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PSI · Physique · semaine 7

Modulation et démodulation

Transmission d'une information par un signal modulé en amplitude, en fréquence ou en phase, ordres de grandeur des fréquences des signaux radio AM, FM et de la téléphonie mobile. Modulation d'amplitude comme produit d'une porteuse par une modulante, spectre du signal modulé, démodulation synchrone et nécessité d'une opération non linéaire.

Sommaire

La fiche de cours

Résumé en cinq points

  1. Moduler, c'est faire varier l'amplitude, la fréquence ou la phase d'une porteuse de haute fréquence au rythme de l'information. On obtient des antennes de taille raisonnable et un multiplexage en fréquence.
  2. Les ordres de grandeur sont de 100 kHz à quelques MHz pour la radio AM, environ 100 MHz pour la radio FM et environ 1 GHz pour la téléphonie mobile.
  3. Un signal modulé en amplitude est le produit d'une porteuse par une modulante 1 + k x(t). Pour une modulante sinusoïdale, il a trois raies : A à fp et mA/2 à fp ± fm. La largeur de bande vaut 2 fmax.
  4. Le signal modulé ne contient aucune composante à la fréquence de l'information. Un filtre linéaire ne créant aucune fréquence, la démodulation exige une opération non linéaire.
  5. La démodulation synchrone multiplie le signal reçu par une copie de la porteuse, puis un passe-bas garde (K A C/2) μ(t) et rejette le spectre autour de 2 fp. Un déphasage ψ multiplie le résultat par cos ψ : le signal local doit être synchronisé en fréquence et en phase.
Pourquoi ce chapitre

Ce chapitre relie deux pans du programme : la propagation des ondes électromagnétiques et le traitement du signal. Comment transporter une voix ou de la musique par une onde, sur de grandes distances, sans brouiller les autres émissions ? La réponse tient en une idée : déplacer l'information vers les hautes fréquences, puis la ramener à sa place à la réception. Aux concours, on attend surtout un calcul trigonométrique propre, un spectre correctement décrit et un choix justifié de la fréquence de coupure. On demande aussi d'expliquer pourquoi un simple filtre ne suffit jamais à démoduler.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Principe de la transmission 1

Exercice 1. Antennes et nombre de canaux ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

On considère une antenne quart d'onde, de longueur λ/4, avec c = 3,0 × 10⁸ m/s.

  1. Calculer sa longueur à 3 kHz, 1 MHz, 100 MHz et 900 MHz.

  2. La bande FM va de 87,5 à 108 MHz, avec un canal de 200 kHz. Combien de stations peut-on placer ?

  3. Pourquoi ne peuvent-elles pas émettre toutes en bande audio ?

Voir l'indice

Technique Relation λ = c/f et partage d'une bande.

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  1. Avec λ = c/f, on trouve 100 km, 300 m, 3 m et 33 cm.
  2. Les antennes mesurent 25 km, 75 m, 75 cm et 8,3 cm.
  3. La bande a pour largeur 20,5 MHz, soit 102 canaux entiers.
  4. En bande audio, tous les spectres se superposent et aucun filtre n'isole une émission.

piège : Répondre seulement par la taille d'antenne. Le multiplexage est le second argument attendu.

Spectre en amplitude 2

Exercice 2. Du multiplieur au spectre ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Un multiplieur de coefficient K = 0,1 V⁻¹ reçoit v1 = U0 + Um cos(ωm t) et v2 = Up cos(ωp t).

Données : U0 = 5 V, Um = 2 V, Up = 6 V, fp = 200 kHz, fm = 4 kHz.

  1. Donner A, m, Amax et Amin.

  2. Donner le spectre de la sortie.

  3. Quelle valeur de U0 donne m = 1 ? Que deviennent les raies ?

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  1. On a A = K U0 Up = 3 V et m = Um/U0 = 0,4.

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Exercice 3. Où passe la puissance ? ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Un signal modulé par une sinusoïde alimente une résistance R, avec A = 100 V, R = 50 Ω, m = 0,5.

  1. Exprimer la puissance moyenne de la porteuse et celle des deux bandes latérales.

  2. En déduire la fraction η de puissance portant l'information.

  3. Calculer les puissances, puis η pour m = 1.

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  1. La porteuse dissipe Pp = A²/(2R).

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Non-linéarité 1

Exercice 4. Non-linéarité quadratique ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit CCINP

Un composant fournit u = α s², avec α constant.

Il reçoit s = A(1 + m cos ωm t) cos ωp t, avec fm ≪ fp et 0 < m < 1.

  1. Pourquoi un filtre seul ne permet-il pas de récupérer fm ?

  2. Déterminer la partie basse fréquence de u.

  3. Choisir la coupure du passe-bas idéal placé après le composant.

  4. Calculer le rapport entre l'harmonique 2 fm et le fondamental pour m = 0,4. Conclure.

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  1. Le spectre de s ne contient que fp et fp ± fm. …

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Démodulation synchrone 2

Exercice 5. Dimensionner le filtre de réception ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit CCINP

Un signal modulé est multiplié par une porteuse locale parfaitement synchrone d'amplitude C.

Données : A = 4 V, m = 0,6, C = 10 V, fp = 150 kHz, fm = 3 kHz, K = 0,1 V⁻¹.

  1. Donner le spectre du produit v(t).

  2. Quelle est la fenêtre permise pour un passe-bas idéal ?

  3. Pour un passe-bas d'ordre 1, on veut un gain d'au moins 0,99 à fm. Calculer la plus petite coupure, puis le résidu à 300 kHz.

  4. On met en cascade deux cellules d'ordre 1 de coupure 30 kHz, séparées par un suiveur. Comparer.

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  1. On calcule KAC/2 = 2 V, donc v = 2(1 + 0,6 cos ωm t)(1 + cos 2ω_p t) en volts.

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Exercice 6. Déphasage par un câble ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

La porteuse locale arrive au multiplieur par un câble de longueur ℓ. On néglige le retard du signal reçu.

Données : fp = 10 MHz, célérité vc = 2,0 × 10⁸ m/s.

  1. Exprimer le déphasage ψ en valeur absolue.

  2. Pour quelle plus petite longueur le signal démodulé est-il réduit d'un facteur √2 ? Annulé ?

  3. L'oscillateur local dérive maintenant de δf = 2 Hz. Décrire le son obtenu.

  4. On calcule une seconde voie avec C sin(ωp t + ψ). Comment s'affranchir de ψ si μ > 0 ?

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  1. Le retard ℓ/vc correspond à |ψ| = 2π fp ℓ/vc.

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Multiplexage et réception 2

Exercice 7. Deux stations voisines ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type écrit CCINP

Le récepteur capte deux émissions de fréquence maximale fmax = 4,5 kHz, à f1 = 200 kHz et f2 = 209 kHz.

On multiplie l'ensemble par C cos(ω1 t), synchrone de la station 1.

  1. Décrire les bandes du signal produit.

  2. Quel filtre isole la station 1 ?

  3. Que se passe-t-il si f2 = 206 kHz ? Donner la condition générale.

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  1. La station 1 donne une bande de 0 à 4,5 kHz et une bande autour de 400 kHz.

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Exercice 9. Récepteur à changement de fréquence ★★★

Approfondissement · 40 min · Type écrit Centrale

On multiplie le signal d'antenne s = A μ(t) cos ωp t par c = C cos ωL t.

On impose fL = fp + fI, avec fp = 1,000 MHz et fI = 455 kHz.

Un filtre fixe centré sur fI suit le multiplieur, de coefficient K.

  1. Déterminer le signal à la sortie du filtre, idéal et de gain 1.

  2. Le canal a pour largeur 9 kHz. Quel facteur de qualité faut-il au filtre fixe ?

  3. Montrer qu'une émission à une autre fréquence f', supérieure à fL, passe aussi.

  4. Avant le multiplieur, on place un passe-bande de gain maximal 1, centré sur fp, avec Q = 10. Calculer son gain à f'.

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  1. Le produit comporte un terme autour de fL + fp et un autre autour de fL − fp = fI.

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Modulation de fréquence et de phase 1

Exercice 8. Reconnaître fréquence et phase ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

Une station émet s = A cos(ωp t + β sin ωm t), avec fp = 100 MHz, fm = 15 kHz, β = 5.

  1. Calculer la fréquence instantanée et l'excursion Δf.

  2. On envisage une modulation de fréquence par x = X cos ωm t, ou de phase par x = X sin ωm t. L'expression permet-elle de trancher ?

  3. On double fm à X fixé. Comment évoluent Δf et β dans chaque cas ?

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  1. On obtient fi = fp + β fm cos ωm t, donc Δf = β fm = 75 kHz.

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Acquisition numérique 1

Exercice 10. Acquisition et repliement ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min · Niveau khôlle

On numérise un signal modulé et son produit de démodulation, avec fp = 50 kHz et fm = 1 kHz.

  1. Proposer fe, la durée T et le nombre d'échantillons N pour observer les deux signaux avec une résolution de 100 Hz.

  2. On acquiert par erreur le signal modulé avec fe = 80 kHz. Où apparaissent les trois raies ?

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  1. Le produit monte à 2 fp + fm = 101 kHz. …

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de PSI (2021), partie « Électronique », paragraphe « 1.5. Modulation-démodulation ».