Le cours

Résumé en cinq points

Une isométrie vectorielle conserve la norme, ce qui équivaut à conserver le produit scalaire et à transformer toute base orthonormée en base orthonormée.
Dans une base orthonormée, les isométries correspondent aux matrices orthogonales, caractérisées par $A^\top A = I$ , de déterminant $1$ ou $-1$ .
Dans le plan, une isométrie de déterminant $1$ est une rotation d'angle $\theta$ , une isométrie de déterminant $-1$ est une réflexion dont l'axe est le sous-espace propre associé à la valeur propre $1$ .
Un endomorphisme est autoadjoint si sa matrice dans une base orthonormée est symétrique. Le théorème spectral affirme qu'il existe alors une base orthonormée de vecteurs propres, et toute matrice symétrique réelle s'écrit $PDP^\top$ avec $P$ orthogonale.
Un endomorphisme autoadjoint est positif, respectivement défini positif, si et seulement si ses valeurs propres sont positives, respectivement strictement positives.

Pourquoi ce chapitre

Ce chapitre croise deux thèmes de l'année, la géométrie euclidienne de première année et la réduction. Il répond à deux questions.

Quels sont les endomorphismes qui préservent la structure euclidienne ? Ce sont les isométries vectorielles.
Quels sont ceux qui se réduisent le mieux possible ? Ce sont les endomorphismes autoadjoints, pour lesquels le théorème spectral garantit une base orthonormée de vecteurs propres.

Le cas du plan est traité en détail, avec rotations et réflexions, car il sert en physique et en géométrie. La dernière partie, sur les endomorphismes autoadjoints positifs, prépare l'étude des extremums par la matrice hessienne, au dernier chapitre de l'année.

1Rappels utiles de première année

Définition 1.1Base orthonormée

Une base orthonormée est une base dont les vecteurs sont unitaires et deux à deux orthogonaux.

Propriété 1.2Coordonnées en base orthonormée

Dans une base orthonormée $(e_1, \dots, e_n)$ , les coordonnées d'un vecteur sont ses produits scalaires avec les vecteurs de base : $x = \sum_{i=1}^{n} \langle x, e_i\rangle\, e_i.$ Le produit scalaire s'écrit alors $\langle x, y\rangle = X^\top Y$ , où $X$ et $Y$ sont les colonnes des coordonnées, et $\norm{x}^2$ est la somme des carrés des coordonnées.

Tout espace euclidien possède une base orthonormée, construite par le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt. Pour tout sous-espace $F$ , on a $E = F \oplus F^\perp$ , et la projection orthogonale sur $F$ est notée $p_F$ .

Propriété 1.3Identité de polarisation

Pour tous $x$ et $y$ de $E$ : $\langle x, y\rangle = \frac{\norm{x+y}^2 - \norm{x}^2 - \norm{y}^2}{2}.$ Elle montre que la norme détermine le produit scalaire.

2Isométries vectorielles d'un espace euclidien

2.1Définition et caractérisations

Définition 2.1Isométrie vectorielle

Un endomorphisme $f$ de $E$ est une isométrie vectorielle s'il conserve la norme : $\norm{f(x)} = \norm{x}$ pour tout $x$ de $E$ .

Théorème 2.2Caractérisations des isométries

Hypothèse

$f$ est un endomorphisme de $E$ .

Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :

$f$ conserve la norme ;
$f$ conserve le produit scalaire, c'est-à-dire $\langle f(x), f(y)\rangle = \langle x, y\rangle$ pour tous $x$ , $y$ ;
l'image par $f$ d'une base orthonormée est une base orthonormée ;
l'image par $f$ de toute base orthonormée est une base orthonormée.

Démonstration

La conservation du produit scalaire entraîne celle de la norme en prenant $y = x$ . La réciproque s'obtient par polarisation. Si $f$ conserve le produit scalaire, l'image d'une base orthonormée est une famille orthonormée de $n$ vecteurs, donc une base orthonormée. Réciproquement, si l'image d'une base orthonormée est orthonormée, on développe $\langle f(x), f(y)\rangle$ en coordonnées et on retrouve $\langle x, y\rangle$ .

Propriété 2.3Bijectivité

Une isométrie vectorielle est bijective. Elle est injective car $f(x) = 0$ impose $\norm{x} = 0$ , donc $x = 0$ , et la dimension est finie.

Exemple 2.4Exemples d'isométries

L'identité et son opposé.
Les symétries orthogonales, c'est-à-dire les symétries par rapport à un sous-espace $F$ parallèlement à $F^\perp$ .
Le cas particulier où $F$ est un hyperplan s'appelle une réflexion.

Attention

Une symétrie qui n'est pas orthogonale n'est pas une isométrie. Dans $\R^2$ , la symétrie par rapport à l'axe des abscisses parallèlement à la droite d'équation $y = x$ ne conserve pas la norme.

2.2Groupe orthogonal

Définition 2.5Groupe orthogonal

L'ensemble des isométries vectorielles de $E$ , noté $O(E)$ , est stable par composition et par passage à l'inverse, et contient l'identité. On dit que c'est un groupe pour la composition.

La définition axiomatique des groupes est hors programme : on se contente de vérifier ces propriétés.

2.3Stabilité de l'orthogonal

Théorème 2.6Stabilité de l'orthogonal

Hypothèses

$f$ est une isométrie de $E$ ;
$F$ est un sous-espace stable par $f$ .

Alors $F^\perp$ est stable par $f$ .

Démonstration

L'endomorphisme induit par $f$ sur $F$ est injectif, donc surjectif sur $F$ puisque $F$ est de dimension finie. Soit $x \in F^\perp$ et $y \in F$ . Il existe $z \in F$ avec $y = f(z)$ . Alors $\langle f(x), y\rangle = \langle f(x), f(z)\rangle = \langle x, z\rangle = 0$ . Donc $f(x) \in F^\perp$ .

Attention

L'argument de surjectivité est indispensable et souvent oublié.

3Matrices orthogonales

3.1Définition et caractérisations

Définition 3.1Matrice orthogonale

Une matrice $A$ de $\mathcal{M}_n(\R)$ est orthogonale si $A^\top A = I_n$ . Elle est alors inversible, d'inverse $A^\top$ , et l'on a aussi $AA^\top = I_n$ .

Propriété 3.2Lecture en colonnes

$A^\top A = I_n$ signifie que les colonnes de $A$ forment une base orthonormée de $\R^n$ muni du produit scalaire canonique. Par $AA^\top = I_n$ , c'est aussi vrai des lignes.

Propriété 3.3Changement de base

Une matrice est orthogonale si et seulement si c'est la matrice de passage d'une base orthonormée à une base orthonormée.

Propriété 3.4Lien avec les isométries

Un endomorphisme est une isométrie vectorielle si et seulement si sa matrice dans une base orthonormée est orthogonale.

On rencontre parfois le terme « automorphisme orthogonal », mais on lui préfère celui d'isométrie vectorielle.

3.2Le groupe orthogonal matriciel

L'ensemble des matrices orthogonales de taille $n$ est noté $O_n(\R)$ ou $O(n)$ . Il est stable par produit et par inverse.

Propriété 3.5Déterminant

Si $A$ est orthogonale, alors $\det(A)^2 = \det(A^\top)\det(A) = \det(I_n) = 1$ , donc $\det(A)$ vaut $1$ ou $-1$ .

Définition 3.6Groupe spécial orthogonal

Les matrices orthogonales de déterminant $1$ forment le groupe spécial orthogonal $SO_n(\R)$ , dit aussi groupe des rotations.

Attention

La réciproque est fausse. Une matrice de déterminant $1$ n'a aucune raison d'être orthogonale. La matrice de lignes $(1, 1)$ et $(0, 1)$ a pour déterminant $1$ et n'est pas orthogonale.

3.3Orientation

Définition 3.7Orientation

Orienter $E$ , c'est choisir une base orthonormée dite directe. Une base orthonormée est alors directe si la matrice de passage depuis la base de référence est dans $SO_n(\R)$ , indirecte si son déterminant vaut $-1$ .

4Isométries vectorielles d'un plan euclidien

4.1Description de $O_2(\R)$

Soit $A$ une matrice orthogonale de taille 2. Sa première colonne est unitaire, donc de la forme $(\cos\theta, \sin\theta)$ pour un réel $\theta$ . La deuxième colonne est unitaire et orthogonale à la première, donc égale à $(-\sin\theta, \cos\theta)$ ou à $(\sin\theta, -\cos\theta)$ .

Propriété 4.1Matrices de $O_2(\R)$

Dans le premier cas, $\det(A) = 1$ et $A$ est la matrice $R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.$
Dans le second cas, $\det(A) = -1$ et $A$ est la matrice $S(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos\theta \end{pmatrix}.$

4.2Rotations

Propriété 4.2Composition des rotations

Les éléments de $SO_2(\R)$ sont les $R(\theta)$ . Par les formules d'addition, $R(\theta)R(\theta') = R(\theta + \theta')$ . En particulier $SO_2(\R)$ est commutatif, et $R(\theta)^{-1} = R(-\theta)$ .

Définition 4.3Rotation vectorielle

Dans un plan euclidien orienté, l'endomorphisme de matrice $R(\theta)$ dans une base orthonormée directe est la rotation vectorielle d'angle $\theta$ .

Cette matrice ne dépend pas de la base orthonormée directe choisie, ce qui donne un sens intrinsèque à l'angle, défini modulo $2\pi$ .

Définition 4.4Mesure d'un angle orienté

Pour $x$ et $y$ unitaires, la mesure de l'angle orienté de $x$ vers $y$ est l'unique $\theta$ modulo $2\pi$ tel que la rotation d'angle $\theta$ envoie $x$ sur $y$ .

Attention

Dans une base orthonormée indirecte, la rotation d'angle $\theta$ a pour matrice $R(-\theta)$ . Le signe de l'angle dépend de l'orientation.

4.3Classification

Théorème 4.5Classification des isométries du plan

Hypothèse

$f$ est une isométrie d'un plan euclidien orienté.

Alors :

si $\det(f) = 1$ , $f$ est une rotation vectorielle d'angle $\theta$ ; elle n'a pas de vecteur propre réel sauf si $\theta$ vaut $0$ ou $\pi$ , cas où elle est respectivement l'identité et l'opposé de l'identité ;
si $\det(f) = -1$ , la matrice $S(\theta)$ est symétrique, de polynôme caractéristique $X^2 - 1$ , de valeurs propres $1$ et $-1$ , chacune simple. C'est la réflexion par rapport à la droite propre associée à la valeur propre $1$ , dirigée par $(\cos\frac{\theta}{2}, \sin\frac{\theta}{2})$ .

À retenir

En dimension 2, une isométrie est soit une rotation, soit une réflexion, et le déterminant tranche.

5Endomorphismes autoadjoints et théorème spectral

5.1Définition

Définition 5.1Endomorphisme autoadjoint

Un endomorphisme $u$ de $E$ est autoadjoint si $\langle u(x), y\rangle = \langle x, u(y)\rangle$ pour tous $x$ , $y$ de $E$ . L'ensemble de ces endomorphismes est noté $S(E)$ .

On dit parfois endomorphisme symétrique, mais le programme préfère autoadjoint.

Propriété 5.2Caractérisation matricielle

$u$ est autoadjoint si et seulement si sa matrice dans une base orthonormée est symétrique.

Attention

L'hypothèse « base orthonormée » est essentielle.

Propriété 5.3Projecteurs orthogonaux

Un projecteur $p$ est un projecteur orthogonal si et seulement s'il est autoadjoint.

Démonstration

Sens direct : si $p$ est la projection sur $F$ parallèlement à $F^\perp$ , on décompose $x$ et $y$ sur $F$ et $F^\perp$ et les deux produits scalaires valent $\langle p(x), p(y)\rangle$ .

Sens réciproque : si $p$ est un projecteur autoadjoint, pour $x \in \Im(p)$ et $y \in \Ker(p)$ on écrit $x = p(z)$ , puis $\langle x, y\rangle = \langle p(z), y\rangle = \langle z, p(y)\rangle = 0$ , donc l'image et le noyau sont orthogonaux.

5.2Théorème spectral

Théorème 5.4Théorème spectral

Tout endomorphisme autoadjoint d'un espace euclidien admet une base orthonormée de vecteurs propres.

La démonstration n'est pas exigible.

Théorème 5.5Forme matricielle

Pour toute matrice symétrique réelle $S$ , il existe une matrice orthogonale $P$ et une matrice diagonale réelle $D$ telles que $S = PDP^\top.$

On dit que $S$ est orthogonalement diagonalisable. Comme $P^{-1} = P^\top$ , l'écriture $S = PDP^{-1}$ est bien une diagonalisation.

Propriété 5.6Conséquences

Les valeurs propres d'une matrice symétrique réelle sont toutes réelles.
Les sous-espaces propres d'un endomorphisme autoadjoint sont deux à deux orthogonaux, et leur somme directe est $E$ .
Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans $\mathcal{M}_n(\R)$ , sans aucune vérification supplémentaire.

Attention

Une matrice réelle diagonalisable n'est pas forcément symétrique : la matrice de lignes $(1, 1)$ et $(0, 2)$ en est un exemple.
Le théorème est faux pour une matrice complexe symétrique, qui n'a aucune raison d'être diagonalisable, car le produit scalaire euclidien est réel par nature.

6Endomorphismes et matrices positifs, définis positifs

6.1Définitions

Définition 6.1Endomorphisme positif, défini positif

Soit $u$ autoadjoint. Il est positif si $\langle u(x), x\rangle \geqslant 0$ pour tout $x$ de $E$ , et défini positif si $\langle u(x), x\rangle > 0$ pour tout $x$ non nul. Les ensembles correspondants sont notés $S^+(E)$ et $S^{++}(E)$ .

Définition 6.2Matrice positive, définie positive

Pour une matrice symétrique réelle $S$ , les définitions s'écrivent $X^\top S X \geqslant 0$ pour toute colonne $X$ , et $X^\top S X > 0$ pour toute colonne $X$ non nulle. On note $S_n^+(\R)$ et $S_n^{++}(\R)$ .

6.2Caractérisation spectrale

Théorème 6.3Caractérisation spectrale

Hypothèse

$u$ est un endomorphisme autoadjoint.

Alors $u$ est positif si et seulement si toutes ses valeurs propres sont positives ou nulles. Il est défini positif si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement positives.

Démonstration

On se place dans une base orthonormée de vecteurs propres, fournie par le théorème spectral. Si $x$ a pour coordonnées $x_i$ dans cette base, alors $\langle u(x), x\rangle = \sum_i \lambda_i x_i^2$ . Cette expression est positive pour tout $x$ exactement quand tous les $\lambda_i$ le sont, car en prenant $x$ égal à un vecteur propre on isole chaque $\lambda_i$ .

Exemple 6.4Matrice $A^\top A$

Pour toute matrice réelle $A$ de taille $n$ , la matrice $A^\top A$ est symétrique positive, car $X^\top(A^\top A)X = \norm{AX}^2 \geqslant 0$ . Elle est définie positive si et seulement si $A$ est inversible, car $\norm{AX}^2 = 0$ équivaut à $AX = 0$ .

Attention

Une matrice à coefficients positifs n'est pas forcément une matrice positive au sens ci-dessus. La matrice symétrique de lignes $(0, 1)$ et $(1, 0)$ a pour valeurs propres $1$ et $-1$ .

Lien avec la suite du programme : ces notions servent au chapitre de calcul différentiel. En un point critique, la matrice hessienne est symétrique réelle par le théorème de Schwarz.

Si elle est définie positive, il y a un minimum local strict.
Si elle n'est pas positive, il n'y a pas de minimum.

Méthodes

MéthodeMontrer qu'un endomorphisme est une isométrie

Vérifier la conservation de la norme, ou
écrire sa matrice $A$ dans une base orthonormée et tester $A^\top A = I$ .

MéthodeIdentifier une isométrie du plan

Calculer le déterminant de sa matrice dans une base orthonormée.
Si $\det = 1$ , c'est une rotation, dont l'angle se lit sur la première colonne.
Si $\det = -1$ , c'est une réflexion, dont l'axe est le sous-espace propre associé à $1$ .

MéthodeDiagonaliser une matrice symétrique réelle

Procéder comme d'habitude pour les valeurs propres et les sous-espaces propres.
Orthonormaliser chaque sous-espace propre.
Concaténer : les sous-espaces propres étant déjà orthogonaux entre eux, on obtient une base orthonormée et la matrice de passage est orthogonale.

MéthodeProuver qu'une matrice symétrique est positive

Deux voies :

calculer $X^\top S X$ et le mettre sous forme d'une somme de carrés ;
calculer les valeurs propres.

MéthodeMontrer qu'un projecteur est orthogonal

Vérifier qu'il est autoadjoint.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Démontrer l'équivalence entre conservation de la norme et conservation du produit scalaire, par polarisation.
Démontrer que l'orthogonal d'un sous-espace stable par une isométrie est stable.
Démontrer que les colonnes d'une matrice orthogonale forment une base orthonormée et que son déterminant vaut $1$ ou $-1$ .
Retrouver la forme générale des matrices de $O_2(\R)$ à partir de la seule condition $A^\top A = I$ .
Classer une isométrie du plan donnée par sa matrice, en précisant l'angle ou l'axe.
Démontrer qu'un projecteur est orthogonal si et seulement s'il est autoadjoint.
Énoncer le théorème spectral sous sa forme géométrique et sous sa forme matricielle, et diagonaliser en base orthonormée une matrice symétrique de taille 3.
Montrer que $A^\top A$ est symétrique positive et préciser quand elle est définie positive.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Pour un endomorphisme f de E, quatre propriétés sont équivalentes : conserver la norme, conserver le produit scalaire, envoyer une base orthonormée sur une base orthonormée, envoyer toute base orthonormée sur une base orthonormée. Exigible avec démonstration.
Une isométrie vectorielle est bijective, et sa réciproque est une isométrie. Exigible avec démonstration.
O(E) contient l'identité et il est stable par composition et par réciproque. Exigible, la définition abstraite d'un groupe est hors programme.
Si f ∈ O(E) et si F est stable par f, alors F⊥ est stable par f. Exigible avec démonstration.
Pour A ∈ M_n(R), les propriétés suivantes sont équivalentes : AᵀA = I_n, AAᵀ = I_n, les colonnes forment une base orthonormée de Rⁿ canonique, les lignes forment une telle base. Exigible avec démonstration.
Une matrice est orthogonale si et seulement si c'est une matrice de passage entre deux bases orthonormées. Exigible.
f est une isométrie si et seulement si sa matrice dans une base orthonormée est orthogonale. Exigible avec démonstration.
Une matrice orthogonale a un déterminant égal à 1 ou −1. SO_n(R) est stable par produit et par inverse. Exigible.
O₂(R) est formé des R(θ) et des S(θ). SO₂(R) est formé des R(θ), avec R(θ)R(θ') = R(θ + θ'), et il est commutatif. Exigible avec démonstration.
Classification plane : une isométrie de déterminant 1 est une rotation, une isométrie de déterminant −1 est une réflexion. Exigible.
u est autoadjoint si et seulement si sa matrice dans une base orthonormée est symétrique. Exigible avec démonstration.
Un projecteur est orthogonal si et seulement s'il est autoadjoint. Exigible avec démonstration.
Théorème spectral, sous ses formes géométrique et matricielle. Exigible, démonstration non exigible.
Caractérisation spectrale de S⁺(E), S⁺⁺(E), S_n⁺(R) et S_n⁺⁺(R). Exigible avec démonstration.
Hors programme en PC : l'adjoint, la classification des isométries de l'espace, la réduction des matrices orthogonales, les endomorphismes antisymétriques. La racine carrée d'une matrice positive et la décomposition polaire sont des exercices classiques, pas des résultats de cours.

Clés de démonstration

Norme et produit scalaire. Le sens direct s'obtient avec y = x. Pour la réciproque, on écrit ⟨f(x), f(y)⟩ = (‖f(x + y)‖² − ‖f(x)‖² − ‖f(y)‖²)/2. On utilise f(x + y) = f(x) + f(y), puis la conservation des trois normes. Astuce : la polarisation, qui utilise la linéarité de f.

Image d'une base orthonormée. Si (f(e_i)) est orthonormée, on écrit x = Σ x_i e_i et y = Σ y_i e_i. Alors ⟨f(x), f(y)⟩ = Σ x_i y_j ⟨f(e_i), f(e_j)⟩ = Σ x_i y_i = ⟨x, y⟩. Astuce : développer par bilinéarité, puis appliquer le symbole de Kronecker.

Stabilité de l'orthogonal. L'endomorphisme induit sur F est injectif, donc surjectif en dimension finie. On écrit alors tout y de F sous la forme f(z) avec z ∈ F, et l'on obtient ⟨f(x), y⟩ = ⟨x, z⟩ = 0. Astuce : la surjectivité, obtenue par un argument de dimension.

Colonnes et déterminant. Le coefficient (i, j) de AᵀA est le produit scalaire canonique des colonnes C_i et C_j. Donc AᵀA = I_n exprime exactement que les colonnes sont orthonormées. Une inverse à gauche est une inverse en dimension finie, ce qui donne AAᵀ = I_n, puis l'énoncé sur les lignes. Astuce : lire un produit matriciel comme un tableau de produits scalaires.

Matrice dans une base orthonormée. En base orthonormée, ⟨f(x), f(y)⟩ = XᵀAᵀAY et ⟨x, y⟩ = XᵀY. L'égalité pour tous X et Y, testée sur les colonnes de la base canonique E_i et E_j, donne AᵀA = I_n coefficient par coefficient. Même preuve pour un endomorphisme autoadjoint, avec XᵀAᵀY = XᵀAY. Astuce : E_iᵀ M E_j est le coefficient (i, j) de M.

Description de O₂(R). La première colonne est unitaire, donc de la forme (cos θ, sin θ). La seconde est unitaire et orthogonale à la première, ce qui ne laisse que deux vecteurs. Astuce : dans le plan, l'orthogonal d'un vecteur unitaire est une droite, qui contient exactement deux vecteurs unitaires.

Caractérisation spectrale de la positivité. On se place dans une base orthonormée de vecteurs propres. On obtient ⟨u(x), x⟩ = Σ λ_i x_i². Le choix x = e_i isole λ_i. Astuce : le théorème spectral transforme la forme en somme pondérée de carrés.

Exemples et contre-exemples à connaître

La matrice de lignes (1, 1) et (1, −1) a des colonnes orthogonales mais de norme √2. Elle n'est pas orthogonale, alors que la même matrice divisée par √2 l'est.
R(θ), avec θ différent de 0 et de π modulo 2π, n'a aucune valeur propre réelle. Une isométrie n'est donc pas forcément diagonalisable sur R.
La matrice complexe symétrique de lignes (1, i) et (i, −1) est de carré nul sans être nulle. Elle n'est donc pas diagonalisable. Le théorème spectral est propre au cas réel.
La matrice de lignes (1, 1) et (0, 1) laisse stable la droite Re₁ mais pas Re₂, puisqu'elle envoie e₂ sur (1, 1). La stabilité de l'orthogonal exige une isométrie.
Un projecteur orthogonal non trivial est positif, de valeurs propres 0 et 1, sans être défini positif.
La matrice J de taille n dont tous les coefficients valent 1 est de rang 1. Elle a pour valeurs propres n, simple, et 0, d'ordre n − 1. C'est la brique de nombreux exercices.
diag(3, −1, −1) a une trace et un déterminant strictement positifs, et elle n'est pas positive. Le critère trace et déterminant ne vaut qu'en taille 2.
Si S ∈ S_n⁺(R), alors s_ii = E_iᵀSE_i ≥ 0. Une matrice symétrique ayant un coefficient diagonal négatif n'est donc pas positive, ce qui fournit un test immédiat.
Le produit de deux matrices symétriques n'est pas symétrique en général : diag(1, 2) fois la matrice de lignes (0, 1) et (1, 0) donne la matrice de lignes (0, 1) et (2, 0).

Techniques du chapitre

Technique 1 : tester l'orthogonalité par les colonnes. Mini-exercice : A = (1/3) M, où M a pour lignes (2, −1, 2), (2, 2, −1) et (−1, 2, 2). Chaque colonne de M a une norme au carré égale à 9, et les produits scalaires deux à deux valent −2 + 4 − 2 = 0, 4 − 2 − 2 = 0 et −2 − 2 + 4 = 0. Donc A est orthogonale, et det M = 27 donne det A = 1, soit A ∈ SO₃(R).

Technique 2 : identifier une isométrie du plan. Mini-exercice : A = (1/5) N, où N a pour lignes (3, 4) et (4, −3). On trouve det A = −1, c'est donc une réflexion. L'axe est donné par (A − I)X = 0, soit −2x + 4y = 0. C'est la droite dirigée par (2, 1).

Technique 3 : utiliser l'orthogonalité des sous-espaces propres. Mini-exercice : S = I₃ + J. Les valeurs propres sont 4, de vecteur propre (1, 1, 1), et 1, dont le sous-espace propre est le plan orthogonal x + y + z = 0. Une base orthonormée adaptée est (1, 1, 1)/√3, (1, −1, 0)/√2 et (1, 1, −2)/√6, sans résoudre de second système.

Technique 4 : faire apparaître une somme de carrés. Mini-exercice : S a pour lignes (1, 1) et (1, 3). On calcule XᵀSX = x² + 2xy + 3y² = (x + y)² + 2y². Cette quantité est nulle seulement si y = 0 et x = 0, donc S ∈ S₂⁺⁺(R).

Technique 5 : trace et déterminant en taille 2. Les deux valeurs propres sont réelles, de produit det S et de somme tr S. Mini-exercice : la matrice de lignes (2, 3) et (3, 4) a pour déterminant −1. Ses valeurs propres sont de signes opposés, donc elle n'est pas positive.

Technique 6 : encadrer par les valeurs propres extrêmes. Si les valeurs propres de S vont de λ_min à λ_max, alors λ_min ‖X‖² ≤ XᵀSX ≤ λ_max ‖X‖², par la somme Σ λ_i x_i² en base orthonormée propre. Mini-exercice : le maximum de Xᵀ(I₃ + J)X sur la sphère unité vaut 4. Il est atteint en (1, 1, 1)/√3.

Technique 7 : prouver qu'un endomorphisme est autoadjoint sans matrice. Mini-exercice : soit a ∈ E et u(x) = ⟨a, x⟩a. On a ⟨u(x), y⟩ = ⟨a, x⟩⟨a, y⟩, expression symétrique en x et y, donc u est autoadjoint. De plus ⟨u(x), x⟩ = ⟨a, x⟩² ≥ 0, donc u est positif.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Une réflexion qui échange deux vecteurs

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit a unitaire et s(x) = x − 2⟨x, a⟩a. Montrer que s est la réflexion par rapport à a⊥. Soient ensuite x ≠ y de même norme. Montrer qu'une réflexion envoie x sur y.

Technique vérifier sur la décomposition E = Ra ⊕ a⊥, puis choisir le bon vecteur normal.

Voir le corrigé

Si x ∈ a⊥, alors s(x) = x. De plus s(a) = a − 2a = −a. Donc s est la symétrie par rapport à a⊥ parallèlement à Ra, qui est orthogonale. C'est la réflexion d'hyperplan a⊥.
On pose a = (x − y)/‖x − y‖. Puisque ‖x‖ = ‖y‖, on a ‖x − y‖² = 2‖x‖² − 2⟨x, y⟩ = 2⟨x, x − y⟩.
Alors s(x) = x − 2⟨x, x − y⟩(x − y)/‖x − y‖² = x − (x − y) = y.

piège : Oublier l'hypothèse ‖x‖ = ‖y‖, pourtant nécessaire puisqu'une isométrie conserve la norme.

Exercice 2. Conserver le produit scalaire force la linéarité

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit f : E → E une application quelconque telle que ⟨f(x), f(y)⟩ = ⟨x, y⟩ pour tous x et y. Montrer que f est linéaire. Le résultat subsiste-t-il si f conserve seulement la norme ?

Technique montrer qu'un vecteur est nul en développant sa norme au carré.

Voir le corrigé

On développe ‖f(x + y) − f(x) − f(y)‖² en six produits scalaires. Chacun se remplace par le produit scalaire correspondant sans f.
On obtient ‖(x + y) − x − y‖² = 0, donc f(x + y) = f(x) + f(y).
De même, ‖f(λx) − λf(x)‖² = ‖λx − λx‖² = 0.
La réponse à la question est non : f(x) = ‖x‖e₁ conserve la norme mais n'est pas linéaire, puisque f(−e₁) = e₁.

piège : Utiliser la polarisation, qui suppose déjà la linéarité de f.

Exercice 3. Valeurs propres réelles sans théorème spectral

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit S ∈ M_n(R) symétrique. Montrer que toute valeur propre complexe de S est réelle, et que deux vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.

Technique conjugaison et transposition d'un scalaire.

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Soit X ∈ Cⁿ non nul avec SX = λX. On pose z = X̄ᵀSX = λ X̄ᵀX. On note que X̄ᵀX = Σ |x_i|² est un réel strictement positif.
Le conjugué de z vaut XᵀSX̄, car S est réelle. C'est un scalaire, il est donc égal à sa transposée X̄ᵀSᵀX = z. Ainsi z est réel, donc λ est réel.
Si SX = λX et SY = μY avec λ ≠ μ, alors λ XᵀY = (SX)ᵀY = XᵀSY = μ XᵀY. Donc XᵀY = 0.

piège : Travailler avec XᵀX au lieu de X̄ᵀX : pour X complexe, XᵀX peut être nul sans que X le soit.

Exercice 4. Isométries autoadjointes

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Montrer qu'une isométrie autoadjointe est une symétrie orthogonale, et réciproquement.

Technique combiner les deux identités pour obtenir f² = id.

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Pour tous x et y, on a ⟨f(f(x)), y⟩ = ⟨f(x), f(y)⟩, car f est autoadjoint. Cette quantité vaut ⟨x, y⟩, car f est une isométrie. Donc f² = id, et f est la symétrie par rapport à ker(f − id) parallèlement à ker(f + id).
Soient x ∈ ker(f − id) et y ∈ ker(f + id). On a ⟨x, y⟩ = ⟨f(x), y⟩ = ⟨x, f(y)⟩ = −⟨x, y⟩, donc ⟨x, y⟩ = 0. La symétrie est orthogonale.
Réciproquement, une symétrie orthogonale s s'écrit 2p − id, avec p un projecteur orthogonal donc autoadjoint. Elle est donc autoadjointe, et c'est une isométrie par le cours.

piège : S'arrêter à f² = id, qui ne dit rien de l'orthogonalité.

Exercice 5. Composer des réflexions du plan

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Dans un plan euclidien orienté muni d'une base orthonormée directe B fixée, on note s_φ la réflexion d'axe dirigé par le vecteur de coordonnées (cos φ, sin φ) dans B. Donner sa matrice dans B, puis la nature de s_φ ∘ s_ψ et de r ∘ s_ψ, où r est une rotation.

Technique écrire S(θ) = R(θ)K, avec K = diag(1, −1), et utiliser KR(β)K = R(−β).

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L'axe de S(θ) est dirigé par (cos(θ/2), sin(θ/2)). Donc s_φ a pour matrice S(2φ) dans la base B. Attention, contrairement à une rotation, cette matrice dépend de la base : dans la base orthonormée directe obtenue en tournant B d'un angle γ, elle devient R(−γ)S(2φ)R(γ) = S(2φ − 2γ).
Tous les calculs se font dans B. On calcule S(α)S(β) = R(α)KR(β)K = R(α)R(−β) = R(α − β). Ainsi s_φ ∘ s_ψ est la rotation d'angle 2(φ − ψ), angle qui ne dépend pas de la base orthonormée directe.
Pour r de matrice R(α), on a R(α)S(β) = R(α + β)K = S(α + β). C'est une réflexion.
Conséquence : toute rotation est la composée de deux réflexions, et l'axe de l'une d'elles peut être choisi librement.

piège : Confondre l'angle θ de S(θ) avec l'angle θ/2 de son axe, croire que la matrice d'une réflexion est la même dans toute base orthonormée directe, ou oublier que s_ψ ∘ s_φ a pour angle 2(ψ − φ).

Exercice 6. La matrice a sur la diagonale, b ailleurs

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP PC

Soit n ≥ 2, a et b réels avec b ≠ 0, et S = (a − b)I_n + bJ. Diagonaliser S en base orthonormée pour n = 3. Donner, pour n quelconque, le déterminant de S et une condition nécessaire et suffisante pour que S ∈ S_n⁺⁺(R).

Technique réduire J, puis translater.

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J est symétrique de rang 1. On a J(1, …, 1) = n(1, …, 1), et ker J est l'hyperplan d'équation x₁ + … + x_n = 0.
S a donc pour valeurs propres a + (n − 1)b, de vecteur (1, …, 1), et a − b, d'espace propre ce même hyperplan, de dimension n − 1.
Pour n = 3, on prend P de colonnes (1, 1, 1)/√3, (1, −1, 0)/√2 et (1, 1, −2)/√6. Alors S = P diag(a + 2b, a − b, a − b) Pᵀ.
det S = (a + (n − 1)b)(a − b)ⁿ⁻¹. Enfin S ∈ S_n⁺⁺(R) si et seulement si a − b > 0 et a + (n − 1)b > 0.

piège : Prendre e₁ − e₂ et e₁ − e₃ comme base de l'hyperplan sans les orthonormaliser. P n'est alors pas orthogonale, et Pᵀ n'est pas l'inverse de P.

Exercice 7. Matrice de Gram

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

Soient v₁, …, v_p dans E et G la matrice de coefficients ⟨v_i, v_j⟩. Montrer que G ∈ S_p⁺(R), et que G ∈ S_p⁺⁺(R) si et seulement si la famille est libre. En déduire l'inégalité de Cauchy-Schwarz et son cas d'égalité.

Technique reconnaître XᵀGX comme une norme au carré.

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G est symétrique par symétrie du produit scalaire.
Pour X = (x₁, …, x_p), XᵀGX = Σ x_i x_j ⟨v_i, v_j⟩ = ‖Σ x_i v_i‖² ≥ 0.
Cette quantité est nulle si et seulement si Σ x_i v_i = 0. Elle est strictement positive pour tout X non nul si et seulement si la famille est libre.
det G est le produit des valeurs propres, qui sont positives. Pour p = 2, on obtient ‖u‖²‖v‖² − ⟨u, v⟩² ≥ 0, avec égalité si et seulement si u et v sont colinéaires.

piège : Conclure det G ≥ 0 directement, sans passer par les valeurs propres ni par G = MᵀM, où M est la matrice des coordonnées dans une base orthonormée.

Exercice 8. Racine carrée d'une matrice positive

Approfondissement · Type oral Mines

Soit S ∈ S_n⁺(R). Montrer qu'il existe une unique R ∈ S_n⁺(R) telle que R² = S.

Technique existence par le théorème spectral, unicité par commutation et sous-espaces propres stables.

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Existence. On écrit S = P diag(λ_i) Pᵀ, avec les λ_i positifs. On pose R = P diag(√λ_i) Pᵀ. R est symétrique, de valeurs propres positives, et R² = S.
Unicité. Soit R ∈ S_n⁺(R) avec R² = S. Alors RS = R³ = SR. Donc R stabilise chaque sous-espace propre E_λ(S).
L'endomorphisme induit par R sur E_λ(S) est diagonalisable, comme tout induit d'un diagonalisable. Ses valeurs propres μ sont positives et vérifient μ² = λ, donc μ = √λ. Ainsi R agit comme √λ id sur E_λ(S).
Ces sous-espaces sont supplémentaires, donc R est entièrement déterminé.

piège : Oublier la positivité de R. Sans elle, il n'y a pas unicité : I₂ et −I₂ ont le même carré.

Exercice 9. Décomposition polaire

Approfondissement · Type oral Centrale

Soit A ∈ M_n(R) inversible. Montrer qu'il existe un unique couple (O, S), avec O ∈ O_n(R) et S ∈ S_n⁺⁺(R), tel que A = OS.

Technique S est imposée par AᵀA = S², puis on applique l'exercice 8.

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AᵀA est définie positive car A est inversible. On note S sa racine positive. Les valeurs propres de S sont les √λ, avec λ > 0, donc S ∈ S_n⁺⁺(R), et S est inversible.
On pose O = AS⁻¹. Comme S⁻¹ est symétrique, OᵀO = S⁻¹AᵀAS⁻¹ = S⁻¹S²S⁻¹ = I_n.
Unicité. Si A = OS, alors AᵀA = SOᵀOS = S². Donc S est la racine positive de AᵀA, unique par l'exercice 8, puis O = AS⁻¹.

piège : Partir de AAᵀ, qui vaut OS²Oᵀ et non S², ou oublier de vérifier que S⁻¹ est symétrique.

Erreurs fréquentes

Lire l'autoadjonction ou l'orthogonalité sur une matrice écrite dans une base qui n'est pas orthonormée.
Diagonaliser une matrice symétrique sans orthonormaliser chaque sous-espace propre, puis écrire P⁻¹ = Pᵀ alors que c'est faux.
Croire qu'un déterminant et une trace positifs suffisent en taille 3, ou confondre une matrice positive avec une matrice à coefficients positifs.
Appliquer la stabilité de l'orthogonal à un endomorphisme quelconque, ou oublier l'argument de surjectivité pour une isométrie.
Se tromper de signe sur l'angle d'une rotation dans une base indirecte, donner θ au lieu de θ/2 pour l'axe d'une réflexion, ou croire que la matrice d'une réflexion ne dépend pas de la base orthonormée directe.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de PC (2021), partie « Endomorphismes des espaces euclidiens ». $E$ désigne un espace euclidien, c'est-à-dire un $\R$ -espace vectoriel de dimension finie non nulle muni d'un produit scalaire, noté $\langle x, y\rangle$ , de norme associée $\norm{x} = \sqrt{\langle x, x\rangle}$ . La notion d'adjoint est hors programme, seule celle d'endomorphisme autoadjoint est au programme.

Endomorphismes des espaces euclidiens

Résumé en cinq points

1Rappels utiles de première année

2Isométries vectorielles d'un espace euclidien

2.1Définition et caractérisations

2.2Groupe orthogonal

2.3Stabilité de l'orthogonal

3Matrices orthogonales

3.1Définition et caractérisations

3.2Le groupe orthogonal matriciel

3.3Orientation

4Isométries vectorielles d'un plan euclidien

4.1Description de O2(R)O_2(\R)O2​(R)

4.2Rotations

4.3Classification

5Endomorphismes autoadjoints et théorème spectral

5.1Définition

5.2Théorème spectral

6Endomorphismes et matrices positifs, définis positifs

6.1Définitions

6.2Caractérisation spectrale

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Une réflexion qui échange deux vecteurs

Exercice 2. Conserver le produit scalaire force la linéarité

Exercice 3. Valeurs propres réelles sans théorème spectral

Exercice 4. Isométries autoadjointes

Exercice 5. Composer des réflexions du plan

Exercice 6. La matrice a sur la diagonale, b ailleurs

Exercice 7. Matrice de Gram

Exercice 8. Racine carrée d'une matrice positive

Exercice 9. Décomposition polaire

Erreurs fréquentes

Au concours

4.1Description de $O_2(\R)$