Aller au contenu
Sup et Spé
Télécharger l'application

Accueil › PT › Physique

PT · Physique · semaine 2

Expression différentielle des principes de la thermodynamique

Échelle mésoscopique et transformation infinitésimale, premier et deuxième principes sous forme différentielle pour un système fermé, enthalpie libre, identités thermodynamiques et potentiel chimique pour un système de composition variable.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Échelle mésoscopique : champs T(M,t)T(M, t), P(M,t)P(M, t), ρ(M,t)\rho(M, t) ; A=∫ρ a dτA = \int \rho\, a\,\dd\tau ; étapes entre tt et t+dtt + \dd t.
  2. Fermé au repos : dU=δW+δQ\dd U = \delta W + \delta Q,   dS=δQ/TS+δSc\;\dd S = \delta Q/T_S + \delta S_c, δSc⩾0\delta S_c \geqslant 0 (=0= 0 en réversible).
  3. G=H−TSG = H - TS ; TT, PP fixées : dG=δW′−T0 δSc\dd G = \delta W' - T_0\,\delta S_c, sans travail utile dG⩽0\dd G \leqslant 0, GG minimale à l'équilibre.
  4. dG=−S dT+V dP+∑iμi dni\dd G = -S\,\dd T + V\,\dd P + \sum_i \mu_i\,\dd n_i,   μi=(∂G/∂ni)T,P\;\mu_i = (\partial G/\partial n_i)_{T, P},   G=∑iniμi\;G = \sum_i n_i\mu_i.
  5. Composition constante : dU=T dS−P dV\dd U = T\,\dd S - P\,\dd V (vraie toujours, T dS=δQT\,\dd S = \delta Q en réversible seulement) ; du=T ds−P dv\dd u = T\,\dd s - P\,\dd v.

Fin de l'aperçu gratuit

Encore 13 parties de cours et 8 corrigés.

Essayer 7 jours gratuitement Sans engagement · cours, exercices et fiches complets

Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Entropie créée 5

Exercice 1. Bouilloire avec pertes et entropie créée au refroidissement ★

Application du cours · 15 min

Une bouilloire contient m=1,0 kgm = 1{,}0~\mathrm{kg} d'eau, de capacité massique c=4,18 kJ/(kg⋅K)c = 4{,}18~\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, à la température initiale Ta=20 ∘CT_a = 20~^\circ\mathrm{C}.

La résistance fournit Pe=2,0 kWP_e = 2{,}0~\mathrm{kW}.

Les pertes vers l'air, à TaT_a, valent hS(T−Ta)h S (T - T_a), avec hS=2,0 W/Kh S = 2{,}0~\mathrm{W/K}.

On suppose l'eau brassée, donc à température uniforme, et on néglige la capacité de la paroi.

Établir l'équation différentielle et calculer la durée pour atteindre 100 ∘C100~^\circ\mathrm{C}.

On coupe ensuite le chauffage : exprimer l'entropie créée entre tt et t+dtt + dt.

Voir l'indice

Technique Bilan d'énergie infinitésimal, puis bilan d'entropie avec la température de la source.

Voir le corrigé offert
  1. Le système est l'eau, au repos et à pression constante. On a dH=δQdH = \delta Q, soit mc dT=[Pe−hS(T−Ta)] dt.m c\,dT = [P_e - h S (T - T_a)]\,dt.
  2. On pose τ=mc/(hS)=2 090 s\tau = m c/(h S) = 2\,090\ \mathrm{s}. L'équation devient dT/dt+(T−Ta)/τ=Pe/(mc).dT/dt + (T - T_a)/\tau = P_e/(m c).
  3. La solution est T−Ta=(Pe/hS)(1−e−t/τ)T - T_a = (P_e/hS)(1 - e^{-t/\tau}), avec Pe/hS=1 000 KP_e/hS = 1\,000\ \mathrm{K}. L'eau bout donc bien avant d'atteindre cette valeur limite fictive.
  4. On veut T−Ta=80 KT - T_a = 80\ \mathrm{K} : t=−τln⁡(1−0,08)≈174 st = -\tau \ln(1 - 0{,}08) \approx 174\ \mathrm{s}. Sans pertes, on aurait obtenu 167 s167\ \mathrm{s}.
  5. Après la coupure, la frontière est prise du côté de l'air, à TaT_a. On a dS=mc dT/TdS = m c\,dT/T et δSe=mc dT/Ta\delta S_e = m c\,dT/T_a. Donc δSc=mc dT(1/T−1/Ta).\delta S_c = m c\,dT (1/T - 1/T_a).
  6. Comme T>TaT > T_a, on a dT<0dT < 0 et 1/T−1/Ta<01/T - 1/T_a < 0. Le produit est positif, ce qui est cohérent.

piège : Écrire δSe=δQ/T\delta S_e = \delta Q/T avec la température de l'eau. On trouve alors δSc=0\delta S_c = 0 pour un refroidissement manifestement irréversible.

Exercice 2. Mise en contact de deux solides ★

Application du cours · 10 min

Deux blocs de même capacité C=500 J/KC = 500~\mathrm{J/K}, aux températures T1=300 KT_1 = 300~\mathrm{K} et T2=400 KT_2 = 400~\mathrm{K}, sont mis en contact dans une enceinte calorifugée et indéformable.

Déterminer la température finale et l'entropie créée, puis montrer que celle-ci est positive.

Voir le début du corrigé
  1. Le système global est isolé, donc ΔU=0\Delta U = 0 : C(Tf−T1)+C(Tf−T2)=0C (T_f - T_1) + C (T_f - T_2) = 0, soit Tf=350 KT_f = 350\ \mathrm{K}.

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 3. Détente de Joule et Gay-Lussac ★

Application du cours · 10 min

Une mole de gaz parfait occupe un compartiment de volume VV.

Elle se détend dans un compartiment vide de même volume, l'ensemble étant rigide et calorifugé.

Calculer la température finale, ΔS\Delta S et ScS_c.

Commenter l'identité dU=T dS−P dV.dU = T\,dS - P\,dV.

Voir le début du corrigé
  1. W = 0 car les parois sont rigides, et Q = 0. …

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 4. Compression adiabatique brutale d'un gaz parfait ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min

nn moles de gaz parfait, avec γ=1,4\gamma = 1{,}4, sont à T0T_0 et P0P_0 dans un cylindre calorifugé.

On impose brusquement Pext=P1=2P0P_{\mathrm{ext}} = P_1 = 2 P_0 constante.

Déterminer la température finale T1T_1 et l'entropie créée, puis comparer avec le cas réversible.

D'après un écrit de type CCINP.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 5. Compression isotherme en N étapes ★★★

Approfondissement · 25 min

nn moles de gaz parfait sont en contact avec un thermostat T0T_0 et passent de P0P_0 à P1=xP0P_1 = x P_0.

Cas a : la pression extérieure passe d'un coup à P1P_1.

Cas b : elle monte en NN paliers de même rapport r=x1/Nr = x^{1/N}, l'équilibre étant atteint à chaque palier.

Calculer l'entropie créée dans les deux cas et sa limite quand NN tend vers l'infini.

Voir le début du corrigé
  1. Cas a. On a W=−P1(V1−V0)=nRT0(x−1)W = -P_1 (V_1 - V_0) = nR T_0 (x - 1). …

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Enthalpie libre et équilibre 3

Exercice 6. Pile, enthalpie libre et travail électrique ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min

Une pile fonctionne à T0=298 KT_0 = 298~\mathrm{K} et à P0P_0 fixée.

Sa réaction a une enthalpie libre de réaction égale à −212 kJ/mol-212~\mathrm{kJ/mol}, supposée constante.

On fait avancer la réaction de 0,10 mol0{,}10~\mathrm{mol}.

Quel est le travail électrique maximal fourni ?

Quelle entropie est créée si la pile est mise en court-circuit ?

Voir le début du corrigé
  1. À TT et PP fixées, dG=(∑νiμi) dξdG = (\sum \nu_i \mu_i)\,d\xi, donc ΔG=−212×0,10=−21,2 kJ\Delta G = -212 \times 0{,}10 = -21{,}2\ \mathrm{kJ}.

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 7. Eau surfondue ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min

Un kilogramme d'eau liquide surfondue est à −10 ∘C-10~\mathrm{^\circ C} sous 1 bar1~\mathrm{bar}, au contact d'un thermostat à cette température.

L'enthalpie massique de fusion vaut L=333 kJ/kgL = 333~\mathrm{kJ/kg} à 0 ∘C0~\mathrm{^\circ C}.

On néglige ses variations avec TT.

Montrer que la solidification est spontanée.

Voir le début du corrigé
  1. L'approximation conduit à ΔH≈−L\Delta H \approx -L et ΔS≈−L/Tfus\Delta S \approx -L/T_{fus} pour la solidification. …

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 8. Phase stable et pente de μ ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · T

L'eau bout à Teb=373 KT_{eb} = 373~\mathrm{K} sous 1 bar1~\mathrm{bar}, avec une enthalpie molaire de vaporisation de 40,7 kJ/mol40{,}7~\mathrm{kJ/mol}.

Montrer qu'au-dessus de TebT_{eb} la vapeur est la phase stable, puis estimer μvap−μliq\mu_{vap} - \mu_{liq} à 383 K383~\mathrm{K}.

Voir le début du corrigé
  1. À TebT_{eb}, l'équilibre impose μvap=μliq\mu_{vap} = \mu_{liq}.

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Phase condensée 1

Exercice 9. Phase condensée en grandeurs massiques ★

Application du cours · 10 min

De l'eau liquide est supposée incompressible et indilatable, avec v=1,0×10−3 m3/kgv = 1{,}0 \times 10^{-3}~\mathrm{m^3/kg} et c=4,18 kJ/(kg⋅K)c = 4{,}18~\mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.

Établir dsds et dhdh.

Pour une compression isentropique de 11 à 101 bar101~\mathrm{bar}, calculer ΔT\Delta T et Δh\Delta h.

Voir le début du corrigé
  1. du = T ds − P dv avec dv = 0. Or du = c dT, donc ds = c dT/T.

La suite du corrigé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.