Le cours

Résumé en cinq points

Le rayon de convergence est la borne supérieure des $r$ tels que $(a_n r^n)$ soit bornée. Il y a convergence absolue strictement à l'intérieur, divergence grossière strictement à l'extérieur, et rien de général sur le bord.
La convergence est normale sur tout disque fermé strictement inclus dans le disque ouvert, donc la somme est continue sur le disque ouvert.
Dans le cas réel, la somme est de classe $C^\infty$ sur l'intervalle ouvert, on dérive et on intègre terme à terme sans changer le rayon, et les coefficients valent $f^{(n)}(0)/n!$ .
Développable en série entière est strictement plus fort que de classe $C^\infty$ . Le contre-exemple est la fonction construite à partir de $\e^{-1/x^2}$ .
Les développements usuels et la méthode par équation différentielle couvrent la quasi-totalité des exercices de développement.

Pourquoi ce chapitre

Une série entière est le cas particulier le plus régulier de série de fonctions.

Son domaine de convergence est presque un disque.
Sa somme y est indéfiniment dérivable.
On peut dériver, intégrer et identifier terme à terme sans précaution supplémentaire.

On s'en sert pour résoudre des équations différentielles linéaires à coefficients non constants, pour calculer des sommes de séries numériques, et en probabilités à travers les fonctions génératrices. Le chapitre revient aussi sur la régularité, en distinguant une fonction de classe $C^\infty$ et une fonction développable en série entière, deux notions qui ne coïncident pas. Il donne enfin une première occasion de travailler avec la variable complexe.

Les coefficients considérés sont réels ou complexes.

1Rayon de convergence

1.1Définition

Définition 1.1Série entière

Une série entière de la variable complexe est une série de fonctions de terme général $z \mapsto a_n z^n$ , où $(a_n)$ est une suite de scalaires. On la note $\sum a_n z^n$ . Dans le cas de la variable réelle, on écrit $\sum a_n x^n$ .

Théorème 1.2Lemme d'Abel

Hypothèses

$z_0$ est un complexe tel que la suite $(a_n z_0^n)$ est bornée ;
$z$ est un complexe tel que $\abs{z} < \abs{z_0}$ .

Alors la série $\sum a_n z^n$ converge absolument.

Démonstration

Soit $M$ un majorant de $\abs{a_n z_0^n}$ . Pour $z$ non nul avec $\abs{z} < \abs{z_0}$ , posons $q = \abs{z}/\abs{z_0}$ , qui appartient à $[0, 1[$ . Alors $\abs{a_n z^n} = \abs{a_n z_0^n}\,q^n \leqslant M q^n.$ La série géométrique de raison $q$ converge, donc la série des $\abs{a_n z^n}$ converge par comparaison.

Définition 1.3Rayon de convergence

Le rayon de convergence $R$ de la série entière est la borne supérieure, dans $[0, +\infty]$ , de l'ensemble des réels $r \geqslant 0$ tels que la suite $(a_n r^n)$ est bornée. Cet ensemble contient 0, il est donc non vide.

1.2Comportement selon le module

Le lemme d'Abel donne aussitôt la dichotomie suivante.

Propriété 1.4Dichotomie

Si $\abs{z} < R$ , la série $\sum a_n z^n$ converge absolument.
Si $\abs{z} > R$ , la suite $(a_n z^n)$ n'est pas bornée, donc elle ne tend pas vers 0, donc la série diverge grossièrement.
Si $\abs{z} = R$ , on ne peut rien dire en général : il faut étudier au cas par cas.

Le disque ouvert de centre 0 et de rayon $R$ s'appelle le disque ouvert de convergence. Dans le cas réel, l'intervalle $]-R, R[$ est l'intervalle ouvert de convergence.

Exemple 1.5Trois comportements au bord, tous de rayon 1

$\sum z^n$ diverge en tout point du cercle unité.
$\sum z^n/n^2$ converge absolument en tout point du cercle.
$\sum z^n/n$ diverge en $z = 1$ et converge en $z = -1$ .

Le comportement au bord n'est gouverné par rien de général.

1.3Comparaison des rayons

Propriété 1.6Comparaison des rayons

Soit $R_a$ et $R_b$ les rayons de $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ .

Si $a_n = O(b_n)$ , en particulier si $a_n = o(b_n)$ , alors $R_a \geqslant R_b$ .
Si $a_n \sim b_n$ , alors $R_a = R_b$ .

Exemple 1.7Série $\sum n^\alpha x^n$

Pour tout réel $\alpha$ , la série $\sum n^\alpha x^n$ a pour rayon 1, puisque $n^\alpha r^n$ est borné si et seulement si $r < 1$ , ou $r = 1$ et $\alpha \leqslant 0$ .

Multiplier le coefficient par une puissance de $n$ ne change pas le rayon.

1.4Règle de d'Alembert

Propriété 1.8Règle de d'Alembert

Hypothèses

les $a_n$ sont non nuls à partir d'un certain rang ;
$\abs{a_{n+1}}/\abs{a_n}$ tend vers une limite $\ell \in [0, +\infty]$ .

Alors $R = 1/\ell$ , avec les conventions $1/0 = +\infty$ et $1/(+\infty) = 0$ .

Attention

La règle ne s'applique que si la limite existe, ce qui exclut les séries lacunaires du type $\sum z^{2n}$ , où un coefficient sur deux est nul. On revient alors à la définition, ou on pose $Z = z^2$ pour se ramener à une série entière en $Z$ .

1.5Opérations

Propriété 1.9Somme

Le rayon de $\sum (a_n + b_n) z^n$ est au moins $\min(R_a, R_b)$ , avec égalité dès que $R_a \neq R_b$ . Sur le disque ouvert commun, la somme des sommes est la somme de la série somme.

Propriété 1.10Produit de Cauchy

On pose $c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}$ . Le rayon de $\sum c_n z^n$ est au moins $\min(R_a, R_b)$ , et sur le disque ouvert commun la somme de $\sum c_n z^n$ est le produit des deux sommes.

La justification vient du produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes.

Exemple 1.11Inégalités strictes

Pour $a_n = 1$ et $b_n = -1$ sauf $b_0 = 0$ , la série somme a un rayon infini alors que chaque rayon vaut 1.

2Continuité de la somme

Théorème 2.1Convergence normale sur un disque fermé

Hypothèses

$\sum a_n z^n$ est une série entière de rayon $R$ ;
$0 \leqslant r < R$ .

Alors la série converge normalement sur le disque fermé de centre 0 et de rayon $r$ .

Démonstration

Pour $\abs{z} \leqslant r$ , on a $\abs{a_n z^n} \leqslant \abs{a_n} r^n$ , et la série des $\abs{a_n} r^n$ converge puisque $r < R$ .

La somme d'une série entière est donc continue sur le disque ouvert de convergence : la continuité est une propriété locale, et tout point du disque ouvert est intérieur à un disque fermé de rayon $r < R$ .

Attention

Il n'y a en général ni convergence normale ni convergence uniforme sur le disque ouvert tout entier. L'exemple de $\sum z^n$ le montre, puisque la borne supérieure de $\abs{z^n}$ sur le disque ouvert vaut 1. On dit convergence normale sur tout disque fermé strictement inclus, jamais sur le disque ouvert.

3Régularité de la somme dans le cas réel

Dans cette section, $\sum a_n x^n$ est une série entière de la variable réelle, de rayon $R > 0$ , et $f$ désigne sa somme sur $]-R, R[$ .

3.1Dérivation terme à terme

Théorème 3.1Dérivation terme à terme

Les séries entières $\sum a_n x^n$ et $\sum n a_n x^{n-1}$ ont même rayon de convergence. La fonction $f$ est de classe $C^\infty$ sur $]-R, R[$ , et ses dérivées s'obtiennent par dérivation terme à terme. En particulier $f'(x)$ est la somme de la série de terme général $n a_n x^{n-1}$ .

De la même façon, la primitive de $f$ qui s'annule en 0 est la somme de la série de terme général $\dfrac{a_n x^{n+1}}{n+1}$ , de même rayon $R$ .

Attention

Ces égalités sont valables sur l'intervalle ouvert. Rien n'est affirmé aux extrémités.

3.2Expression des coefficients

En dérivant $n$ fois et en évaluant en 0, tous les termes disparaissent sauf un. On obtient $a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \quad \text{pour tout } n.$ Les coefficients d'une série entière de rayon strictement positif sont donc entièrement déterminés par sa somme.

Propriété 3.2Unicité du développement

Hypothèses

deux séries entières ont des rayons strictement positifs ;
leurs sommes coïncident sur un intervalle $]0, \alpha]$ avec $\alpha > 0$ .

Alors elles ont les mêmes coefficients.

C'est le principe d'identification, utilisé en permanence pour résoudre une équation différentielle ou une récurrence.

3.3Théorème d'Abel radial

Théorème 3.3Théorème d'Abel radial

Hypothèses

$\sum a_n x^n$ a un rayon $R$ strictement positif et fini ;
la série numérique $\sum a_n R^n$ converge.

Alors $\lim_{x \to R^-} f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n R^n.$

Résultat dont la démonstration est hors programme. Il permet de récupérer une valeur au bord par passage à la limite.

Exemple 3.4Somme de la série harmonique alternée

Pour $x \in ]-1, 1[$ , la somme de $\sum (-1)^{n-1} x^n/n$ vaut $\ln(1 + x)$ . La série numérique de terme général $(-1)^{n-1}/n$ converge par le critère des séries alternées. Le théorème d'Abel radial donne donc que sa somme vaut $\ln 2$ .

Attention

Le théorème ne dit rien sur la convergence de la série au bord : il suppose cette convergence et en tire la continuité radiale. Ne pas l'inverser.

4Fonctions développables en série entière

4.1Définition

Définition 4.1Fonction développable en série entière

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle contenant 0. On dit que $f$ est développable en série entière sur $]-R, R[$ s'il existe une série entière de rayon au moins $R$ dont la somme coïncide avec $f$ sur $]-R, R[$ . On définit de même le développement sur un disque ouvert dans le cas complexe.

Si $f$ est développable en série entière, alors $f$ est de classe $C^\infty$ au voisinage de 0 et, d'après l'expression des coefficients, son développement est nécessairement sa série de Taylor en 0, c'est-à-dire la série de terme général $\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ .

Attention

La réciproque est fausse, et c'est le point conceptuel du chapitre : une fonction peut être de classe $C^\infty$ sans être développable en série entière.

Exemple 4.2Fonction $\e^{-1/x^2}$

Soit $f(x) = \e^{-1/x^2}$ pour $x \neq 0$ et $f(0) = 0$ . Elle est de classe $C^\infty$ sur $\R$ et toutes ses dérivées sont nulles en 0. Sa série de Taylor est donc la série nulle, dont la somme ne coïncide avec $f$ sur aucun voisinage de 0.

Pour prouver qu'une fonction de classe $C^\infty$ est développable, il faut montrer que le reste de Taylor tend vers 0, ou construire le développement autrement.

4.2Développements usuels

Ils sont à connaître par cœur, avec leur rayon.

Propriété 4.3Développements usuels

$\exp(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{z^n}{n!}$ sur $\C$ tout entier, rayon infini. Même formule pour $\exp(x)$ sur $\R$ .
$\operatorname{ch} x = \sum \dfrac{x^{2n}}{(2n)!}$ et $\operatorname{sh} x = \sum \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ , rayon infini.
$\cos x = \sum \dfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ et $\sin x = \sum \dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ , rayon infini.
$\dfrac{1}{1 - z} = \sum_{n=0}^{+\infty} z^n$ sur le disque ouvert de rayon 1.
$\ln(1 + x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n-1} x^n}{n}$ , rayon 1.
$\operatorname{Arctan} x = \sum \dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$ , rayon 1.
$(1 + x)^\alpha = \sum \dfrac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)}{n!}x^n$ , rayon 1 si $\alpha$ n'est pas un entier naturel, rayon infini sinon puisque la série est alors un polynôme.

Deux façons rapides de les retrouver :

pour $\ln(1 + x)$ et $\operatorname{Arctan} x$ , on part de la série géométrique, on remplace $x$ par $-x$ ou par $-x^2$ , puis on intègre terme à terme ;
pour $(1 + x)^\alpha$ , on résout l'équation différentielle $(1 + x)y' = \alpha y$ avec $y(0) = 1$ .

4.3Développement par équation différentielle

C'est une capacité explicitement exigée.

MéthodeDévelopper une solution d'équation différentielle

Analyse. On suppose que la solution s'écrit comme somme d'une série entière de rayon $R > 0$ . On dérive terme à terme, on reporte dans l'équation, et on identifie les coefficients de chaque puissance de $x$ . On obtient une récurrence sur les $a_n$ .
Calcul du rayon. On résout la récurrence et on calcule le rayon, souvent par la règle de d'Alembert, pour vérifier qu'il est strictement positif.
Synthèse. On vérifie que la fonction construite est bien solution sur l'intervalle ouvert de convergence, ce qui est légitime puisque la dérivation terme à terme y est valide.

Exemple 4.4Équation $(1 + x)y' = \alpha y$ , $y(0) = 1$

L'identification donne $(n + 1)\,a_{n+1} = (\alpha - n)\,a_n.$ Donc $a_n$ est le produit des $(\alpha - k)$ pour $k$ de 0 à $n - 1$ , divisé par $n!$ . Le rapport de deux coefficients consécutifs tend vers 1 en module, donc le rayon vaut 1 lorsque $\alpha$ n'est pas entier naturel.

4.4Usages

Pour calculer une somme de série numérique, on reconnaît la valeur en un point d'une série entière connue. Par exemple, la somme des $n/2^n$ se calcule en dérivant la série géométrique.
Pour obtenir un développement limité à tout ordre, il suffit de tronquer le développement en série entière.
En probabilités, la fonction génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ est une série entière de rayon au moins 1. Les résultats de ce chapitre en donnent la continuité, la dérivabilité sur $]-1, 1[$ et l'unicité des coefficients, qui traduit le fait que la fonction génératrice caractérise la loi.

Méthodes

MéthodeRéflexes du chapitre

Pour un rayon de convergence, essayer d'abord la règle de d'Alembert. Si elle ne s'applique pas, revenir à la définition avec le caractère borné de $(a_n r^n)$ , ou utiliser une comparaison avec une série de rayon connu.
Ne jamais oublier que multiplier les coefficients par $n^\alpha$ ou par une constante ne change pas le rayon.
Pour une série lacunaire, poser un changement de variable du type $Z = z^2$ ou $Z = z^3$ .
Pour développer une fonction, préférer les opérations sur les développements usuels (dérivation, intégration, produit, substitution) au calcul des dérivées successives.
Pour une fraction rationnelle, décomposer en éléments simples puis utiliser la série géométrique.
Pour identifier deux séries entières, s'assurer d'abord que les deux rayons sont strictement positifs, puis identifier coefficient par coefficient.
Pour une valeur au bord, penser au théorème d'Abel radial, après avoir prouvé la convergence de la série numérique correspondante.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Énoncer et démontrer le lemme d'Abel, puis en déduire la dichotomie selon que $\abs{z}$ est plus petit ou plus grand que $R$ .
Donner trois séries de rayon 1 ayant des comportements différents sur le cercle unité.
Calculer un rayon de convergence par la règle de d'Alembert et traiter un cas lacunaire où elle ne s'applique pas.
Justifier la convergence normale sur tout disque fermé de rayon $r < R$ , et expliquer pourquoi elle échoue sur le disque ouvert.
Démontrer que les coefficients sont donnés par les dérivées en 0, et en déduire l'unicité du développement.
Écrire de mémoire les développements usuels avec leur rayon, et retrouver celui de $\operatorname{Arctan}$ à partir de la série géométrique.
Donner un exemple de fonction de classe $C^\infty$ non développable en série entière et expliquer pourquoi.
Développer en série entière une solution d'équation différentielle linéaire, en menant l'analyse, le calcul du rayon et la synthèse.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Lemme d'Abel : si (a_n z₀ⁿ) est bornée, Σ a_n zⁿ converge absolument pour |z| < |z₀|. Exigible avec démonstration.
Définition du rayon R comme borne supérieure dans [0, +∞]. Convergence absolue si |z| < R, divergence grossière si |z| > R. Exigible avec démonstration.
Si a_n = O(b_n), alors R_a ≥ R_b. Si a_n ∼ b_n, alors R_a = R_b. Exigible avec démonstration.
Pour tout réel α, Σ n^α xⁿ a pour rayon 1. Exigible.
Règle de d'Alembert : si |a_(n+1)|/|a_n| tend vers ℓ dans [0, +∞], alors R = 1/ℓ. Utilisable directement.
Somme et produit de Cauchy : rayon au moins min(R_a, R_b), et la somme de la série obtenue est la somme ou le produit des sommes sur le disque commun. Exigible.
Convergence normale sur tout disque fermé de centre 0 et de rayon r < R. Continuité de la somme sur le disque ouvert. Exigible avec démonstration.
Σ a_n xⁿ et Σ n a_n xⁿ ont même rayon. Exigible avec démonstration.
La somme est de classe C infini sur ]−R, R[, avec dérivation et primitivation terme à terme. Exigible.
a_n = fⁿ(0)/n!. Si deux sommes coïncident sur ]0, α] avec α > 0, les coefficients sont égaux. Exigible avec démonstration.
Théorème d'Abel radial : si R est strictement positif et fini et si Σ a_n Rⁿ converge, alors f(x) tend vers Σ a_n Rⁿ quand x tend vers R⁻. Exigible sans démonstration, preuve hors programme.
Une fonction développable en série entière est de classe C infini au voisinage de 0, et son développement est sa série de Taylor. Exigible.
Développements de exp(z) sur C et de 1/(1 − z) sur le disque unité. Développements réels de exp, ch, sh, cos, sin, Arctan, ln(1 + x), (1 + x)^α. Exigibles avec leur rayon.
Hors programme : la formule de Hadamard avec une limite supérieure, la dérivation par rapport à la variable complexe, les développements centrés en un point autre que 0, et le principe des zéros isolés comme théorème. Ce dernier se redémontre dans les cas simples, voir la clé sur l'unicité.

Clés de démonstration

Dichotomie selon |z|. Si |z| < R, la définition de la borne supérieure fournit un r tel que |z| < r ≤ R et (a_n rⁿ) bornée. Le lemme d'Abel s'applique alors avec z₀ = r. Si |z| > R et que (a_n zⁿ) était bornée, |z| appartiendrait à l'ensemble dont R est la borne supérieure, ce qui est absurde. Astuce : intercaler un réel entre |z| et R.

Comparaison des rayons. Si |a_n| ≤ M |b_n| et si (b_n rⁿ) est bornée, alors (a_n rⁿ) l'est aussi. L'ensemble des r associé à b est donc inclus dans celui associé à a, d'où l'inégalité entre les bornes supérieures. Astuce : comparer des ensembles, pas des nombres.

Même rayon pour Σ n a_n xⁿ. Comme a_n = O(n a_n), on a R' ≤ R. Réciproquement, soit r < R. On choisit r' avec r < r' < R, puis on écrit n |a_n| rⁿ = |a_n| r'ⁿ × n (r/r')ⁿ. Le premier facteur est borné, le second tend vers 0. Astuce : un rayon intermédiaire absorbe la puissance de n.

Classe C infini. Sur [−r, r] avec r < R, la série dérivée converge normalement, puisqu'elle a le même rayon. Le théorème de dérivation des séries de fonctions donne une somme C¹ et une dérivée obtenue terme à terme. On conclut par récurrence sur l'ordre de dérivation. Astuce : tout se passe sur des segments strictement inclus.

Unicité sur ]0, α]. On pose c_n = a_n − b_n, dont la somme g est nulle sur ]0, α]. Si les c_n ne sont pas tous nuls, soit p le premier indice tel que c_p ≠ 0. Alors g(x) = x^p h(x), où h est la somme d'une série entière de même rayon, donc continue en 0 avec h(0) = c_p. Or h est nulle sur ]0, α], donc c_p = 0 par continuité, ce qui est absurde. Astuce : factoriser par la première puissance non nulle, puis utiliser la continuité en 0.

Développement de exp. L'inégalité de Taylor-Lagrange donne un reste d'ordre n majoré par |x|ⁿ⁺¹ e^|x| / (n + 1)!, qui tend vers 0. On peut aussi dire que la série de terme général xⁿ/n! est solution de y′ = y avec y(0) = 1. Astuce : pour les autres fonctions usuelles, on combine ou on intègre, sans jamais recalculer de reste.

Exemples et contre-exemples à connaître

Σ n! zⁿ a un rayon nul. La somme n'existe qu'en 0, et aucun des théorèmes du chapitre ne s'applique.
Pour a_n = (2 + (−1)ⁿ)ⁿ, le rapport |a_(n+1)|/|a_n| n'a pas de limite, mais |a_n| rⁿ est bornée si et seulement si 3r ≤ 1. Le rayon vaut donc 1/3. C'est le cas typique où d'Alembert échoue et où la définition conclut.
Σ sin(n) xⁿ a pour rayon 1. Les coefficients sont bornés, donc R ≥ 1. Comme sin(n) ne tend pas vers 0, la série diverge grossièrement en x = 1, donc R ≤ 1.
Σ z^n² a pour rayon 1. C'est une série lacunaire que l'on traite directement par la définition.
Σ (−1)ⁿ xⁿ a pour somme 1/(1 + x), qui tend vers 1/2 en 1⁻, alors que la série diverge en 1. La réciproque du théorème d'Abel radial est fausse.
La fonction 1/(1 + x²) est de classe C infini sur R, mais son développement en série entière a pour rayon 1. Le rayon est limité par les pôles complexes ±i, invisibles sur R.
Le produit de 1 − z, de rayon infini, par Σ zⁿ, de rayon 1, vaut 1. Le produit de Cauchy peut donc avoir un rayon strictement supérieur au minimum des deux rayons.
Σ xⁿ/(n(n + 1)) converge normalement sur [−1, 1], car son terme général est majoré par 1/n². La somme est alors continue sur le segment fermé sans qu'il soit besoin d'Abel radial.

Techniques du chapitre

Technique 1 : d'Alembert sur la série numérique quand la série est lacunaire. Mini-exercice : Σ 3ⁿ x²ⁿ/(n + 1). Pour x ≠ 0, le rapport de deux termes consécutifs tend vers 3x². On a convergence si 3x² < 1 et divergence grossière si 3x² > 1. Donc R = 1/√3.

Technique 2 : encadrer les coefficients. Mini-exercice : soit d(n) le nombre de diviseurs de n. On a 1 ≤ d(n) ≤ n, et les séries Σ xⁿ et Σ n xⁿ ont toutes deux pour rayon 1. Par comparaison, le rayon de Σ d(n) xⁿ vaut 1.

Technique 3 : décomposer une fraction rationnelle en éléments simples. Mini-exercice : 1/((1 − x)(2 − x)) = 1/(1 − x) − 1/(2 − x). On écrit 1/(2 − x) = (1/2) Σ (x/2)ⁿ, d'où a_n = 1 − 2⁻⁽ⁿ⁺¹⁾. Les rayons valent 1 et 2, donc R = 1.

Technique 4 : dériver la série géométrique. Mini-exercice : en dérivant puis en multipliant par x, on obtient Σ n xⁿ = x/(1 − x)². En recommençant, Σ n² xⁿ = x(1 + x)/(1 − x)³. En x = 1/2, on trouve Σ n²/2ⁿ = 6.

Technique 5 : écrire un polynôme en n dans la base n(n − 1), n, 1. Mini-exercice : Σ (n² + 1) xⁿ/n!. On écrit n² + 1 = n(n − 1) + n + 1. Les trois morceaux valent x² e^x, x e^x et e^x, d'où la somme (x² + x + 1) e^x sur R.

Technique 6 : produit de Cauchy avec une série géométrique. Mini-exercice : e^x/(1 − x) a pour coefficients les sommes partielles s_n = Σ_(k≤n) 1/k!. Le rayon vaut au moins 1. Comme s_n tend vers e, le rayon vaut exactement 1.

Technique 7 : substituer puis intégrer. Mini-exercice : (1 + u)^−1/2 avec u = −x² donne 1/√(1 − x²) = Σ C(2n, n) x²ⁿ/4ⁿ sur ]−1, 1[. On intègre et on obtient Arcsin x = Σ C(2n, n) x²ⁿ⁺¹/(4ⁿ (2n + 1)).

Technique 8 : Abel radial pour une valeur au bord. Mini-exercice : Arctan x = Σ (−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹/(2n + 1) sur ]−1, 1[. La série numérique Σ (−1)ⁿ/(2n + 1) converge par le critère des séries alternées. Abel radial donne alors Σ (−1)ⁿ/(2n + 1) = Arctan 1 = π/4.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Trois rayons

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Déterminer le rayon de Σ (n!)² xⁿ/(2n)!, de Σ_(n≥2) ln(n) xⁿ et de Σ n^(−1)ⁿ xⁿ.

Technique d'Alembert, puis comparaison.

Voir le corrigé

Pour la première, le rapport vaut (n + 1)²/((2n + 2)(2n + 1)), qui tend vers 1/4. Donc R = 4.
Pour la deuxième, ln 2 ≤ ln n ≤ n. Donc 1 = O(ln n) et ln n = O(n), ce qui donne R ≤ 1 et R ≥ 1. Donc R = 1.
Pour la troisième, le coefficient vaut n si n est pair et 1/n si n est impair. On a 1/n ≤ a_n ≤ n, et les deux séries de comparaison ont pour rayon 1. Donc R = 1.

piège : Appliquer d'Alembert à la troisième série. Le rapport oscille entre des valeurs proches de 0 et d'autres qui tendent vers +∞, donc il n'a pas de limite.

Exercice 2. Rayons de séries transformées

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit R le rayon de Σ a_n zⁿ. Déterminer le rayon de Σ a_n z²ⁿ et celui de Σ a_n² zⁿ.

Technique revenir à la définition par le caractère borné.

Voir le corrigé

La suite (a_n r²ⁿ) est bornée si et seulement si r² appartient à l'ensemble des réels r' tels que (a_n r'ⁿ) soit bornée. En passant aux bornes supérieures, le rayon vaut √R.
On a |a_n² rⁿ| = (|a_n| (√r)ⁿ)². Cette suite est bornée si et seulement si (a_n (√r)ⁿ) l'est. Le rayon vaut donc R².
Les conventions √(+∞) = +∞ et (+∞)² = +∞ rendent les formules valables aussi si R est infini.

piège : Répondre R pour la série en z²ⁿ en oubliant que l'exposant n'est plus n.

Exercice 3. Une somme et ses valeurs au bord

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Calculer S(x) = Σ_(n≥1) xⁿ/(n(n + 1)) pour x dans [−1, 1].

Technique éléments simples, séries du logarithme, continuité au bord.

Voir le corrigé

Le rayon vaut 1, et la convergence est normale sur [−1, 1] puisque le terme général est majoré par 1/n². Donc S est continue sur [−1, 1].
On écrit 1/(n(n + 1)) = 1/n − 1/(n + 1). Pour 0 < |x| < 1, Σ xⁿ/n = −ln(1 − x) et Σ xⁿ/(n + 1) = (−ln(1 − x) − x)/x.
On obtient S(x) = 1 + ((1 − x)/x) ln(1 − x), et S(0) = 0.
Par continuité, S(1) = 1, limite de la formule puisque (1 − x) ln(1 − x) tend vers 0. De même S(−1) = 1 − 2 ln 2.

piège : Séparer Σ xⁿ/n et Σ xⁿ/(n + 1) en x = 1, où les deux séries divergent. La séparation n'est licite que sur ]−1, 1[.

Exercice 4. Développement de ln(1 + x + x²)

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

Développer en série entière f(x) = ln(1 + x + x²) et préciser le rayon.

Technique factorisation astucieuse et développement usuel.

Voir le corrigé

Pour |x| < 1, 1 + x + x² = (1 − x³)/(1 − x), avec 1 − x³ > 0 et 1 − x > 0. Donc f(x) = ln(1 − x³) − ln(1 − x).
Or −ln(1 − x) = Σ_(n≥1) xⁿ/n et ln(1 − x³) = −Σ_(n≥1) x³ⁿ/n.
Par identification, a_n = 1/n si 3 ne divise pas n, et a_n = 1/n − 3/n = −2/n si 3 divise n.
Le rayon vaut au moins 1 par somme. Comme |a_n| ≥ 1/n, il vaut au plus 1. Donc R = 1.

piège : Écrire x³ⁿ/n comme le coefficient de x³ⁿ sans recalculer : le coefficient de x^k pour k = 3n est 1/n = 3/k, pas 1/k.

Exercice 5. Série génératrice de Fibonacci

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

On pose F₀ = 0, F₁ = 1 et F_(n+2) = F_(n+1) + F_n. Calculer la somme de Σ F_n xⁿ, en déduire F_n et le rayon.

Technique minorer le rayon d'abord, identifier ensuite.

Voir le corrigé

Par récurrence forte, F_n ≤ 2ⁿ. Donc le rayon vaut au moins 1/2.
Pour |x| < 1/2, notons f(x) la somme. En regroupant, (1 − x − x²) f(x) = F₀ + (F₁ − F₀) x + Σ_(n≥2) (F_n − F_(n−1) − F_(n−2)) xⁿ = x.
On pose φ = (1 + √5)/2 et ψ = (1 − √5)/2. Alors 1 − x − x² = (1 − φx)(1 − ψx), et f(x) = (1/√5)(1/(1 − φx) − 1/(1 − ψx)).
Par unicité des coefficients, F_n = (φⁿ − ψⁿ)/√5.
Les deux séries géométriques ont des rayons distincts, 1/φ et 1/|ψ|, donc le rayon vaut 1/φ = (√5 − 1)/2.

piège : Manipuler f(x) sans avoir montré que le rayon est strictement positif.

Exercice 6. Coefficients positifs et divergence au bord

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit Σ a_n xⁿ de rayon R strictement positif et fini, avec a_n ≥ 0 pour tout n. On suppose que Σ a_n Rⁿ diverge. Montrer que f(x) tend vers +∞ quand x tend vers R⁻.

Technique minorer par une somme partielle, puis continuité d'un polynôme.

Voir le corrigé

Soit A > 0. La série à termes positifs diverge, donc il existe N tel que Σ_(n≤N) a_n Rⁿ ≥ A + 1.
Le polynôme P(x) = Σ_(n≤N) a_n xⁿ est continu en R, donc il existe δ > 0 tel que P(x) ≥ A pour x dans ]R − δ, R[.
Pour x dans [0, R[, tous les termes sont positifs, donc f(x) ≥ P(x) ≥ A.
Par contraposée, si a_n ≥ 0 et si f est bornée sur [0, R[, alors Σ a_n Rⁿ converge.

piège : Oublier la positivité. La série Σ (−1)ⁿ xⁿ a une somme bornée près de 1 mais diverge en 1.

Exercice 7. Une équation singulière en 0

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

Trouver les solutions développables en série entière de 4x y″ + 2y′ − y = 0, puis toutes les solutions sur ]0, +∞[.

Technique analyse, rayon, synthèse, puis argument de dimension.

Voir le corrigé

Analyse. Avec y = Σ a_n xⁿ, le coefficient de xⁿ donne (n + 1)(4n + 2) a_(n+1) = a_n, soit a_(n+1) = a_n/((2n + 2)(2n + 1)).
Donc a_n = a₀/(2n)!. Le rayon est infini par d'Alembert.
Synthèse. La série est solution sur R car la dérivation terme à terme y est licite. Sa somme vaut a₀ ch(√x) pour x ≥ 0 et a₀ cos(√(−x)) pour x ≤ 0.
Sur ]0, +∞[, le coefficient 4x ne s'annule pas, donc les solutions forment un espace de dimension 2. On vérifie que sh(√x) est solution et qu'elle n'est pas proportionnelle à ch(√x).
Les solutions sur ]0, +∞[ sont les λ ch(√x) + μ sh(√x).

piège : Croire que la méthode donne toutes les solutions. Elle ne donne que celles qui sont développables en 0, ici une droite.

Exercice 8. Développement de Arcsin(x)/√(1 − x²)

Approfondissement · Écrit Mines

Soit f(x) = Arcsin(x)/√(1 − x²) sur ]−1, 1[. Montrer que (1 − x²) f′ − x f = 1 et en déduire le développement de f.

Technique équation différentielle d'ordre 1 et unicité de Cauchy.

Voir le corrigé

On dérive : f′(x) = 1/(1 − x²) + x Arcsin(x)/(1 − x²)^3/2. Donc (1 − x²) f′ = 1 + x f.
Analyse. Avec g = Σ a_n xⁿ et a₀ = 0, le coefficient de xⁿ donne (n + 1) a_(n+1) − n a_(n−1) = 0 pour n ≥ 1, et a₁ = 1.
Les coefficients pairs sont nuls, et a_(2k+1) = (2k/(2k + 1)) a_(2k−1), donc a_(2k+1) = 4^k (k!)²/(2k + 1)!.
Le rapport |a_(2k+1) x^2k+1| / |a_(2k−1) x^2k−1| tend vers x², donc le rayon vaut 1.
Synthèse. g est solution sur ]−1, 1[ avec g(0) = 0. L'équation est linéaire d'ordre 1, de coefficient dominant 1 − x² non nul sur ]−1, 1[, donc sa solution nulle en 0 est unique. Ainsi f = g.

piège : Supposer d'emblée que f est développable. Le raisonnement correct construit g puis prouve que g = f par unicité.

Exercice 9. Dérangements

Approfondissement · Écrit Mines

Soit D_n le nombre de permutations de {1, …, n} sans point fixe, avec D₀ = 1. Montrer que n! = Σ_(k=0)ⁿ C(n, k) D_k et en déduire D_n.

Technique série génératrice exponentielle et produit de Cauchy.

Voir le corrigé

On classe les permutations selon l'ensemble de leurs points fixes. Choisir n − k points fixes puis un dérangement des k autres donne n! = Σ C(n, k) D_k.
On a D_n ≤ n!, donc la série D(x) = Σ D_n xⁿ/n! a un rayon au moins 1.
En divisant par n!, on obtient 1 = Σ_k (1/(n − k)!) (D_k/k!). On reconnaît le coefficient du produit de Cauchy de e^x par D(x). Donc e^x D(x) = 1/(1 − x) pour |x| < 1.
Alors D(x) = e^−x/(1 − x), et par produit de Cauchy puis identification, D_n = n! Σ_(k=0)ⁿ (−1)^k/k!.
En particulier D_n/n! tend vers 1/e.

piège : Utiliser la série génératrice ordinaire Σ D_n xⁿ, qui a un rayon nul. Le choix du facteur 1/n! est ce qui fait fonctionner le calcul.

Erreurs fréquentes

Affirmer la convergence normale ou uniforme sur ]−R, R[ tout entier. Elle n'est garantie que sur les segments [−r, r] avec r < R.
Appliquer d'Alembert aux coefficients d'une série lacunaire, ou conclure alors que le rapport n'a pas de limite. Il faut revenir à la définition ou appliquer d'Alembert à la série numérique complète.
Identifier des coefficients sans avoir prouvé que le rayon est strictement positif, ou se tromper dans le décalage d'indices après une dérivation.
Utiliser Abel radial à l'envers, en déduisant la convergence de Σ a_n Rⁿ de l'existence d'une limite de f en R⁻.
Oublier la synthèse dans la méthode par équation différentielle. Il faut vérifier le rayon, puis relier la somme obtenue à la fonction étudiée par un argument d'unicité.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de mathématiques de MP (arrêté du 5 janvier 2021), partie B de la section « Suites et séries de fonctions, séries entières ». Elle suppose connus les trois modes de convergence des séries de fonctions.

Séries entières

Résumé en cinq points

1Rayon de convergence

1.1Définition

1.2Comportement selon le module

1.3Comparaison des rayons

1.4Règle de d'Alembert

1.5Opérations

2Continuité de la somme

3Régularité de la somme dans le cas réel

3.1Dérivation terme à terme

3.2Expression des coefficients

3.3Théorème d'Abel radial

4Fonctions développables en série entière

4.1Définition

4.2Développements usuels

4.3Développement par équation différentielle

4.4Usages

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Trois rayons

Exercice 2. Rayons de séries transformées

Exercice 3. Une somme et ses valeurs au bord

Exercice 4. Développement de ln(1 + x + x²)

Exercice 5. Série génératrice de Fibonacci

Exercice 6. Coefficients positifs et divergence au bord

Exercice 7. Une équation singulière en 0

Exercice 8. Développement de Arcsin(x)/√(1 − x²)

Exercice 9. Dérangements

Erreurs fréquentes