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PC · Physique · semaine 28

Interfaces entre deux milieux

Réflexion et transmission d'une onde plane progressive sous incidence normale sur une interface plane. En acoustique, coefficients de réflexion et de transmission en amplitude des vitesses, des surpressions et des puissances, avec le lien entre adaptation des impédances et transfert maximal de puissance. En électromagnétisme, la continuité admise du champ donne les coefficients de réflexion et de transmission en fonction des indices complexes des deux milieux, puis les coefficients en puissance.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. La démarche est unique : trois ondes, deux conditions de continuité, un système de deux équations.

  2. En acoustique, les coefficients en surpression sont :

    rp=Z2−Z1Z1+Z2r_p=\frac{Z_2-Z_1}{Z_1+Z_2}

    tp=2Z2Z1+Z2t_p=\frac{2Z_2}{Z_1+Z_2}

    Les coefficients en vitesse s'en déduisent avec rv=−rpr_v=-r_p.

  3. En puissance acoustique :

    R=rp2R=r_p^2

    T=4Z1Z2(Z1+Z2)2T=\frac{4Z_1Z_2}{(Z_1+Z_2)^2}

    On a R+T=1R+T=1. Le transfert est total si les impédances sont égales, d'où l'adaptation d'impédance.

  4. En électromagnétisme sous incidence normale :

    r=n1−n2n1+n2r=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}

    t=2n1n1+n2t=\frac{2n_1}{n_1+n_2}

    Pour des milieux transparents :

    R=r2R=r^2

    T=4n1n2(n1+n2)2T=\frac{4n_1n_2}{(n_1+n_2)^2}

    Une interface air-verre réfléchit 4 %4\,\%.

  5. Une réflexion sur un milieu transparent plus réfringent déphase le champ électrique de π\pi. Pour un câble coaxial :

    • fermé sur son impédance caractéristique, il ne réfléchit rien ;
    • court-circuité, il réfléchit avec inversion ;
    • ouvert, il réfléchit sans inversion.
Pourquoi ce chapitre

Une onde ne rencontre jamais un milieu unique et infini. Dès qu'elle atteint une frontière, une partie repart et une partie continue, et le partage est entièrement fixé par le contraste entre les deux milieux.

La démarche est la même dans les deux domaines traités : écrire trois ondes, imposer deux conditions de continuité, résoudre un système de deux équations.

Le chapitre donne aussi la notion d'adaptation d'impédance, qui explique :

  • le gel d'échographie ;
  • les traitements antireflet ;
  • la terminaison d'un câble coaxial.

Classiques et HP

Méthodes et approfondissements du chapitre · le statut est précisé pour PC.

Classiques et HP réservés

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Coefficients de réflexion et transmission 3

Exercice 1. Du son de l'air vers l'eau ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Une onde sonore plane arrive de l'air, Z1=410 kg⋅m−2⋅s−1Z_1 = 410~\mathrm{kg\cdot m^{-2}\cdot s^{-1}}, sur la surface calme d'un lac, Z2=1,5×106 kg⋅m−2⋅s−1Z_2 = 1{,}5 \times 10^6~\mathrm{kg\cdot m^{-2}\cdot s^{-1}}, sous incidence normale.

Calculer rpr_p, tpt_p, tvt_v, TT et l'atténuation en décibels.

Que se passe-t-il dans l'autre sens ?

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Technique Coefficients en amplitude, puis puissance avec le changement d'impédance.

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  1. On a rp=(Z2−Z1)/(Z1+Z2)≈0,9995r_p = (Z_2 - Z_1)/(Z_1 + Z_2) \approx 0{,}9995. L'onde est presque entièrement réfléchie, sans inversion de la surpression.
  2. On a tp≈2,0t_p \approx 2{,}0 et tv=2Z1/(Z1+Z2)≈5,5×10−4t_v = 2Z_1/(Z_1 + Z_2) \approx 5{,}5 \times 10^{-4}. La surface se comporte comme un mur : la surpression y double et la vitesse y est presque nulle.

T=(Z1/Z2)tp2≈4Z1/Z2≈1,1×10−3,T = (Z_1/Z_2)t_p^2 \approx 4Z_1/Z_2 \approx 1{,}1 \times 10^{-3}, soit 10log⁡T≈−30 dB10 \log T \approx -30\ \mathrm{dB}. 4. Dans l'autre sens, TT est inchangé car il est symétrique. En revanche, rp≈−1r_p \approx -1 et tp≈5,5×10−4t_p \approx 5{,}5 \times 10^{-4}.

piège : Déduire de tp=2t_p = 2 que l'eau reçoit plus d'énergie. La puissance transmise est divisée par Z2Z_2, qui est énorme.

Exercice 3. Réciprocité des coefficients ★

Application du cours · 10 min · Niveau khôlle

On note rr et tt les coefficients en surpression pour la traversée de 11 vers 22, puis r′r' et t′t' pour la traversée de 22 vers 11.

Montrer que r′=−rr' = -r et que tt′=1−r2t t' = 1 - r^2.

Interpréter.

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  1. On a r′=(Z1−Z2)/(Z1+Z2)=−rr' = (Z_1 - Z_2)/(Z_1 + Z_2) = -r.

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Exercice 4. Air-verre et verre-air ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau khôlle

Établir rr et tt pour le champ électrique à partir des continuités admises, puis RR et TT.

Faire l'application pour l'air (indice 11) et le verre (indice 1,51{,}5), dans les deux sens.

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  1. On écrit Ei+Er=EtE_i + E_r = E_t et n1(Ei−Er)=n2Etn_1(E_i - E_r) = n_2E_t, ce qui donne rr et tt comme dans la fiche.

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Ondes stationnaires 1

Exercice 2. Onde stationnaire devant un mur ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Une onde pi=Pcos⁡(ωt−kx)p_i = P \cos(\omega t - kx) arrive sur une paroi rigide placée en x=0x = 0.

Écrire pp et vv dans l'air.

Situer les nœuds de surpression pour f=1 000 Hzf = 1\,000~\mathrm{Hz} et c=340 m⋅s−1c = 340~\mathrm{m\cdot s^{-1}}.

Calculer la puissance moyenne transportée.

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  1. Z2Z_2 est grand devant Z1Z_1, donc rp=1r_p = 1 et pr=Pcos⁡(ωt+kx)p_r = P \cos(\omega t + kx).

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Réflectométrie 1

Exercice 5. Réflectométrie sur un câble ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · D'après un écrit CCINP PC

Un générateur adapté envoie une impulsion d'amplitude 2 V2~\mathrm{V} dans un câble coaxial de 50 Ω50~\Omega et de longueur 20 m20~\mathrm{m}.

L'onde s'y propage à la vitesse v=2×108 m⋅s−1v = 2 \times 10^8~\mathrm{m\cdot s^{-1}}.

Donner la date et l'amplitude de l'écho pour les terminaisons suivantes : ouverte, court-circuit, 50 Ω50~\Omega, 100 Ω100~\Omega, 25 Ω25~\Omega.

Un autre câble présente un écho à 150 ns150~\mathrm{ns} : localiser le défaut.

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  1. L'écho revient au bout de 2L/v=200 ns2L/v = 200\ \mathrm{ns}.

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Réflexions multiples 2

Exercice 8. Transmission d'une vitre épaisse ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Type écrit Mines-Ponts

Une vitre d'indice 1,51{,}5 est éclairée sous incidence normale en lumière peu cohérente.

Sa longueur de cohérence est petite devant l'épaisseur, et on néglige l'absorption.

En sommant les intensités des réflexions multiples, calculer la transmission totale et la réflexion totale.

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  1. Chaque face a le même R=0,04R = 0{,}04 dans les deux sens, et T=1−RT = 1 - R.

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Exercice 6. Couche d'adaptation d'une sonde d'échographie ★★★

Approfondissement · 40 min · D'après un écrit CCINP PC

Une céramique piézoélectrique, Z1=3,0×107 kg⋅m−2⋅s−1Z_1 = 3{,}0 \times 10^7~\mathrm{kg\cdot m^{-2}\cdot s^{-1}}, émet vers des tissus d'impédance Z3=1,5×106Z_3 = 1{,}5 \times 10^6.

On intercale une couche d'impédance ZmZ_m et on néglige les réflexions multiples dans cette couche.

Déterminer la valeur de ZmZ_m qui maximise la transmission, puis comparer au contact direct.

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Réflexion sur milieu particulier 2

Exercice 7. Pouvoir réflecteur d'un métal ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Type écrit e3a

Dans le visible, on modélise l'argent par un indice complexe dont la partie réelle vaut 0,060{,}06 et la partie imaginaire a pour module 3,63{,}6.

Ces valeurs sont indicatives, et le signe de la partie imaginaire dépend de la convention adoptée.

Calculer RR et le déphasage à la réflexion depuis l'air.

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  1. On a r=(1−n2)/(1+n2)r = (1 - n_2)/(1 + n_2), avec ∣1−n2∣2=0,942+3,62≈13,84|1 - n_2|^2 = 0{,}94^2 + 3{,}6^2 \approx 13{,}84 et ∣1+n2∣2=1,062+3,62≈14,08|1 + n_2|^2 = 1{,}06^2 + 3{,}6^2 \approx 14{,}08.

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Exercice 9. Réflexion des ondes radio par l'ionosphère ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Type oral Centrale

On modélise l'ionosphère par un plasma dilué d'indice nn tel que n2=1−ωp2ω2,n^2 = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2}, séparé du vide par une interface plane.

On prend une fréquence plasma de 9 MHz9~\mathrm{MHz} et on se place en incidence normale.

Étudier la réflexion d'une onde à 5 MHz5~\mathrm{MHz} puis à 100 MHz100~\mathrm{MHz}.

Corrigé détaillé dans Sup et Spé+ : essai gratuit 7 jours.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique-chimie de PC (arrêté du 5 janvier 2021), partie 6.3 « Interfaces entre deux milieux ». Elle traite la réflexion et la transmission d'une onde plane progressive sous incidence normale sur une interface plane, en acoustique puis en électromagnétisme.