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PC · Physique · semaine 28

Phénomènes de propagation linéaires unidimensionnels

Relation de dispersion d'une onde harmonique dans un milieu linéaire, les parties réelle et imaginaire du vecteur d'onde étant associées à la dispersion et à l'absorption. Propagation d'un paquet d'ondes dans un milieu faiblement dispersif, avec la vitesse de phase et la vitesse de groupe. Application aux ondes électromagnétiques dans les milieux matériels, effet de peau dans un conducteur ohmique puis propagation dans un plasma dilué avec la conductivité complexe, la pulsation plasma, le domaine de transparence et l'onde évanescente.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Injecter une onde harmonique complexe dans une équation linéaire pour obtenir la relation de dispersion.
  2. La partie réelle de kk donne la vitesse de phase et la dispersion, sa partie imaginaire donne l'atténuation. Atténuation ne veut pas dire dissipation.
  3. L'enveloppe d'un paquet d'ondes se déplace à la vitesse de groupe dω/dk\dd\omega/\dd k. La durée du paquet et sa largeur spectrale ont un produit de l'ordre de 11.
  4. Dans un conducteur ohmique, le champ diffuse, avec une épaisseur de peau 2/(μ0γω)\sqrt{2/(\mu_0\gamma\omega)}, et l'atténuation correspond à une dissipation par effet Joule.
  5. Dans un plasma dilué, la conductivité est imaginaire pure et la relation de dispersion s'écrit k2c2=ω2−ωp2k^2c^2=\omega^2-\omega_p^2. Au-dessus de la pulsation plasma le milieu est transparent et dispersif, en dessous l'onde est évanescente et ne transporte aucune puissance moyenne.
Pourquoi ce chapitre

Le chapitre précédent traitait le cas idéal, celui où toutes les fréquences voyagent à la même vitesse et où rien ne s'atténue. Dès que le milieu réagit à l'onde, la relation entre kk et ω\omega cesse d'être proportionnelle, et kk peut devenir complexe.

Deux phénomènes apparaissent :

  • la dispersion, qui déforme un signal composite ;
  • l'absorption, qui l'atténue.

Le chapitre installe la relation de dispersion, puis deux applications : l'effet de peau et le plasma. C'est aussi ici qu'apparaît la vitesse de groupe.

Classiques et HP

Méthodes et approfondissements du chapitre · le statut est précisé pour PC.

Classiques et HP réservés

Prolongements et démonstrations de Physique.

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Encore 12 parties de cours et 11 corrigés.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Relation de dispersion 2

Exercice 1. Corde sur support élastique ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Une corde tendue repose sur un support élastique.

Son déplacement vérifie ∂2y∂t2=c2∂2y∂x2−ω02y.\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} - \omega_0^2 y. Montrer que l'équation est linéaire, établir la relation de dispersion et discuter selon ω\omega.

Voir l'indice

Technique Injection d'une onde harmonique et lecture de k.

Voir le corrigé offert
  1. Tous les termes sont du premier degré en yy, avec des coefficients constants. L'équation est linéaire.
  2. L'injection donne −ω2=−c2k2−ω02-\omega^2 = -c^2k^2 - \omega_0^2, soit k2=(ω2−ω02)/c2k^2 = (\omega^2 - \omega_0^2)/c^2.
  3. Si ω>ω0\omega > \omega_0, kk est réel et l'onde se propage. On a vφ=c/1−ω02/ω2v_\varphi = c/\sqrt{1 - \omega_0^2/\omega^2} et vg=c1−ω02/ω2v_g = c\sqrt{1 - \omega_0^2/\omega^2}. Le milieu est dispersif.
  4. Si ω<ω0\omega < \omega_0, kk est imaginaire pur et l'onde est évanescente, de longueur caractéristique c/ω02−ω2c/\sqrt{\omega_0^2 - \omega^2}.
  5. Le système est conservatif, donc l'atténuation n'est pas une absorption. Pour ω0\omega_0 tendant vers 00, on retrouve d'Alembert.

piège : Qualifier le milieu d'absorbant sous la coupure. Aucune énergie n'y est dissipée.

Exercice 2. Corde avec frottement ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

On a ∂2y∂t2+1τ∂y∂t=c2∂2y∂x2.\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} + \frac{1}{\tau} \frac{\partial y}{\partial t} = c^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}. Établir la relation de dispersion, puis donner kk au premier ordre lorsque ωτ≫1\omega\tau \gg 1.

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Impulsions et dispersion 2

Exercice 3. Impulsions dans une fibre ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Un émetteur à 1,55 μm1{,}55~\mu\mathrm{m} envoie des impulsions de 10 ps10~\mathrm{ps}.

Estimer leur largeur spectrale en fréquence et en longueur d'onde.

Pourquoi la dispersion de la fibre limite-t-elle le débit ?

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Exercice 10. Étalement d'un paquet ★★★

Approfondissement · 35 min · Type oral Centrale avec Python

Décrire une simulation d'un paquet gaussien dans le plasma.

Comment vérifier vgv_g ?

Expliquer l'étalement.

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Ligne sans pertes 1

Exercice 4. Câble coaxial ★

Application du cours · 15 min · Type écrit CCINP

Un câble sans pertes a pour inductance linéique Λ=250 nH/m\Lambda = 250~\mathrm{nH/m} et pour capacité linéique Γ=100 pF/m\Gamma = 100~\mathrm{pF/m}.

Établir l'équation de propagation, puis calculer la célérité et le rapport u/iu/i pour une onde progressive.

Voir le début du corrigé
  1. La loi des mailles donne ∂u/∂x=−Λ ∂i/∂t\partial u/\partial x = -\Lambda\,\partial i/\partial t. …

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Effet de peau 2

Exercice 6. Communiquer avec un sous-marin ★

Application du cours · 15 min · Type écrit CCINP

L'eau de mer a une conductivité γ≈4 S/m\gamma \approx 4~\mathrm{S/m} et une permittivité proche de 80 ε080\,\varepsilon_0.

Vérifier l'approximation des conducteurs, puis comparer les épaisseurs de peau à 10 kHz10~\mathrm{kHz} et à 10 MHz10~\mathrm{MHz}.

Voir le début du corrigé
  1. À 10 MHz10\ \mathrm{MHz}, le rapport 80ε0ω/γ80\varepsilon_0\omega/\gamma vaut environ 0,010{,}01. …

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Exercice 5. Effet de peau dans le cuivre ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit CCINP

Établir l'épaisseur de peau du cuivre, avec γ=6×107 S/m\gamma = 6 \times 10^{7}~\mathrm{S/m}.

Donner sa valeur à 50 Hz50~\mathrm{Hz} et à 1 GHz1~\mathrm{GHz}.

Calculer la puissance moyenne dissipée par unité de surface pour un champ d'amplitude E0E_0 en surface.

Voir le début du corrigé
  1. On justifie ρ=0\rho = 0 et ε0ω≪γ\varepsilon_0\omega \ll \gamma, puis on écrit ΔE=μ0γ ∂E/∂t\Delta E = \mu_0\gamma\,\partial E/\partial t.

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Plasma et coupure 4

Exercice 7. Plasma, du modèle à la coupure ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit CCINP

Justifier la neutralité locale du plasma, établir γ(ω)\gamma(\omega) et la relation de dispersion.

Calculer fpf_p pour n=1012 m−3n = 10^{12}~\mathrm{m^{-3}}.

Une émission à 5 MHz5~\mathrm{MHz} peut-elle joindre un satellite ?

Voir le début du corrigé
  1. On a k⋅E=0k \cdot E = 0 pour une onde transverse, donc div⁡E=0\operatorname{div} E = 0 et ρ=0\rho = 0.

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Exercice 8. Onde évanescente ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type écrit CCINP

Pour ω<ωp\omega < \omega_p, exprimer EE et BB en réel.

Montrer que la moyenne du vecteur de Poynting est nulle.

Voir le début du corrigé
  1. On pose k = i/δ avec δ = c/√(ω_p² − ω²). …

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Exercice 9. Retard ionosphérique du GPS ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit Centrale

On modélise l'ionosphère par une couche homogène d'épaisseur L=300 kmL = 300~\mathrm{km}, avec n=1012 m−3n = 10^{12}~\mathrm{m^{-3}}.

Un signal à 1,5 GHz1{,}5~\mathrm{GHz} la traverse.

Calculer le retard dû au plasma et l'erreur de distance associée.

Comment l'éliminer ?

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Exercice 11. Transparence ultraviolette des alcalins ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type oral Mines

Le sodium possède environ 2,5×10282{,}5 \times 10^{28} électrons libres par m3\mathrm{m^3}.

Avec le modèle du plasma, prévoir la longueur d'onde au-dessous de laquelle il devient transparent.

Pourquoi le modèle ohmique échoue-t-il ici ?

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Classique du chapitre 1

Exercice classique. Une onde proche de la coupure ★★★

Classique du chapitre

Une chaîne infinie possède une inductance idéale L>0L>0 entre chaque paire de nœuds voisins et une capacité idéale C>0C>0 entre chaque nœud et la masse. L’espacement est a>0a>0. La tension est un(t)u_n(t) et le courant in(t)i_n(t) est orienté du nœud nn vers le nœud n+1n+1. On cherche des modes un(t)=Re⁡(Uei(kna−ωt))u_n(t)=\operatorname{Re}(U\mathrm e^{\mathrm i(kna-\omega t)}), avec U≠0U\neq0, ω>0\omega>0 et 0<k<π/a0<k<\pi/a. Poser c0=a/LCc_0=a/\sqrt{LC}.

  1. Établir l’équation différentielle discrète des tensions, puis la relation de dispersion et la pulsation de coupure ωc\omega_c.
  2. Pour ω=3/LC\omega=\sqrt3/\sqrt{LC}, calculer kk, la longueur d’onde λ\lambda, la vitesse de phase et la vitesse de groupe.
  3. À cette pulsation, comparer la vitesse de phase exacte à la valeur c0c_0 du modèle de d’Alembert. Calculer l’erreur relative commise en utilisant c0c_0 à la place de la vitesse exacte, avec la valeur exacte au dénominateur. L’approximation continue est-elle adaptée ?
  4. Une excitation de pulsation ω′=3/LC\omega'=3/\sqrt{LC} peut-elle engendrer un mode de nombre d’onde réel dans cette chaîne ? Justifier sans invoquer une dissipation.

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique-chimie de PC (arrêté du 5 janvier 2021), partie 6.2 « Phénomènes de propagation linéaires unidimensionnels ». Elle traite la dispersion et l'absorption, la vitesse de groupe, puis les ondes électromagnétiques dans un conducteur ohmique et dans un plasma dilué.