Probabilités sur un ensemble fini

Exercice 1. Vote à la majorité ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Trois composants fonctionnent indépendamment, chacun avec probabilité $p$ dans $]0, 1[$.

Le système fonctionne si au moins deux composants fonctionnent.

Calculer sa probabilité de fonctionnement et la comparer à $p$.

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Technique décomposition en événements disjoints et indépendance des contraires.

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1. On note $F_i$ « le composant $i$ fonctionne ».
2. L'événement cherché est la réunion disjointe de $F_1 \cap F_2 \cap \bar{F}_3$, de $F_1 \cap \bar{F}_2 \cap F_3$, de $\bar{F}_1 \cap F_2 \cap F_3$ et de $F_1 \cap F_2 \cap F_3$.
3. L'indépendance mutuelle s'étend aux contraires, donc la probabilité vaut $$3p^2(1 - p) + p^3 = 3p^2 - 2p^3.$$
4. On calcule $3p^2 - 2p^3 - p = p(2p - 1)(1 - p)$. La différence est positive si et seulement si $p > 1/2$.

piège : Oublier le cas où les trois composants fonctionnent, ou utiliser l'indépendance des contraires sans citer le résultat du cours.

Exercice 2. Événements presque sûrs ou négligeables ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Montrer que A est indépendant de lui-même si et seulement si P(A) vaut 0 ou 1. Montrer qu'un tel événement est indépendant de tout événement B.

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1. P(A ∩ A) = P(A), donc la condition s'écrit P(A) = P(A)², soit P(A)(1 − P(A)) = 0. …

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Exercice 10. Indépendance et choix de la probabilité ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC

Sur $\Omega = \{1, 2, 3, 4\}$, on pose $$p_i = P(\{i\}), \qquad A = \{1, 2\} \quad \text{et} \quad B = \{1, 3\}.$$ Caractériser les probabilités pour lesquelles $A$ et $B$ sont indépendants.

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Exercice 9. Opérations sur des événements indépendants ★★★

Approfondissement · 35 min · Niveau écrit HEC ou ESSEC

Soient $A$, $B$, $C$ mutuellement indépendants.

(a) Montrer que $A$, $B$, $\overline{C}$ le sont aussi. (b) Montrer que $A \cup B$ et $C$ sont indépendants. (c) Que devient (b) sous la seule indépendance deux à deux ?

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1. Pour (a), les paires $(A, \bar{C})$ et $(B, \bar{C})$ sont indépendantes par le cas de deux événements. …

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Exercice 3. Trois lettres dans trois enveloppes ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

On place au hasard trois lettres dans trois enveloppes adressées, une lettre par enveloppe.

Quelle est la probabilité qu'au moins une lettre soit dans la bonne enveloppe ?

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1. $\Omega$ est l'ensemble des $6$ répartitions, muni de l'équiprobabilité. …

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Exercice 4. Rang de la boule noire ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Une urne contient $N$ boules, dont une seule est noire.

On tire sans remise.

Pour $1 \leq k \leq N$, calculer la probabilité que la noire sorte exactement au tirage $k$.

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1. On note $B_i$ « blanche au tirage $i$ » et $N_k$ « noire au tirage $k$ ». …

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Exercice 6. Urne de Pólya ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit Ecricome

Une urne contient $a$ rouges et $b$ blanches, avec $a$, $b$, $c$ des entiers non nuls.

On tire une boule, on la remet avec $c$ boules de sa couleur, puis on tire une deuxième boule.

Calculer $P(R_2)$ et $P_{R_2}(R_1)$.

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Exercice 5. Questionnaire à choix multiples ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit Ecricome

Un candidat connaît la réponse avec probabilité $p$ dans $]0, 1[$.

Sinon, il choisit au hasard parmi $m \geq 2$ réponses.

(a) Probabilité de répondre juste. (b) Probabilité qu'il ait su, sachant qu'il a répondu juste. (c) Étudier cette dernière en fonction de $m$.

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1. On note $K$ « il connaît » et $J$ « réponse juste ». …

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Exercice 8. La pièce truquée ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit BCE, type EDHEC

Un sac contient une pièce équilibrée et une pièce à deux faces pile.

On choisit une pièce au hasard et on la lance $n$ fois.

Les lancers sont indépendants une fois la pièce fixée.

On obtient $n$ piles.

(a) Probabilité que la pièce soit truquée. (b) Probabilité que le lancer suivant donne pile.

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1. On note $T$ « pièce truquée » et $\Pi_n$ « $n$ premiers lancers pile ». …

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Exercice 7. Chaîne à deux états ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit BCE, type EDHEC

Chaque jour, un étudiant prend le vélo ou le bus.

Après un jour à vélo, il reprend le vélo le lendemain avec probabilité $\frac{3}{4}$.

Après un jour en bus, il prend le vélo avec probabilité $\frac{1}{2}$.

Le jour $1$, il est à vélo.

On observe les $N$ premiers jours, ce qui donne un univers fini.

On pose $$p_n = P(V_n).$$ Expliciter $p_n$.

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