Signaux électriques dans l'ARQS

Résumé en cinq points

1Grandeurs électriques

1.1Charge et intensité

La charge électrique est quantifiée, multiple entier de la charge élémentaire $e = 1{,}60 \times 10^{-19} \unite{C}$. Elle est aussi conservée, c'est un postulat.

Pourtant on traite le courant comme une grandeur continue.

L'intensité est algébrique. On choisit d'abord une flèche sur le schéma, puis on calcule.

1.2Potentiel, tension

En régime quasi stationnaire on peut définir en chaque point du circuit un potentiel électrique $V$, défini à une constante additive près. On fixe cette constante en choisissant un point de référence, la masse, dont le potentiel est pris nul.

1.3Puissance et conventions

En convention générateur, flèches de même sens, la quantité $u\,i$ est la puissance fournie par le dipôle au reste du circuit.

Il n'y a pas de dipôle intrinsèquement récepteur ou générateur, seulement une convention de dessin. On l'utilise par confort : convention générateur pour les sources, convention récepteur pour les autres dipôles.

1.4Approximation des régimes quasi stationnaires

Les signaux électriques se propagent le long des fils à une vitesse de l'ordre de $c$. Pour un circuit de taille caractéristique $L$, le temps de propagation d'un bout à l'autre vaut $\tau_{\text{prop}} \approx L/c$. Pour un signal de fréquence $f$, la période est $T = 1/f$.

Dans ce cadre, l'intensité est la même en tout point d'une branche au même instant, et le potentiel est défini sans ambiguïté en chaque nœud. Toute la théorie des circuits en dépend.

2Lois de Kirchhoff

2.1Loi des nœuds

C'est une conséquence directe de la conservation de la charge jointe à l'ARQS. La charge ne pouvant ni être créée ni détruite, et ne pouvant pas s'accumuler durablement en un nœud qui n'a pas de capacité propre, tout ce qui entre ressort au même instant.

2.2Loi des mailles

Elle traduit le fait que le potentiel est une fonction bien définie des points du circuit : un parcours fermé ramène à la valeur de départ.

3Dipôles linéaires

3.1Relations courant-tension

Toutes les relations qui suivent sont écrites en convention récepteur.

Ces trois relations sont linéaires. C'est ce qui autorise, plus tard, le principe de superposition et la notation complexe.

3.2Continuité, comportement limite

Une variation instantanée de la tension aux bornes d'un condensateur exigerait une intensité infinie.

3.3Énergie

Ces deux dipôles sont des réservoirs. Ils peuvent recevoir ou restituer de l'énergie : la puissance reçue change de signe au cours du temps. La continuité de $u$ pour le condensateur et de $i$ pour la bobine s'interprète comme la continuité de l'énergie stockée.

3.4Sources

Ces deux modèles sont des idéalisations : aucune source réelle ne peut fournir une puissance infinie.

4Associations et diviseurs

4.1Résistances équivalentes

Contrôles de cohérence à faire systématiquement :

• en série, $R_{\text{eq}}$ est plus grande que chacune ;
• en parallèle, $R_{\text{eq}}$ est plus petite que la plus petite des deux ;
• en parallèle avec des résistances très différentes, la plus petite impose sa valeur.

4.2Diviseur de tension

4.3Diviseur de courant

5Résistance d'entrée, résistance de sortie

Un appareil réel, générateur ou instrument de mesure, ne se comporte pas comme un élément idéal.

Si on lui branche une charge $R$, la tension effectivement délivrée vaut $$\frac{e\,R}{R + 50},$$ et non $e$. L'écart est négligeable si $R \gg 50 \unite{\Omega}$, sensible sinon.

Conséquences pratiques :

• un bon voltmètre a une résistance d'entrée grande devant celle du dipôle observé, sinon il modifie le circuit qu'il mesure ;
• un bon ampèremètre a une résistance faible devant celle de la branche ;
• la capacité d'entrée de l'oscilloscope devient gênante en haute fréquence : elle dérive du signal vers la masse.

6Exemple traité, un pont diviseur alimenté par un générateur réel

Cet exemple mobilise tout le chapitre sur un montage de travaux pratiques.

6.1Énoncé

Un générateur basse fréquence réglé en continu est modélisé par une source de Thévenin de force électromotrice $e = 5{,}0 \unite{V}$ et de résistance de sortie $r = 50 \unite{\Omega}$. Il alimente deux résistances en série, $R_1 = 1{,}0 \unite{k\Omega}$ et $R_2 = 1{,}0 \unite{k\Omega}$. On mesure la tension $u_2$ aux bornes de $R_2$ avec un voltmètre de résistance d'entrée $R_v = 10 \unite{M\Omega}$.

6.2Résolution pas à pas

6.3Variantes à savoir traiter

• Avec un oscilloscope de résistance d'entrée $1 \unite{M\Omega}$, l'effet reste négligeable pour des résistances de l'ordre du kilohm. Il devient sensible si $R_2$ vaut plusieurs centaines de kilohms : le diviseur est alors chargé et la tension mesurée est plus faible que la tension à vide.
• Avec des résistances de $10 \unite{\Omega}$ à la place de $R_1$ et $R_2$, la résistance de sortie du générateur n'est plus négligeable du tout. La tension totale disponible chute nettement dès que l'on branche la charge. C'est l'illustration expérimentale de la règle précédente : un étage de sortie doit présenter une résistance faible devant la résistance d'entrée de l'étage qu'il alimente.

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

1. Justifier qu'on peut traiter la charge comme une grandeur continue, avec l'argument numérique.
2. Écrire la condition de validité de l'ARQS en fonction de la taille du circuit et de la fréquence, et l'appliquer numériquement à un cas concret.
3. Relier la loi des nœuds à la conservation de la charge.
4. Établir les expressions de l'énergie stockée dans un condensateur et dans une bobine à partir de la puissance reçue.
5. Démontrer les formules du diviseur de tension et du diviseur de courant, et énoncer leurs conditions d'emploi.
6. Donner le comportement d'un condensateur et d'une bobine en régime permanent continu, et les propriétés de continuité associées.
7. Expliquer l'effet de la résistance de sortie d'un générateur basse fréquence et de la résistance d'entrée d'un oscilloscope sur une mesure.
8. Calculer la tension délivrée par un générateur de Thévenin à un pont diviseur, et estimer l'erreur commise en négligeant sa résistance de sortie.

Les résultats à connaître

• Charge quantifiée, multiple de e, et conservée. Ce sont des postulats. Justifier par un argument numérique la description continue du courant : exigible.
• Intensité i = dq/dt, débit de charge à travers une section orientée. Définition exigible.
• Potentiel défini à une constante près, masse, tension u_AB = V_A − V_B. Définitions exigibles.
• Puissance p = u i, reçue en convention récepteur, fournie en convention générateur. Exigible.
• ARQS : L ≪ c / f, c'est-à-dire une taille du circuit petite devant la longueur d'onde. Condition exigible, justifiée en comparant le temps de propagation à la période.
• Loi des nœuds. Exigible, à relier à la conservation de la charge.
• Loi des mailles. Utilisation exigible, justifiée par l'existence du potentiel en ARQS.
• Relations u = R i, i = C du/dt, u = L di/dt en convention récepteur. Ce sont des modèles, admis. Leur utilisation est exigible.
• Continuité de la tension aux bornes d'un condensateur et de l'intensité dans une bobine, pour des grandeurs bornées. Exigible avec justification.
• Effet Joule, P = R i² ≥ 0. Exigible.
• Énergies stockées ½ C u² et ½ L i². Exigibles avec démonstration.
• Modèle de Thévenin d'une source, u = e − r i en convention générateur. Exigible.
• Association de deux résistances en série ou en parallèle. Exigible avec démonstration.
• Diviseurs de tension et de courant. Exigibles avec démonstration et conditions d'emploi.
• Résistances d'entrée et de sortie. Capacité exigible : les évaluer à l'aide d'une notice ou d'une mesure, et en tirer les conséquences sur un GBF, un oscilloscope ou un multimètre.
• Non cités par le programme de MPSI : le modèle de Norton, l'équivalence Thévenin-Norton, le théorème de Millman, la caractéristique d'un dipôle non linéaire et le point de fonctionnement. S'ils apparaissent dans un énoncé guidé, on les redémontre avec la loi des nœuds.

Clés de démonstration

Grandeurs continues. On compte les charges élémentaires qui passent pendant la plus courte durée mesurable. Pour 1 mA pendant 1 ns, on trouve N = i Δt / e ≈ 6 × 10⁶, et l'arrivée d'une charge de plus ou de moins est invisible. Astuce : choisir le cas le plus défavorable, faible courant et durée courte, pour que l'argument porte vraiment.

Loi des nœuds. On entoure le nœud d'une surface fermée. Par conservation, la charge intérieure Q vérifie dQ/dt = somme des intensités entrantes. En ARQS, un nœud n'accumule pas de charge, donc dQ/dt = 0 et la somme est nulle. Astuce : c'est un bilan entrée-sortie, le même que pour un débit d'eau à une jonction de tuyaux.

Loi des mailles. On parcourt la maille A, B, …, Z, A. La somme u_AB + u_BC + … + u_ZA vaut V_A − V_A = 0. Astuce : un télescopage des potentiels, qui n'a de sens que si le potentiel est défini en chaque point, c'est-à-dire en ARQS.

Énergie stockée. Pour un condensateur, p = u i = C u du/dt = d(½ C u²)/dt. On intègre depuis l'état déchargé, d'énergie nulle. Astuce : reconnaître la dérivée d'un carré. Même calcul pour la bobine avec p = L i di/dt.

Continuité. On écrit u_C(t₂) − u_C(t₁) = (1/C) ∫ i dt entre t₁ et t₂. Si i est borné par I_max, cet écart est au plus I_max |t₂ − t₁| / C et tend vers zéro. Astuce : passer à la forme intégrale plutôt que de parler de « dérivée infinie ».

Associations. En série, aucun nœud ne sépare les résistances, qui ont donc la même intensité, et la loi des mailles ajoute les tensions : u = (R₁ + R₂) i. En parallèle, la tension est commune et la loi des nœuds ajoute les intensités : i = u / R₁ + u / R₂. Astuce : identifier d'abord la grandeur commune.

Diviseurs. Pour la tension, on calcule le courant commun i = u / (R₁ + R₂), puis u₁ = R₁ i. Pour le courant, on calcule la tension commune u = i R₁ R₂ / (R₁ + R₂), puis i₁ = u / R₁ = i R₂ / (R₁ + R₂). Astuce : repasser par la grandeur commune évite l'erreur d'indice.

Source réelle chargée. Une source de Thévenin branchée sur une charge R forme un diviseur de tension : u = e R / (R + r). Astuce : ce seul diviseur explique toute la partie sur les résistances de sortie.

Exemples et contre-exemples à connaître

1. Le pont diviseur chargé. Brancher une charge R_c aux bornes de R₂ revient à remplacer R₂ par R₂ ∥ R_c, et la tension baisse. C'est l'erreur n° 1 du chapitre.
2. N résistances égales valent N R en série et R / N en parallèle. C'est le contrôle de calcul le plus rapide.
3. Une résistance très grande en parallèle, ou très petite en série, ne change presque rien. Cela justifie qu'on néglige un bon voltmètre ou un bon ampèremètre.
4. Un dipôle en parallèle avec un fil est court-circuité : sa tension est nulle, et s'il s'agit d'une résistance, elle n'est parcourue par aucun courant.
5. Une source idéale de tension court-circuitée, ou deux sources idéales de fém différentes branchées en parallèle, conduisent à une contradiction dans la loi des mailles. Le modèle idéal est alors inutilisable, il faut les résistances internes.
6. Un ampèremètre branché en parallèle par erreur court-circuite le dipôle et peut griller son fusible. Un voltmètre branché en série coupe presque tout le courant.
7. Un GBF de résistance de sortie 50 Ω branché sur 50 Ω délivre la moitié de sa fém. C'est aussi la charge qui reçoit la puissance maximale.
8. L'ARQS en défaut. Dans un câble coaxial le signal se propage à environ 2 × 10⁸ m/s. À 100 MHz, la longueur d'onde vaut 2 m, et un câble de 2 m n'est plus quasi stationnaire.
9. Une bobine réelle, en régime continu, n'est pas un fil mais une résistance de quelques ohms à quelques dizaines d'ohms.

Techniques du chapitre

Technique 1 : orienter puis accepter le signe. Une résistance de 100 Ω, courant orienté de A vers B, avec V_A = 2 V et V_B = 5 V. On a i = (V_A − V_B) / R = − 30 mA : le courant circule de B vers A. La puissance reçue R i² = 90 mW reste positive.

Technique 2 : réduire avant de calculer. Une source de 12 V alimente R₁ = 2 Ω en série avec R₂ = 3 Ω ∥ R₃ = 6 Ω. On a R₂ ∥ R₃ = 2 Ω, i = 12 / 4 = 3 A et une tension de 6 V aux bornes du groupe parallèle. D'où i₂ = 2 A et i₃ = 1 A, et on vérifie que i₂ + i₃ = i.

Technique 3 : la loi des nœuds en potentiels. Un nœud N est relié par trois résistances égales R à des points de potentiels 0 V, 3 V et 12 V. La somme des courants entrants s'écrit (3 − V)/R + (12 − V)/R + (0 − V)/R = 0. On obtient V = 5 V, sans jamais écrire de maille.

Technique 4 : le régime permanent continu. Une bobine de 0,50 H et de résistance 10 Ω est alimentée sous 5,0 V à travers 40 Ω. En régime permanent, elle se réduit à 10 Ω : i = 5,0 / 50 = 0,10 A. L'énergie stockée vaut ½ × 0,50 × 0,010 = 2,5 mJ.

Technique 5 : chiffrer la perturbation d'un appareil. Un voltmètre de 10 MΩ mesure la tension aux bornes de R₂ dans un pont de 1 MΩ et 1 MΩ alimenté sous E. On a R₂ ∥ R_v ≈ 0,909 MΩ et u = E × 0,909 / 1,909 ≈ 0,476 E au lieu de 0,5 E. L'erreur vaut environ 5 %, elle n'est plus négligeable.

Technique 6 : remonter à une résistance de sortie. Un GBF affiche 4,00 V à vide et 2,67 V sur une charge de 100 Ω. De u = e R / (R + r), on tire r = R (e / u − 1) = 100 × 0,50 ≈ 50 Ω. Variante rapide : on règle R jusqu'à obtenir u = e / 2, et alors r = R.

Technique 7 : tester l'ARQS avec la bonne vitesse. Une sonde reliée par 1,5 m de câble coaxial transporte un signal à 20 MHz. La longueur d'onde vaut 2 × 10⁸ / 2 × 10⁷ = 10 m. Le rapport 1,5 / 10 = 0,15 rend l'ARQS discutable, et des effets de propagation sont attendus.

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