Dérivabilité des fonctions vectorielles

Exercice 1. Hélice circulaire ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Soient $R > 0$ et $h$ réel, et la fonction $$f(t) = (R \cos t, R \sin t, h t).$$ Calculer vitesse et accélération.

Montrer que la vitesse fait un angle constant avec $e_3 = (0, 0, 1)$ et que l'accélération est orthogonale à la vitesse.

Voir le corrigé offert

Résultat

$f'(t) = (-R\sin t, R\cos t, h)$, $f''(t) = (-R\cos t, -R\sin t, 0)$, le cosinus de l'angle avec $e_3$ vaut $h/\sqrt{R^2 + h^2}$, indépendant de $t$, et $\langle f'', f'\rangle = 0$.

1. $\underline{f'(t) = (-R\sin t, R\cos t, h)}$ et $\underline{f''(t) = (-R\cos t, -R\sin t, 0)}$ (théorème 1.5, dérivation par les coordonnées).
2. $\|f'(t)\| = \sqrt{R^2 + h^2}$ et $\langle f'(t), e_3\rangle = h$, donc le cosinus de l'angle vaut $h/\sqrt{R^2 + h^2}$ (indépendant de $t$).
3. $\langle f'', f'\rangle = R^2\cos t\sin t - R^2\sin t\cos t = 0$ (cohérent avec $\|f'\|^2$ constante).
4. Donc l'accélération est horizontale, de norme $R$, dirigée vers l'axe.

piège : Confondre vitesse de norme constante et vitesse constante. Ici l'accélération ne s'annule jamais.

Exercice 7. Changement de paramètre au second ordre ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Soient $f$ de classe $C^2$ sur $I$ et $\varphi$ de classe $C^2$ de $J$ dans $I$.

Montrer que $g = f \circ \varphi$ est $C^2$ et que $$g'' = \varphi'' \cdot (f' \circ \varphi) + \varphi'^2 \cdot (f'' \circ \varphi).$$ Application à $f(t) = (\cos t, \sin t)$ et $\varphi(s) = s^2$.

Exercice 2. Dérivable sans être C¹ ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

On pose $$f(t) = \left(t^2 \sin\left(\frac{1}{t}\right), t\right)$$ pour $t \neq 0$ et $$f(0) = (0, 0).$$ Montrer que $f$ est dérivable sur $\R$ mais pas de classe $C^1$.

Exercice 10. Inégalité des accroissements finis vectorielle ★★★

Approfondissement · 35 min · Type oral Centrale

Soit $f$ continue sur $[a, b]$, dérivable sur $]a, b[$, à valeurs dans $\R^n$ euclidien, avec $\|f'(t)\| \leq M$ sur $]a, b[$.

Montrer que $$\|f(b) - f(a)\| \leq M(b - a).$$ Ce résultat est hors programme en PC mais se démontre avec les outils du chapitre.

Exercice 3. Norme constante et orthogonalité ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Soit $f$ dérivable sur $I$.

Montrer que $\|f\|$ est constante sur $I$ si et seulement si $\langle f, f'\rangle = 0$ sur $I$.

Et si $I$ n'est pas un intervalle ?

Exercice 4. Mouvement à accélération centrale ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Soit $f$ de classe $C^2$ sur $I$, à valeurs dans $\R^3$, avec $$f''(t) = \lambda(t)\, f(t)$$ où $\lambda$ est réelle.

Montrer que $\sigma = f \wedge f'$ est constant.

Si $\sigma \neq 0$, montrer que la trajectoire est dans un plan passant par l'origine.

Exercice 8. Particule dans un champ magnétique uniforme ★★★

Approfondissement · 45 min · Type écrit Mines

Soient $u$ non nul dans $\R^3$ et $f$ de classe $C^2$ sur $\R$, à valeurs dans $\R^3$, avec $$f'' = u \wedge f'.$$

Montrer que $\|f'\|$, $\langle f', u\rangle$ et $\|f''\|$ sont constantes, puis que $f' - u \wedge f$ est constant.

Exercice 9. Direction constante ★★★

Approfondissement · 35 min · Type oral Centrale

Soit $f$ de classe $C^1$ sur $I$, à valeurs dans $\R^3$, ne s'annulant pas, avec $f \wedge f' = 0$ sur $I$.

Montrer que $f/\|f\|$ est constant.

L'hypothèse de non-annulation est-elle utile ?

Exercice 5. Wronskien ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · D'après un écrit CCINP PC

Soient $a$ et $b$ continues sur $I$, et $y_1$, $y_2$ deux solutions de $$y'' + a y' + b y = 0.$$ Soit $W(t)$ le déterminant des colonnes $(y_1, y_1')$ et $(y_2, y_2')$.

Montrer que $W' = -aW$, puis $$W(t) = W(t_0) \exp(-A(t)),$$ où $A$ est la primitive de $a$ nulle en $t_0$.

En déduire que $W$ est identiquement nul ou jamais nul.

Exercice 6. Dérivée de det(Iₙ + tA) en 0 ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · D'après un écrit CCINP PC

Soit $A$ carrée réelle d'ordre $n$.

Montrer que $$\varphi(t) = \det(I_n + tA)$$ est dérivable, que $\varphi'(0) = \operatorname{tr} A$, et en déduire $$\varphi(t) = 1 + t \operatorname{tr} A + o(t).$$