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PSI · Physique · semaine 5

Électronique numérique

Échantillonnage et condition de Nyquist-Shannon, repliement de spectre. Analyse spectrale numérique avec choix de la durée, du nombre d'échantillons et de la fréquence d'échantillonnage, filtrage numérique et limites introduites par l'échantillonnage, étudiés surtout de façon expérimentale.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Échantillonner, c'est relever s(kTe)s(kT_e). Après échantillonnage à fef_e, les fréquences ff et ∣mfe±f∣\lvert mf_e \pm f\rvert sont indiscernables, et le spectre se répète avec la période fef_e.
  2. Une fréquence supérieure à fe/2f_e/2 apparaît repliée à la fréquence fapp=∣f−mfe∣f_{\mathrm{app}} = \lvert f-mf_e\rvert comprise entre 00 et fe/2f_e/2. C'est l'effet stroboscopique.
  3. Condition de Nyquist-Shannon : pour un signal dont la plus haute fréquence présente est fmax⁡f_{\max}, il n'y a pas de repliement si et seulement si fe>2fmax⁡f_e > 2f_{\max}.
  4. Une acquisition de NN points à fef_e dure Ta=N/feT_a = N/f_e. Le spectre numérique couvre [0,fe/2][0, f_e/2] avec une résolution Δf=1/Ta\Delta f = 1/T_a. La durée règle la finesse, la fréquence d'échantillonnage règle l'étendue.
  5. Un filtre numérique (CAN, calcul, CNA) imite un filtre analogique si TeT_e est petite devant ses temps caractéristiques. Sa réponse est périodique en fréquence, il ne peut pas couper ce qui a été replié.
Pourquoi ce chapitre

Ce chapitre clôt l'électronique de deuxième année et prolonge le traitement numérique du signal de première année. Presque tous les signaux sont aujourd'hui mesurés et traités par un ordinateur, un oscilloscope numérique ou un microcontrôleur. Il faut comprendre ce que l'on perd, et ce que l'on fabrique, en remplaçant un signal continu par une suite de nombres.

Aux concours, le chapitre apparaît surtout à l'oral et en travaux pratiques :

  • on y choisit une fréquence d'échantillonnage ;
  • on explique un spectre surprenant ;
  • on filtre un signal en Python.

À l'écrit, on demande souvent d'appliquer la condition de Nyquist-Shannon ou de calculer une fréquence repliée.

Classiques et HP

Méthodes et approfondissements du chapitre · le statut est précisé pour PSI.

Classiques et HP réservés

Prolongements et démonstrations de Physique.

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Encore 13 parties de cours et 10 corrigés.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Repliement de spectre 4

Exercice 1. Fréquences apparentes ★

Application du cours · 10 min

Un signal est échantillonné à fe=8 kHzf_e = 8~\mathrm{kHz}.

Donner la fréquence apparente des sinusoïdes de fréquences 3 kHz3~\mathrm{kHz}, 5 kHz5~\mathrm{kHz}, 8 kHz8~\mathrm{kHz}, 12,5 kHz12{,}5~\mathrm{kHz} et 17 kHz17~\mathrm{kHz}.

Voir l'indice

Technique Retrancher le multiple de fef_e le plus proche.

Voir le corrigé offert
  1. La fréquence de Nyquist vaut 4 kHz4\ \mathrm{kHz}.
  2. 3 kHz3\ \mathrm{kHz} est inférieure à 4 kHz4\ \mathrm{kHz}, donc fapp=3 kHzf_{app} = 3\ \mathrm{kHz}.
  3. Pour 5 kHz5\ \mathrm{kHz}, le multiple le plus proche est 8 kHz8\ \mathrm{kHz}, donc fapp=3 kHzf_{app} = 3\ \mathrm{kHz}. Cette sinusoïde est indiscernable de la précédente.
  4. Pour 8 kHz8\ \mathrm{kHz}, fapp=0f_{app} = 0. On voit un signal constant.
  5. Pour 12,5 kHz12{,}5\ \mathrm{kHz}, le multiple le plus proche est 16 kHz16\ \mathrm{kHz}, donc fapp=3,5 kHzf_{app} = 3{,}5\ \mathrm{kHz}.
  6. Pour 17 kHz17\ \mathrm{kHz}, le multiple le plus proche est 16 kHz16\ \mathrm{kHz}, donc fapp=1 kHzf_{app} = 1\ \mathrm{kHz}.

piège : Retrancher systématiquement fef_e une seule fois. Pour 12,5 kHz12{,}5\ \mathrm{kHz}, on trouverait 4,5 kHz4{,}5\ \mathrm{kHz}, qui sort de [0,fe/2][0, f_e/2].

Exercice 2. Pourquoi l'inégalité est stricte ★

Application du cours · 10 min

On échantillonne Acos⁡(2πft+φ)A \cos(2\pi f t + \varphi) à fef_e.

Montrer que la sinusoïde de fréquence fe−ff_e - f et de phase −φ-\varphi donne les mêmes échantillons.

Étudier ensuite le cas f=fe/2f = f_e/2.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 3. Créneau mal échantillonné ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min

Un oscillateur de relaxation délivre un créneau symétrique de 3 kHz3~\mathrm{kHz}, dont les harmoniques impairs ont des amplitudes proportionnelles à 1/n1/n.

On l'échantillonne à 20 kHz20~\mathrm{kHz}.

Où apparaissent les harmoniques 1 à 11 ?

Quelles raies sont fausses, et avec quelle amplitude relative ?

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  1. La fréquence de Nyquist vaut 10 kHz10\ \mathrm{kHz}. …

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Exercice 4. Repliement à l'oscilloscope ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min

Un oscilloscope enregistre 2 5002\,500 points sur 10 divisions.

Il reçoit une sinusoïde de 4,8 kHz4{,}8~\mathrm{kHz}.

Qu'affiche-t-il à 20 ms/div20~\mathrm{ms/div}, puis à 50 ms/div50~\mathrm{ms/div} ?

Quelle base de temps maximale évite le repliement ?

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  1. À 20 ms/div20\ \mathrm{ms/div}, la durée vaut 0,2 s0{,}2\ \mathrm{s} et fe=12,5 kHzf_e = 12{,}5\ \mathrm{kHz}. …

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Réglage d'acquisition 2

Exercice 5. Régler l'analyse d'un oscillateur quasi-sinusoïdal ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min

Un oscillateur de 2,0 kHz2{,}0~\mathrm{kHz} présente des harmoniques mesurables jusqu'au rang 7.

On veut une résolution d'au moins 5 Hz5~\mathrm{Hz}.

La carte accepte au plus 100 000100\,000 points.

Choisir fef_e, TaT_a et NN.

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  1. fmax=14 kHzf_{max} = 14\ \mathrm{kHz}, donc fe>28 kHzf_e > 28\ \mathrm{kHz}. …

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Exercice 6. Deux diapasons, mémoire limitée ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min

On enregistre deux diapasons à 440 Hz440~\mathrm{Hz} et 442 Hz442~\mathrm{Hz} avec une carte limitée à N=4 096N = 4\,096 points.

Un élève choisit fe=50 kHzf_e = 50~\mathrm{kHz}.

Conclure, puis proposer un meilleur réglage.

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  1. Avec fe=50 kHzf_e = 50\ \mathrm{kHz}, Ta≈0,082 sT_a \approx 0{,}082\ \mathrm{s} et Δf≈12 Hz\Delta f \approx 12\ \mathrm{Hz}. …

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Transformée discrète 1

Exercice 7. Transformée discrète à la main ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min

Au programme de : PSI.

Énoncé. On prend N=4N = 4 échantillons de cos⁡(2πft)\cos(2\pi f t) avec f=fe/4f = f_e/4. Calculer les SnS_n. Vérifier la symétrie et la règle de lecture de l'amplitude.

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  1. Les échantillons valent 11, 00, −1-1, 00.

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Filtre passe-bas numérique 3

Exercice 8. Programmer le passe-bas numérique ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min

Écrire une fonction Python qui filtre un tableau ee par la récurrence d'Euler du passe-bas τ\tau.

Donner sa complexité.

Que prévoir pour τ=1 ms\tau = 1~\mathrm{ms} avec fe=10 kHzf_e = 10~\mathrm{kHz}, puis avec fe=400 Hzf_e = 400~\mathrm{Hz} ?

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  1. Idée : on part de s0=e0s_0 = e_0, puis chaque sortie se déduit de la précédente et de l'entrée.

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Exercice 9. Passe-bas numérique trompé ★★

Classiques de khôlle et concours · 15 min

Un passe-bas numérique imite un RC de τ=1 ms\tau = 1~\mathrm{ms} avec fe=5 kHzf_e = 5~\mathrm{kHz}.

Il reçoit une sinusoïde de 4,95 kHz4{,}95~\mathrm{kHz}, sans filtre anti-repliement.

Comparer avec le RC analogique.

Quel filtre faut-il placer en amont ?

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Exercice 10. Réponse fréquentielle exacte du filtre d'Euler ★★★

Approfondissement · 30 min

On pose a=Te/τa = T_e/\tau, avec 0<a<10 < a < 1, et θ=2πf/fe\theta = 2\pi f/f_e.

Pour ek=exp⁡(jθk)e_k = \exp(j\theta k), chercher sk=Hexp⁡(jθk)s_k = H \exp(j\theta k) dans la récurrence d'Euler.

Donner ∣H∣|H|.

Montrer la périodicité.

Comparer au RC à basse fréquence, et calculer le gain minimal pour a=0,1a = 0{,}1.

Voir le début du corrigé
  1. En reportant, on obtient Hexp⁡(jθ)=(1−a)H+aH \exp(j\theta) = (1 - a)H + a, donc H=a/(exp⁡(jθ)−1+a)H = a/(\exp(j\theta) - 1 + a).

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Fiche de cours rédigée à partir des programmes officiels de PSI et de PT (2021), partie « Électronique », paragraphe « Électronique numérique ». Elle couvre l'échantillonnage, la condition de Nyquist-Shannon, l'analyse spectrale numérique et le filtrage numérique, étudiés surtout de façon expérimentale.