Séries entières

Exercice 1. Quatre rayons ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Déterminer le rayon de $\sum \frac{n^n}{n!}\,x^n$, $\sum \binom{2n}{n} x^n$, $\sum (\ln n)\,x^n$ et $\sum x^{n^2}$.

Exercice 9. Rayon de Σ a_n² zⁿ ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Classique de khôlle

$\sum a_n z^n$ a pour rayon $R$.

Montrer que $\sum a_n^2 z^n$ a pour rayon $R^2$, avec les conventions $0^2 = 0$ et $(+\infty)^2 = +\infty$.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 12. Sommes partielles et rayon de convergence ★★★

Approfondissement · 25 min

Soit $(a_n)_{n\ge0}$ une suite de réels positifs ou nuls, non tous nuls. La série entière $\sum_{n\ge0}a_nx^n$ a pour rayon $R$. On pose

$$b_n=\sum_{k=0}^{n}a_k, \qquad A(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n.$$

1. Pour $|x|<\min(R,1)$, établir une expression de la somme $B(x)=\sum_{n\ge0}b_nx^n$ en fonction de $A(x)$.
2. Montrer que le rayon de convergence de $\sum_{n\ge0}b_nx^n$ vaut $\min(R,1)$, y compris lorsque $R=0$ ou $R=+\infty$.
3. Donner un contre-exemple si les coefficients $a_n$ peuvent être négatifs.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 2. Sommer une série entière ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Pour $|x|<1$, calculer la somme

$$S(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}n^2x^n.$$

En déduire la valeur de

$$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2}{2^n}.$$

Exercice 6. Sommer par décomposition ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Calculer $$S(x) = \sum_{n \geq 1} \frac{x^n}{n(n + 1)}$$ pour $|x| < 1$.

Exercice 11. Reconnaître une série exponentielle ★

Application du cours · 10 min

Pour un réel $x$, calculer

$$T(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{n(n-1)+3n+2}{n!}x^n.$$

Justifier la convergence avant de transformer la somme.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 4. Série cosinus ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Soit $\theta$ réel.

Pour $|x| < 1$, calculer $$C(x) = \sum_{n \geq 0} \cos(n\theta)\, x^n,$$ puis $$\sum_{n \geq 1} \frac{\cos(n\theta)\, x^n}{n}.$$

Exercice 3. Développement de arcsin ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Développer $(1 - x^2)^{-1/2}$ en série entière, puis $\arcsin$.

Exercice 5. Un logarithme déguisé ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Khôlle

Développer $$f(x) = \ln(1 + x + x^2)$$ en série entière et donner le rayon.

Exercice 7. Développement par équation différentielle ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Type écrit CCINP

Soit $$f(x) = \frac{\arcsin(x)}{\sqrt{1 - x^2}}$$ sur $]-1, 1[$.

Montrer que $$(1 - x^2) f'(x) - x f(x) = 1,$$ puis en déduire le développement de $f$.

Exercice 8. Suite de Fibonacci ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit CCINP

Soit la suite définie par $$u_0 = 0, \qquad u_1 = 1, \qquad u_{n+2} = u_{n+1} + u_n.$$ Montrer que $\sum u_n x^n$ a un rayon au moins $1/2$, calculer sa somme et en déduire $u_n$.

Exercice 10. Dérangements ★★★

Approfondissement · 30 min · Type oral Centrale

On admet que le nombre $D_n$ de permutations de $\{1, \dots, n\}$ sans point fixe vérifie $$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} D_k = n!, \qquad D_0 = 1.$$ On pose $$D(x) = \sum \frac{D_n x^n}{n!}.$$ Calculer $D$ et en déduire $D_n$.

Exercice classique. Convolutions pondérées et produit de trois séries ★★★

Classique du chapitre

On définit $(C_n)_{n\in\N}$ par $C_0=1$ et $C_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}C_kC_{n-k}$. On peut utiliser les résultats établis dans le cours : $C_n=(2n)!/(n!(n+1)!)$, ainsi que la convergence de $C(x)=\sum_{n\geq0}C_nx^n$ et l’identité $C(x)=1+xC(x)^2$ pour tout réel $x$ tel que $|x|<1/4$.

1. Pour $n\geq0$, poser $A_n=\sum_{k=0}^{n}(k+1)C_kC_{n-k}$. En effectuant le changement d’indice $k\mapsto n-k$, exprimer $A_n$ en fonction de $C_{n+1}$.

2. Pour $n\geq0$, poser $T_n=\sum_{i+j+k=n}C_iC_jC_k$, où la somme porte sur les triplets $(i,j,k)\in\N^3$. Montrer que $T_n=C_{n+2}-C_{n+1}$.

3. En déduire une formule factorielle pour $T_n$, puis calculer $T_2$ et déterminer un équivalent de $T_n$ lorsque $n$ tend vers l’infini.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.