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PC · Physique · semaine 26

Équation de d'Alembert

L'équation de d'Alembert établie pour les ondes transversales sur une corde vibrante et les ondes longitudinales dans une tige solide, le module d'Young étant interprété par le modèle de la chaîne d'atomes. Ondes progressives et stationnaires, modes propres d'une corde fixée à ses deux extrémités, résonances de la corde de Melde. Ondes acoustiques dans les fluides, avec l'approximation acoustique, la célérité, l'impédance acoustique et l'intensité sonore, puis ondes électromagnétiques dans le vide, leur structure, leurs aspects énergétiques et leur polarisation avec la loi de Malus.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Corde vibrante, tige en compression, acoustique et électromagnétisme dans le vide conduisent tous à l'équation de d'Alembert, de solution générale F(x−ct)+G(x+ct)F(x-ct)+G(x+ct). Le milieu est non dispersif, la forme du signal se conserve.
  2. La célérité est toujours la racine du rapport d'une raideur à une inertie :
    • corde : T0/μ\sqrt{T_0/\mu} ;
    • tige : E/ρ\sqrt{E/\rho} ;
    • acoustique : 1/ρ0χS1/\sqrt{\rho_0\chi_S} ;
    • vide : 1/ε0μ01/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}.
  3. Les ondes stationnaires ont des nœuds et des ventres fixes. Les conditions aux limites quantifient alors les fréquences, fn=nc/(2L)f_n=nc/(2L) pour une corde fixée aux deux bouts, ce qui explique les résonances de Melde.
  4. En acoustique, l'impédance Z=ρ0cZ=\rho_0c relie surpression et vitesse pour une onde progressive, et l'intensité sonore se traduit en décibels par 10log⁡(I/I0)10\log(I/I_0) avec I0=10−12 W.m−2I_0=10^{-12}\unite{W.m^{-2}}.
  5. Une onde électromagnétique plane progressive harmonique dans le vide est transverse, avec E⃗\vec E, B⃗\vec B et u⃗\vec u en trièdre direct et B=E/cB=E/c. Son état de polarisation, rectiligne, circulaire ou elliptique, s'analyse avec un polariseur par la loi de Malus et avec des lames quart d'onde ou demi-onde.
Pourquoi ce chapitre

Trois domaines sans rapport apparent, une corde tendue, l'air et le vide, conduisent à la même équation aux dérivées partielles. Le travail consiste à établir cette équation dans chaque cas à partir des lois locales, puis à exploiter ses solutions, progressives et stationnaires.

On y installe les notions qui serviront ensuite :

  • relation de dispersion ;
  • impédance ;
  • transport d'énergie ;
  • polarisation.

La mise en équation suit à chaque fois le même schéma : système élémentaire, loi locale, linéarisation, combinaison.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Modes propres mécaniques 3

Exercice 1. Accorder une corde de guitare ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Une corde de longueur vibrante L=65 cmL = 65~\mathrm{cm} et de masse linéique μ=6,0 g/m\mu = 6{,}0~\mathrm{g/m} doit donner un fondamental à 110 Hz110~\mathrm{Hz}.

Quelle tension faut-il ?

Où sont les nœuds du troisième mode ?

De combien augmenter la tension pour monter d'un demi-ton, soit un facteur 21/122^{1/12} sur la fréquence ?

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Technique Modes propres et célérité T0/μ\sqrt{T_0/\mu}.

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  1. f1=c/(2L)f_1 = c/(2L) donne c=2Lf1=143 m/sc = 2L f_1 = 143\ \mathrm{m/s}.
  2. T0=μc2=0,006×1432≈123 NT_0 = \mu c^2 = 0{,}006 \times 143^2 \approx 123\ \mathrm{N}.
  3. Le mode 33 vibre à 330 Hz330\ \mathrm{Hz}, avec des nœuds intérieurs en L/3≈21,7 cmL/3 \approx 21{,}7\ \mathrm{cm} et 2L/3≈43,3 cm2L/3 \approx 43{,}3\ \mathrm{cm}.
  4. ff est proportionnelle à T0\sqrt{T_0}, donc la tension est multipliée par 21/6≈1,122^{1/6} \approx 1{,}12, soit une augmentation d'environ 12 %12\ \%.

piège : Confondre la célérité cc avec la vitesse transverse ∂y/∂t\partial y/\partial t d'un point de la corde. La première vaut 143 m/s143\ \mathrm{m/s}, la seconde dépend de l'amplitude.

Exercice 2. Mesures avec la corde de Melde ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

Une corde de longueur L=1,20 mL = 1{,}20~\mathrm{m} entre le vibreur et la poulie est tendue par une masse de 100 g100~\mathrm{g}, avec g=9,8 m/s2g = 9{,}8~\mathrm{m/s^2}.

On observe des résonances à 2424, 4848 et 72 Hz72~\mathrm{Hz}.

Déterminer μ\mu.

À 72 Hz72~\mathrm{Hz} fixés, pour quelles masses observe-t-on une résonance ?

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  1. Les fréquences sont proportionnelles à nn, avec f1=24 Hzf_1 = 24\ \mathrm{Hz}. …

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Exercice 3. Tige d'aluminium, du microscopique au son ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

L'aluminium a un module d'Young E=7×1010 PaE = 7 \times 10^{10}~\mathrm{Pa}, une masse volumique ρ=2,7×103 kg/m3\rho = 2{,}7 \times 10^{3}~\mathrm{kg/m^3} et une distance interatomique a≈0,29 nma \approx 0{,}29~\mathrm{nm}.

Estimer la raideur kk des liaisons, la célérité des ondes longitudinales, puis le fondamental d'une tige de 1,00 m1{,}00~\mathrm{m} libre à ses deux extrémités.

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  1. k ≈ E a ≈ 20 N/m, dans la fourchette usuelle des liaisons chimiques.

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Ondes acoustiques planes 2

Exercice 4. Valider l'approximation acoustique au seuil de douleur ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

Une onde plane progressive harmonique de fréquence 1 kHz1~\mathrm{kHz} a une intensité de 1 W/m21~\mathrm{W/m^2} dans l'air, avec p0=105 Pap_0 = 10^5~\mathrm{Pa}, γ=1,4\gamma = 1{,}4 et Z=410 kg⋅m−2⋅s−1Z = 410~\mathrm{kg\cdot m^{-2}\cdot s^{-1}}.

Calculer les amplitudes de surpression, de vitesse et de déplacement, ainsi que ρ1/ρ0\rho_1/\rho_0.

Conclure.

Quelle est la célérité à 0 ∘C0~\mathrm{^\circ C} et à 30 ∘C30~\mathrm{^\circ C} ?

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  1. pm = √(2 Z I) ≈ 29 Pa, soit 3 × 10⁻⁴ p₀.

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Exercice 6. Onde sonore sur une paroi rigide ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Type écrit CCINP

De l'air occupe x<0x < 0, une paroi rigide est en x=0x = 0.

L'onde incidente est pi=pmcos⁡(ωt−kx).p_i = p_m \cos(\omega t - kx). On cherche une onde réfléchie pr=Acos⁡(ωt+kx).p_r = A \cos(\omega t + kx). Déterminer AA, l'onde totale, la position des nœuds et le flux moyen d'énergie.

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  1. vi=pi/Zv_i = p_i/Z et vr=−pr/Zv_r = - p_r/Z, car l'onde réfléchie va vers les xx décroissants.

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Propagation sphérique 2

Exercice 5. Concert en plein air ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Une enceinte assimilée à une source ponctuelle isotrope produit 100 dB100~\mathrm{dB} à 10 m10~\mathrm{m}.

On néglige l'absorption et le sol.

Quelle puissance acoustique émet-elle ?

Quel niveau mesure-t-on à 40 m40~\mathrm{m} ?

Et à 10 m10~\mathrm{m} avec deux enceintes identiques non synchronisées ?

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Exercice 10. Champ proche d'une source sphérique ★★★

Approfondissement · 40 min · Type écrit Mines

Une source ponctuelle crée la surpression fournie p=Arcos⁡(ωt−kr).p = \frac{A}{r} \cos(\omega t - kr). En utilisant l'équation d'Euler linéarisée radiale ρ0∂v∂t=−∂p∂r,\rho_0 \frac{\partial v}{\partial t} = - \frac{\partial p}{\partial r}, déterminer la vitesse radiale oscillante.

Pour quelles distances a-t-on p≈Zvp \approx Z v ?

Montrer que la puissance moyenne à travers une sphère ne dépend pas de rr.

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Onde électromagnétique plane 1

Exercice 7. Onde électromagnétique oblique et photons ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Type écrit CCINP

Dans le vide, E=E0 uzcos⁡(ωt−k(x+y)2).E = E_0\, u_z \cos\left(\omega t - \frac{k(x + y)}{\sqrt{2}}\right). Déterminer la direction de propagation, BB et la moyenne du vecteur de Poynting.

Un laser de 1 mW1~\mathrm{mW} à 633 nm633~\mathrm{nm} a un faisceau de 1 mm1~\mathrm{mm} de diamètre.

Estimer E0E_0 et le flux de photons.

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  1. u = (ux + uy)/√2, et E est orthogonal à u, l'onde est bien transverse.

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Polarisation de la lumière 2

Exercice 8. Identifier une polarisation circulaire ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

Une onde se propage selon uzu_z avec Ex=E0cos⁡(ωt−kz)E_x = E_0 \cos(\omega t - kz) et Ey=E0sin⁡(ωt−kz).\text{et } E_y = E_0 \sin(\omega t - kz). Nature et sens de rotation de la polarisation ?

Qu'observe-t-on derrière un analyseur tournant ?

Comment la distinguer d'une lumière naturelle ?

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  1. En z=0z = 0, E=E0(cos⁡ωt,sin⁡ωt)E = E_0(\cos \omega t, \sin \omega t). …

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Exercice 9. Rallumer la lumière entre polariseurs croisés ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type oral Centrale

Une lumière naturelle d'intensité I0I_0 traverse deux polariseurs croisés.

On intercale un troisième polariseur à l'angle θ\theta du premier.

Intensité transmise et maximum ?

On remplace ce polariseur par une lame demi-onde.

Quelle orientation transmet le plus, et combien ?

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  1. Après le premier polariseur, on a I0/2I_0/2, polarisation rectiligne selon son axe.

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique-chimie de PC (arrêté du 5 janvier 2021), partie 6.1 « Phénomènes de propagation non dispersifs : équation de d'Alembert ». Elle traite les ondes mécaniques dans les solides déformables, les ondes acoustiques dans les fluides et les ondes électromagnétiques dans le vide.