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PC · Physique · semaine 13

Mécanique des fluides

Description d'un fluide en mouvement par le champ eulérien des vitesses, les débits, la dérivée particulaire, l'équation locale de conservation de la masse et les caractères incompressible et irrotationnel d'un écoulement. Actions de contact, forces de pression et forces de viscosité dans un fluide newtonien, traînée d'une sphère et nombre de Reynolds. Équation de Navier-Stokes, notion d'écoulement parfait et de couche limite, relation de Bernoulli et bilans macroscopiques de masse, de quantité de mouvement et d'énergie cinétique.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. En description eulérienne, la variation d'une grandeur suivie sur une particule est la dérivée particulaire, somme d'un terme local et d'un terme convectif.
  2. Conservation de la masse : ∂tρ+div⁡(ρv⃗)=0\partial_t\rho+\operatorname{div}(\rho\vec v)=0. Incompressibilité : div⁡v⃗=0\operatorname{div}\vec v=0.
  3. Navier-Stokes pour un fluide newtonien incompressible : ρ\rho fois l'accélération particulaire égale moins le gradient de pression, plus le poids volumique, plus η\eta fois le laplacien de la vitesse.
  4. Le nombre de Reynolds compare inertie et viscosité. Il décide du modèle de traînée et de la légitimité du modèle d'écoulement parfait, valable hors de la couche limite.
  5. Bernoulli, valable pour un écoulement parfait, stationnaire, incompressible et homogène dans la pesanteur uniforme, dans un référentiel galiléen, dit que 12ρv2+p+ρgz\frac12\rho v^2+p+\rho gz se conserve le long d'une ligne de courant. Les bilans macroscopiques prennent le relais dès qu'il y a dissipation ou machine.
Pourquoi ce chapitre

Ce chapitre transforme la mécanique du point en mécanique d'un milieu continu. On y raisonne sur un champ et non sur une trajectoire, et on écrit des bilans locaux puis macroscopiques.

Les opérateurs divergence, gradient, rotationnel et laplacien y prennent un sens physique concret, le même qui servira en diffusion thermique et en électromagnétisme.

Aux concours, deux types d'exercices dominent :

  • un calcul de force ou de débit par bilan macroscopique sur un système bien choisi, typiquement une tuyère ou un jet sur une plaque ;
  • une estimation par le nombre de Reynolds, qui décide du modèle à employer.

Classiques et HP

Méthodes et approfondissements du chapitre · le statut est précisé pour PC.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Champ de vitesse 1

Exercice 1. Point d'arrêt plan ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Soit v=a (x ux−y uy),v = a\,(x\,u_x - y\,u_y), avec a>0a > 0, dans un plan horizontal.

Étudier stationnarité, incompressibilité et caractère irrotationnel.

Donner un potentiel, l'accélération et le champ de pression.

Voir l'indice

Technique Tests de div et rot, accélération convective, puis Euler.

Voir le corrigé offert
  1. Le champ ne dépend pas de tt, il est stationnaire. div⁡v=a−a=0\operatorname{div} v = a - a = 0, il est incompressible.
  2. rot⁡z=∂vy/∂x−∂vx/∂y=0\operatorname{rot}_z = \partial v_y/\partial x - \partial v_x/\partial y = 0. Un potentiel est φ=a(x2−y2)/2\varphi = a (x^2 - y^2)/2.
  3. (v⋅grad⁡)vx=ax×a=a2x(v \cdot \operatorname{grad}) v_x = a x \times a = a^2 x et (v⋅grad⁡)vy=(−ay)(−a)=a2y(v \cdot \operatorname{grad}) v_y = (- a y)(- a) = a^2 y. L'accélération de la particule, notée γ\gamma, vaut donc γ=a2(xux+yuy).\gamma = a^2 (x u_x + y u_y).
  4. Euler, ργ=−grad⁡p\rho \gamma = - \operatorname{grad} p, donne ∂p/∂x=−ρa2x\partial p/\partial x = - \rho a^2 x et ∂p/∂y=−ρa2y\partial p/\partial y = - \rho a^2 y, donc p=p0−ρa2(x2+y2)/2p = p_0 - \rho a^2 (x^2 + y^2)/2, maximale au point d'arrêt OO. C'est cohérent avec Bernoulli global puisque v2=a2(x2+y2)v^2 = a^2 (x^2 + y^2).

piège : Conclure que l'accélération est nulle parce que l'écoulement est stationnaire.

Chute avec frottement 2

Exercice 2. Viscosimètre à chute de bille ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Une bille d'acier de rayon 1,0 mm1{,}0~\mathrm{mm} et de masse volumique 7,8×103 kg/m37{,}8 \times 10^3~\mathrm{kg/m^3} tombe dans du glycérol de masse volumique 1,26×103 kg/m31{,}26 \times 10^3~\mathrm{kg/m^3} et de viscosité 1,5 Pa⋅s1{,}5~\mathrm{Pa\cdot s}.

Calculer la vitesse limite, contrôler le modèle, estimer la durée du transitoire.

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  1. Le poids moins la poussée d'Archimède, (4/3)πR3(ρs−ρf)g(4/3)\pi R^3 (\rho_s - \rho_f) g, égale 6πηRv6\pi \eta R v.

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Exercice 3. Goutte de pluie ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Une goutte d'eau de rayon 1 mm1~\mathrm{mm} tombe dans l'air ρa=1,2 kg/m3,\rho_a = 1{,}2~\mathrm{kg/m^3}, η=1,8×10−5 Pa⋅s.\eta = 1{,}8 \times 10^{-5}~\mathrm{Pa\cdot s}. Tester la loi de Stokes, puis le modèle quadratique avec Cx=0,45C_x = 0{,}45.

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  1. Stokes donne v=2ρgR2/(9η)≈120 m/sv = 2 \rho g R^2/(9\eta) \approx 120\ \mathrm{m/s}, donc Re≈1,6×104\mathrm{Re} \approx 1{,}6 \times 10^4. …

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Bernoulli et débit 2

Exercice 5. Débitmètre de Venturi ★

Application du cours · 10 min · Type écrit CCINP

Une conduite horizontale de 4 cm4~\mathrm{cm} de diamètre se rétrécit en un col de 2 cm2~\mathrm{cm}.

L'eau y circule et la différence de pression entre l'amont et le col vaut 3,0 kPa3{,}0~\mathrm{kPa}.

Calculer le débit volumique.

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  1. La conservation du débit donne S1v1=S2v2S_1 v_1 = S_2 v_2, donc v1=v2/4v_1 = v_2/4.

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Exercice 4. Vidange d'un réservoir ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit CCINP

Un réservoir cylindrique de section SS contient de l'eau sur une hauteur initiale HH.

Il se vide par un orifice de section s≪Ss \ll S au fond.

Calculer la durée de vidange pour S/s=100S/s = 100 et H=1 mH = 1~\mathrm{m}.

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  1. Bernoulli instationnaire étant hors programme, on suppose le régime quasi stationnaire, justifié par s≪Ss \ll S : la surface libre descend lentement.

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Bilan de quantité de mouvement 2

Exercice 6. Force sur un coude ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit CCINP

Un coude horizontal à 90∘90^\circ, de section constante S=79 cm2S = 79~\mathrm{cm^2}, est parcouru par de l'eau à v=3 m/sv = 3~\mathrm{m/s}.

La pression relative vaut 2×105 Pa2 \times 10^5~\mathrm{Pa} à l'entrée, l'atmosphère est à p0p_0.

Calculer la force horizontale de l'eau et de l'air sur le coude.

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  1. L'entrée est selon uxu_x, la sortie selon uyu_y. …

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Exercice 9. Élargissement brusque ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit Mines

Une conduite horizontale passe brusquement de la section S1S_1 à S2=4 S1.S_2 = 4\,S_1. On admet que la pression sur l'épaulement vaut p1p_1 et on néglige le frottement pariétal.

Pour v1=4 m/sv_1 = 4~\mathrm{m/s}, calculer p2−p1p_2 - p_1 et la puissance dissipée par unité de débit volumique.

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  1. La conservation du débit donne v2=v1/4=1 m/sv_2 = v_1/4 = 1\ \mathrm{m/s}.

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Écoulements visqueux 2

Exercice 7. Écoulement de Couette plan ★

Application du cours · 15 min · Type écrit CCINP

De l'huile de viscosité 0,1 Pa⋅s0{,}1~\mathrm{Pa\cdot s} remplit l'espace d'épaisseur h=0,1 mmh = 0{,}1~\mathrm{mm} entre un plan fixe y=0y = 0 et une plaque d'aire 100 cm2100~\mathrm{cm^2} glissant à V=1 m/sV = 1~\mathrm{m/s} selon uxu_x.

La pression ne dépend pas de xx.

Trouver le profil de vitesse, la force à exercer et la puissance.

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  1. On cherche v = vx(y) ux. Alors div v = 0 et le terme convectif est nul.

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Exercice 8. Écoulement de Poiseuille plan ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type écrit CCINP

Un fluide newtonien s'écoule entre deux plans horizontaux fixes y=±ay = \pm a, avec v=vx(y) uxv = v_x(y)\,u_x en régime stationnaire.

Établir le profil de vitesse et le débit par unité de largeur.

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  1. Selon uy, 0 = − ∂p/∂y − ρ g, donc p = f(x) − ρ g y.

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Ordres de grandeur 1

Exercice 10. Voiture sur autoroute ★★★

Approfondissement · 30 min · Type oral Centrale

Une voiture de 4 m4~\mathrm{m} roule à 30 m/s30~\mathrm{m/s}.

Évaluer le nombre de Reynolds et l'épaisseur de la couche limite.

Discuter le modèle parfait incompressible.

Estimer la puissance de traînée pour Cx=0,3C_x = 0{,}3 et une surface frontale de 2 m22~\mathrm{m^2}.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique-chimie de PC (arrêté du 5 janvier 2021), partie 4.3 « Mécanique des fluides ». Le programme annonce explicitement une initiation.