Compléments d'algèbre linéaire

Résumé en cinq points

1Produit d'espaces vectoriels, somme de sous-espaces

2Sous-espaces stables

3Trace

4Hyperplans en dimension finie

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

1. Caractérisation de la somme directe par $0$, contre-exemple des trois droites.
2. Concaténation de bases : base de $\bigoplus F_i$, dimension.
3. $u \circ v = v \circ u$ : $\Ker v$, $\Im v$ stables par $u$.
4. Stabilité $\iff$ matrice triangulaire par blocs.
5. $\tr(AB) = \tr(BA)$, invariance par similitude, $\tr(u)$.
6. Pas de $AB - BA = I_n$ ; $\tr p = \rg p$.
7. Hyperplan $\iff$ noyau d'une forme linéaire non nulle.
8. $p$ hyperplans : $\dim \geqslant n - p$ ; dimension $n - p$ : intersection de $p$ hyperplans.

Les résultats à connaître

• Produit $E_1 \times \dots \times E_p$ d'espaces de dimension finie : sa dimension est $\dim E_1 + \dots + \dim E_p$. Exigible avec démonstration.
• La somme $F_1 + \dots + F_p$ est le plus petit sous-espace contenant tous les $F_i$. Elle est engendrée par la réunion de familles génératrices des $F_i$. Exigible.
• Somme directe : elle est directe si et seulement si $x_1 + \dots + x_p = 0$ avec $x_i$ dans $F_i$ impose que tous les $x_i$ sont nuls. Exigible avec démonstration.
• Pour deux sous-espaces, la somme est directe si et seulement si $F \cap G = \{0\}$. Acquis de première année.
• Pour la somme de plus de trois sous-espaces, toute autre caractérisation est hors programme, selon le commentaire officiel.
• En dimension finie, la concaténation de bases des $F_i$ est une base de $F_1 \oplus \dots \oplus F_p$. La dimension de la somme est la somme des dimensions. Exigible avec démonstration.
• Si $F$ est stable par $u$, l'endomorphisme induit $u_F$ est un endomorphisme de $F$. Exigible.
• Soit $F$ de dimension $k$ et une base de $E$ commençant par une base de $F$. $F$ est stable par $u$ si et seulement si la matrice de $u$ dans cette base a un bloc nul de taille $(n - k) \times k$ en bas à gauche. Exigible dans les deux sens de lecture.
• Si $u$ et $v$ commutent, $\ker v$ et $\operatorname{Im} v$ sont stables par $u$. Exigible.
• La trace est une forme linéaire. $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ pour $A$ de taille $n \times p$ et $B$ de taille $p \times n$. Exigible avec démonstration.
• Deux matrices semblables ont même trace. La réciproque est fausse. Exigible.
• La trace d'un endomorphisme en dimension finie ne dépend pas de la base. Exigible.
• Hyperplan en dimension $n \geq 1$ : sous-espace admettant une droite comme supplémentaire. De façon équivalente, c'est un sous-espace de dimension $n - 1$. Exigible.
• $H$ est un hyperplan si et seulement si $H$ est le noyau d'une forme linéaire non nulle. Deux équations de $H$ sont proportionnelles. Exigible.
• Dans un espace de dimension $n$, l'intersection de $p$ hyperplans est de dimension au moins $n - p$. Tout sous-espace de dimension $n - p$ est intersection de $p$ hyperplans. Exigible avec démonstration.
• Hors de ce chapitre : espace dual, base duale, hyperplans en dimension infinie.

Clés de démonstration

Dimension d'un produit. Les vecteurs $(e_i, 0)$ et $(0, f_j)$ engendrent $E \times F$, car $(x, y) = (x, 0) + (0, y)$. Une combinaison nulle se sépare en deux combinaisons nulles, une par composante. L'astuce : couper le couple en deux morceaux qui ne se mélangent pas.

Caractérisation par le vecteur nul. Le sens direct applique l'unicité à $0 = 0 + \dots + 0$. Pour la réciproque, on soustrait deux décompositions d'un même vecteur. L'astuce : une différence de deux éléments de $F_i$ reste dans $F_i$.

Base adaptée. La famille concaténée engendre la somme. Une combinaison nulle se regroupe en $x_1 + \dots + x_p = 0$. Chaque $x_i$ est alors nul, puis la liberté de chaque base annule ses coefficients. L'astuce : regrouper par sous-espace avant d'utiliser la somme directe.

Stabilité et blocs. La colonne $j$ contient les coordonnées de $u(e_j)$. Pour $j \leq k$, $u(e_j)$ est dans $F$ si et seulement si ses coordonnées sur $e_{k+1}, \dots, e_n$ sont nulles. L'astuce : par linéarité, on teste seulement la base de $F$.

Endomorphismes qui commutent. Si $v(x) = 0$, alors $v(u(x)) = u(v(x)) = 0$. Si $y = v(x)$, alors $u(y) = v(u(x))$ est dans $\operatorname{Im} v$. L'astuce : faire passer $u$ de l'autre côté de $v$.

$\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$. $\operatorname{tr}(AB)$ est la double somme des $a_{ik} b_{ki}$ sur $i$ et $k$, et $\operatorname{tr}(BA)$ donne les mêmes termes. L'astuce : échanger l'ordre de sommation d'une somme finie double.

Invariance par similitude. On applique $\operatorname{tr}(XY) = \operatorname{tr}(YX)$ avec $X = P^{-1}A$ et $Y = P$. On obtient $\operatorname{tr}(P^{-1}AP) = \operatorname{tr}(A)$.

Hyperplan et forme linéaire. Une forme non nulle est de rang $1$, et le théorème du rang donne un noyau de dimension $n - 1$. Réciproquement, on complète une base de $H$ par $e_n$ et on prend la coordonnée sur $e_n$. L'astuce : théorème du rang dans un sens, base adaptée dans l'autre.

Équations proportionnelles. Soient $\varphi$ et $\psi$ non nulles de noyau $H$. On choisit $a$ hors de $H$ et on pose $\lambda = \psi(a)/\varphi(a)$. Alors $\psi - \lambda\varphi$ s'annule sur $H$ et en $a$, donc sur $H \oplus \mathbb{K}a = E$. L'astuce : une application linéaire nulle sur deux supplémentaires est nulle.

Intersection de $p$ hyperplans. L'application $f$ qui à $x$ associe $(\varphi_1(x), \dots, \varphi_p(x))$ va de $E$ dans $\mathbb{K}^p$ et est de rang au plus $p$. Son noyau est l'intersection des hyperplans, de dimension $n - \operatorname{rg} f \geq n - p$. L'astuce : appliquer le théorème du rang à toutes les équations à la fois.

Exemples et contre-exemples à connaître

1. Trois droites distinctes de $\mathbb{R}^2$ : leurs intersections deux à deux sont nulles, mais leur somme n'est pas directe. Cet exemple interdit de généraliser le critère $F \cap G = \{0\}$.
2. $M_n(\mathbb{K}) = S_n \oplus A_n$, grâce à la décomposition $A = (A + A^T)/2 + (A - A^T)/2$. C'est le modèle de supplémentaires obtenus par une formule explicite.
3. $u(x, y) = (x + y, y)$ sur $\mathbb{R}^2$ n'a qu'une droite stable. Un sous-espace stable n'a donc pas toujours de supplémentaire stable.
4. Une rotation de $\mathbb{R}^2$ d'angle $\theta$ non multiple de $\pi$ n'a aucune droite stable. Sur $\mathbb{R}$, il peut n'exister aucun sous-espace stable non trivial.
5. La dérivation sur $\mathbb{R}[X]$ laisse stable chaque $\mathbb{R}_n[X]$. C'est l'exemple type d'endomorphisme induit.
6. $\operatorname{tr}(I_n) = n$, donc $AB - BA = I_n$ est impossible. C'est la première application de la trace attendue.
7. La matrice nulle et la matrice de lignes $(0, 1)$, $(0, 0)$ ont même trace sans être semblables.
8. La trace d'un projecteur est égale à son rang. Elle permet de compter des dimensions sans calculer de base.
9. Les matrices de trace nulle forment un hyperplan de $M_n(\mathbb{K})$, de dimension $n^2 - 1$.
10. Dans $\mathbb{R}_n[X]$, l'ensemble des $P$ tels que $P(a) = 0$ est un hyperplan (voir l'exercice 9).

Techniques du chapitre

Technique 1, montrer qu'une somme de plusieurs sous-espaces est directe. On part d'une décomposition du vecteur nul. Mini-exercice : dans $\mathbb{R}^3$, $F_1 = \operatorname{Vect}(1, 0, 0)$, $F_2 = \operatorname{Vect}(1, 1, 0)$ et $F_3 = \operatorname{Vect}(1, 1, 1)$. Supposons $a(1, 0, 0) + b(1, 1, 0) + c(1, 1, 1) = 0$. La troisième coordonnée donne $c = 0$, la deuxième $b = 0$, la première $a = 0$. La somme est directe, et elle vaut $\mathbb{R}^3$ par dimension.

Technique 2, montrer que deux sous-espaces sont supplémentaires par l'intersection et la dimension. Mini-exercice : $S_n$ et $A_n$. Si $A$ est à la fois symétrique et antisymétrique, $A = A^T = -A$, donc $A = 0$. Les dimensions $n(n + 1)/2$ et $n(n - 1)/2$ ont pour somme $n^2$.

Technique 3, tester la stabilité sur une équation. Mini-exercice : $u(x, y, z) = (y, z, x)$ et le plan $P$ d'équation $x + y + z = 0$. Pour $(x, y, z)$ dans $P$, la somme des coordonnées de $u(x, y, z)$ vaut $y + z + x = 0$. Donc $P$ est stable par $u$.

Technique 4, calculer une trace dans une base adaptée. Mini-exercice : $T$, qui à $A$ associe $A^T$, vaut $\operatorname{id}$ sur $S_n$ et $-\operatorname{id}$ sur $A_n$. On en déduit $\operatorname{tr}(T) = n(n + 1)/2 - n(n - 1)/2 = n$.

Technique 5, prendre la trace d'une identité matricielle. Mini-exercice : soit $A$ dans $M_n(\mathbb{R})$ avec $A^T A = 0$. $\operatorname{tr}(A^T A)$ est la somme de tous les $a_{ij}^2$. Cette somme est nulle, donc $A = 0$.

Technique 6, trouver l'équation d'un hyperplan donné par une base. Mini-exercice : le plan de $\mathbb{R}^3$ engendré par $(1, 2, 0)$ et $(0, 1, 1)$. On cherche $(a, b, c)$ avec $a + 2b = 0$ et $b + c = 0$. Avec $b = 1$, on obtient l'équation $2x - y + z = 0$.

Technique 7, obtenir une dimension par le rang du système. Mini-exercice : dans $\mathbb{R}^4$, $x + y + z + t = 0$ et $x - y + z - t = 0$. Les deux lignes ne sont pas proportionnelles, le rang vaut $2$. Les solutions forment un sous-espace de dimension $4 - 2 = 2$.