Le cours

Résumé en cinq points

La vibration lumineuse est une grandeur scalaire identifiée à une composante du champ électrique. Elle suffit tant que les polarisations sont voisines.
Le chemin optique $(AB) = \int n\,\dd s$ vaut $c$ fois la durée de propagation, et le retard de phase associé vaut $2\pi(AB)/\lambda_0$ .
Les rayons sont orthogonaux aux surfaces d'onde, théorème de Malus admis. Une lentille conserve l'égalité des chemins optiques d'un point objet à son image.
Une source émet des trains d'ondes de durée $\tau_c$ avec des phases aléatoires. La largeur spectrale vérifie $\Delta\nu \approx 1/\tau_c$ , et la longueur de cohérence $L_c \approx \lambda_0^2/\Delta\lambda$ vaut environ $1 \unite{\mu m}$ en lumière blanche, quelques centimètres pour une lampe spectrale, bien davantage pour un laser.
Tous les détecteurs sont trop lents pour suivre l'onde. Ils mesurent une intensité proportionnelle à la moyenne temporelle du carré de la vibration.

Pourquoi ce chapitre

En PCSI, la lumière a été décrite par des rayons, ce qui suffit pour former des images. Cette description ne dit rien des interférences ni de la diffraction. Ce chapitre fournit le modèle minimal qui permet d'en parler : une onde décrite par une seule grandeur scalaire, qui se propage le long des rayons, et dont la phase accumulée se lit sur le chemin optique.

Trois idées seulement sont nouvelles :

le chemin optique remplace la distance géométrique ;
les sources réelles n'émettent pas indéfiniment à une seule fréquence, d'où la notion de cohérence temporelle ;
les détecteurs sont trop lents pour suivre le champ, ils ne mesurent qu'une moyenne de son carré.

Tout le programme d'interférences de l'année repose sur ces trois points. Les concours les testent souvent sous forme de questions qualitatives ou d'ordres de grandeur.

1Vibration lumineuse et propagation

1.1Modèle de propagation

On se place dans l'approximation de l'optique géométrique : la lumière se propage le long des rayons lumineux, qui sont des droites dans un milieu homogène. On suppose les milieux transparents, linéaires, homogènes par morceaux et isotropes.

Définition 1.1Vibration lumineuse

La lumière est une onde électromagnétique, dont le champ électrique est un vecteur. Le modèle scalaire remplace ce vecteur par une seule fonction réelle $s(M, t)$ , la vibration lumineuse, identifiée à une composante du champ électrique.

Ce modèle est légitime tant qu'on superpose des ondes de polarisations identiques ou très voisines, ce qui est le cas des dispositifs interférentiels étudiés en PC.

Définition 1.2Onde monochromatique

Pour une onde monochromatique de pulsation $\omega$ , on écrit $s(M, t) = s_0(M)\cos\big(\omega t - \varphi(M)\big).$ La fréquence $\nu = \omega/2\pi$ est fixée par la source. La longueur d'onde dans le vide vaut $\lambda_0 = c/\nu$ , avec $c = 3{,}00 \times 10^{8} \unite{m.s^{-1}}$ .

1.2Indice et vitesse de propagation

Propriété 1.3Vitesse et longueur d'onde dans un milieu

Hypothèse : milieu d'indice $n$ .

Alors la vitesse de propagation vaut $v = c/n$ . La fréquence ne change pas quand on change de milieu, c'est la source qui l'impose. La longueur d'onde dans le milieu vaut donc $\lambda = \frac{\lambda_0}{n}.$

Un milieu est dit dispersif quand $n$ dépend de $\lambda_0$ .

Exemple 1.4Indices usuels

Air : indice très proche de 1, $n - 1$ de l'ordre de $3 \times 10^{-4}$ .
Verre courant : $n \approx 1{,}5$ .
Eau : $n \approx 1{,}33$ .

1.3Chemin optique et déphasage dû à la propagation

Définition 1.5Chemin optique

Le chemin optique de $A$ à $B$ le long d'un rayon est $(AB) = \int_A^B n\,\dd s,$ l'intégrale étant prise le long du rayon. Dans un milieu homogène d'indice $n$ , il vaut $n \times AB$ .

Le chemin optique est homogène à une longueur. Son intérêt est double :

il est proportionnel à la durée de propagation : $\tau = (AB)/c$ , puisque le temps mis sur un élément $\dd s$ vaut $\dd s/v = n\,\dd s/c$ ;
il donne directement le retard de phase accumulé.

Propriété 1.6Retard de phase

Hypothèse : $s(A, t) = s_0\cos(\omega t)$ .

Alors $s(B, t) = s_0\cos\big(\omega(t - \tau)\big)$ , et le retard de phase de $B$ par rapport à $A$ vaut $\Delta\varphi = \omega\tau = \frac{2\pi\,(AB)}{\lambda_0}.$

Le facteur est $2\pi/\lambda_0$ , avec la longueur d'onde dans le vide, puisque c'est le chemin optique, et non la distance géométrique, qui figure au numérateur.

AttentionIndice compté deux fois

On écrit $\lambda_0$ au dénominateur uniquement parce qu'on a mis les indices dans le chemin optique. Écrire $2\pi nL/\lambda$ avec $\lambda$ la longueur d'onde dans le milieu revient à compter l'indice deux fois.

Deux conventions coexistent pour la phase. Écrire $\cos\big(\omega t - 2\pi(AB)/\lambda_0\big)$ revient à dire que l'onde est en retard en $B$ . Les deux signes donnent les mêmes différences de marche et les mêmes figures, à condition de garder la même convention pour les deux ondes que l'on superpose.

2Surfaces d'ondes et théorème de Malus

2.1Définition

Définition 2.1Surface d'onde

Une surface d'onde relative à une source ponctuelle $S$ est l'ensemble des points $M$ tels que le chemin optique $(SM)$ a une valeur donnée. C'est une surface d'égale phase et d'égal temps de parcours depuis $S$ .

2.2Théorème de Malus

Théorème 2.2Théorème de Malus

Hypothèses

approximation de l'optique géométrique ;
milieu isotrope ;
rayons issus d'une même source ponctuelle.

Alors les rayons sont orthogonaux aux surfaces d'ondes, après un nombre quelconque de réflexions et de réfractions.

Résultat admis.

Propriété 2.3Conséquence pratique

Le chemin optique entre deux surfaces d'onde successives est le même quel que soit le rayon emprunté.

2.3Ondes planes et ondes sphériques

Définition 2.4Onde sphérique

Une source ponctuelle à distance finie dans un milieu homogène émet une onde sphérique : les surfaces d'onde sont des sphères centrées sur la source et les rayons sont des demi-droites issues de la source. L'amplitude décroît en $1/r$ , ce qui assure la conservation de la puissance à travers les sphères.

Définition 2.5Onde plane

Une source ponctuelle rejetée à l'infini, ou placée au foyer objet d'une lentille convergente, donne une onde plane : les surfaces d'onde sont des plans parallèles et les rayons sont des droites parallèles entre elles. L'amplitude est uniforme.

Schéma à savoir décrire en mots :

onde sphérique : un point source et des arcs de cercle concentriques, avec des flèches radiales perpendiculaires à ces arcs ;
onde plane : des traits parallèles équidistants et des flèches perpendiculaires à ces traits.

Le théorème de Malus affirme que les flèches restent perpendiculaires aux traits même après la traversée d'une lentille ou d'un dioptre.

2.4Effet d'une lentille mince dans l'approximation de Gauss

Une lentille mince utilisée dans les conditions de Gauss est rigoureusement stigmatique dans le modèle idéal : tous les rayons issus d'un point objet $A$ convergent en son image $A'$ .

Propriété 2.6Égalité des chemins optiques à travers une lentille

Hypothèses

lentille mince dans l'approximation de Gauss ;
rayons allant d'un point objet $A$ à son image $A'$ .

Alors, par le théorème de Malus, tous ces rayons ont le même chemin optique de $A$ à $A'$ . Une lentille ne crée aucune différence de marche entre eux.

C'est ce qui justifie qu'on puisse placer une lentille de projection dans un montage interférentiel sans modifier l'ordre d'interférences. Géométriquement, les rayons qui passent près du bord sont plus longs, mais ils traversent moins de verre, et les deux effets se compensent exactement.

La même idée s'applique au foyer image. Tous les rayons d'un faisceau parallèle incliné d'un angle $\theta$ convergent en un point du plan focal image et ont, depuis le plan d'onde perpendiculaire au faisceau, le même chemin optique jusqu'à ce point.

3Modèle d'émission des sources

3.1Trains d'ondes

Une source classique est constituée d'atomes qui émettent indépendamment les uns des autres. Chaque atome émet pendant une durée finie, puis subit un choc ou une désexcitation qui interrompt l'émission.

Définition 3.1Trains d'ondes

On modélise l'émission par une succession de trains d'ondes, portions de sinusoïde de durée moyenne $\tau_c$ , avec une phase initiale aléatoire d'un train au suivant.

La conséquence est essentielle :

deux instants séparés de moins de $\tau_c$ appartiennent en général au même train d'onde, la phase relative est alors bien définie ;
deux instants séparés de beaucoup plus que $\tau_c$ appartiennent à des trains différents, dont le déphasage est aléatoire.

Définition 3.2Temps et longueur de cohérence

La durée $\tau_c$ s'appelle temps de cohérence temporelle. La longueur de cohérence temporelle est $L_c = c\,\tau_c$ : c'est la longueur physique d'un train d'ondes.

3.2Largeur spectrale

Un train d'onde de durée finie n'est pas monochromatique. L'analyse de Fourier d'un signal de durée $\tau_c$ donne un spectre de largeur $\Delta\nu \approx \frac{1}{\tau_c},$ relation à connaître en ordre de grandeur, pas comme une égalité. En dérivant $\nu = c/\lambda_0$ , on obtient $\Delta\nu/\nu = \Delta\lambda/\lambda_0$ , d'où $L_c = c\,\tau_c \approx \frac{c}{\Delta\nu} \approx \frac{\lambda_0^2}{\Delta\lambda}.$

Une source est dite quasi-monochromatique quand $\Delta\lambda$ reste très petit devant $\lambda_0$ . C'est le cas de toutes les sources utilisées en interférométrie.

3.3Ordres de grandeur à citer

Exemple 3.3Longueurs et temps de cohérence

Lumière blanche : $\lambda_0$ de 400 à 800 nm, donc $\Delta\lambda$ de l'ordre de $300 \unite{nm}$ . Avec $\lambda_0 \approx 600 \unite{nm}$ , $L_c \approx 1 \unite{\mu m}$ , soit quelques longueurs d'onde seulement. On n'observe donc que quelques franges.
Lampe spectrale basse pression (raie du mercure ou du sodium) : $\Delta\lambda$ de l'ordre de $10^{-2} \unite{nm}$ , d'où $L_c$ de l'ordre du centimètre à quelques centimètres.
Laser hélium-néon de travaux pratiques : $L_c$ de quelques dizaines de centimètres. Un laser stabilisé de métrologie atteint plusieurs centaines de mètres, voire davantage.
Temps de cohérence : environ $3 \times 10^{-15} \unite{s}$ pour la lumière blanche, $10^{-10} \unite{s}$ pour une lampe spectrale, $10^{-9} \unite{s}$ et plus pour un laser.

À retenir

Par temps de cohérence croissant : lumière blanche, lampe spectrale, laser, sur plusieurs ordres de grandeur.

4Réception d'une onde lumineuse

4.1Les détecteurs sont quadratiques et lents

La fréquence d'une onde visible est de l'ordre de $6 \times 10^{14} \unite{Hz}$ , soit une période de l'ordre de $2 \times 10^{-15} \unite{s}$ , deux femtosecondes. Aucun détecteur ne suit une telle oscillation.

Temps de réponse à citer :

œil : environ $0{,}1 \unite{s}$ , la persistance rétinienne étant de quelques dizaines de millisecondes ;
capteur CCD ou CMOS : temps d'intégration de la milliseconde à la seconde ;
photodiode rapide : de l'ordre de la nanoseconde, éventuellement mieux.

Même le plus rapide de ces détecteurs est six ordres de grandeur trop lent. Tous effectuent une moyenne temporelle sur un très grand nombre de périodes optiques.

4.2Intensité lumineuse

Les détecteurs usuels délivrent un signal proportionnel à la puissance reçue, elle-même proportionnelle à la moyenne temporelle du carré du champ.

Définition 4.1Intensité lumineuse

L'intensité lumineuse au point $M$ est $I(M) = K\,\big\langle s(M, t)^2 \big\rangle,$ la moyenne portant sur une durée longue devant la période optique et courte devant les durées d'évolution du phénomène observé.

La constante $K$ est sans importance dans tout le programme, seuls les rapports d'intensité comptent. On choisit souvent $K = 2$ , de sorte qu'une onde d'amplitude $s_0$ ait pour intensité $s_0^2$ .

Propriété 4.2Intensité d'une onde sinusoïdale

Hypothèse : $s = s_0\cos(\omega t - \varphi)$ .

Alors $\langle\cos^2\rangle = 1/2$ , donc $I = \frac{K\,s_0^2}{2}.$

L'intensité est proportionnelle au carré de l'amplitude, et elle ne dépend pas de la phase d'une onde isolée. C'est seulement la différence de phase entre deux ondes superposées qui sera observable.

Le programme n'impose pas de distinguer intensité et éclairement. Les deux mots sont employés indifféremment.

4.3Capacité expérimentale

Mettre en œuvre un capteur optique. En pratique, on utilise une photodiode ou une barrette CCD reliée à une acquisition.

MéthodeMettre en œuvre un capteur optique

Vérifier la linéarité de la réponse et rester dans la zone non saturée.
Soustraire le signal d'obscurité et se protéger de la lumière ambiante.
Choisir un temps d'intégration long devant la période optique mais court devant la durée d'un balayage.

AttentionIntensité et amplitude

Le capteur mesure une intensité, donc un carré, pas une amplitude.

Méthodes

MéthodeTrouver un déphasage

Calculer le chemin optique.
Multiplier par $2\pi/\lambda_0$ .
Ne jamais mélanger distances géométriques et indices.

MéthodeComparer deux trajets

Chercher les portions communes et les supprimer.
Calculer la différence de marche, souvent une petite différence entre deux grands chemins.

MéthodeTraverser une lentille ou un miroir

Invoquer le stigmatisme et le théorème de Malus plutôt que de calculer les longueurs.

MéthodeEstimer une longueur de cohérence

Utiliser $L_c \approx \lambda_0^2/\Delta\lambda$ , en unités cohérentes.
Vérifier l'ordre de grandeur obtenu par rapport aux valeurs de référence.

MéthodePrévoir ce que voit un détecteur

Se rappeler qu'il moyenne le carré. Un terme qui oscille à la fréquence optique disparaît toujours de la moyenne.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Définir le chemin optique et montrer qu'il est égal à $c$ fois la durée de propagation.
Établir la relation entre retard de phase, chemin optique et longueur d'onde dans le vide.
Énoncer le théorème de Malus et en déduire l'égalité des chemins optiques entre deux surfaces d'onde.
Justifier que tous les rayons allant d'un point objet à son image par une lentille mince ont même chemin optique.
Décrire le modèle des trains d'ondes et relier temps de cohérence et largeur spectrale.
Citer et comparer les longueurs de cohérence de la lumière blanche, d'une lampe spectrale et d'un laser.
Comparer la période d'une onde visible aux temps de réponse de l'œil, d'une photodiode et d'un capteur CCD, et en déduire la définition de l'intensité.
Calculer l'intensité d'une onde sinusoïdale d'amplitude donnée.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Vibration lumineuse. Grandeur scalaire s(M, t) identifiée à une composante du champ électrique, valable pour des polarisations voisines. Modèle admis.
Vitesse et longueur d'onde dans un milieu d'indice n. v = c/n, λ = λ₀/n, la fréquence est fixée par la source. Exigible.
Chemin optique. (AB) = ∫ n ds le long du rayon, égal à c fois la durée de propagation. Exigible avec démonstration.
Retard de phase dû à la propagation. Δφ = ω τ = 2π (AB)/λ₀, avec la longueur d'onde dans le vide. Exigible avec démonstration, résultat central.
Surfaces d'onde. Ensemble des points de même chemin optique depuis la source, onde plane ou sphérique selon leur forme. Définition exigible.
Théorème de Malus. Rayons orthogonaux aux surfaces d'onde dans l'approximation de l'optique géométrique, après réflexions et réfractions quelconques. Admis.
Égalité des chemins optiques. Même chemin optique entre deux surfaces d'onde, et d'un point objet à son image par un système stigmatique. Exigible, conséquence de Malus.
Modèle des trains d'ondes. Durée τ_c, phases aléatoires d'un train à l'autre, longueur de cohérence L_c = c τ_c. Modèle exigible.
Relation largeur spectrale et cohérence. Δν τ_c ≈ 1 et L_c ≈ λ₀²/Δλ, en ordre de grandeur. Exigible.
Classement des sources. Lumière blanche, L_c de l'ordre du micromètre. Lampe spectrale, du centimètre. Laser, de plusieurs dizaines de centimètres à des kilomètres. Exigible.
Détecteurs. Œil 0,1 s, capteur CCD de la milliseconde à la seconde, photodiode de la nanoseconde. Tous très lents devant la période optique 2 × 10⁻¹⁵ s. Exigible.
Intensité. I = K ⟨s²⟩, moyenne temporelle sur la durée de réponse, proportionnelle au carré de l'amplitude. Exigible.
Hors programme, à signaler si un énoncé les utilise : calcul rigoureux du spectre d'un train d'ondes par transformée de Fourier, effets de polarisation, déphasage à la réflexion, qui est donné par l'énoncé quand il sert.

Clés de démonstration

Chemin optique et durée. Sur un élément ds, la durée vaut ds/v = n ds/c. Intégrer le long du rayon, τ = (AB)/c. L'astuce est de découper le rayon en tronçons de vitesse locale c/n.

Retard de phase. La vibration en B reproduit celle de A avec le retard τ, s(B, t) = s(A, t − τ). Donc la phase est décalée de ω τ = 2π ν (AB)/c = 2π (AB)/λ₀. L'astuce est de ne faire intervenir ν et c qu'à travers λ₀ = c/ν.

Égalité des chemins d'un point objet à son image. Les surfaces d'onde émises par A sont des sphères, les rayons issus de A convergent tous en A' par stigmatisme, l'onde émergente est donc sphérique centrée en A'. Malus impose que deux rayons aient le même chemin entre deux surfaces d'onde, or A et A' sont chacun une surface d'onde réduite à un point. L'astuce est de voir un point comme une surface d'onde dégénérée.

Relation Δν τ_c ≈ 1. Deux composantes de fréquences ν et ν + Δν accumulent un déphasage relatif 2π Δν τ_c pendant un train. Si ce déphasage reste petit devant 2π, les deux fréquences sont indiscernables, donc la largeur du spectre est de l'ordre de 1/τ_c. L'astuce est de raisonner sur la phase accumulée pendant la durée du train.

Passage à Δλ. Différencier ν = c/λ₀, |Δν| = c Δλ/λ₀², puis L_c = c τ_c ≈ c/Δν = λ₀²/Δλ. L'astuce est la différentiation logarithmique, Δν/ν = Δλ/λ₀.

Intensité d'une onde sinusoïdale. ⟨cos²(ωt − φ)⟩ = 1/2 sur une durée longue devant la période, donc I = K s₀²/2. L'astuce est de linéariser cos² = (1 + cos 2)/2 et d'observer que le terme oscillant à 2ω est moyenné à zéro.

Exemples et contre-exemples à connaître

Lame de verre d'épaisseur e et d'indice n insérée sur un rayon. Elle ajoute (n − 1)e au chemin optique par rapport à l'air. C'est la brique de tous les exercices avec lame.
Lentille convergente. Un rayon de bord est géométriquement plus long qu'un rayon axial, mais traverse moins de verre. Les deux effets se compensent exactement entre un point et son image, aucune différence de marche n'apparaît.
Onde plane arrivant sur une lentille sous l'angle θ. Elle converge en un point du plan focal image, tous les rayons y arrivent en phase. Base du montage de Fraunhofer.
Lumière blanche, L_c ≈ 1 µm, deux ou trois longueurs d'onde. On ne voit que quelques franges. Contre-exemple à « la lumière blanche ne peut pas interférer ».
Laser hélium-néon de travaux pratiques, L_c de quelques dizaines de centimètres. On peut déséquilibrer un interféromètre de 10 cm sans perdre les franges, ce qui est impossible avec une lampe.
Doublet jaune du sodium, deux raies séparées de 0,6 nm. Chaque raie a sa propre longueur de cohérence, de l'ordre du centimètre, mais l'ensemble se brouille périodiquement bien avant, ce qui sera vu avec les trous d'Young.
Deux ondes de polarisations orthogonales. Elles ne donnent pas d'interférences, le modèle scalaire ne s'applique pas. Limite du modèle à citer.
Onde sphérique loin de la source. Sur une zone de petite taille, elle est localement plane. C'est ce qui autorise à parler d'onde plane pour une étoile ou pour une source au foyer d'une lentille.
Une photodiode de temps de réponse 1 ns intègre encore 6 × 10⁵ périodes optiques. Aucun détecteur ne mesure une amplitude, seulement une intensité.

Techniques du chapitre

Calculer un chemin optique tronçon par tronçon. Somme des n_i × longueur_i. Mini-exercice : 20 cm d'air puis 2 mm de verre n = 1,5 puis 10 cm d'eau n = 1,33, chemin optique 0,200 + 0,003 + 0,133 = 0,336 m.

Ne comparer que ce qui diffère. Éliminer les portions communes à deux trajets avant de calculer la différence. Mini-exercice : deux rayons partagent le même trajet sauf une lame de 50 µm, n = 1,5, sur l'un d'eux. Différence de marche (n − 1)e = 25 µm, soit 50 longueurs d'onde à 500 nm.

Différence de marche par projection. Pour une onde plane de direction u arrivant sur deux points A et B, la différence de marche est la projection de AB sur u, en valeur absolue AB sin θ pour un angle θ avec le plan de AB. Mini-exercice : deux points distants de 1 mm, θ = 1°, δ = 17,5 µm.

Invoquer Malus plutôt que calculer. Devant une lentille ou un miroir, écrire directement l'égalité des chemins optiques. Mini-exercice : deux rayons issus d'un point A convergent en A' à travers une lentille, le rayon axial mesure 40 cm d'air et 5 mm de verre, l'autre 40,2 cm d'air. Sans calcul, il traverse (0,005 × 1,5 − 0,002)/1,5 ≈ 3,7 mm de verre.

Ordres de grandeur de cohérence. Utiliser L_c ≈ λ₀²/Δλ en unités cohérentes. Mini-exercice : raie verte du mercure 546 nm, Δλ = 0,01 nm, L_c ≈ (546 × 10⁻⁹)²/10⁻¹¹ ≈ 3 cm.

Moyenner avant de conclure. Tout terme oscillant à la fréquence optique disparaît dans la moyenne. Mini-exercice : s = s₀ cos(ωt), s² = s₀²(1 + cos 2ωt)/2, moyenne s₀²/2, intensité K s₀²/2.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Lame de verre sur un rayon

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Un rayon de longueur d'onde λ₀ = 500 nm traverse une lame de verre d'épaisseur e = 1,0 mm et d'indice n = 1,50, placée dans l'air. Retard temporel et retard de phase introduits par rapport au même trajet sans lame.

Technique Chemin optique supplémentaire (n − 1)e.

Voir le corrigé

Sans lame, chemin e, avec lame ne. Supplément (n − 1)e = 0,50 mm.
Retard temporel (n − 1)e/c = 1,7 ps.
Retard de phase 2π (n − 1)e/λ₀ = 2π × 1 000, soit 1 000 longueurs d'onde exactement.
Remarque, la lame ne change pas la fréquence. La longueur d'onde dans le verre vaut 333 nm, il y a 3 000 longueurs d'onde dans la lame contre 2 000 dans l'air.

piège : Écrire 2π ne/λ avec λ la longueur d'onde dans le verre, ce qui compte l'indice deux fois.

Exercice 2. Phase d'une onde plane inclinée

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Une onde plane monochromatique se propage dans l'air, sa direction fait un angle θ avec l'axe Oz. Exprimer le déphasage entre deux points A et B du plan z = 0 séparés de a le long de Ox. Application numérique pour a = 0,5 mm, θ = 2 × 10⁻³ rad, λ₀ = 600 nm.

Technique Projection sur la direction de propagation.

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Les surfaces d'onde sont des plans perpendiculaires à la direction de propagation. Le chemin optique entre A et B compté le long de cette direction est la projection de AB, soit a sin θ.
Δφ = 2π a sin θ/λ₀.
Numériquement, a sin θ ≈ 1,0 µm, Δφ ≈ 2π × 1,67, soit environ 10,5 rad.
Si θ = 0, les deux points sont sur une même surface d'onde et vibrent en phase.

piège : Prendre la distance AB au lieu de sa projection. Deux points d'une même surface d'onde sont en phase quelle que soit leur distance.

Exercice 3. Classer trois sources

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Estimer temps et longueur de cohérence pour une lumière blanche de 400 à 800 nm, une lampe à vapeur de mercure basse pression, raie à 546 nm de largeur 0,01 nm, et un laser hélium-néon à 633 nm de largeur spectrale Δν = 1 GHz.

Technique L_c ≈ λ₀²/Δλ ou c/Δν, τ_c = L_c/c.

Voir le corrigé

Lumière blanche, λ₀ ≈ 600 nm, Δλ ≈ 400 nm, L_c ≈ 0,9 µm, τ_c ≈ 3 × 10⁻¹⁵ s.
Mercure, L_c ≈ (546 × 10⁻⁹)²/10⁻¹¹ ≈ 3 cm, τ_c ≈ 10⁻¹⁰ s.
Laser, L_c ≈ c/Δν = 0,3 m, τ_c = 1 ns.
Classement par cohérence croissante, blanche, spectrale, laser, sur cinq ordres de grandeur.

piège : Mélanger nanomètres et mètres dans λ₀²/Δλ. Tout convertir en mètres.

Exercice 4. Ce que voit un détecteur

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Une photodiode de temps de réponse 1 ns reçoit une onde à 633 nm. Combien de périodes moyenne-t-elle ? Deux ondes de fréquences séparées de 1 MHz arrivent dessus, que mesure-t-elle ? Même question pour 1 THz.

Technique Comparer la période optique et la période du phénomène au temps de réponse.

Voir le corrigé

Période optique λ₀/c ≈ 2,1 × 10⁻¹⁵ s, la photodiode moyenne environ 5 × 10⁵ périodes.
Deux fréquences proches produisent une intensité modulée à la fréquence différence. À 1 MHz, la période 1 µs est longue devant 1 ns, la modulation est suivie, on observe un battement.
À 1 THz, la période 1 ps est courte devant 1 ns, le détecteur moyenne, il mesure la somme des intensités.
L'œil, à 0,1 s, ne suit ni l'un ni l'autre.

piège : Affirmer qu'un détecteur mesure le champ. Il mesure une moyenne du carré, sur sa propre échelle de temps.

Exercice 5. Fibre optique et chemin optique

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Une impulsion parcourt une fibre de longueur L = 10 km dont le cœur a pour indice n = 1,46. Durée du trajet, chemin optique, nombre de longueurs d'onde à 1,55 µm. Que devient la durée si l'indice varie de 10⁻⁴ sous l'effet de la température ?

Technique τ = (AB)/c.

Voir le corrigé

Chemin optique nL = 14,6 km, durée 48,7 µs.
Nombre de longueurs d'onde nL/λ₀ = 9,4 × 10⁹.
Variation Δτ = L Δn/c = 3,3 ns, soit 6 × 10⁵ longueurs d'onde de chemin optique. La phase à la sortie est extrêmement sensible à l'indice, ce qui fait des fibres d'excellents capteurs.
La fréquence reste inchangée, seule la phase de sortie bouge.

piège : Oublier que la durée se calcule avec le chemin optique et non avec la longueur géométrique.

Exercice 6. Onde plane à travers une lentille

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Une onde plane monochromatique arrive sur une lentille convergente de distance focale f' = 20 cm sous l'angle θ = 5 × 10⁻³ rad. Où converge-t-elle ? Montrer que tous les rayons y arrivent en phase. Dans le cas θ = 0 et pour un verre d'indice 1,5, de combien la lentille doit-elle être plus mince à 1 cm de l'axe qu'au centre ?

Technique Malus et stigmatisme du foyer secondaire.

Voir le corrigé

Onde plane inclinée, source à l'infini dans la direction θ. Son image est le foyer secondaire F'_θ du plan focal image, à X = f' tan θ ≈ 1,0 mm de F'.
L'onde émergente est sphérique centrée en F'_θ. Par Malus, toutes ses surfaces d'onde ont même chemin optique jusqu'à F'_θ. Donc tous les rayons issus du plan d'onde incident arrivent en F'_θ avec la même phase, la différence de chemin optique entre deux rayons quelconques est nulle.
Pour θ = 0, un rayon à la hauteur h = 1 cm parcourt dans l'air, du plan de la lentille à F', une longueur √(f'² + h²) ≈ f' + h²/(2f') = f' + 0,25 mm, contre f' pour le rayon axial.
Ce supplément doit être compensé par un déficit de verre. Une épaisseur de verre e remplacée par de l'air fait perdre (n − 1)e de chemin optique, donc la lentille est plus mince de 0,25/(n − 1) = 0,50 mm à 1 cm de l'axe. C'est le profil convexe de la lentille, retrouvé par un argument de phase.

piège : Calculer les longueurs de chaque rayon pour vérifier l'égalité des phases. L'égalité des chemins optiques est une conséquence du stigmatisme, on l'invoque, on ne la redémontre pas.

Exercice 7. Filtre interférentiel et lumière blanche

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Une lampe blanche est filtrée par un filtre passe-bande de largeur Δλ = 10 nm centré sur 550 nm. Longueur et temps de cohérence de la lumière filtrée. Combien de franges d'interférences peut-on espérer observer avec cette source ?

Technique Ordre de grandeur λ₀²/Δλ.

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L_c ≈ (550 × 10⁻⁹)²/(10 × 10⁻⁹) = 30 µm, τ_c ≈ 10⁻¹³ s.
Les franges disparaissent quand la différence de marche atteint L_c, soit un ordre d'interférences L_c/λ₀ ≈ 55.
On observe donc quelques dizaines de franges de part et d'autre de la frange centrale, contre deux ou trois sans filtre.
Filtrer réduit le flux mais allonge la cohérence, c'est le compromis habituel.

piège : Croire qu'un filtre crée de la cohérence. Il sélectionne les fréquences, il ne synchronise rien.

Exercice 8. Onde sphérique et approximation d'onde plane

Approfondissement · Type écrit Centrale

Une source ponctuelle émet dans l'air une puissance P uniformément répartie. Justifier que l'amplitude décroît en 1/r. À quelle distance r une zone de taille L = 2 mm peut-elle être considérée comme éclairée par une onde plane, pour λ₀ = 500 nm ?

Technique Conservation de la puissance à travers les sphères, puis flèche d'un arc.

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La puissance traverse chaque sphère de rayon r, donc l'intensité vaut P/(4πr²), et l'amplitude, proportionnelle à √I, décroît en 1/r.
Sur la zone de taille L, la surface d'onde sphérique s'écarte du plan tangent d'une flèche h ≈ L²/(8r).
L'onde est localement plane si cette flèche est petite devant λ₀, soit r ≫ L²/(8λ₀) = 1 m.
À 10 m, h = 50 nm, dix fois plus petit que λ₀, le déphasage résiduel sur la zone vaut 2π/10. Le critère est semi-quantitatif, la tolérance dépend de l'expérience.

piège : Comparer L à r au lieu de comparer la flèche à λ₀. Le bon critère fait intervenir la longueur d'onde.

Exercice 9. Train d'ondes et largeur spectrale

Approfondissement · Type oral Centrale

On modélise l'émission d'un atome par une sinusoïde de fréquence ν₀ limitée à une durée τ_c. Montrer qu'un détecteur ne peut pas distinguer ν₀ d'une fréquence ν₀ + Δν si Δν τ_c est petit devant 1. En déduire la largeur spectrale et interpréter la perte des interférences quand la différence de marche dépasse c τ_c.

Technique Phase accumulée sur la durée du train.

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Les deux sinusoïdes se déphasent relativement de 2π Δν t. Sur la durée du train, le déphasage atteint 2π Δν τ_c.
Si 2π Δν τ_c ≪ 2π, les deux fonctions coïncident pratiquement pendant tout le train, aucun détecteur ne les sépare. Le spectre du train a donc une largeur Δν ≈ 1/τ_c.
Le train occupe une longueur L_c = c τ_c dans l'espace. Deux répliques d'une même onde décalées de δ > L_c ne se recouvrent pas, elles proviennent de trains différents à phases aléatoires.
Le déphasage entre elles change à chaque train, donc toutes les 10⁻¹⁰ s environ pour une lampe, le détecteur moyenne le terme d'interférences à zéro.
Cas limite, source rigoureusement monochromatique, τ_c infini, interférences quelle que soit δ. Cela n'existe pas.

piège : Présenter Δν τ_c = 1 comme une égalité. C'est un ordre de grandeur, le coefficient dépend de la forme du train.

Erreurs fréquentes

Utiliser la longueur d'onde dans le milieu avec le chemin optique. Le chemin optique contient déjà l'indice, le dénominateur est toujours λ₀.
Confondre une distance géométrique et un chemin optique dans le calcul d'une durée de propagation.
Faire dépendre la fréquence du milieu. Elle est fixée par la source, seule la longueur d'onde change.
Oublier que l'intensité est une moyenne du carré. Doubler l'amplitude quadruple l'intensité.
Confondre longueur de cohérence d'une raie et écart entre deux raies. Un doublet a deux raies fines mais son ensemble se brouille sur une distance bien plus courte que la cohérence de chaque raie.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique-chimie de la voie PC (arrêté du 5 janvier 2021, applicable à la rentrée 2022), partie « 1. Optique », paragraphe « 1.1. Modèle scalaire des ondes lumineuses ». Elle installe les outils utilisés dans tout le reste de l'optique de PC : vibration lumineuse, chemin optique, surfaces d'ondes, cohérence temporelle, intensité.