Le cours

Résumé en cinq points

La valeur absolue mesure une distance. L'inégalité triangulaire et le découpage par une quantité intermédiaire sont les outils de base de l'analyse.
Le maximum appartient à la partie, la borne supérieure non nécessairement. Quand le maximum existe, les deux coïncident.
Toute partie non vide majorée de $\R$ admet une borne supérieure. Ce théorème est admis et il caractérise $\R$ .
Une suite arithmético-géométrique se ramène à une suite géométrique en soustrayant le point fixe.
Une récurrence linéaire d'ordre 2 se résout par l'équation caractéristique, avec deux formes selon que les racines réelles sont distinctes ou confondues.

Pourquoi ce chapitre

L'analyse repose sur les inégalités et sur la structure de $\R$ . Ce chapitre fournit deux outils :

la valeur absolue, qui mesure un écart ;
la borne supérieure, qui garantit l'existence de certains nombres.

Le théorème de la borne supérieure est la propriété qui distingue $\R$ de l'ensemble des rationnels. Il fera marcher le théorème de la limite monotone au chapitre suivant.

La seconde moitié du chapitre traite deux familles de suites que l'on doit savoir résoudre explicitement : les suites arithmético-géométriques et les suites récurrentes linéaires d'ordre 2. Ces deux modèles reviennent en probabilités et en économie, dès qu'un phénomène se décrit d'une période à la suivante.

1Valeur absolue et inégalités

1.1Définition

Définition 1.1Valeur absolue

La valeur absolue d'un réel $x$ vaut $x$ si $x \geqslant 0$ , et $-x$ sinon. Elle est toujours positive ou nulle, et elle est nulle si et seulement si $x = 0$ .

Propriété 1.2Propriétés de base

Pour tous réels $x$ et $y$ :

$\abs{xy} = \abs{x}\,\abs{y}$ ;
$\abs{x} = \sqrt{x^2}$ .

Interprétation : $\abs{x - y}$ est la distance entre $x$ et $y$ sur la droite réelle. C'est cette lecture qu'il faut avoir en tête dans toutes les définitions de limite.

1.2Encadrements

Propriété 1.3Valeur absolue et encadrement

Pour tout réel $a \geqslant 0$ et tous réels $x$ et $y$ :

$\abs{x} \leqslant a \iff -a \leqslant x \leqslant a$ ;
$\abs{x - y} \leqslant a \iff y - a \leqslant x \leqslant y + a$ .

Passer instantanément d'une valeur absolue à un encadrement, et inversement, est un réflexe exigible.

1.3Inégalité triangulaire

Théorème 1.4Inégalité triangulaire

Pour tous réels $x$ et $y$ : $\abs{x + y} \leqslant \abs{x} + \abs{y}.$ L'égalité a lieu exactement quand $x$ et $y$ sont de même signe au sens large, c'est-à-dire quand $xy \geqslant 0$ .

Démonstration

On encadre $x$ et $y$ par leurs valeurs absolues, puis on somme : $\begin{aligned} -\abs{x} \leqslant x &\leqslant \abs{x},\\ -\abs{y} \leqslant y &\leqslant \abs{y}. \end{aligned}$ On obtient $-(\abs{x} + \abs{y}) \leqslant x + y \leqslant \abs{x} + \abs{y}$ , d'où le résultat.

Propriété 1.5Inégalité triangulaire inversée

Pour tous réels $x$ et $y$ : $\big|\,\abs{x} - \abs{y}\,\big| \leqslant \abs{x - y}.$

Elle sert à minorer un écart.

MéthodeMajorer un écart

Pour majorer $\abs{u_n - l}$ :

Introduire une quantité intermédiaire $v_n$ .
Découper avec l'inégalité triangulaire : $\abs{u_n - l} \leqslant \abs{u_n - v_n} + \abs{v_n - l}.$

C'est le mécanisme de presque toutes les preuves de convergence.

2Majorants, minorants, bornes

2.1Vocabulaire

Définition 2.1Majorant, minorant, maximum

Soit $A$ une partie non vide de $\R$ .

Un réel $M$ est un majorant de $A$ quand tout élément de $A$ est inférieur ou égal à $M$ . On dit alors que $A$ est majorée.
Un réel $m$ est un minorant de $A$ quand tout élément de $A$ est supérieur ou égal à $m$ . On dit alors que $A$ est minorée.
$A$ est bornée quand elle est à la fois majorée et minorée.
Si un majorant de $A$ appartient à $A$ , il est unique et s'appelle le maximum de $A$ . Même définition pour le minimum.

Une partie majorée possède une infinité de majorants, puisque tout nombre plus grand qu'un majorant en est un.

Attention

Une partie majorée n'a pas toujours de maximum. L'intervalle $\intoo{0}{1}$ est majoré par 1, mais 1 ne lui appartient pas, et aucun élément de l'intervalle n'en est le plus grand.

2.2Borne supérieure et borne inférieure

Définition 2.2Bornes

La borne supérieure de $A$ , notée $\sup A$ , est le plus petit des majorants de $A$ , quand il existe. La borne inférieure, notée $\inf A$ , est le plus grand des minorants.

Propriété 2.3Caractérisation de la borne supérieure

Un réel $s$ est la borne supérieure de $A$ si et seulement si :

$s$ majore $A$ ;
pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe un élément de $A$ strictement supérieur à $s - \varepsilon$ .

Autrement dit, aucun nombre plus petit que $s$ ne majore $A$ .

Propriété 2.4Lien avec le maximum

Quand le maximum de $A$ existe, il coïncide avec la borne supérieure.

Exemple 2.5La réciproque est fausse

La borne supérieure peut exister sans appartenir à $A$ . Pour $\intoo{0}{1}$ , la borne supérieure vaut 1 et il n'y a pas de maximum.

2.3Théorème de la borne supérieure

Théorème 2.6Théorème de la borne supérieure

Toute partie non vide et majorée de $\R$ admet une borne supérieure.
Toute partie non vide et minorée de $\R$ admet une borne inférieure.

Résultat admis, conformément au programme. Il est pourtant la propriété qui caractérise $\R$ . Il est faux dans $\Q$ : l'ensemble des rationnels dont le carré est inférieur à 2 est non vide et majoré, mais il n'a pas de borne supérieure rationnelle.

Conséquence, exploitée au chapitre suivant : toute suite croissante et majorée converge, et sa limite est la borne supérieure de l'ensemble de ses valeurs.

2.4Partie entière

Définition 2.7Partie entière

Pour tout réel $x$ , il existe un unique entier relatif $n$ tel que $n \leqslant x < n + 1$ . Cet entier est la partie entière de $x$ , notée $\lfloor x \rfloor$ .

Le programme réserve la notation $E(\cdot)$ à l'espérance mathématique.

Propriété 2.8Encadrement fondamental

Pour tout réel $x$ : $\lfloor x \rfloor \leqslant x < \lfloor x \rfloor + 1,$ donc aussi $x - 1 < \lfloor x \rfloor \leqslant x$ .

Cet encadrement sert à obtenir des limites par encadrement.

Exemple 2.9Limite de $\lfloor nx \rfloor / n$

Pour tout réel $x$ fixé, la suite de terme général $\dfrac{\lfloor nx \rfloor}{n}$ tend vers $x$ quand $n \to +\infty$ .

3Vocabulaire sur les suites

Définition 3.1Suite réelle

Une suite réelle est une application de $\N$ , ou d'une partie de $\N$ formée des entiers supérieurs à $n_0$ , dans $\R$ . On note $u_n$ le terme d'indice $n$ .

Une suite est majorée, minorée ou bornée quand l'ensemble de ses valeurs l'est.
Elle est croissante quand $u_{n+1} \geqslant u_n$ pour tout $n$ , strictement croissante quand l'inégalité est stricte, et de même pour la décroissance.
Elle est monotone quand elle est croissante ou décroissante.

MéthodeÉtudier la monotonie

Comparer $u_{n+1}$ et $u_n$ par la différence $u_{n+1} - u_n$ .
Quand tous les termes sont strictement positifs, comparer plutôt le quotient $u_{n+1}/u_n$ à 1.

Deux modèles simples :

une suite arithmétique de raison $r$ vérifie $u_{n+1} = u_n + r$ , et $u_n = u_0 + nr$ ;
une suite géométrique de raison $q$ vérifie $u_{n+1} = q\,u_n$ , et $u_n = u_0 q^n$ .

4Suites arithmético-géométriques

4.1Définition et méthode

Définition 4.1Suite arithmético-géométrique

Une suite arithmético-géométrique vérifie $u_{n+1} = a\,u_n + b$ , où $a$ et $b$ sont des réels fixés.

Si $a = 1$ , la suite est arithmétique et se traite directement. On suppose donc $a \neq 1$ . Le programme demande de se ramener au cas géométrique.

MéthodeRésoudre $u_{n+1} = a u_n + b$ avec $a \neq 1$

Chercher le point fixe, l'unique réel $c$ vérifiant $c = ac + b$ . Comme $a \neq 1$ , $c = \dfrac{b}{1 - a}$ .
Poser $v_n = u_n - c$ . En soustrayant les deux relations, $v_{n+1} = a\,v_n$ : la suite $v$ est géométrique de raison $a$ .
Conclure : $v_n = v_0 a^n$ , donc $u_n = c + (u_0 - c)\,a^n.$

4.2Comportement

La limite se lit sur $a$ .

Si $\abs{a} < 1$ , la suite converge vers le point fixe $c$ , quelle que soit la valeur initiale.
Si $a = -1$ et $u_0 \neq c$ , la suite est périodique de période 2.
Si $\abs{a} > 1$ et $u_0 \neq c$ , la suite diverge.

Exemple 4.2Un cas numérique

Soit $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 3$ . Le point fixe est $c = 6$ . On pose $v_n = u_n - 6$ , d'où $v_{n+1} = 0{,}5\,v_n$ et $v_0 = -6$ . Ainsi $u_n = 6 - 6 \times 0{,}5^n,$ suite croissante qui converge vers 6.

Attention

Il faut annoncer le changement de suite, démontrer que la nouvelle suite est géométrique, puis revenir à $u_n$ . Poser $v_n$ sans justification coûte des points.

5Suites récurrentes linéaires d'ordre 2

5.1Cadre

On considère les suites réelles vérifiant, pour tout $n$ , $u_{n+2} = a\,u_{n+1} + b\,u_n,$ où $a$ et $b$ sont des réels fixés et $b \neq 0$ . Une telle suite est entièrement déterminée par $u_0$ et $u_1$ .

Propriété 5.1Structure de l'ensemble des solutions

L'ensemble de ces suites est un sous-espace vectoriel de l'espace des suites réelles, puisqu'une combinaison linéaire de deux solutions vérifie encore la relation.

Le programme signale que ce chapitre est l'occasion d'illustrer concrètement les notions de famille libre, génératrice et base.

5.2Équation caractéristique

On cherche les suites géométriques solutions, de terme général $r^n$ avec $r \neq 0$ . En reportant dans la relation et en simplifiant par $r^n$ , on obtient $r^2 = ar + b$ .

Définition 5.2Équation caractéristique

L'équation caractéristique est $r^2 - ar - b = 0$ .

Le programme se limite au cas où elle a des solutions réelles.

Théorème 5.3Solutions de la récurrence d'ordre 2

Hypothèses

$u_{n+2} = a\,u_{n+1} + b\,u_n$ avec $b \neq 0$ ;
l'équation caractéristique a des solutions réelles.

Alors, selon le cas :

deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$ : les solutions sont exactement les suites $u_n = \alpha\,r_1^n + \beta\,r_2^n$ , avec $\alpha$ et $\beta$ réels ;
une racine double $r$ : les solutions sont exactement les suites $u_n = (\alpha + \beta n)\,r^n$ , avec $\alpha$ et $\beta$ réels.

Les constantes $\alpha$ et $\beta$ sont déterminées par $u_0$ et $u_1$ .

Dans le premier cas, les deux suites géométriques associées forment une base de l'espace des solutions.
Dans le second, la suite de terme général $n\,r^n$ est la seconde solution de base : elle apparaît précisément dans le cas de la racine double.

Les constantes se déterminent en écrivant le système de deux équations obtenu à partir de $u_0$ et $u_1$ . Ce système a toujours une unique solution.

5.3Exemples

Exemple 5.4Racines distinctes

Soit $u_{n+2} = 5\,u_{n+1} - 6\,u_n$ , avec $u_0 = 0$ et $u_1 = 1$ . L'équation caractéristique $r^2 - 5r + 6 = 0$ a pour racines 2 et 3. On écrit $u_n = \alpha\,2^n + \beta\,3^n$ . Les conditions initiales donnent $\begin{aligned} \alpha + \beta &= 0,\\ 2\alpha + 3\beta &= 1, \end{aligned}$ d'où $\beta = 1$ et $\alpha = -1$ . Donc $u_n = 3^n - 2^n$ .

Exemple 5.5Racine double

Soit $u_{n+2} = 4\,u_{n+1} - 4\,u_n$ , avec $u_0 = 1$ et $u_1 = 4$ . L'équation caractéristique $r^2 - 4r + 4 = 0$ a pour racine double 2. On écrit $u_n = (\alpha + \beta n)\,2^n$ . Les conditions initiales donnent $\alpha = 1$ puis $2(1 + \beta) = 4$ , donc $\beta = 1$ . Ainsi $u_n = (1 + n)\,2^n.$

Attention

Si l'équation caractéristique n'a pas de racine réelle, la méthode ne s'applique pas. Le programme exclut ce cas en première année, les nombres complexes n'étant pas au programme.

Méthodes

MéthodeRéflexes du chapitre

Devant une inégalité avec valeur absolue, la transformer immédiatement en encadrement.
Pour majorer un écart, insérer une quantité intermédiaire et appliquer l'inégalité triangulaire.
Pour montrer qu'un réel est la borne supérieure d'une partie, prouver qu'il majore, puis qu'aucun nombre plus petit ne majore.
Devant une suite définie par $u_{n+1} = a\,u_n + b$ , chercher le point fixe et poser $v_n = u_n - c$ .
Devant une récurrence d'ordre 2, écrire l'équation caractéristique, discuter selon le discriminant, puis déterminer les constantes avec les deux premiers termes.
Vérifier systématiquement la formule obtenue sur $u_0$ et $u_1$ , ce qui est un contrôle en deux lignes.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Démontrer l'inégalité triangulaire et préciser le cas d'égalité.
Démontrer l'inégalité triangulaire inversée à partir de la première.
Donner un exemple de partie majorée sans maximum, et préciser sa borne supérieure.
Énoncer la caractérisation de la borne supérieure avec un $\varepsilon$ , et l'utiliser.
Encadrer la partie entière et en déduire la limite de $\lfloor nx \rfloor / n$ .
Résoudre entièrement une suite arithmético-géométrique, en justifiant le changement de suite.
Résoudre une récurrence linéaire d'ordre 2 dans le cas de deux racines distinctes, puis dans le cas d'une racine double.
Justifier que l'ensemble des suites vérifiant une récurrence linéaire d'ordre 2 est un sous-espace vectoriel, et en donner une base.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Pour tous réels x et y, |xy| = |x| |y| et |x| = √(x²). Exigible.
Pour a ≥ 0, |x| ≤ a équivaut à −a ≤ x ≤ a, et |x| ≥ a équivaut à (x ≤ −a ou x ≥ a). Exigible, c'est un réflexe.
Inégalité triangulaire, |x + y| ≤ |x| + |y|, avec égalité si et seulement si xy ≥ 0. Exigible avec démonstration.
Inégalité triangulaire inversée, ||x| − |y|| ≤ |x − y|. Exigible avec démonstration.
Unicité du maximum d'une partie, quand il existe. Exigible, démonstration courte.
Quand le maximum de A existe, il coïncide avec la borne supérieure de A. Exigible, le programme le mentionne.
Caractérisation de la borne supérieure. s = sup A si et seulement si s majore A et, pour tout ε > 0, il existe a dans A avec a > s − ε. Exigible, démonstration courte.
Théorème de la borne supérieure. Toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure. Admis.
N n'est pas majoré dans R (propriété d'Archimède). Non listé au programme, se déduit du théorème précédent.
Existence et unicité de la partie entière, avec ⌊x⌋ ≤ x < ⌊x⌋ + 1. Exigible. L'existence repose sur la propriété d'Archimède.
Pour tout entier relatif k, ⌊x + k⌋ = ⌊x⌋ + k. Exigible, découle de l'unicité.
Suite arithmético-géométrique avec a ≠ 1, u_n = c + (u₀ − c) aⁿ où c = b/(1 − a). Exigible avec démonstration, en passant par une suite géométrique.
Récurrence u_n+2 = a u_n+1 + b u_n avec b ≠ 0. Les solutions forment un sous-espace vectoriel, de base (r₁ⁿ), (r₂ⁿ) si l'équation caractéristique a deux racines réelles distinctes, et (rⁿ), (n rⁿ) si elle a une racine double. Exigible avec démonstration.
Hors programme : la construction de R, le cas d'une équation caractéristique sans racine réelle, les récurrences linéaires d'ordre 3 ou plus, la densité de Q dans R comme résultat de cours.

Clés de démonstration

Inégalité triangulaire. Les deux membres sont positifs, on compare leurs carrés. On a (x + y)² = x² + 2xy + y² et (|x| + |y|)² = x² + 2|xy| + y², et xy ≤ |xy|. Astuce, le passage au carré donne le cas d'égalité : xy = |xy|, c'est-à-dire xy ≥ 0.

Inégalité triangulaire inversée. On écrit x = (x − y) + y, d'où |x| − |y| ≤ |x − y|. On échange x et y pour obtenir |y| − |x| ≤ |x − y|. Astuce, les deux inégalités forment un encadrement, qu'on retraduit en valeur absolue.

Maximum et borne supérieure. Si M et M' sont deux maxima, M est dans A et M' majore A, donc M ≤ M', et par symétrie M' ≤ M. Si M est le maximum, tout majorant de A est supérieur ou égal à M puisque M est dans A, donc M est le plus petit majorant. Astuce, utiliser les deux casquettes du maximum, élément de A et majorant.

Caractérisation avec ε. Si s = sup A et ε > 0, le réel s − ε est plus petit que s, donc ne majore pas A, d'où un élément a > s − ε. Réciproquement, si un majorant M vérifiait M < s, le choix ε = s − M fournirait un élément de A strictement supérieur à M, absurde. Astuce, raisonner par l'absurde en prenant ε égal à l'écart.

Unicité de la partie entière. Si n ≤ x < n + 1 et m ≤ x < m + 1, alors −1 < n − m < 1. Astuce, un entier de valeur absolue strictement inférieure à 1 est nul.

Suites arithmético-géométriques. On écrit u_n+1 = a u_n + b et c = ac + b, puis on soustrait : u_n+1 − c = a(u_n − c). Astuce, la constante b disparaît, c'est tout l'intérêt du point fixe.

Récurrences d'ordre 2. La suite (rⁿ) est solution si et seulement si r est racine, et les solutions sont stables par combinaison linéaire. Pour une solution u, le système donné par u₀ et u₁ a pour déterminant r₂ − r₁ ≠ 0 dans le cas distinct, et r ≠ 0 dans le cas double, puis une récurrence double montre que u coïncide avec la combinaison trouvée. Astuce, deux solutions ayant les mêmes deux premiers termes sont égales. Dans le cas double, r = a/2 et (n + 2) rⁿ⁺² − a(n + 1) rⁿ⁺¹ − b n rⁿ = rⁿ (n(r² − ar − b) + r(2r − a)) = 0.

Exemples et contre-exemples à connaître

A = {1 − 1/n, n ≥ 1}. Sup 1 sans maximum, minimum 0. La partie majorée sans maximum la plus simple à rédiger.
L'ensemble vide et N n'ont pas de borne supérieure dans R. Les hypothèses « non vide » et « majorée » sont indispensables.
|1 + (−1)| = 0 < |1| + |−1| = 2. L'inégalité triangulaire est stricte dès que les signes diffèrent.
⌊−1,5⌋ = −2 et non −1. La partie entière n'est pas la troncature, et ⌊−x⌋ ≠ −⌊x⌋ si x n'est pas entier.
⌊0,5 + 0,5⌋ = 1 alors que ⌊0,5⌋ + ⌊0,5⌋ = 0. La partie entière n'est pas additive.
u_n+1 = −u_n + 2 avec u₀ = 0 donne 0, 2, 0, 2. Le cas a = −1 produit une suite 2-périodique, sans limite.
u_n+1 = u_n + 3 n'a pas de point fixe. Pour a = 1, la formule c = b/(1 − a) n'a pas de sens.
u_n+2 = u_n+1 + u_n (Fibonacci). Racines (1 + √5)/2 et (1 − √5)/2, calculs à mener sans approximation.
u_n+2 = −u_n. L'équation r² + 1 = 0 n'a pas de racine réelle, cas hors programme. À la main, u_n+4 = u_n.

Techniques du chapitre

Traduire une valeur absolue en encadrement. Résoudre |2x − 3| < 5. On écrit −5 < 2x − 3 < 5, soit −2 < 2x < 8, donc −1 < x < 4. Aucune disjonction de cas.

Majorer ou minorer par l'inégalité triangulaire. Pour |x| ≤ 1, encadrer |x³ − 2x + 5|. Majoration, |x³| + 2|x| + 5 ≤ 8. Minoration par l'inégalité inversée, |x³ − 2x + 5| ≥ 5 − |x³ − 2x| ≥ 5 − 3 = 2.

Prouver qu'un réel est la borne supérieure. A = {n/(n + 1), n ∈ N}. On a n/(n + 1) < 1, donc 1 majore A. Pour ε dans ]0, 1[, n/(n + 1) > 1 − ε équivaut à n > 1/ε − 1, ce qui arrive. Donc sup A = 1, non atteint.

Résoudre une équation avec partie entière. Résoudre ⌊2x⌋ = 3. Par définition 3 ≤ 2x < 4, donc x appartient à [3/2, 2[.

Poser x = ⌊x⌋ + f. Calculer ⌊x⌋ + ⌊−x⌋. Si x est entier, la somme vaut 0. Sinon f est dans ]0, 1[ et −x = (−⌊x⌋ − 1) + (1 − f) avec 1 − f dans ]0, 1[, donc la somme vaut −1.

Repérer une arithmético-géométrique cachée. p_n+1 = 0,7 p_n + 0,2 (1 − p_n) se développe en p_n+1 = 0,5 p_n + 0,2. Point fixe 0,4, donc p_n = 0,4 + (p₀ − 0,4) × 0,5ⁿ.

Normaliser une récurrence d'ordre 2. Pour 2u_n+2 = 3u_n+1 − u_n, l'équation caractéristique est 2r² − 3r + 1 = 0, de racines 1 et 1/2. Donc u_n = α + β (1/2)ⁿ.

Passer par la suite des différences. Si u_n+2 − u_n+1 = 2(u_n+1 − u_n), la suite v_n = u_n+1 − u_n est géométrique de raison 2, puis u_n = u₀ + Σ_k=0ⁿ⁻¹ v_k par télescopage.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Maximum par valeur absolue

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Montrer que pour tous réels x et y, max(x, y) = (x + y + |x − y|)/2 et min(x, y) = (x + y − |x − y|)/2.

Technique disjonction de cas sur le signe de x − y.

Voir le corrigé

Si x ≥ y, |x − y| = x − y, et les formules donnent x = max(x, y) et y = min(x, y). 2. Si x < y, |x − y| = y − x, et elles donnent y et x. 3. Les formules sont vraies dans les deux cas.

piège : Invoquer la symétrie pour ne traiter qu'un cas sans vérifier que les formules sont symétriques en x et y.

Exercice 2. Une inégalité triangulaire déformée

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Montrer que pour tous réels x et y, |x + y|/(1 + |x + y|) ≤ |x|/(1 + |x|) + |y|/(1 + |y|).

Technique monotonie d'une fonction auxiliaire.

Voir le corrigé

La fonction f(t) = t/(1 + t) = 1 − 1/(1 + t) est croissante sur [0, +∞[. 2. Comme |x + y| ≤ |x| + |y|, f(|x + y|) ≤ f(|x| + |y|). 3. On écrit f(|x| + |y|) = |x|/(1 + |x| + |y|) + |y|/(1 + |x| + |y|). 4. Chaque fraction a un dénominateur plus grand que la fraction correspondante du membre de droite, donc elle est plus petite.

piège : Tout réduire au même dénominateur et s'y perdre.

Exercice 3. Bornes d'une partie définie par une suite

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Déterminer sup et inf de A = {(−1)ⁿ + 1/n, n ≥ 1}, en précisant s'ils sont atteints.

Technique séparer indices pairs et impairs, puis caractérisation avec ε.

Voir le corrigé

Pour n pair, l'élément vaut 1 + 1/n ≤ 3/2, avec égalité pour n = 2. Pour n impair, il vaut −1 + 1/n ≤ 0. Donc 3/2 est le maximum, donc la borne supérieure. 2. Pour tout n, (−1)ⁿ + 1/n > −1, donc −1 minore A sans être atteint. 3. Soit ε > 0. Comme N n'est pas majoré, il existe n impair avec n > 1/ε. Alors −1 + 1/n < −1 + ε. Donc inf A = −1, sans minimum.

piège : Conclure inf A = −1 après avoir seulement montré que −1 est un minorant.

Exercice 4. Borne supérieure d'une somme de parties

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soient A et B non vides et majorées, et A + B = {a + b, a ∈ A, b ∈ B}. Montrer que sup(A + B) = sup A + sup B.

Technique caractérisation avec ε, en partageant ε en deux.

Voir le corrigé

A + B est non vide et majorée par sup A + sup B, donc sup(A + B) existe. 2. Soit ε > 0. Il existe a dans A avec a > sup A − ε/2 et b dans B avec b > sup B − ε/2. 3. Alors a + b est dans A + B et a + b > sup A + sup B − ε. 4. La caractérisation conclut.

piège : Supposer que sup A est un élément de A, ce qui rend la preuve fausse quand la borne n'est pas atteinte.

Exercice 5. Une identité sur la partie entière

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Montrer que pour tout réel x, ⌊x⌋ + ⌊x + 1/2⌋ = ⌊2x⌋.

Technique écrire x = n + f avec n = ⌊x⌋ et f dans [0, 1[.

Voir le corrigé

Si f < 1/2, f + 1/2 est dans [1/2, 1[, donc ⌊x + 1/2⌋ = n, et 2f est dans [0, 1[, donc ⌊2x⌋ = 2n. Les deux membres valent 2n. 2. Si f ≥ 1/2, f + 1/2 est dans [1, 3/2[, donc ⌊x + 1/2⌋ = n + 1, et 2f est dans [1, 2[, donc ⌊2x⌋ = 2n + 1. Les deux membres valent 2n + 1.

piège : Écrire ⌊x + 1/2⌋ = ⌊x⌋ + ⌊1/2⌋.

Exercice 6. Une chaîne à deux états

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Chaque jour, une personne prend le bus ou le vélo. Après un jour de bus, elle reprend le bus avec probabilité 0,6. Après un jour de vélo, elle prend le bus avec probabilité 0,3. Le jour 0, elle prend le bus. On note p_n la probabilité de prendre le bus le jour n. Exprimer p_n et étudier son comportement.

Technique probabilités totales, puis arithmético-géométrique.

Voir le corrigé

Avec le système complet « bus le jour n », « vélo le jour n », p_n+1 = 0,6 p_n + 0,3 (1 − p_n) = 0,3 p_n + 0,3. 2. Le point fixe vérifie c = 0,3c + 0,3, donc c = 3/7. 3. On pose v_n = p_n − 3/7. En soustrayant, v_n+1 = 0,3 v_n, avec v₀ = 4/7. 4. Donc p_n = 3/7 + (4/7) × 0,3ⁿ, qui décroît et tend vers 3/7.

piège : Écrire p_n+1 = 0,6 p_n + 0,3 en oubliant le facteur 1 − p_n.

Exercice 7. Racines distinctes et suite entière

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Soit u₀ = 0, u₁ = 1 et u_n+2 = u_n+1 + 2u_n. Exprimer u_n, puis montrer que tous les termes sont entiers.

Technique équation caractéristique puis conditions initiales.

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r² − r − 2 = 0 a pour racines 2 et −1. 2. On écrit u_n = α 2ⁿ + β (−1)ⁿ. Les conditions donnent α + β = 0 et 2α − β = 1, d'où α = 1/3 et β = −1/3. 3. Donc u_n = (2ⁿ − (−1)ⁿ)/3. Contrôle, u₂ = 1 et u₃ = 3. 4. Les termes sont entiers par récurrence double sur la relation, sans la formule.

piège : Douter du résultat à cause des fractions 1/3.

Exercice 8. Base de l'espace des solutions

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, type EDHEC

Soit E l'ensemble des suites réelles vérifiant u_n+2 = 4u_n+1 − 4u_n. Montrer que E est un sous-espace vectoriel et que x = (2ⁿ) et y = (n 2ⁿ) en forment une base.

Technique stabilité, liberté par les premiers termes, génération par récurrence double.

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La suite nulle est dans E, et si u, v sont dans E et λ réel, λu + v vérifie la relation par linéarité. 2. x est dans E, et pour y, (n + 2) 2ⁿ⁺² − 4(n + 1) 2ⁿ⁺¹ + 4n 2ⁿ = 2ⁿ (4n + 8 − 8n − 8 + 4n) = 0. 3. Liberté. Si αx + βy est nulle, l'indice 0 donne α = 0 et l'indice 1 donne 2β = 0. 4. Génération. Pour u dans E, on pose α = u₀ et β = u₁/2 − u₀. La suite αx + βy est dans E et a les mêmes deux premiers termes que u, donc lui est égale par récurrence double.

piège : Affirmer la liberté sans l'écrire. Deux termes bien choisis suffisent.

Exercice 9. Récurrence d'ordre 2 avec constante

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, type emlyon

Soit u₀ = 0, u₁ = 1 et u_n+2 = 3u_n+1 − 2u_n + 2. Exprimer u_n.

Technique relation non homogène, on passe par la suite des différences.

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Une constante solution vérifierait c = 3c − 2c + 2, soit 0 = 2, impossible car 1 est racine de r² − 3r + 2. 2. On pose v_n = u_n+1 − u_n. Alors v_n+1 = 2u_n+1 − 2u_n + 2 = 2v_n + 2. 3. Point fixe −2 et v₀ = 1, donc v_n = −2 + 3 × 2ⁿ. 4. Par télescopage, u_n = Σ_k=0ⁿ⁻¹ v_k = 3(2ⁿ − 1) − 2n. Contrôle, u₂ = 5 et u₃ = 15.

piège : Appliquer l'équation caractéristique en ignorant le terme constant.

Exercice 10. Propriété d'Archimède

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit HEC ou ESSEC

(a) Déduire du théorème de la borne supérieure que N n'est pas majoré dans R. (b) En déduire l'existence de la partie entière. (c) Pour x < y réels, montrer qu'il existe un rationnel strictement compris entre x et y. Ce dernier résultat n'est pas au programme comme résultat de cours, il est entièrement démontré ici.

Technique absurde sur la borne supérieure, puis encadrement.

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(a) Si N était majoré, il aurait une borne supérieure s. Comme s − 1 ne majore pas N, il existe un entier n > s − 1, et n + 1 > s, contradiction. 2. (b) Pour x ≥ 0, l'ensemble des entiers naturels k ≤ x contient 0 et est fini par (a). Son plus grand élément n vérifie n ≤ x < n + 1. Pour x < 0, on applique ce résultat à x + m, avec m entier tel que x + m ≥ 0, puis on retranche m. 3. (c) Par (a), il existe un entier q ≥ 1 avec q > 1/(y − x), donc qy − qx > 1. On pose p = ⌊qx⌋ + 1. Alors qx < p ≤ qx + 1 < qy, et en divisant par q, x < p/q < y.

piège : Utiliser la partie entière pour démontrer (a), ce qui est circulaire.

Erreurs fréquentes

Affirmer que la borne supérieure appartient à la partie, ou conclure à une borne supérieure après avoir seulement exhibé un majorant, sans la condition avec ε.
Traiter la partie entière comme une troncature ou comme additive, par exemple ⌊−x⌋ = −⌊x⌋ ou ⌊x + y⌋ = ⌊x⌋ + ⌊y⌋.
Écrire |x − y| ≤ |x| − |y|, qui est faux. Le bon énoncé est ||x| − |y|| ≤ |x − y|.
Poser v_n = u_n − c sans calculer le point fixe ni prouver que v est géométrique, ou utiliser c = b/(1 − a) alors que a = 1.
Oublier la solution (n rⁿ) en cas de racine double, appliquer l'équation caractéristique à une relation avec terme constant, ou écrire le système des constantes avec u₁ et u₂ quand l'énoncé donne u₀ et u₁.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel d'ECG mathématiques approfondies (2021), enseignement du premier semestre, partie IV « Suites de nombres réels », paragraphes « Vocabulaire sur l'ensemble $\R$ des nombres réels » et « Exemples de suites réelles ». Le programme précise que la construction de $\R$ est hors programme et que le théorème de la borne supérieure est admis.

Nombres réels et exemples de suites

Résumé en cinq points

1Valeur absolue et inégalités

1.1Définition

1.2Encadrements

1.3Inégalité triangulaire

2Majorants, minorants, bornes

2.1Vocabulaire

2.2Borne supérieure et borne inférieure

2.3Théorème de la borne supérieure

2.4Partie entière

3Vocabulaire sur les suites

4Suites arithmético-géométriques

4.1Définition et méthode

4.2Comportement

5Suites récurrentes linéaires d'ordre 2

5.1Cadre

5.2Équation caractéristique

5.3Exemples

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Maximum par valeur absolue

Exercice 2. Une inégalité triangulaire déformée

Exercice 3. Bornes d'une partie définie par une suite

Exercice 4. Borne supérieure d'une somme de parties

Exercice 5. Une identité sur la partie entière

Exercice 6. Une chaîne à deux états

Exercice 7. Racines distinctes et suite entière

Exercice 8. Base de l'espace des solutions

Exercice 9. Récurrence d'ordre 2 avec constante

Exercice 10. Propriété d'Archimède

Erreurs fréquentes