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ECG1 · Maths approfondies · semaine 10

Convergence des suites réelles

Limite d'une suite, unicité, opérations algébriques, compatibilité avec l'ordre et existence d'une limite par encadrement. Suites monotones, théorème de la limite monotone et suites adjacentes. Suites extraites de rangs pairs et impairs et croissances comparées.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Converger vers ℓ\ell signifie que, pour toute précision ε>0\varepsilon>0, les termes finissent par rester à une distance de ℓ\ell inférieure ou égale à ε\varepsilon. La limite est unique et une suite convergente est bornée.
  2. Les opérations sur les limites règlent tous les cas sauf quatre formes indéterminées, qu'il faut lever par transformation.
  3. Les inégalités larges passent à la limite, les inégalités strictes deviennent larges. Le théorème d'encadrement donne l'existence de la limite.
  4. Toute suite croissante majorée converge vers la borne supérieure de ses valeurs. Deux suites adjacentes convergent vers la même limite.
  5. La hiérarchie des croissances comparées est logarithme, puis puissance, puis géométrique de raison supérieure à 11, puis factorielle.
Pourquoi ce chapitre

Toute étude asymptotique, toute série du second semestre, toute approximation en probabilités repose sur les théorèmes rassemblés ici.

Les deux compétences sont distinctes :

  • Théorique : savoir écrire la définition avec ε\varepsilon, savoir la nier, savoir démontrer les théorèmes qui en découlent.
  • Opératoire : calculer une limite avec les opérations, l'encadrement et les croissances comparées.

La définition permet de traiter les cas où les théorèmes usuels ne s'appliquent pas.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Convergence par définition 1

Exercice 1. Définition et négation ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

(a) Montrer avec la définition quantifiée que un=2n+1n+3u_n = \frac{2n + 1}{n + 3} converge vers 22. (b) Montrer que (−1)n(-1)^n ne converge vers aucun réel.

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Technique exhiber n0n_0 en fonction de ε\varepsilon, puis appliquer la négation.

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  1. On calcule ∣un−2∣=5/(n+3)|u_n - 2| = 5/(n + 3).
  2. Soit ε>0\varepsilon > 0. On a 5/(n+3)≤ε5/(n + 3) \leq \varepsilon dès que n≥5/ε−3n \geq 5/\varepsilon - 3. On pose n0=⌊5/ε⌋+1n_0 = \lfloor 5/\varepsilon \rfloor + 1, et alors tout n≥n0n \geq n_0 convient.
  3. Pour (b), on fixe un réel ll. L'inégalité triangulaire donne ∣1−l∣+∣−1−l∣≥2|1 - l| + |-1 - l| \geq 2, donc l'un de ces deux nombres vaut au moins 11.
  4. On prend ε=1/2\varepsilon = 1/2. Pour tout n0n_0, il existe un n≥n0n \geq n_0 de la bonne parité tel que ∣un−l∣≥1>ε|u_n - l| \geq 1 > \varepsilon. C'est la négation de la convergence vers ll.

piège : Choisir n0n_0 qui dépend de nn, ou oublier que n0n_0 doit être un entier.

Propriétés des limites 1

Exercice 2. Signe de la limite et suites d'entiers ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

(a) Si un→l>0u_n \to l > 0, montrer que un≥l/2u_n \geq l/2 à partir d'un certain rang. (b) Montrer qu'une suite d'entiers convergente est constante à partir d'un certain rang.

Voir le début du corrigé
  1. Pour (a), on prend ε=l/2\varepsilon = l/2. À partir d'un rang n0n_0, un≥l−l/2=l/2u_n \geq l - l/2 = l/2.

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Calcul de limites 2

Exercice 3. Limites par croissances comparées ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Déterminer les limites de

(a) n3+2n3n+n!\frac{n^3 + 2^n}{3^n + n!},

(b) (ln⁡n)2n\frac{(\ln n)^2}{\sqrt{n}},

(c) ⌊n⌋n\frac{\lfloor \sqrt{n} \rfloor}{\sqrt{n}}.

Voir le début du corrigé
  1. Pour (a), on divise par n!n!. Le numérateur devient n3/n!+2n/n!n^3/n! + 2^n/n!, qui tend vers 00. …

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Exercice 4. Somme encadrée ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Étudier Sn=∑k=1n1n2+k.S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}}.

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Suites récurrentes 1

Exercice 5. Suite récurrente et vitesse ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit Ecricome

On pose u0=0u_0 = 0 et un+1=2+un.u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}. Montrer que (un)(u_n) converge vers 22 et que 0≤2−un≤22n.0 \leq 2 - u_n \leq \frac{2}{2^n}.

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Suites adjacentes 3

Exercice 6. Série alternée par pairs et impairs ★

Application du cours · 15 min · Niveau écrit BCE

Soit un=∑k=1n(−1)k+1k.u_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{k}. Montrer que (un)(u_n) converge.

Voir le début du corrigé
  1. u2n+2−u2n=1/(2n+1)−1/(2n+2)>0u_{2n+2} - u_{2n} = 1/(2n + 1) - 1/(2n + 2) > 0, donc (u2n)(u_{2n}) est croissante.

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Exercice 7. Constante d'Euler ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE

On admet ln⁡(1+x)≤x\ln(1 + x) \leq x pour x>−1x > -1, vu au chapitre sur les fonctions.

On pose an=Hn−ln⁡na_n = H_n - \ln n et bn=Hn−ln⁡(n+1)b_n = H_n - \ln(n + 1) pour n≥1n \geq 1.

Montrer qu'elles sont adjacentes.

Voir le début du corrigé
  1. an+1−an=1/(n+1)+ln⁡(1−1/(n+1))a_{n+1} - a_n = 1/(n + 1) + \ln(1 - 1/(n + 1)). …

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Exercice 8. Les suites de e ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE

On pose un=∑k=0n1k!u_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} et vn=un+1n×n!v_n = u_n + \frac{1}{n \times n!} pour n≥1n \geq 1.

Montrer qu'elles sont adjacentes, strictement monotones.

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Moyenne de Cesàro 1

Exercice 9. Moyenne de Cesàro ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC

Si un→lu_n \to l, montrer que mn=u1+…+unnm_n = \frac{u_1 + \ldots + u_n}{n} tend vers ll.

Étudier la réciproque.

Résultat classique d'exercice, non théorème de cours.

Voir le début du corrigé
  1. Soit ε>0\varepsilon > 0 et n0n_0 tel que ∣uk−l∣≤ε|u_k - l| \leq \varepsilon pour k>n0k > n_0.

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Suites récurrentes 1

Exercice 10. Équivalent d'une suite récurrente ★★★

Approfondissement · 45 min · D'après un oral X-ENS, niveau X ou ESSEC

On pose u0=1u_0 = 1 et un+1=un+1un.u_{n+1} = u_n + \frac{1}{u_n}. On sait que un→+∞u_n \to +\infty (voir les techniques).

Montrer que un/2n→1u_n/\sqrt{2n} \to 1.

Voir le début du corrigé
  1. un+12=un2+2+1/un2≥un2+2u_{n+1}^2 = u_n^2 + 2 + 1/u_n^2 \geq u_n^2 + 2. …

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel d'ECG mathématiques approfondies (2021), enseignement du premier semestre, partie IV « Suites de nombres réels », paragraphe 3 « Convergence des suites réelles, théorèmes fondamentaux ». Le programme demande une définition quantifiée de la limite sans en faire un usage systématique, et propose d'illustrer les comportements par des représentations graphiques, en lien avec l'informatique.