Statique des fluides dans un référentiel galiléen

Exercice 1. Tube en U à deux liquides ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

Un tube en U contient de l'eau, avec $$\rho_e = 1{,}0 \times 10^3~\mathrm{kg\cdot m^{-3}}.$$ On verse dans une branche une colonne d'huile de hauteur $h = 10~\mathrm{cm}$, avec $$\rho_h = 0{,}80 \times 10^3~\mathrm{kg\cdot m^{-3}}.$$ Les liquides ne se mélangent pas.

Quelle est la différence de hauteur entre les deux surfaces libres ?

Exercice 8. Compressibilité de l'océan ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit Mines-Ponts

On modélise l'eau de mer par $$\rho = \rho_0 \left(1 + \chi(P - P_0)\right),$$ avec $\chi = 4{,}5 \times 10^{-10}~\mathrm{Pa^{-1}}$ et $\rho_0 = 1{,}0 \times 10^3~\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$.

Exprimer la pression à la profondeur $h$, puis évaluer l'écart au modèle incompressible à $10~\mathrm{km}$.

Exercice 9. Pression au centre d'une planète homogène ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type écrit X

On assimile la Terre à une boule fluide homogène au repos de rayon $R = 6{,}4 \times 10^6~\mathrm{m}$ et de masse volumique $\rho = 5{,}5 \times 10^3~\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$.

On admet qu'à l'intérieur $$\vec{g} = -g_0 \left(\frac{r}{R}\right) \vec{e}_r,$$ avec $g_0 = 9{,}8~\mathrm{m\cdot s^{-2}}$.

La pression est nulle en surface.

Calculer la pression au centre et critiquer.

Exercice 2. Hémisphères de Magdebourg ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Deux hémisphères de rayon $R = 25~\mathrm{cm}$ sont accolés.

On pompe l'air intérieur jusqu'à $$P_i = 1{,}0 \times 10^4~\mathrm{Pa}.$$ À l'extérieur règne $$P_0 = 1{,}0 \times 10^5~\mathrm{Pa}.$$ Quelle force faut-il exercer pour les séparer ?

On néglige la variation de pression de l'air avec l'altitude.

Exercice 3. Basculement d'un barrage poids ★★

Classiques de khôlle et concours · 35 min · Niveau khôlle

Un barrage parallélépipédique de hauteur $h$, d'épaisseur $e$, de largeur $L$ et de masse volumique $\rho_b = 2{,}4 \times 10^3~\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ retient de l'eau sur toute sa hauteur.

Trouver le point d'application de la poussée de l'eau, puis l'épaisseur minimale qui évite le basculement autour de l'arête aval.

On néglige l'infiltration d'eau sous le barrage.

Exercice 4. Glaçons et niveau d'eau ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Un glaçon de masse $m$ flotte dans un verre d'eau pure.

Le niveau change-t-il quand il fond ?

Même question si le glaçon emprisonne un caillou de masse $m_c$ et de masse volumique $\rho_c > \rho_e$, l'ensemble flottant au départ.

Exercice 5. Troposphère à gradient thermique ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · D'après un écrit CCINP PC

Dans la troposphère, $$T(z) = T_0 - a z,$$ avec $T_0 = 288~\mathrm{K}$ et $a = 6{,}5~\mathrm{K\cdot km^{-1}}$.

L'air est un gaz parfait, $M = 29~\mathrm{g\cdot mol^{-1}}$.

Établir $P(z)$, vérifier la limite $a \to 0$ et calculer la pression au sommet de l'Everest ($8{,}85~\mathrm{km}$).

Comparer au modèle isotherme.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice 6. Ballon rigide dans l'atmosphère isotherme ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit CCINP

Un ballon de volume fixé $V = 4{,}0~\mathrm{m^3}$ a une masse totale $m = 2{,}4~\mathrm{kg}$, gaz inclus.

L'atmosphère est isotherme, avec $H = 8{,}4~\mathrm{km}$ et $\rho_0 = 1{,}2~\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ au sol.

Le ballon décolle-t-il ?

À quelle altitude s'équilibre-t-il ?

L'équilibre est-il stable ?

Exercice 7. Sédimentation de colloïdes et facteur de Boltzmann ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Type oral Centrale

Des sphères de rayon $a = 0{,}20~\mu\mathrm{m}$ et de masse volumique $\rho_p = 1{,}2 \times 10^3~\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ sont en suspension dans l'eau à $293~\mathrm{K}$.

Montrer que leur densité suit une loi exponentielle et calculer la hauteur caractéristique.

Comment en déduire la constante de Boltzmann ?

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Exercice classique. Oscillations d'une parcelle dans une cuve stratifiée en sel ★★★

Classique du chapitre

Une cuve verticale contient de l'eau salée au repos dont la masse volumique ne dépend que de l'altitude $z$ (axe ascendant) : $$\begin{gathered}\rho(z)=\rho_0\,(1-\alpha z),\\ \rho_0=1000\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}},\\ \alpha=0{,}020\ \mathrm{m^{-1}},\\ 0\le z\le 0{,}30\ \mathrm{m}.\end{gathered}$$ On prend $g=9{,}81\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$. On étudie une petite parcelle de volume $V$, située en $z_0=0{,}15\ \mathrm{m}$, qui conserve son volume et sa masse volumique et reste à la pression ambiante ; on néglige viscosité, diffusion et masse ajoutée.

1. Justifier que la stratification est stable.
2. En supposant le résultat de cours $N^2=-(g/\rho(z_0))\,\rho'(z_0)$ établi, calculer $N^2$ puis $N$ et la période $T$. Comparer avec la valeur simplifiée $g\alpha$ et conclure sur l'approximation de Boussinesq (erreur relative maximale sur la cuve).
3. La parcelle est écartée de $\zeta_0=1{,}0\ \mathrm{cm}$ vers le haut puis lâchée sans vitesse. Donner $\zeta(t)$ et la vitesse maximale (en $\mathrm{mm\cdot s^{-1}}$).
4. On inverse la stratification : $\rho(z)=\rho_0(1+\alpha z)$ (fluide lourd en haut : profil instable pris ici comme profil donné). Écrire l'équation de la parcelle avec Boussinesq ($N^2\simeq-g\alpha$) et calculer le temps au bout duquel un écart initial est multiplié par $10$ (conditions initiales identiques : écart $\zeta_0$, vitesse nulle).