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PSI · Physique · semaine 9

Transport de charge

Densité volumique de charge et vecteur densité de courant, intensité comme flux, équation locale de conservation de la charge, régime stationnaire et lien avec la loi des nœuds. Conducteur ohmique avec loi d'Ohm locale, modèle de Drude, résistance d'un câble cylindrique, puissance volumique et effet Joule.

Sommaire

Ton programme de PSI : ce chapitre est traité par Sources du champ électromagnétique (PC).

Hors programme en PSI, donc pas exigible :

  • Effet Hall
  • Influence de la fréquence sur la conductivité
  • Densité volumique de charges et description mésoscopique des sources

Au programme de PSI en plus, traité dans ta vidéo de PSI :

  • Lignes et tubes de courant (vocabulaire)

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Les sources du champ sont décrites par ρ\rho et par j⃗=∑iniqiv⃗i\vec j=\sum_i n_iq_i\vec v_i, où v⃗i\vec v_i est la vitesse moyenne d'ensemble. L'intensité est le flux de j⃗\vec j.
  2. La vitesse de dérive dans un métal vaut quelques dizaines de  μm.s−1\unite{\mu m.s^{-1}}, très loin de la vitesse d'agitation thermique et de la vitesse de propagation du signal.
  3. La charge est conservative : ∂ρ/∂t+div⁡j⃗=0\partial\rho/\partial t+\operatorname{div}\vec j=0. En régime stationnaire, j⃗\vec j est à flux conservatif, ce qui donne la loi des nœuds.
  4. La loi d'Ohm locale j⃗=γE⃗\vec j=\gamma\vec E se démontre par un modèle de porteurs freinés, avec γ=ne2τ/m\gamma=ne^2\tau/m. Elle reste valable tant que ωτ\omega\tau est petit devant 11.
  5. La puissance volumique dissipée vaut j⃗⋅E⃗=γE2\vec j\cdot\vec E=\gamma E^2. L'effet Hall, dû à la force magnétique transverse compensée en régime permanent par un champ de Hall, donne le signe des porteurs et sert de capteur de champ magnétique.
Pourquoi ce chapitre

C'est le chapitre d'entrée de l'électromagnétisme de PC. Il fournit les deux objets qui apparaissent au second membre des équations de Maxwell :

  • la densité volumique de charge ;
  • le vecteur densité de courant.

Il installe aussi l'équation locale de conservation de la charge, qui est le modèle de toutes les équations de bilan du programme. Enfin il donne un contenu microscopique à la loi d'Ohm, apprise en PCSI comme une loi de circuit.

Aux concours, ce chapitre apparaît rarement seul. Il sert de première question dans un problème plus vaste, sous la forme :

  • d'un calcul de conductivité ;
  • d'une estimation de vitesse de dérive ;
  • d'une discussion de l'effet Hall.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Conductivité électrique 3

Exercice 1. Courant dans un électrolyte ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Une solution de chlorure de sodium à 0,10 mol/L0{,}10~\mathrm{mol/L} est soumise à un champ E=100 V/mE = 100~\mathrm{V/m} selon uxu_x.

Les ions Na+\mathrm{Na^+} dérivent à 5,2×10−6 m/s5{,}2 \times 10^{-6}~\mathrm{m/s} selon +ux+ u_x, les ions Cl−\mathrm{Cl^-} à 7,9×10−6 m/s7{,}9 \times 10^{-6}~\mathrm{m/s} selon −ux- u_x.

Calculer ρ\rho, jj, puis l'intensité à travers une section de 1 cm21~\mathrm{cm^2}.

En déduire γ\gamma.

Voir l'indice

Technique j=∑niqivij = \sum n_i q_i v_i avec deux espèces.

Voir le corrigé offert
  1. La densité de chaque ion vaut n=100 mol/m3×6,02×1023≈6,0×1025 m−3.n = 100\ \mathrm{mol/m^3} \times 6{,}02 \times 10^{23} \approx 6{,}0 \times 10^{25}\ \mathrm{m^{-3}}.
  2. ρ=ne−ne=0\rho = n e - n e = 0, la solution est neutre.
  3. j=ne(5,2+7,9)×10−6≈9,6×106×1,31×10−5≈126 A/m2j = n e (5{,}2 + 7{,}9) \times 10^{-6} \approx 9{,}6 \times 10^6 \times 1{,}31 \times 10^{-5} \approx 126\ \mathrm{A/m^2}, selon +ux+ u_x.
  4. I=jS≈12,6 mAI = j S \approx 12{,}6\ \mathrm{mA}.
  5. γ=j/E≈1,3 S/m\gamma = j/E \approx 1{,}3\ \mathrm{S/m}, en accord avec l'ordre de grandeur d'un électrolyte.

piège : Soustraire les deux contributions parce que les vitesses sont opposées. Les signes de qq et de vv s'inversent ensemble, les produits ont donc le même signe.

Exercice 4. Modèle du métal pour le sodium ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit CCINP

Le sodium a une masse volumique de 970 kg/m3970~\mathrm{kg/m^3}, une masse molaire de 23 g/mol23~\mathrm{g/mol}, un électron libre par atome et une conductivité γ=2,1×107 S/m.\gamma = 2{,}1 \times 10^{7}~\mathrm{S/m}. Établir γ\gamma par le modèle à frottement, calculer τ\tau, puis la durée d'établissement du régime et le champ nécessaire pour j=106 A/m2.j = 10^{6}~\mathrm{A/m^2}.

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Exercice 5. Influence de la fréquence ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Type écrit CCINP

Pour le cuivre, τ=2,5×10−14 s.\tau = 2{,}5 \times 10^{-14}~\mathrm{s}. Établir γ(ω)\gamma(\omega), donner son module et le déphasage de jj par rapport à EE.

Évaluer ωτ\omega \tau à 50 Hz50~\mathrm{Hz}, 1 GHz1~\mathrm{GHz} et 5×1014 Hz5 \times 10^{14}~\mathrm{Hz}.

Discuter la puissance moyenne dissipée.

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Conservation de la charge 3

Exercice 2. Bilan de charge non stationnaire ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Dans un tube de section SS, pour 0<x<a0 < x < a, on impose j=j0 xa uxj = j_0 \, \frac{x}{a} \, u_x pour t≥0t \geq 0, avec ρ\rho nul à t=0t = 0.

Établir l'équation de conservation, trouver ρ(x,t)\rho(x, t) et vérifier le résultat par un bilan global.

Voir le début du corrigé
  1. On établit ∂ρ/∂t+∂jx/∂x=0\partial\rho/\partial t + \partial j_x/\partial x = 0 par le bilan sur S dxS\,dx vu en section 2.

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Exercice 3. Loi des nœuds et condensateur ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Un condensateur plan se charge à travers une résistance.

Appliquer la forme intégrale de la conservation à une surface fermée entourant une seule armature, puis à une surface entourant tout le condensateur.

Conclure sur la loi des nœuds.

Voir le début du corrigé
  1. Une surface autour de l'armature portant QQ n'est traversée que par le fil d'arrivée, de courant ii entrant. …

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Exercice 9. Disparition de la charge dans un conducteur ★★★

Approfondissement · 30 min · Type oral Mines

On admet l'équation de Maxwell-Gauss, div⁡E=ρε0,\operatorname{div} E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}, vue au chapitre suivant.

Montrer qu'avec la loi d'Ohm statique, une densité de charge initiale disparaît exponentiellement.

Estimer le temps caractéristique pour le cuivre, l'eau de mer (γ≈5 S/m\gamma \approx 5~\mathrm{S/m}) et le verre (γ≈10−12 S/m\gamma \approx 10^{-12}~\mathrm{S/m}).

Critiquer le résultat pour le cuivre.

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Résistance et effet Joule 2

Exercice 6. Résistance de fuite d'un câble coaxial ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit CCINP

Entre deux cylindres conducteurs coaxiaux de rayons a<ba < b et de longueur LL se trouve un isolant imparfait de conductivité γ\gamma.

Un courant II fuit radialement de l'intérieur vers l'extérieur.

Calculer la résistance de fuite.

Faire l'application numérique pour a=0,5 mm,b=2 mm,a = 0{,}5~\mathrm{mm}, \qquad b = 2~\mathrm{mm}, L=1 m,γ=10−13 S/m.L = 1~\mathrm{m}, \qquad \gamma = 10^{-13}~\mathrm{S/m}.

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Exercice 7. Principe du fusible ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type écrit CCINP

Un fil de cuivre de section 1,5 mm21{,}5~\mathrm{mm^2} présente un rétrécissement de section 0,15 mm20{,}15~\mathrm{mm^2}.

Il transporte 16 A16~\mathrm{A}.

On donne γ=6,0×107 S/m\gamma = 6{,}0 \times 10^{7}~\mathrm{S/m}, une masse volumique de 8 960 kg/m38\,960~\mathrm{kg/m^3} et une capacité thermique massique de 385 J/(kg K)385~\mathrm{J/(kg\,K)}.

Comparer les puissances volumiques et les vitesses d'échauffement, en supposant l'échauffement adiabatique.

Voir le début du corrigé
  1. j1=16/1,5×10−6≈1,07×107 A/m2j_1 = 16/1{,}5 \times 10^{-6} \approx 1{,}07 \times 10^7\ \mathrm{A/m^2} et j2≈1,07×108 A/m2j_2 \approx 1{,}07 \times 10^8\ \mathrm{A/m^2}.

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Effet Hall 1

Exercice 8. Sonde à effet Hall ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Type écrit Centrale

Un barreau de largeur bb selon uyu_y et d'épaisseur aa selon uzu_z est parcouru par II selon uxu_x et plongé dans B=B uz.B = B \, u_z. Les porteurs ont une charge qq et une densité nn.

Trouver le champ de Hall et UH=V(y=0)−V(y=b).U_H = V(y = 0) - V(y = b). Faire l'application numérique pour I=1 mA,B=0,1 T,I = 1~\mathrm{mA}, \qquad B = 0{,}1~\mathrm{T}, a=0,1 mm,a = 0{,}1~\mathrm{mm}, avec n=1021 m−3n = 10^{21}~\mathrm{m^{-3}} (semi-conducteur), puis n=8,5×1028 m−3n = 8{,}5 \times 10^{28}~\mathrm{m^{-3}} (cuivre).

Voir le début du corrigé
  1. Vitesse de dérive : v=j/(nq)v = j/(n q) avec j=I/(ab)uxj = I/(ab) u_x. …

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique-chimie de PC (arrêté du 5 janvier 2021), partie 5.1 « Sources du champ électromagnétique ». Elle couvre la description mésoscopique des charges et des courants, la conservation de la charge, et la conduction dans un conducteur ohmique. Le programme invite à souligner les analogies formelles avec la diffusion de particules, la diffusion thermique, la gravitation et la mécanique des fluides.

Au concours

Les questions des sujets corrigés qui travaillent ce chapitre. La première question de chaque sujet est en accès libre.

CCINP 2025, PC, Physique

  • Q1, en accès libre Loi d'Ohm locale, loi de Fourier et analogie électrique-thermique
  • Q2 Loi d'Ohm locale, loi de Fourier et analogie électrique-thermique
  • Q7 à Q9 Force électromotrice Seebeck et circuit bismuth-cuivre
  • Q15 et Q16 Porteurs de charge et densité de courant dans les jambes