Le cours

Résumé en cinq points

Un espace vectoriel réel est un ensemble où l'on sait additionner et multiplier par un réel, avec les règles usuelles. Les exemples de référence sont $\R^n$ , les matrices, les polynômes, les suites, les fonctions.
Un sous-espace vectoriel est une partie non vide stable par combinaison linéaire. Le test du vecteur nul élimine la plupart des candidats.
$\Vect$ d'une famille finie est le plus petit sous-espace contenant cette famille. Écrire une partie sous forme de $\Vect$ prouve d'un coup que c'est un sous-espace.
Libre signifie que seule la combinaison à coefficients nuls donne le vecteur nul. Génératrice signifie que tout vecteur s'atteint. Une base est les deux à la fois.
Dans une base, tout vecteur possède un unique système de coordonnées, que l'on range en matrice colonne. Cette colonne dépend de la base et de l'ordre de ses vecteurs.

Pourquoi ce chapitre

C'est la première abstraction de l'année. Jusqu'ici on calculait sur des objets concrets : nombres, matrices, polynômes.

On observe maintenant que tous ces objets se manipulent de la même façon : on les additionne, on les multiplie par un réel, et les règles sont les mêmes.
Plutôt que de refaire dix fois la même démonstration, on la fait une fois dans un cadre général.
Une propriété prouvée pour un espace vectoriel vaut pour les suites, les fonctions, les matrices et les polynômes.
Le chapitre installe le vocabulaire (libre, génératrice, base, coordonnées), qui structure tout le second semestre et toute la deuxième année.

L'objectif du premier semestre est la familiarité, pas la virtuosité.

1Structure d'espace vectoriel réel

1.1Définition

Définition 1.1Espace vectoriel réel

Un espace vectoriel réel est un ensemble $E$ muni de deux opérations :

une addition, qui à deux éléments de $E$ associe un élément de $E$ ;
une multiplication par un réel, qui à un réel $\lambda$ et à $x \in E$ associe un élément $\lambda x$ de $E$ .

Les éléments de $E$ s'appellent des vecteurs, les réels des scalaires.

Propriété 1.2Règles du calcul

Les opérations vérifient :

l'addition est commutative et associative ;
il existe un vecteur nul, noté $0_E$ , neutre pour l'addition ;
tout vecteur $x$ admet un opposé, noté $-x$ , tel que $x + (-x) = 0_E$ ;
pour les scalaires, $1x = x$ et $\lambda(\mu x) = (\lambda\mu)x$ ;
deux distributivités : $\lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y$ et $(\lambda + \mu)x = \lambda x + \mu x$ .

En pratique, on ne vérifie jamais cette liste. On se ramène toujours à un espace de référence, en montrant que l'ensemble étudié en est un sous-espace vectoriel.

Propriété 1.3Conséquences immédiates

Pour tout $x \in E$ et tout réel $\lambda$ :

$0x = 0_E$ ;
$\lambda x = 0_E$ si et seulement si $\lambda = 0$ ou $x = 0_E$ .

1.2Les exemples de référence

Le programme insiste sur la variété des exemples.

$\R^n$ , ensemble des $n$ -uplets de réels, avec les opérations coordonnée par coordonnée. Le vecteur nul est le $n$ -uplet formé de zéros.
$\mathcal{M}_{n,p}(\R)$ , ensemble des matrices de format donné. Le vecteur nul est la matrice nulle. En particulier $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ , ensemble des colonnes.
$\R[x]$ et $\R_n[x]$ , ensembles de polynômes. Le vecteur nul est le polynôme nul.
L'ensemble des suites réelles, avec l'addition terme à terme.
L'ensemble des fonctions d'un intervalle $I$ dans $\R$ , avec l'addition point par point.

Attention

Le programme demande de distinguer $\R^n$ et $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ . Un élément de $\R^n$ est un $n$ -uplet écrit en ligne entre parenthèses, un élément de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ est une matrice à une colonne. Ces deux ensembles se correspondent terme à terme, mais ce ne sont pas les mêmes objets, et seule la matrice colonne peut être multipliée par une matrice.

2Sous-espaces vectoriels

2.1Définition et caractérisation

Définition 2.1Sous-espace vectoriel

Soit $E$ un espace vectoriel réel et $F$ une partie de $E$ . $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ quand $F$ est non vide et stable par combinaison linéaire, c'est-à-dire quand, pour tous $x$ et $y$ de $F$ et tous réels $\lambda$ et $\mu$ , le vecteur $\lambda x + \mu y$ appartient à $F$ .

C'est la caractérisation à utiliser.

MéthodeMontrer qu'une partie $F$ est un sous-espace

Préciser que $F$ est inclus dans $E$ , et dire de quel espace de référence on part.
Vérifier que $0_E \in F$ . Cela prouve que $F$ est non vide et c'est aussi le test le plus rapide pour éliminer une partie qui n'est pas un sous-espace.
Prendre $x$ et $y$ dans $F$ , $\lambda$ et $\mu$ réels, et montrer que $\lambda x + \mu y$ est dans $F$ , en revenant à la définition de $F$ .

Propriété 2.2Un sous-espace est un espace

Tout sous-espace vectoriel est lui-même un espace vectoriel pour les opérations induites. C'est ce qui dispense de vérifier la liste d'axiomes.

2.2Exemples et contre-exemples

Exemple 2.3Sont des sous-espaces vectoriels

L'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène $AX = 0$ dans $\mathcal{M}_{p,1}(\R)$ .
L'ensemble des matrices symétriques d'ordre $n$ dans $\mathcal{M}_n(\R)$ .
L'ensemble $\R_n[x]$ dans $\R[x]$ .
L'ensemble des suites qui convergent vers 0 dans l'ensemble des suites réelles.
L'ensemble des fonctions continues sur $I$ dans l'ensemble des fonctions de $I$ dans $\R$ .

Exemple 2.4Ne sont pas des sous-espaces vectoriels

L'ensemble des solutions d'un système non homogène, car le vecteur nul n'y est pas.
L'ensemble des matrices inversibles d'ordre $n$ , car il ne contient pas la matrice nulle et n'est pas stable par somme.
L'ensemble des polynômes de degré exactement $n$ , pour la même raison de stabilité.
L'ensemble des couples $(x, y)$ avec $xy = 0$ , qui contient $(1, 0)$ et $(0, 1)$ mais pas leur somme.

MéthodeÉliminer un candidat

Regarder si le vecteur nul appartient à la partie. Si non, la conclusion est immédiate.
Si oui, chercher un contre-exemple à la stabilité, ou démontrer la stabilité.

Deux sous-espaces particuliers existent toujours : la partie réduite au vecteur nul, et $E$ lui-même.

Propriété 2.5Intersection et réunion

Une intersection de deux sous-espaces vectoriels de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ . En revanche une réunion n'en est en général pas un, comme le montre la réunion de deux droites distinctes du plan.

À retenir

Sous-espace : non vide et stable par combinaison linéaire. Le test du vecteur nul élimine la plupart des candidats.

3Combinaisons linéaires et sous-espace engendré

3.1Famille finie et combinaison linéaire

Définition 3.1Famille finie

Une famille finie de $E$ est la donnée d'une liste $(x_1, \dots, x_n)$ de vecteurs de $E$ . Son cardinal est $n$ . L'ordre et les répétitions font partie de la donnée, ce qui distingue une famille d'un ensemble.

Définition 3.2Combinaison linéaire

Une combinaison linéaire de cette famille est un vecteur de la forme $\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_n x_n,$ où les $\lambda_i$ sont des réels. Le programme ne considère que des combinaisons linéaires de familles finies.

3.2Sous-espace engendré

Définition 3.3Sous-espace engendré

L'ensemble de toutes les combinaisons linéaires de $(x_1, \dots, x_n)$ est noté $\Vect(x_1, \dots, x_n)$ . C'est le sous-espace engendré par la famille.

Propriété 3.4Plus petit sous-espace

$\Vect(x_1, \dots, x_n)$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , et c'est le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ contenant tous les $x_i$ , au sens de l'inclusion.

Cette construction fournit la deuxième méthode pour prouver qu'une partie est un sous-espace vectoriel. On l'écrit sous la forme $\Vect$ d'une famille explicite, et c'est terminé. C'est souvent plus rapide que la vérification de stabilité.

Exemple 3.5Un plan de $\R^3$

L'ensemble des triplets $(x, y, z)$ de $\R^3$ vérifiant $x + y + z = 0$ se paramètre en $(-y-z, y, z)$ , soit $y(-1, 1, 0) + z(-1, 0, 1).$ C'est donc $\Vect$ de la famille formée de ces deux triplets.

Propriété 3.6Propriétés utiles

Ajouter à une famille un vecteur qui est déjà combinaison linéaire des autres ne change pas le $\Vect$ .
Inclure $\Vect(\mathcal{F})$ dans un sous-espace $G$ revient à vérifier que chaque vecteur de $\mathcal{F}$ appartient à $G$ .

4Familles libres, génératrices, bases

4.1Famille génératrice

Définition 4.1Famille génératrice

La famille $(x_1, \dots, x_n)$ est génératrice de $E$ quand $\Vect(x_1, \dots, x_n) = E$ , c'est-à-dire quand tout vecteur de $E$ s'écrit comme combinaison linéaire des $x_i$ .

Pour le prouver, on prend un vecteur quelconque de $E$ et on résout un système pour trouver des coefficients. L'existence d'une solution suffit.

4.2Famille libre

Définition 4.2Famille libre

La famille $(x_1, \dots, x_n)$ est libre quand la seule combinaison linéaire nulle est celle dont tous les coefficients sont nuls. Autrement dit, si $\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_n x_n = 0_E$ alors tous les $\lambda_i$ sont nuls. Une famille qui n'est pas libre est dite liée.

MéthodeRédiger la liberté d'une famille

Écrire « soient $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ des réels tels que $\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_n x_n = 0_E$ ».
Traduire cette égalité, en général par un système linéaire homogène.
Montrer que la seule solution est nulle.

Propriété 4.3Familles liées

Une famille contenant le vecteur nul est liée.
Une famille contenant deux fois le même vecteur est liée.
Une famille de deux vecteurs est liée si et seulement si l'un est multiple de l'autre.

Attention

Pour trois vecteurs ou plus, le critère de proportionnalité deux à deux ne suffit pas.

Exemple 4.4Exemple en analyse

Les fonctions $x \mapsto 1$ , $x \mapsto \exp(x)$ et $x \mapsto \exp(2x)$ forment une famille libre dans l'espace des fonctions de $\R$ dans $\R$ . Pour le voir, on suppose la combinaison nulle en tout point, puis on évalue en plusieurs points ou on regarde le comportement en $+\infty$ .

4.3Base et coordonnées

Définition 4.5Base

Une base de $E$ est une famille à la fois libre et génératrice. Le programme se limite aux bases de cardinal fini.

Propriété 4.6Propriété caractéristique

$(e_1, \dots, e_n)$ est une base de $E$ si et seulement si tout vecteur $x$ de $E$ s'écrit de façon unique sous la forme $x = \lambda_1 e_1 + \dots + \lambda_n e_n.$ L'existence de l'écriture traduit le caractère générateur, son unicité le caractère libre. Les réels $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ sont les coordonnées de $x$ dans la base.

On range ces coordonnées dans une matrice colonne de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ . Cette colonne dépend de la base choisie, et l'ordre des vecteurs de la base compte. C'est l'objet qui permettra de traduire tout problème vectoriel en problème matriciel.

Définition 4.7Bases canoniques à connaître

Dans $\R^n$ , la famille des $n$ -uplets ayant un 1 en une position et des 0 ailleurs.
Dans $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ , la famille des colonnes analogues.
Dans $\R_n[x]$ , la famille formée de $1, x, x^2, \dots, x^n$ , qui compte $n + 1$ éléments.
Dans $\mathcal{M}_{n,p}(\R)$ , la famille des matrices ayant un seul coefficient égal à 1.

Attention

Dans $\R_n[x]$ , la base canonique compte $n + 1$ éléments : l'erreur de comptage est classique.

4.4Un exemple qui relie tout

Exemple 4.8Suites vérifiant une récurrence

Considérons l'ensemble des suites réelles vérifiant $u_{n+2} = 5u_{n+1} - 6u_n$ .

C'est un sous-espace vectoriel de l'espace des suites, puisqu'une combinaison de deux telles suites vérifie la même relation.
L'équation caractéristique $x^2 - 5x + 6 = 0$ a pour racines 2 et 3.
Les deux suites géométriques de raisons 2 et 3 vérifient la relation et forment une famille libre.
Toute suite solution en est combinaison linéaire, puisqu'elle est déterminée par ses deux premiers termes.

On obtient ainsi une base de cet espace. Le programme signale explicitement cette illustration.

Méthodes

MéthodeProuver qu'une partie est un sous-espace

Soit vérifier non vide et stabilité par combinaison linéaire.
Soit l'écrire comme un $\Vect$ .
Soit la reconnaître comme ensemble des solutions d'un système homogène.

Pour éliminer rapidement, tester l'appartenance du vecteur nul.

MéthodeMontrer qu'une famille est libre

Partir d'une combinaison linéaire nulle.
Aboutir à un système homogène.
Constater que sa seule solution est nulle.

MéthodeMontrer qu'une famille est génératrice

Prendre un vecteur quelconque de l'espace.
Résoudre le système donnant les coefficients.

MéthodeMontrer qu'une famille est une base

Montrer que le système donnant les coefficients admet une unique solution pour tout second membre : c'est souvent la manière la plus économique.

MéthodeTraiter un espace de polynômes ou de matrices

Passer aux coordonnées dans la base canonique.
Se ramener à un système linéaire.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Montrer que l'ensemble des solutions d'un système homogène est un sous-espace vectoriel.
Montrer que l'ensemble des matrices symétriques d'ordre 2 est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_2(\R)$ et en donner une base.
Donner trois exemples de parties qui ne sont pas des sous-espaces vectoriels, avec la raison.
Écrire un plan de $\R^3$ défini par une équation sous la forme d'un $\Vect$ de deux vecteurs.
Étudier la liberté d'une famille de trois vecteurs de $\R^3$ , en rédigeant le système associé.
Justifier que la famille $1, x, x^2, \dots, x^n$ est une base de $\R_n[x]$ , et donner son cardinal.
Donner les coordonnées d'un polynôme dans une base non canonique, par exemple la famille des $(x - 1)^k$ .
Expliquer pourquoi une réunion de deux sous-espaces n'est en général pas un sous-espace.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Règles de calcul. Pour tout x de E, 0x = 0_E. Pour tout réel λ, λ0_E = 0_E, et (−1)x = −x. Exigible avec démonstration courte.
Intégrité du produit externe. λx = 0_E si et seulement si λ = 0 ou x = 0_E. Exigible avec démonstration.
Caractérisation des sous-espaces. F est un sous-espace de E si F est inclus dans E, non vide et stable par combinaison linéaire. C'est la définition du programme, exigible. Conséquence : tout sous-espace contient 0_E.
Un sous-espace est un espace vectoriel pour les lois induites. Exigible comme énoncé, sans preuve détaillée.
Soit A dans M_n,p(R). L'ensemble des X de M_p,1(R) tels que AX = 0 est un sous-espace de M_p,1(R). Exigible avec démonstration.
L'intersection de deux sous-espaces de E est un sous-espace de E. Exigible avec démonstration.
La réunion F ∪ G est un sous-espace si et seulement si F ⊂ G ou G ⊂ F. Classique d'exercice, non exigible comme résultat de cours.
Vect(x₁, …, x_n) est un sous-espace de E. C'est le plus petit, au sens de l'inclusion, qui contient tous les x_i. Exigible avec démonstration.
Le Vect ne change pas si l'on ajoute un vecteur qui est combinaison linéaire des autres, si l'on multiplie un vecteur par un réel non nul, ou si l'on ajoute à un vecteur un multiple d'un autre. Exigible, à justifier par double inclusion.
Une famille qui contient 0_E, ou deux fois le même vecteur, est liée. Exigible.
Une famille de deux vecteurs est liée si et seulement si l'un est multiple de l'autre. Exigible.
Une sous-famille d'une famille libre est libre. Une sur-famille d'une famille génératrice est génératrice. Exigible, preuve en une ligne.
(e₁, …, e_n) est une base de E si et seulement si tout vecteur s'écrit de façon unique comme combinaison des e_i. Exigible avec démonstration.
Bases canoniques. Rⁿ et M_n,1(R) ont n vecteurs, R_n[x] en a n + 1, M_n,p(R) en a np. Les trois premières sont citées par le programme.
Hors programme à ce stade, à signaler si un exercice les utilise : la dimension, le fait que toutes les bases ont le même cardinal, la base incomplète, le rang, les familles infinies. Les notions de groupe et de corps sont hors programme tout court.

Clés de démonstration

0x = 0_E. On écrit 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x par distributivité. On ajoute l'opposé de 0x des deux côtés et il reste 0_E = 0x. Astuce : décomposer le scalaire nul en 0 + 0. On traite λ0_E de la même façon avec 0_E = 0_E + 0_E.

λx = 0_E avec λ ≠ 0. On écrit x = 1x = (1/λ)(λx) = (1/λ)0_E = 0_E. La réciproque est la règle précédente. Astuce : la seule division permise porte sur les scalaires, jamais sur les vecteurs.

Solutions d'un système homogène. A0 = 0, donc la colonne nulle est solution. Si AX = 0 et AY = 0, alors A(λX + μY) = λAX + μAY = 0. Astuce : la linéarité du produit matriciel fait tout le travail.

Intersection. 0_E appartient à F et à G. Une combinaison de deux vecteurs de F ∩ G est dans F par stabilité de F, et dans G par stabilité de G. Astuce : on applique la définition deux fois, rien de plus.

Vect est un sous-espace minimal. 0_E est la combinaison à coefficients tous nuls. La combinaison λ(Σ a_i x_i) + μ(Σ b_i x_i) se regroupe en Σ (λa_i + μb_i) x_i. Si un sous-espace G contient les x_i, il contient toute combinaison des x_i par stabilité. Astuce : une récurrence sur le nombre de termes, ajoutés un par un.

Base et unicité. L'existence de l'écriture est la définition de « génératrice ». Si deux écritures Σ λ_i e_i et Σ μ_i e_i coïncident, leur différence Σ (λ_i − μ_i) e_i est nulle, et la liberté donne λ_i = μ_i. Pour la réciproque, 0_E admet déjà l'écriture à coefficients nuls, donc l'unicité impose que toute combinaison nulle soit triviale. Astuce : soustraire les deux écritures.

Exemples et contre-exemples à connaître

La droite d'équation y = x + 1 dans R² n'est pas un sous-espace, car elle ne contient pas (0, 0). C'est le cas type de la partie affine.
Le quadrant formé des (x, y) avec x ≥ 0 et y ≥ 0 contient 0 et il est stable par somme, mais pas par multiplication par −1. Le test du vecteur nul ne suffit donc jamais à conclure positivement.
L'ensemble des (x, y) avec xy = 0 est la réunion des deux axes. Il contient 0, il est stable par multiplication par un réel, mais pas par somme.
Les suites convergentes forment un sous-espace des suites réelles. Les suites qui convergent vers 1 n'en forment pas un. La limite imposée doit valoir 0.
Les suites géométriques contiennent la suite nulle, mais (2ⁿ) + (3ⁿ) n'est pas géométrique (exercice 6).
La famille ((1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 2)) est liée, car le troisième vecteur est la somme des deux premiers. Pourtant ses vecteurs sont deux à deux non colinéaires.
La famille des fonctions x ↦ 1, x ↦ cos²x et x ↦ sin²x est liée, puisque 1 − cos² − sin² est la fonction nulle. Une relation de trigonométrie donne une relation de liaison.
La famille ((1, 1), (1, −1), (2, 3)) engendre R² sans être libre. Ajouter des vecteurs préserve le caractère générateur et peut détruire la liberté.
(1, 2) est dans R², la colonne de coefficients 1 et 2 est dans M_2,1(R). R² n'est pas inclus dans R³. Ce sont des erreurs de nature d'objet que le jury relève.

Techniques du chapitre

Test du vecteur nul, puis contre-exemple. Mini-exercice : F est l'ensemble des (x, y) de R² tels que x ≥ 0. F contient (0, 0) et il est stable par somme. Mais (1, 0) est dans F et (−1)(1, 0) = (−1, 0) n'y est pas. F n'est pas un sous-espace.

Paramétrer pour écrire un Vect. Mini-exercice : F est l'ensemble des (x, y, z, t) de R⁴ tels que x = y + t et z = 2t. Un élément s'écrit (y + t, y, 2t, t) = y(1, 1, 0, 0) + t(1, 0, 2, 1). Donc F = Vect((1, 1, 0, 0), (1, 0, 2, 1)), et F est un sous-espace.

Conditions linéaires. Une partie définie par « une expression linéaire en l'objet est nulle » est un sous-espace. Mini-exercice : F est l'ensemble des P de R[x] tels que P(2) = 0. Le polynôme nul est dans F, et (λP + μQ)(2) = λP(2) + μQ(2) = 0.

Liberté par système triangulaire. Mini-exercice : montrer que ((1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)) est libre. Si a(1, 1, 1) + b(0, 1, 1) + c(0, 0, 1) = 0, on obtient a = 0, puis a + b = 0, puis a + b + c = 0. Donc a = b = c = 0.

Liberté de fonctions par évaluation. Mini-exercice : montrer que (sin, cos) est libre. Si a sin x + b cos x = 0 pour tout réel x, alors x = 0 donne b = 0, et x = π/2 donne a = 0. On choisit les points qui annulent le plus de termes.

Génératrice par second membre quelconque. Mini-exercice : montrer que ((1, 1), (1, −1)) est une base de R². L'égalité (x, y) = a(1, 1) + b(1, −1) équivaut à a + b = x et a − b = y, soit a = (x + y)/2 et b = (x − y)/2. La solution existe et elle est unique, donc on a une base, et ces nombres sont les coordonnées.

Passage aux coordonnées canoniques. Mini-exercice : la famille (1 + x, x + x², x² + 1) de R₂[x] est-elle libre ? Une combinaison nulle donne a + c = 0 pour la constante, a + b = 0 pour x, et b + c = 0 pour x². Alors b = −a = c, puis 2c = 0, donc a = b = c = 0. La famille est libre.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Tri de parties de R³

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Dire lesquelles des parties suivantes sont des sous-espaces de R³. A est définie par x + 2y − z = 0, B par x + y + z = 1, C par x² = y², D par x = y = z.

Technique test du vecteur nul, contre-exemple, écriture en Vect.

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Pour A, on isole z = x + 2y. Un élément de A s'écrit x(1, 0, 1) + y(0, 1, 2), donc A = Vect((1, 0, 1), (0, 1, 2)) est un sous-espace. 2. B ne contient pas (0, 0, 0), puisque 0 ≠ 1. 3. C contient (1, 1, 0) et (1, −1, 0), mais pas leur somme (2, 0, 0), car 4 ≠ 0. Ce n'est pas un sous-espace. 4. Un élément de D s'écrit x(1, 1, 1), donc D = Vect((1, 1, 1)).

piège : Pour C, conclure « sous-espace » parce que 0 appartient à C.

Exercice 2. Égalité de deux Vect

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Montrer que Vect((1, 1, 0), (0, 1, 1)) = Vect((1, 2, 1), (1, 0, −1)).

Technique double inclusion, en testant seulement les vecteurs générateurs.

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On note u = (1, 1, 0) et v = (0, 1, 1). Alors (1, 2, 1) = u + v et (1, 0, −1) = u − v. Ces deux vecteurs sont dans Vect(u, v), qui est un sous-espace, donc le second Vect est inclus dans le premier. 2. Réciproquement, u = ((1, 2, 1) + (1, 0, −1))/2 et v = ((1, 2, 1) − (1, 0, −1))/2. 3. D'où l'inclusion inverse, et l'égalité.

piège : Vouloir montrer qu'un vecteur quelconque de l'un est dans l'autre. Tester les générateurs suffit, grâce à la minimalité du Vect.

Exercice 3. Liberté avec paramètre

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Soit m réel, u = (1, 2, 1), v = (2, 1, −1), w = (1, −1, m). Pour quelles valeurs de m la famille (u, v, w) est-elle libre ?

Technique système homogène et pivot, discussion sur un pivot qui dépend de m.

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On suppose au + bv + cw = 0. On obtient a + 2b + c = 0, 2a + b − c = 0 et a − b + mc = 0. 2. L2 ← L2 − 2L1 donne −3b − 3c = 0, soit b = −c. La première équation donne alors a = 2c − c = c. 3. La troisième devient c + c + mc = (m + 2)c = 0. 4. Si m ≠ −2, alors c = 0, puis a = b = 0, et la famille est libre. Si m = −2, on prend c = 1 et on obtient u − v + w = 0. La famille est liée.

piège : Diviser par m + 2 sans traiter le cas m = −2, ou conclure « liée » sans exhiber la relation.

Exercice 4. Base décalée de R₂[x]

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Montrer que (1, x + 1, (x + 1)²) est une base de R₂[x], et donner les coordonnées de P = x² + 3x − 1.

Technique changement de variable pour la génération, coefficients dominants pour la liberté.

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Liberté. Si α + β(x + 1) + γ(x + 1)² = 0, le coefficient de x² donne γ = 0, puis celui de x donne β = 0, puis α = 0. 2. Génération. On écrit x = (x + 1) − 1. Alors x² = (x + 1)² − 2(x + 1) + 1, et tout polynome ax² + bx + c devient une combinaison des trois vecteurs. 3. Pour P, on obtient (x + 1)² − 2(x + 1) + 1 + 3(x + 1) − 3 − 1 = (x + 1)² + (x + 1) − 3. 4. Les coordonnées forment la colonne (−3, 1, 1), dans l'ordre de la base. La vérification par développement redonne P.

piège : Ranger les coordonnées dans l'ordre (1, 1, −3), c'est-à-dire par puissances décroissantes.

Exercice 5. Matrices antisymétriques d'ordre 3

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Montrer que l'ensemble A des M de M₃(R) telles que la transposée de M vaut −M est un sous-espace, et en donner une base.

Technique linéarité de la transposition, lecture des coefficients.

Voir le corrigé

La matrice nulle convient. La transposée de λM + μN vaut λ(−M) + μ(−N) = −(λM + μN). 2. Soit M dans A. On a m_ii = −m_ii, donc la diagonale est nulle, et m_ji = −m_ij. 3. On note E_ij les matrices de la base canonique. Avec a = m₁₂, b = m₁₃ et c = m₂₃, on a M = a(E₁₂ − E₂₁) + b(E₁₃ − E₃₁) + c(E₂₃ − E₃₂). La famille est génératrice. 4. Une combinaison nulle de ces trois matrices a pour coefficients a, b, c aux places (1, 2), (1, 3), (2, 3). Donc a = b = c = 0, et la famille est une base.

piège : Proposer E₁₂ dans la base, alors que E₁₂ n'est pas antisymétrique.

Exercice 6. Suites arithmétiques et géométriques

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Montrer que l'ensemble des suites arithmétiques est un sous-espace des suites réelles, et en donner une base. L'ensemble des suites géométriques en est-il un ?

Technique écriture en Vect, puis contre-exemple à la stabilité.

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On pose c_n = 1 et i_n = n. Une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r vérifie u = u₀c + ri. Inversement, ac + bi est arithmétique de raison b. L'ensemble est donc Vect(c, i). 2. Liberté. Si a + bn = 0 pour tout n, alors n = 0 donne a = 0, puis n = 1 donne b = 0. Les coordonnées de u sont (u₀, r). 3. La suite w = (2ⁿ + 3ⁿ) vérifie w₀ = 2, w₁ = 5 et w₂ = 13. Si elle était géométrique, sa raison vaudrait 5/2 et w₂ vaudrait 25/2. Ce n'est pas le cas, donc l'ensemble n'est pas un sous-espace, bien qu'il contienne la suite nulle.

piège : Conclure « sous-espace » pour les suites géométriques parce que la suite nulle en fait partie.

Exercice 7. Fonctions valeur absolue

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Pour k dans {1, 2, 3}, on note f_k la fonction x ↦ |x − k| sur R. Montrer que (f₁, f₂, f₃) est libre.

Technique évaluation aux points qui annulent un terme.

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On suppose a|x − 1| + b|x − 2| + c|x − 3| = 0 pour tout réel x. 2. En x = 1, on obtient b + 2c = 0. En x = 2, a + c = 0. En x = 3, 2a + b = 0. 3. On en tire b = −2c et a = −c, puis 2a + b = −4c = 0. Donc c = 0, puis a = b = 0.

piège : Écrire une seule évaluation et conclure. L'égalité de fonctions vaut pour tout x, et il faut autant d'équations que d'inconnues pour conclure.

Exercice 8. Matrices qui commutent avec A

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE

Soit A la matrice d'ordre 2 de lignes (1, 1) et (0, 1). Montrer que l'ensemble C des M de M₂(R) telles que AM = MA est un sous-espace, et en donner une base.

Technique condition linéaire, puis paramétrage par un système.

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La matrice nulle est dans C. Si M et N sont dans C, alors A(λM + μN) = λMA + μNA = (λM + μN)A. 2. On écrit M de lignes (a, b) et (c, d). AM a pour lignes (a + c, b + d) et (c, d). MA a pour lignes (a, a + b) et (c, c + d). 3. L'égalité impose c = 0 et d = a. Donc M = aI + bN, où N a pour lignes (0, 1) et (0, 0). 4. La famille (I, N) est génératrice. Elle est libre, car aI + bN a pour coefficients a et b en positions (1, 1) et (1, 2). C'est une base de C.

piège : Oublier une des quatre équations, ou ne pas vérifier la liberté.

Exercice 9. Réunion de deux sous-espaces

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE

Soient F et G deux sous-espaces de E. Montrer que F ∪ G est un sous-espace si et seulement si F ⊂ G ou G ⊂ F.

Technique raisonnement par l'absurde sur une somme bien choisie.

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Si F ⊂ G, alors F ∪ G = G, qui est un sous-espace. Même chose si G ⊂ F. 2. Réciproquement, on suppose que F ∪ G est un sous-espace, et qu'aucune inclusion n'est vraie. On prend x dans F hors de G, et y dans G hors de F. 3. La somme x + y est dans F ∪ G. Si elle est dans F, alors y = (x + y) − x est dans F, ce qui est contradictoire. Si elle est dans G, alors x = (x + y) − y est dans G, ce qui est contradictoire aussi. 4. Une inclusion est donc vraie.

piège : Nier « F ⊂ G ou G ⊂ F » en « F et G sont disjoints ». La bonne négation est l'existence des deux vecteurs x et y.

Exercice 10. Exponentielles distinctes

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit HEC ou ESSEC

Soient n ≥ 1 et a₁ < a₂ < … < a_n des réels. On note e_k la fonction x ↦ exp(a_k x). Montrer que (e₁, …, e_n) est libre.

Technique récurrence sur n, et limite en plus l'infini après division par le terme dominant.

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Pour n = 1, λ exp(a₁ x) = 0 en x = 0 donne λ = 0. 2. Hérédité. On suppose le résultat vrai pour n fonctions, et on prend a₁ < … < a_n+1 avec Σ λ_k exp(a_k x) = 0 pour tout x. 3. On multiplie par exp(−a_n+1x), qui est non nul. On obtient λ_n+1 + Σ_{k ≤ n} λ_k exp((a_k − a_n+1)x) = 0. 4. Chaque a_k − a_n+1 est strictement négatif. Quand x tend vers plus l'infini, la somme tend donc vers 0, et λ_n+1 = 0. 5. Il reste une combinaison nulle de n fonctions, et l'hypothèse de récurrence donne λ₁ = … = λ_n = 0.

piège : Diviser par le mauvais terme. Il faut isoler le plus grand exposant, sans quoi les autres termes tendent vers l'infini.

Erreurs fréquentes

Vérifier la stabilité par somme en oubliant la multiplication par un réel, ou l'inverse. Un sous-espace doit être stable par combinaison linéaire, et non vide.
Déclarer libre une famille de trois vecteurs parce qu'ils sont deux à deux non colinéaires. Le critère de proportionnalité ne vaut que pour deux vecteurs.
Écrire « λ_1x_1 + … + λ_nx_n = 0 donc tous les λ_i sont nuls » sans résoudre le système, ou oublier le cas où un pivot dépend d'un paramètre.
Pour des fonctions, conclure à partir d'une seule valeur de x, ou oublier que l'égalité doit valoir pour tout x.
Compter n vecteurs dans la base canonique de R_n[x], confondre Rⁿ et M_n,1(R), ou invoquer la dimension, qui n'est pas encore au programme.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel d'ECG mathématiques approfondies (2021), enseignement du premier semestre, partie III « Algèbre linéaire », paragraphe « Introduction aux espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels ». Le programme se place uniquement sur $\R$ , se limite aux familles finies, et déclare hors programme les notions de corps, d'algèbre et de groupe. L'étude approfondie, avec la dimension, relève du second semestre.

Introduction aux espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels

Résumé en cinq points

1Structure d'espace vectoriel réel

1.1Définition

1.2Les exemples de référence

2Sous-espaces vectoriels

2.1Définition et caractérisation

2.2Exemples et contre-exemples

3Combinaisons linéaires et sous-espace engendré

3.1Famille finie et combinaison linéaire

3.2Sous-espace engendré

4Familles libres, génératrices, bases

4.1Famille génératrice

4.2Famille libre

4.3Base et coordonnées

4.4Un exemple qui relie tout

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Tri de parties de R³

Exercice 2. Égalité de deux Vect

Exercice 3. Liberté avec paramètre

Exercice 4. Base décalée de R2[x]

Exercice 5. Matrices antisymétriques d'ordre 3

Exercice 6. Suites arithmétiques et géométriques

Exercice 7. Fonctions valeur absolue

Exercice 8. Matrices qui commutent avec A

Exercice 9. Réunion de deux sous-espaces

Exercice 10. Exponentielles distinctes

Erreurs fréquentes

Exercice 4. Base décalée de R₂[x]