiel par circulation. Mini-exercice : cylindre infini, zone extérieure. Solution : dV/dr = −E = −λ/(2π ε₀ r), d'où V(r) = −λ ln(r/r₀)/(2π ε₀), avec une référence r₀ choisie.

Remonter du champ à la charge. Mini-exercice : E = (ρ₀ x/ε₀) u_x pour |x| < a. Densité ? Solution : div E = ρ₀/ε₀, donc ρ = ρ₀ uniforme dans la couche.

Exploiter une relation de passage rappelée. Mini-exercice : le champ vaut E₁ sous un plan et E₂ au-dessus, et la normale n va de 1 vers 2. Solution : E₂ − E₁ = (σ/ε₀) n. La composante tangentielle est continue. On retrouve le saut σ/ε₀ du plan infini.

Faire un bilan d'énergie avec q V. Mini-exercice : un électron part sans vitesse de la cathode et atteint l'anode à 2 kV. Vitesse ? Solution : m v²/2 = e U, donc v = √(2 e U/m) ≈ 2,7 × 10⁷ m/s, encore non relativiste.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Potentiel d'une boule chargée

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Une boule de rayon R porte une charge Q uniformément répartie en volume. Déterminer V en tout point, avec V nul à l'infini. Vérifier l'équation de Poisson.

Technique champ par Gauss, puis intégration de dV/dr = −E avec raccord.

Voir le corrigé

À l'extérieur, E = Q/(4π ε₀ r²), donc V = Q/(4π ε₀ r).
À l'intérieur, E = ρ r/(3 ε₀), avec ρ = 3Q/(4π R³). Donc V(r) = V(R) + ρ (R² − r²)/(6 ε₀).
On raccorde par continuité de V en R. Comme ρ R²/(6 ε₀) = Q/(8π ε₀ R), on obtient V(0) = 3Q/(8π ε₀ R).
Laplacien sphérique, expression fournie : (1/r²) d(r² dV/dr)/dr = (1/r²) d(−ρ r³/(3 ε₀))/dr = −ρ/ε₀. Poisson est vérifiée.

piège : Prendre V nul au centre, ou oublier la constante de raccord.

Exercice 2. Couche plane épaisse

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

La région |z| < a porte une densité ρ uniforme. Champ en tout point. Comparer au plan chargé en surface.

Technique symétries du plan, puis cylindre de Gauss symétrique.

Voir le corrigé

Par symétrie, E = E(z) u_z avec E(−z) = −E(z).
Pour |z| < a : 2 S E = ρ 2 S z/ε₀, donc E = ρ z/ε₀.
Pour z > a : E = ρ a/ε₀. Le champ est continu en z = a, comme attendu pour une distribution volumique.
Vue de loin, la couche équivaut à σ = 2 ρ a. On retrouve bien σ/(2 ε₀) = ρ a/ε₀.

piège : Appliquer Gauss sur un cylindre non symétrique sans connaître E sur la face intérieure.

Exercice 3. Cavité excentrée

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Une boule de centre O et de densité ρ contient une cavité sphérique vide de centre O'. Montrer que le champ est uniforme dans la cavité.

Technique superposition d'une boule pleine et d'une boule de densité −ρ.

Voir le corrigé

Boule pleine, au point M intérieur : E₁ = ρ OM/(3 ε₀), sous forme vectorielle.
Boule de densité −ρ centrée en O' : E₂ = −ρ O'M/(3 ε₀).
Somme : E = ρ (OM − O'M)/(3 ε₀) = ρ OO'/(3 ε₀).
Le champ est uniforme et parallèle à OO'. Il est nul si la cavité est centrée.

piège : Écrire le champ intérieur en norme, sans sa forme vectorielle ρ OM/(3 ε₀), ce qui bloque l'addition.

Exercice 4. Force entre les armatures

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Un condensateur plan porte ± Q sur des armatures d'aire S distantes de e. Force subie par une armature. Application numérique pour S = 100 cm², e = 1 mm et U = 1 kV.

Technique une charge ne subit que le champ créé par les autres charges.

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Le champ créé par l'armature négative vaut σ/(2 ε₀), et non σ/ε₀.
Force sur l'armature positive : F = Q σ/(2 ε₀) = Q²/(2 ε₀ S), attractive.
Contrôle énergétique : à Q fixée, Q²/(2C) = Q² e/(2 ε₀ S), dont la dérivée par rapport à e redonne la même norme.
σ = ε₀ U/e ≈ 8,9 × 10⁻⁶ C/m², d'où F = σ² S/(2 ε₀) ≈ 0,04 N. Le champ entre les armatures vaut 10⁶ V/m, sous le seuil disruptif de l'air.

piège : Utiliser le champ total σ/ε₀, ce qui double la force.

Exercice 5. Tunnel terrestre

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

La Terre est une boule homogène de rayon R, avec g₀ en surface. Un objet glisse sans frottement dans un tunnel rectiligne qui ne passe pas forcément par le centre. Mouvement et durée d'un aller.

Technique Gauss gravitationnel.

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Sphère de Gauss de rayon r : 4π r² g(r) = −4π G M r³/R³, donc le champ vaut −(g₀ r/R) u_r.
On note H le pied de la perpendiculaire au tunnel issue du centre et x l'abscisse le long du tunnel. La composante utile vaut −g₀ x/R.
On obtient x'' + (g₀/R) x = 0, un oscillateur harmonique de période 2π √(R/g₀), indépendante du tunnel.
Numériquement, T ≈ 85 min, et un aller dure environ 42 min.

piège : Prendre la masse totale M comme masse intérieure.

Exercice 6. Lignes de champ du dipôle

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

À partir de V = p cos θ/(4π ε₀ r²), donner le champ, l'équation des lignes de champ, et les points où E est orthogonal à p.

Technique gradient sphérique fourni, puis colinéarité de dl et E.

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E_r = 2p cos θ/(4π ε₀ r³) et E_θ = p sin θ/(4π ε₀ r³).
Sur une ligne de champ, dr/(r dθ) = E_r/E_θ = 2 cos θ/sin θ. On intègre en ln r = 2 ln sin θ + constante, soit r = K sin²θ.
La composante selon p vaut E_r cos θ − E_θ sin θ, proportionnelle à 3 cos²θ − 1. Elle s'annule sur le cône cos²θ = 1/3, soit θ ≈ 54,7°.
En θ = π/2, E vaut p/(4π ε₀ r³) u_θ, donc il est antiparallèle à p, ce qui est cohérent avec le plan d'antisymétrie.

piège : Oublier le facteur 1/r de la composante orthoradiale du gradient.

Exercice 7. Oscillations d'un dipôle rigide

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Un dipôle p, de moment d'inertie J autour d'un axe fixe orthogonal au plan (p, E), est placé dans un champ uniforme E. Équilibres, stabilité, petites oscillations.

Technique énergie −p · E ou couple p ∧ E.

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Soit α l'angle entre p et E. On a Ep = −p E cos α.
Équilibres en α = 0 (Ep minimale, stable) et α = π (Ep maximale, instable).
Théorème du moment cinétique : J α'' = −p E sin α.
Pour de petits angles : ω = √(p E/J). Le dipôle oscille autour de la direction du champ.

piège : Ajouter une force de translation alors que le champ est uniforme.

Exercice 8. Molécule polaire près d'un ion

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Une molécule d'eau (p ≈ 6 × 10⁻³⁰ C·m) se trouve à r = 0,3 nm d'un ion Na⁺. Le dipôle est aligné sur le champ. Énergie d'interaction et force. La force F = grad(p · E), avec p constant, est fournie.

Technique énergie −p · E et comparaison à k T.

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Le champ de l'ion vaut e/(4π ε₀ r²). Aligné, le dipôle pointe à l'opposé de l'ion.
Ep = −p e/(4π ε₀ r²) ≈ −9,6 × 10⁻²⁰ J, soit environ −0,6 eV.
F = p d(e/(4π ε₀ r²))/dr u_r = −2 p e/(4π ε₀ r³) u_r. La force est attractive, en 1/r³.
k T vaut environ 0,025 eV à 300 K, ce qui explique la solvatation des ions. On discute la validité : la taille de la molécule n'est pas très petite devant r.

piège : Prendre une force en 1/r² par analogie avec Coulomb.

Exercice 10. Lire une carte de champ

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Une charge q est placée en O et une charge −4q en A, avec OA = d. Point de champ nul, surface V = 0, allure des lignes.

Technique invariance autour de l'axe, recherche d'un zéro sur l'axe, flux.

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L'axe OA est axe de révolution, et tout plan le contenant est plan de symétrie.
Le champ nul se trouve sur l'axe, du côté de la plus petite charge : q/u² = 4q/(u + d)², donc u = d. C'est un point d'équilibre instable pour une charge test.
V = 0 là où la distance à A vaut quatre fois la distance à O. C'est une sphère, qui entoure O.
La charge totale vaut −3q. Loin des charges, toutes les lignes arrivent de l'infini vers A, et toutes celles qui partent de O finissent en A.

piège : Chercher le zéro entre les charges, où les deux champs sont de même sens.

Exercice 9. Potentiel écranté

Approfondissement · Type oral Centrale

Dans un plasma, V(r) = q exp(−r/a)/(4π ε₀ r). Trouver la charge intérieure à la sphère de rayon r, puis la densité ρ.

Technique Gauss à l'envers, puis Poisson pour contrôler.

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E = −dV/dr = q exp(−r/a) (1/r² + 1/(a r))/(4π ε₀).
Gauss : Q(r) = 4π ε₀ r² E = q exp(−r/a) (1 + r/a). Elle tend vers q en 0, ce qui révèle une charge ponctuelle au centre, et vers 0 à l'infini.
ρ = (dQ/dr)/(4π r²) = −q exp(−r/a)/(4π a² r). C'est un nuage de charge totale −q qui écrante l'ion.
Contrôle : pour r > 0, ΔV = (1/r) d²(r V)/dr² = V/a², et −ε₀ V/a² redonne bien ρ.

piège : Conclure à une distribution sans charge ponctuelle, faute d'avoir regardé Q(r) en 0.

Erreurs fréquentes

Écrire le théorème de Gauss sans avoir établi la direction du champ et sa variable. Le jury exige l'analyse de symétrie avant la surface de Gauss.
Inverser les règles, ou appliquer au champ électrique celles du champ magnétique. E appartient aux plans de symétrie et il est orthogonal aux plans d'antisymétrie.
Prendre la charge totale au lieu de la charge intérieure, ou confondre σ/(2 ε₀) pour un plan seul et σ/ε₀ pour le condensateur.
Imposer un potentiel nul à l'infini pour une distribution infinie, ou oublier la continuité de V au raccord.
Se tromper de signe : p va de la charge négative vers la positive, l'énergie vaut −p · E, et le champ est dirigé vers les potentiels décroissants.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique-chimie de MP (arrêté du 5 janvier 2021), partie 4.1 « Électrostatique », complétée par les équations locales des champs statiques de la partie 4.3. Le programme exclut explicitement l'étude des conducteurs en équilibre électrostatique et limite les expressions de champ et de potentiel au cas des charges ponctuelles.