Le cours

L'essentiel

L'optique géométrique est un modèle de rayons, valable tant que les dimensions en jeu sont grandes devant la longueur d'onde ; sinon il y a diffraction, sur un angle de l'ordre de $\lambda / a$ . Le visible s'étend d'environ $400 \unite{nm}$ à $800 \unite{nm}$ dans le vide.
Savoir énoncer les lois de Snell-Descartes, $n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$ , et établir la condition de réflexion totale : seulement du milieu le plus réfringent vers le moins réfringent, au delà de l'angle limite $\sin i_{\text{lim}} = n_2 / n_1$ .
Savoir construire l'image d'un objet par un miroir plan, par une lentille convergente et par une lentille divergente, et donner sa nature réelle ou virtuelle.
Dans les conditions de Gauss, rayons paraxiaux, un système centré est approximativement stigmatique et aplanétique, ce qui autorise les formules de conjugaison. Le stigmatisme approché se juge par rapport au détecteur.
Pour une lentille mince : Descartes, $\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'}$ et $\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$ ; Newton, $\overline{FA} \cdot \overline{F'A'} = -f'^2$ . Savoir passer de l'une à l'autre et vérifier sur le cas $\gamma = -1$ .
Savoir établir qu'une image réelle d'un objet réel sur un écran à la distance $D$ exige $D \geqslant 4 f'$ , et en déduire la méthode de Bessel.
Œil : vergence variable et capteur fixe, punctum proximum vers $25 \unite{cm}$ , plage d'accommodation de l'ordre de $4 \unite{\delta}$ , résolution angulaire de l'ordre de $3 \times 10^{-4} \unite{rad}$ . Appareil photographique : focale fixée et lentille mobile ; diaphragme, focale et durée d'exposition agissent sur la profondeur de champ, l'éclairement et le flou de bougé.
Fibre à saut d'indice : savoir établir le cône d'acceptance, $\sin \theta_{\max} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$ , et la dispersion intermodale $\delta t = \dfrac{n_1 L}{c \, n_2} (n_1 - n_2)$ , de l'ordre de $70 \unite{ns}$ par kilomètre pour $n_1 = 1{,}50$ et $n_2 = 1{,}48$ .

Pourquoi ce chapitre

Ce chapitre ouvre souvent l'année de physique-chimie en MPSI : il demande peu d'outils mathématiques et beaucoup de rigueur. Son vrai sujet est la notion de modèle, puisqu'on part du rayon lumineux, qui n'existe pas, pour en tirer des prédictions vérifiables sur un banc d'optique. Il installe aussi les réflexes de calcul algébrique, grandeurs orientées et mesures algébriques, utiles toute l'année. Aux concours, il fournit des exercices de conjugaison, des constructions graphiques et des questions de modélisation de dispositifs réels : l'œil, l'appareil photographique et la fibre optique.

1Sources lumineuses

Source ponctuelle monochromatique

Définition 1.1Source ponctuelle monochromatique

Une source ponctuelle est une source dont les dimensions sont négligeables devant les distances du montage. Elle est monochromatique si elle n'émet qu'une seule fréquence $\nu$ .

Remarque

C'est une idéalisation : aucune source réelle n'est rigoureusement ponctuelle ni rigoureusement monochromatique.

Propriété 1.2Fréquence et longueur d'onde

La fréquence $\nu$ d'une onde lumineuse ne change pas quand la lumière change de milieu ; la longueur d'onde, elle, change. Dans le vide, $\lambda_0 = \frac{c}{\nu}, \qquad c = 3{,}00 \times 10^{8} \unite{m.s^{-1}}.$ Dans un milieu transparent d'indice $n$ , la longueur d'onde vaut $\lambda = \dfrac{\lambda_0}{n}$ .

Exemple 1.3

Une radiation de longueur d'onde $\lambda_0 = 600 \unite{nm}$ dans le vide a une longueur d'onde $\lambda = 600/1{,}5 = 400 \unite{nm}$ dans un verre d'indice $1{,}5$ . Sa fréquence, $\nu = c/\lambda_0 = 5{,}0 \times 10^{14} \unite{Hz}$ , est la même dans les deux milieux.

Spectre et couleur

Définition 1.4Spectre

Le spectre d'une source est la répartition de sa puissance lumineuse selon la longueur d'onde. Caractériser une source, c'est donner son spectre.

Exemple 1.5Trois types de spectres

Une lampe spectrale donne un spectre de raies. Une lampe à incandescence donne un spectre continu. Un laser donne une raie très fine.

RemarqueOrdres de grandeur du visible

Dans le vide, le visible s'étend d'environ $400 \unite{nm}$ pour le violet à $800 \unite{nm}$ pour le rouge, le vert se situant vers $550 \unite{nm}$ . En dessous de $400 \unite{nm}$ se trouve l'ultraviolet, au dessus de $800 \unite{nm}$ l'infrarouge. On relie ainsi la longueur d'onde dans le vide à la couleur.

2Le modèle de l'optique géométrique

Définition du modèle

Définition 2.1Rayon lumineux

Le modèle de l'optique géométrique décrit la lumière par des rayons. Un rayon lumineux est une courbe orientée le long de laquelle se propage l'énergie lumineuse.

Propriété 2.2Propagation des rayons

Dans un milieu homogène et isotrope, les rayons lumineux sont des droites. Les rayons sont indépendants : deux rayons qui se croisent ne se perturbent pas.

Définition 2.3Indice d'un milieu transparent

L'indice d'un milieu transparent est $n = \frac{c}{v},$ où $v$ est la vitesse de propagation de la lumière dans le milieu. On a toujours $n \geqslant 1$ .

RemarqueOrdres de grandeur

L'air a un indice de $1{,}000$ , l'eau $1{,}33$ , un verre ordinaire ou le cœur d'une fibre en silice environ $1{,}5$ , le diamant $2{,}4$ .

Limites du modèle

Propriété 2.4Domaine de validité

Le modèle de l'optique géométrique est valable quand les dimensions des objets rencontrés par la lumière sont grandes devant la longueur d'onde. Quand une ouverture a une taille comparable à $\lambda$ , la lumière diffracte : l'angle de diffraction par une fente de largeur $a$ est de l'ordre de $\lambda / a$ .

Exemple 2.5Diffraction par une fente

Une fente de largeur $a = 0{,}1 \unite{mm}$ éclairée à $\lambda = 600 \unite{nm}$ diffracte sur un angle de l'ordre de $\frac{\lambda}{a} = \frac{600 \times 10^{-9}}{1 \times 10^{-4}} = 6 \times 10^{-3} \unite{rad}.$ À $3 \unite{m}$ de la fente, la tache s'élargit donc d'environ $2 \unite{cm}$ : l'effet est bien visible à quelques mètres.

RemarqueAutres limites

L'optique géométrique ne décrit pas non plus les interférences, la polarisation, ni l'émission et l'absorption de lumière, qui relèvent de la physique quantique.

3Réflexion et réfraction

Lois de Snell-Descartes

À l'interface entre deux milieux transparents d'indices $n_1$ et $n_2$ , un rayon incident donne naissance à un rayon réfléchi et à un rayon réfracté. Tous les angles sont mesurés par rapport à la normale à l'interface au point d'incidence.

Définition 3.1Plan d'incidence

Le plan d'incidence est le plan qui contient le rayon incident et la normale à l'interface au point d'incidence.

Loi 3.2Lois de Snell-Descartes

On considère une interface entre deux milieux transparents, homogènes et isotropes, d'indices $n_1$ (milieu d'incidence) et $n_2$ , dans le cadre de l'optique géométrique.

Les rayons réfléchi et réfracté appartiennent au plan d'incidence.
Réflexion : l'angle de réflexion $r$ est égal à l'angle d'incidence $i_1$ , les deux rayons étant de part et d'autre de la normale.
Réfraction : l'angle de réfraction $i_2$ vérifie $n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2.$

Propriété 3.3Sens de la déviation

Pour une incidence non normale ( $i_1 \neq 0$ ) : en passant dans un milieu plus réfringent ( $n_2 > n_1$ ), le rayon réfracté se rapproche de la normale ( $i_2 < i_1$ ) ; en passant dans un milieu moins réfringent ( $n_2 < n_1$ ), il s'en écarte ( $i_2 > i_1$ ), lorsque le rayon réfracté existe. En incidence normale, $i_2 = i_1 = 0$ : le rayon n'est pas dévié.

Démonstration

Pour $i_1 \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right]$ , la loi de la réfraction donne $\sin i_2 = \dfrac{n_1}{n_2} \sin i_1$ . Si $n_2 > n_1$ , alors $\sin i_2 < \sin i_1$ , et comme la fonction sinus est strictement croissante sur $\intff{0}{\frac{\pi}{2}}$ , $i_2 < i_1$ . Si $n_2 < n_1$ , le même argument donne $i_2 > i_1$ lorsque le rayon réfracté existe. Enfin, pour $i_1 = 0$ , la loi donne $\sin i_2 = 0$ , donc $i_2 = 0$ : le rayon traverse l'interface sans être dévié.

RemarqueSchéma à savoir tracer

On trace une interface horizontale, la normale verticale en pointillés au point d'incidence, le rayon incident oblique dans le milieu 1, le rayon réfléchi symétrique par rapport à la normale dans le milieu 1, et le rayon réfracté qui poursuit dans le milieu 2 en se rapprochant de la normale si $n_2 > n_1$ .

Réflexion totale

Définition 3.4Angle limite

Pour $n_1 > n_2$ , on définit l'angle limite $i_{\text{lim}} \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[$ par $\sin i_{\text{lim}} = \frac{n_2}{n_1}.$

Proposition 3.5Condition de réflexion totale

Il n'existe pas de rayon réfracté si et seulement si $n_1 > n_2$ et $i_1 > i_{\text{lim}}$ . Toute l'énergie repart alors dans le milieu 1 : c'est la réflexion totale. Elle n'est possible que du milieu le plus réfringent vers le moins réfringent.

Démonstration

Un rayon réfracté d'angle $i_2$ existe si et seulement si l'équation $\sin i_2 = \dfrac{n_1}{n_2} \sin i_1$ admet une solution $i_2 \in \intff{0}{\frac{\pi}{2}}$ , c'est-à-dire si et seulement si $\dfrac{n_1}{n_2} \sin i_1 \leqslant 1$ .

Si $n_1 \leqslant n_2$ , on a $\dfrac{n_1}{n_2} \sin i_1 \leqslant \sin i_1 \leqslant 1$ : le rayon réfracté existe toujours.

Si $n_1 > n_2$ , le facteur $\dfrac{n_1}{n_2}$ est supérieur à 1. La condition d'existence s'écrit $\sin i_1 \leqslant \dfrac{n_2}{n_1} = \sin i_{\text{lim}}$ , soit $i_1 \leqslant i_{\text{lim}}$ par croissance stricte du sinus sur $\intff{0}{\frac{\pi}{2}}$ . Il n'y a donc pas de rayon réfracté exactement quand $i_1 > i_{\text{lim}}$ .

Exemple 3.6Valeurs numériques

Pour une interface verre d'indice $1{,}5$ vers air : $\sin i_{\text{lim}} = \dfrac{1}{1{,}5}$ , soit $i_{\text{lim}} \approx 42^\circ$ . Pour une interface eau vers air : $\sin i_{\text{lim}} = \dfrac{1}{1{,}33}$ , soit $i_{\text{lim}} \approx 49^\circ$ .

Attention

La réflexion totale n'existe pas de l'air vers le verre : dans ce sens, il y a toujours un rayon réfracté. Avant d'invoquer la réflexion totale, on vérifie que la lumière va bien du milieu le plus réfringent vers le moins réfringent.

4Stigmatisme et approximation de Gauss

Stigmatisme rigoureux et approché

Définition 4.1Stigmatisme rigoureux

Un système optique est stigmatique pour un couple de points $A$ et $A'$ si tout rayon issu de $A$ émerge du système en passant par $A'$ . On dit alors que $A'$ est l'image de $A$ .

Propriété 4.2

Le miroir plan est le seul système optique rigoureusement stigmatique pour tout point de l'espace.

Remarque

Résultat admis.

Définition 4.3Stigmatisme approché

Un système présente un stigmatisme approché pour $A$ et $A'$ si les rayons issus de $A$ émergent dans une tache de petite dimension autour de $A'$ .

Propriété 4.4Rôle du détecteur

L'image est perçue nette si la tache image est plus petite qu'un élément du détecteur : un pixel du capteur, ou le grain de la rétine. Le stigmatisme approché est donc relatif au détecteur ; ce n'est pas une propriété absolue du système.

Miroir plan

Propriété 4.5Image par un miroir plan

Le miroir plan donne d'un point objet $A$ un point image $A'$ symétrique de $A$ par rapport au plan du miroir. Si $A$ est réel, $A'$ est virtuel, et réciproquement. L'image d'un objet étendu est symétrique de l'objet et de même taille.

Démonstration

Soit $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur le miroir et $A'$ le symétrique de $A$ par rapport au plan du miroir. Un rayon issu de $A$ frappe le miroir en $I$ . D'après la première loi de Snell-Descartes, le rayon réfléchi est dans le plan d'incidence, qui contient $A$ , $I$ et la normale en $I$ , donc aussi $H$ et $A'$ . D'après la deuxième loi, il fait avec la normale le même angle que le rayon incident, de l'autre côté. Or la symétrie par rapport au plan du miroir conserve les angles et fixe $I$ : la droite $(A'I)$ fait avec la normale le même angle que $(AI)$ , de l'autre côté. Le rayon réfléchi est donc porté par la droite $(A'I)$ : son prolongement passe par $A'$ . Comme c'est vrai pour tout point $I$ , le miroir est rigoureusement stigmatique pour le couple $(A, A')$ .

RemarqueChiralité

La symétrie plane inverse la chiralité : une main droite a pour image une main gauche. C'est ce qui explique l'inversion gauche-droite apparente d'un texte lu dans un miroir.

Exemple 4.6Construction

Pour construire l'image de $A$ , on trace deux rayons issus de $A$ , on les réfléchit en appliquant la loi de la réflexion, et on prolonge les rayons réfléchis en arrière du miroir : ils se coupent en $A'$ , symétrique de $A$ .

Conditions de l'approximation de Gauss

Définition 4.7Conditions de Gauss

On se place dans l'approximation de Gauss quand les rayons sont peu inclinés sur l'axe optique et rencontrent le système près de cet axe. De tels rayons sont dits paraxiaux. En pratique, on diaphragme le faisceau et on limite le champ.

Propriété 4.8Conséquences

Dans les conditions de Gauss, tout système centré est :

approximativement stigmatique pour tout point de l'espace ;
aplanétique : l'image d'un objet plan perpendiculaire à l'axe est un plan perpendiculaire à l'axe.

Ces deux propriétés rendent possibles les formules de conjugaison.

Remarque

Résultat admis.

Propriété 4.9Linéarisation

Pour des angles petits exprimés en radians, $\sin i \approx i$ et $\tan i \approx i$ . Les lois de Snell-Descartes deviennent linéaires : $n_1 i_1 = n_2 i_2.$

Exemple 4.10

Pour $i = 0{,}1 \unite{rad}$ , $\sin i = 0{,}0998$ : l'erreur relative commise en remplaçant $\sin i$ par $i$ est d'environ $0{,}2 \,\%$ .

5Lentilles minces

Vocabulaire et propriétés

Définition 5.1Lentille mince

Une lentille mince est un système centré dont l'épaisseur est négligeable devant les rayons de courbure de ses faces et devant les distances de conjugaison. On la caractérise par son centre optique $O$ , son axe optique et sa distance focale image $f' = \overline{OF'}$ , où $F'$ est le foyer principal image.

Dans toute la suite, les lentilles minces sont utilisées dans les conditions de Gauss, et l'axe optique est orienté dans le sens de propagation de la lumière.

Propriété 5.2Rayons particuliers

Tout rayon passant par le centre optique $O$ n'est pas dévié.
Tout rayon incident parallèle à l'axe émerge en passant par le foyer principal image $F'$ .
Tout rayon incident passant par le foyer principal objet $F$ émerge parallèle à l'axe.
Tout faisceau incident de rayons parallèles entre eux converge, après la lentille, en un point du plan focal image, appelé foyer secondaire image. On le trouve en traçant le rayon de ce faisceau qui passe par $O$ .

Définition 5.3Vergence

La vergence d'une lentille est $V = \frac{1}{f'},$ exprimée en dioptries (symbole $\delta$ ) avec $f'$ en mètres. Une lentille est convergente si $f' > 0$ , divergente si $f' < 0$ .

Propriété 5.4Position des foyers

Les foyers $F$ et $F'$ sont symétriques par rapport à $O$ : $\overline{OF} = -f'$ .

Exemple 5.5

Une lentille de vergence $V = 5 \unite{\delta}$ a pour distance focale $f' = 1/5 = 0{,}20 \unite{m}$ ; elle est convergente. Une lentille de vergence $-2 \unite{\delta}$ a $f' = -0{,}50 \unite{m}$ ; elle est divergente, et son foyer image $F'$ est situé avant la lentille.

Nature de l'image

Définition 5.6Objet et image réels ou virtuels

Un objet est réel si la lumière diverge effectivement de lui, virtuel si les rayons incidents convergent vers lui sans l'atteindre. Une image est réelle si les rayons émergents convergent effectivement en un point : elle se recueille alors sur un écran. Elle est virtuelle si seuls les prolongements des rayons émergents se coupent : elle n'est visible qu'à l'œil, à travers le système.

Attention

Une image virtuelle ne se recueille pas sur un écran, même placé exactement à sa position. Réciproquement, un œil placé derrière une image réelle peut la voir : réel et virtuel ne se distinguent pas par la visibilité à l'œil.

Formules de conjugaison

Propriété 5.7Formules de Descartes

Pour une lentille mince de distance focale $f'$ dans les conditions de Gauss, avec origine au centre optique, un point $A$ de l'axe et son image $A'$ vérifient $\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}.$ Le grandissement transversal d'un objet $AB$ perpendiculaire à l'axe, d'image $A'B'$ , vaut $\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}.$

Propriété 5.8Formules de Newton

Avec les origines aux foyers, dans les mêmes conditions, $\overline{FA} \cdot \overline{F'A'} = -f'^2, \qquad \gamma = \frac{f'}{\overline{FA}} = -\frac{\overline{F'A'}}{f'}.$

Démonstration

On part des formules de Descartes. Notons $p = \overline{OA}$ et $p' = \overline{OA'}$ , supposés non nuls. En multipliant la relation de conjugaison par $p p' f'$ , on obtient $p f' - p' f' = p p'.$ Par la relation de Chasles et $\overline{OF} = -f'$ , $\overline{FA} = \overline{FO} + \overline{OA} = p + f'$ et $\overline{F'A'} = \overline{F'O} + \overline{OA'} = p' - f'$ . Alors $\begin{aligned} \overline{FA} \cdot \overline{F'A'} &= (p + f')(p' - f') \\ &= p p' - (p f' - p' f') - f'^2 \\ &= p p' - p p' - f'^2 = -f'^2. \end{aligned}$ Pour le grandissement, la relation de Descartes donne $\dfrac{1}{p'} = \dfrac{1}{f'} + \dfrac{1}{p} = \dfrac{p + f'}{p f'}$ , donc $p' = \dfrac{p f'}{p + f'}$ et $\gamma = \frac{p'}{p} = \frac{f'}{p + f'} = \frac{f'}{\overline{FA}}.$ Enfin $\overline{FA} = -\dfrac{f'^2}{\overline{F'A'}}$ d'après ce qui précède, d'où $\gamma = -\dfrac{\overline{F'A'}}{f'}$ .

RemarqueHypothèses

Toutes ces relations supposent l'approximation de Gauss et une lentille mince. Toutes les grandeurs sont des mesures algébriques sur l'axe orienté dans le sens de propagation de la lumière.

Exemple 5.9Montage symétrique

Plaçons un objet réel à la distance $2f'$ avant une lentille convergente : $\overline{OA} = -2f'$ . Alors $\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{f'} - \frac{1}{2f'} = \frac{1}{2f'}, \qquad \overline{OA'} = 2f', \qquad \gamma = \frac{2f'}{-2f'} = -1.$ L'image est réelle, renversée et de même taille. Avec Newton : $\overline{FA} = -f'$ , $\overline{F'A'} = f'$ , et le produit vaut bien $-f'^2$ , avec $\gamma = f'/(-f') = -1$ . C'est un point de repère à retenir.

Attention

Une erreur de signe est l'erreur numéro un du chapitre. On oriente toujours l'axe dans le sens de la lumière et on ne manipule que des mesures algébriques : pour un objet réel devant la lentille, $\overline{OA} < 0$ .

Condition de formation d'une image réelle

Proposition 5.10Condition de formation d'une image réelle

Soit un objet réel et un écran placé à la distance $D > 0$ de l'objet, après lui. On peut former l'image de l'objet sur l'écran avec une lentille mince convergente de distance focale $f'$ , placée entre l'objet et l'écran, si et seulement si $D \geqslant 4 f'.$ Pour $D > 4f'$ , il existe exactement deux positions de la lentille, symétriques par rapport au milieu du segment objet-écran. Pour $D = 4f'$ , la position est unique, au milieu, et le grandissement vaut $-1$ .

Démonstration

Posons $x = \overline{OA}$ , où $A$ est le point objet sur l'axe et $O$ le centre de la lentille. L'écran est en $A'$ avec $\overline{AA'} = D$ , donc $\overline{OA'} = \overline{OA} + \overline{AA'} = x + D$ . L'objet est réel et l'image se forme sur l'écran si et seulement si $x < 0$ , $x + D > 0$ et la relation de conjugaison est satisfaite : $\frac{1}{x + D} - \frac{1}{x} = \frac{1}{f'}.$ En multipliant par $x (x + D) f'$ , avec $x \neq 0$ et $x + D \neq 0$ : $x f' - (x + D) f' = x (x + D) \iff x^2 + D x + D f' = 0.$ Le discriminant vaut $\Delta = D^2 - 4 D f' = D (D - 4 f')$ . Comme $D > 0$ , il est positif ou nul si et seulement si $D \geqslant 4 f'$ : c'est une condition nécessaire.

Réciproquement, supposons $D \geqslant 4f'$ . Les racines sont $x_{\pm} = \dfrac{-D \pm \sqrt{\Delta}}{2}$ . Comme $f' > 0$ , $\Delta = D^2 - 4Df' < D^2$ , donc $0 \leqslant \sqrt{\Delta} < D$ . Il vient $x_{\pm} < 0$ et $x_{\pm} + D = \dfrac{D \pm \sqrt{\Delta}}{2} > 0$ : chaque racine donne une position acceptable, avec un objet réel et une image réelle sur l'écran.

Si $D > 4f'$ , il y a deux racines distinctes. Leur somme vaut $-D$ , donc les distances $-x_+$ et $-x_-$ de l'objet à la lentille ont pour moyenne $D/2$ : les deux positions sont symétriques par rapport au milieu du segment objet-écran. Si $D = 4f'$ , la racine est double, $x = -D/2 = -2f'$ , et $\overline{OA'} = 2f'$ , d'où $\gamma = \dfrac{2f'}{-2f'} = -1$ .

RemarqueMéthode de Bessel

L'existence de deux positions pour $D > 4f'$ est à la base de la méthode de Bessel de mesure d'une distance focale, plus précise que les méthodes à une seule position.

Constructions graphiques

Propriété 5.11Construction de l'image d'un objet à distance finie

Pour construire l'image $B'$ d'un point objet $B$ hors de l'axe, on trace deux des trois rayons particuliers issus de $B$ . Leur intersection, ou celle de leurs prolongements, donne $B'$ . Le point $A'$ , image du pied $A$ de l'objet sur l'axe, s'en déduit par aplanétisme : c'est le projeté orthogonal de $B'$ sur l'axe.

Exemple 5.12Lentille convergente et lentille divergente

Avec une lentille convergente et un objet réel placé avant $F$ , les rayons émergents se coupent effectivement après la lentille : l'image est réelle et renversée. Avec un objet réel entre $F$ et $O$ , seuls leurs prolongements se coupent, avant la lentille : l'image est virtuelle, droite et agrandie. Avec une lentille divergente, l'image d'un objet réel est toujours virtuelle, droite et réduite.

Propriété 5.13Objet à l'infini

Pour un objet à l'infini vu sous un diamètre apparent $\alpha$ petit, l'image se forme dans le plan focal image et sa taille vaut environ $\abs{f'} \alpha$ .

Démonstration

Les rayons issus d'un point de l'objet à l'infini forment un faisceau parallèle, incliné d'un angle $\alpha$ sur l'axe pour le point extrême. Ce faisceau converge au foyer secondaire image, sur le plan focal image. Le rayon du faisceau qui passe par $O$ n'est pas dévié : il coupe le plan focal image, situé à la distance $\abs{f'}$ de $O$ , à la hauteur $\abs{f'} \tan \alpha$ , soit $\abs{f'} \alpha$ dans les conditions de Gauss. Les rayons issus du point sur l'axe convergent en $F'$ , d'où une image de taille $\abs{f'} \alpha$ .

Remarque

Le programme de MPSI, contrairement à celui de PCSI, ne demande pas de modéliser un système à plusieurs lentilles. Ce point, utile en travaux pratiques, n'est pas exigible.

6Modèles de dispositifs optiques

L'œil

Définition 6.1Modèle de l'œil

On modélise l'œil par une lentille mince convergente de vergence variable, le cristallin, et un capteur plan fixe, la rétine, situé à distance fixe derrière la lentille. Comme la distance lentille-capteur est imposée, la mise au point se fait en changeant la vergence : c'est l'accommodation.

Définition 6.2Punctum remotum et punctum proximum

Le punctum remotum est le point le plus éloigné vu net par l'œil ; le punctum proximum est le point le plus proche vu net.

RemarqueOrdres de grandeur

Pour un œil emmétrope, c'est-à-dire normal, le punctum remotum est à l'infini et le punctum proximum à environ $25 \unite{cm}$ . La plage d'accommodation est de l'ordre de $4 \unite{\delta}$ . La limite de résolution angulaire vaut environ une minute d'arc, soit $3 \times 10^{-4} \unite{rad}$ : deux points vus sous un angle plus petit sont perçus confondus.

Exemple 6.3Plage d'accommodation

Notons $d$ la distance cristallin-rétine, fixe. Pour voir net un point $A$ , la vergence doit valoir $V = \dfrac{1}{d} - \dfrac{1}{\overline{OA}}$ . Au punctum remotum, $\overline{OA} \to -\infty$ et $V = 1/d$ . Au punctum proximum, $\overline{OA} = -0{,}25 \unite{m}$ et $V = 1/d + 4 \unite{\delta}$ . La vergence varie donc de $4 \unite{\delta}$ .

L'appareil photographique

Définition 6.4Modèle de l'appareil photographique

On modélise l'appareil photographique par une lentille convergente de focale $f'$ et un capteur plan. La focale est fixée par l'objectif choisi ; la mise au point se fait en déplaçant la lentille par rapport au capteur.

Définition 6.5Profondeur de champ

Un point est vu net tant que sa tache image sur le capteur reste plus petite qu'un diamètre de tolérance lié à la taille du pixel. La profondeur de champ est l'intervalle des distances objet qui donnent une image acceptable pour un réglage donné.

RemarqueConstruction de la profondeur de champ

Placer le plan de mise au point et son image, le capteur.
Depuis les bords du diaphragme, tracer le cône de lumière qui intercepte sur le capteur un disque du diamètre de tolérance.
Remonter ce cône à travers la lentille, de part et d'autre du plan de mise au point : les points objets extrêmes dont la tache reste dans ce disque limitent la profondeur de champ.

Propriété 6.6Influence des réglages

Fermer le diaphragme allonge la profondeur de champ, mais réduit l'éclairement du capteur et impose une durée d'exposition plus longue.
Allonger la durée d'exposition augmente la lumière reçue, mais fait apparaître un flou de bougé sur les sujets mobiles.
Augmenter la focale agrandit l'image, réduit le champ observé et diminue la profondeur de champ.

Attention

L'œil et l'appareil photographique font la mise au point de façon opposée. Pour l'œil, le capteur est fixe par rapport à la lentille et la vergence varie. Pour l'appareil, la focale est fixée et c'est la position de la lentille qui varie.

La fibre optique à saut d'indice

Définition 6.7Fibre à saut d'indice

Une fibre optique à saut d'indice est formée d'un cœur cylindrique d'indice $n_1$ entouré d'une gaine d'indice $n_2$ , avec $n_2 < n_1$ . La lumière y est guidée par réflexions totales successives sur l'interface cœur-gaine.

Définition 6.8Ouverture numérique

L'ouverture numérique de la fibre est $\mathrm{ON} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}.$

Proposition 6.9Cône d'acceptance

Un rayon contenu dans un plan qui contient l'axe, qui entre dans la fibre depuis l'air par la face d'entrée, perpendiculaire à l'axe, avec un angle $\theta$ par rapport à l'axe, est guidé si et seulement si $\sin \theta \leqslant \sqrt{n_1^2 - n_2^2}.$ Le cas d'égalité, qui correspond à un rayon réfracté rasant dans la gaine, est inclus par convention comme frontière du cône. Lorsque $\mathrm{ON} < 1$ , les rayons acceptés forment un cône de demi-angle au sommet $\theta_{\max} = \arcsin(\mathrm{ON})$ .

Démonstration

On prend l'indice de l'air égal à 1 et $\theta \in \intff{0}{\frac{\pi}{2}}$ . À l'entrée, la loi de la réfraction donne l'angle $i$ du rayon dans le cœur, mesuré par rapport à l'axe qui est la normale à la face d'entrée : $\sin \theta = n_1 \sin i.$ Comme la face d'entrée est perpendiculaire à l'interface cœur-gaine, le rayon rencontre cette interface sous l'angle d'incidence $\frac{\pi}{2} - i$ . Le rayon est guidé, et ce à chaque réflexion puisque l'angle se conserve dans une fibre rectiligne pour un rayon contenu dans un plan qui contient l'axe, si et seulement si l'angle d'incidence $\frac{\pi}{2} - i$ sur l'interface est au moins égal à l'angle limite, le cas d'égalité (rayon réfracté rasant, qui n'emporte pas d'énergie dans la gaine) étant inclus par convention comme frontière du cône : $\sin\left(\frac{\pi}{2} - i\right) \geqslant \frac{n_2}{n_1}, \quad \text{soit} \quad \cos i \geqslant \frac{n_2}{n_1}.$ Pour $i \in \intff{0}{\frac{\pi}{2}}$ , $\cos i \geqslant 0$ , donc cette condition équivaut à $\cos^2 i \geqslant \dfrac{n_2^2}{n_1^2}$ , c'est-à-dire $\sin^2 i \leqslant 1 - \dfrac{n_2^2}{n_1^2}$ , soit $n_1 \sin i \leqslant \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$ puisque $\sin i \geqslant 0$ . Avec la relation d'entrée, cela s'écrit $\sin \theta \leqslant \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$ . Si $\mathrm{ON} < 1$ , par croissance de $\arcsin$ , c'est équivalent à $\theta \leqslant \arcsin(\mathrm{ON})$ .

Proposition 6.10Dispersion intermodale

Sur une longueur $L$ de fibre, l'écart entre les durées de parcours du rayon le plus lent et du rayon le plus rapide parmi les rayons guidés vaut $\delta t = \frac{n_1 L}{c \, n_2} (n_1 - n_2).$

Démonstration

Dans le cœur, la lumière se propage à la vitesse $c / n_1$ . La durée de parcours d'un rayon est donc proportionnelle à la longueur de son trajet.

Le rayon le plus rapide suit l'axe : son trajet a pour longueur $L$ et sa durée vaut $t_{\min} = \dfrac{n_1 L}{c}$ .

Un rayon incliné de $i$ sur l'axe parcourt, pour avancer de $L$ le long de l'axe, une longueur $L / \cos i$ , qui croît avec $i$ . Le rayon guidé le plus lent est donc celui qui arrive juste à l'angle limite, avec $\cos i = n_2 / n_1$ . Son trajet a pour longueur $\dfrac{L n_1}{n_2}$ et sa durée vaut $t_{\max} = \frac{n_1}{c} \cdot \frac{L n_1}{n_2} = \frac{n_1^2 L}{n_2 c}.$ D'où $\begin{aligned} \delta t = t_{\max} - t_{\min} &= \frac{n_1 L}{c} \left(\frac{n_1}{n_2} - 1\right) \\ &= \frac{n_1 L}{c \, n_2} (n_1 - n_2). \end{aligned}$

Exemple 6.11Ordre de grandeur

Avec $n_1 = 1{,}50$ , $n_2 = 1{,}48$ et $L = 1 \unite{km}$ : $\delta t = \frac{1{,}50 \times 10^{3}}{3{,}00 \times 10^{8} \times 1{,}48} \times 0{,}02 \approx 7 \times 10^{-8} \unite{s} = 70 \unite{ns}.$ Deux impulsions émises à moins de $70 \unite{ns}$ d'intervalle arrivent confondues, ce qui plafonne le débit. D'où l'usage de fibres à gradient d'indice ou de fibres monomodes sur les liaisons longues.

Méthodes

MéthodeMener un calcul de conjugaison sans erreur de signe

Orienter l'axe optique dans le sens de propagation de la lumière.
Ne manipuler que des mesures algébriques : pour un objet réel devant la lentille, $\overline{OA} < 0$ ; pour une lentille divergente, $f' < 0$ .
Choisir Descartes si les positions sont repérées depuis $O$ , Newton si elles le sont depuis les foyers.
Contrôler le résultat sur un cas connu, par exemple le montage symétrique où $\gamma = -1$ .

MéthodeConstruire une image avant de calculer

Faire un schéma à l'échelle approximative : axe, lentille, foyers $F$ et $F'$ , objet.
Tracer deux des trois rayons particuliers issus du point $B$ hors de l'axe et en déduire $B'$ , puis $A'$ par aplanétisme.
Lire sur le dessin la nature de l'image, son sens et l'ordre de grandeur de sa taille.
Faire le calcul : il doit confirmer le dessin.

MéthodeAssocier deux lentilles en travaux pratiques

Écrire la conjugaison par la première lentille : l'objet $A$ donne une image intermédiaire $A_1$ .
Utiliser $A_1$ comme objet pour la seconde lentille, qui en donne l'image finale $A'$ .
Nommer toutes les images intermédiaires et écrire les conjugaisons dans l'ordre de la traversée.

Ce montage n'est pas un attendu du programme de MPSI.

MéthodeModéliser un dispositif optique réel

Identifier la lentille équivalente et le capteur.
Repérer ce qui est fixe et ce qui est réglable : pour l'œil, le capteur est fixe et la vergence varie ; pour l'appareil photographique, c'est l'inverse, la focale est fixée et la lentille se déplace.
En déduire comment se fait la mise au point.

MéthodeTraiter une question de guidage ou de réflexion totale

Vérifier que la lumière va du milieu le plus réfringent vers le moins réfringent ; sinon, il n'y a pas de réflexion totale.
Calculer l'angle limite par $\sin i_{\text{lim}} = n_2 / n_1$ .
Relier l'angle d'incidence sur l'interface aux angles d'entrée par la géométrie et par la loi de la réfraction.

MéthodeMesurer une distance focale

Autocollimation : on accole un miroir plan à la lentille et on déplace l'objet. Quand l'image se forme nette dans le plan de l'objet lui-même, avec un grandissement de $-1$ , l'objet est dans le plan focal objet ; on lit alors $f'$ comme la distance objet-lentille.
Méthode de Bessel, plus précise : on fixe la distance $D$ entre l'objet et l'écran, avec $D > 4f'$ , et on repère les deux positions de la lentille qui donnent une image nette. On exploite alors la condition $D \geqslant 4 f'$ et l'équation du second degré qui la fonde.

Exercices d'application

Exercice 1. Réfraction et réflexion totale à la surface de l'eau

Un rayon lumineux se propage dans l'eau, d'indice $1{,}33$ , et atteint la surface plane qui la sépare de l'air, d'indice $1{,}00$ .

L'angle d'incidence vaut $30^\circ$ . Calculer l'angle de réfraction.
Calculer l'angle limite. Que se passe-t-il pour un angle d'incidence de $60^\circ$ ?

Voir le corrigé

D'après la loi de la réfraction, $1{,}33 \sin 30^\circ = 1{,}00 \sin i_2$ , soit $\sin i_2 = 1{,}33 \times 0{,}500 = 0{,}665$ . Comme $0{,}665 \leqslant 1$ , le rayon réfracté existe et $i_2 = \arcsin(0{,}665) \approx 41{,}7^\circ$ . On vérifie que $i_2 > 30^\circ$ : en passant dans un milieu moins réfringent, le rayon s'écarte de la normale.
La lumière va de l'eau vers l'air, du plus réfringent vers le moins réfringent : la réflexion totale est possible. L'angle limite vérifie $\sin i_{\text{lim}} = \dfrac{1{,}00}{1{,}33} = 0{,}752$ , soit $i_{\text{lim}} \approx 48{,}8^\circ$ . Pour $i_1 = 60^\circ > i_{\text{lim}}$ , on aurait $\sin i_2 = 1{,}33 \times \sin 60^\circ = 1{,}33 \times 0{,}866 = 1{,}15 > 1$ : il n'y a pas de rayon réfracté. Toute la lumière est réfléchie dans l'eau, c'est la réflexion totale.

Exercice 2. Image par une lentille convergente

Un objet réel $AB$ de hauteur $1{,}0 \unite{cm}$ , perpendiculaire à l'axe, est placé $30 \unite{cm}$ avant une lentille mince convergente de distance focale $f' = 20 \unite{cm}$ .

Déterminer la position de l'image par la formule de Descartes, puis son grandissement et sa taille.
Vérifier le résultat avec la formule de Newton et donner la nature de l'image.

Voir le corrigé

L'axe est orienté dans le sens de la lumière. L'objet est avant la lentille, donc $\overline{OA} = -30 \unite{cm}$ . La formule de Descartes donne $\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{3 - 2}{60} = \frac{1}{60},$ en $\mathrm{cm}^{-1}$ , donc $\overline{OA'} = 60 \unite{cm}$ . Le grandissement vaut $\gamma = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \dfrac{60}{-30} = -2$ , et $\overline{A'B'} = \gamma \, \overline{AB} = -2 \times 1{,}0 = -2{,}0 \unite{cm}$ .
On a $\overline{OF} = -f' = -20 \unite{cm}$ , donc $\overline{FA} = \overline{FO} + \overline{OA} = 20 - 30 = -10 \unite{cm}$ et $\overline{F'A'} = \overline{F'O} + \overline{OA'} = -20 + 60 = 40 \unite{cm}$ . Le produit vaut $(-10) \times 40 = -400 \unite{cm^2} = -f'^2$ : la formule de Newton est vérifiée. De plus $\gamma = \dfrac{f'}{\overline{FA}} = \dfrac{20}{-10} = -2$ , ce qui confirme le calcul. L'image est réelle, car $\overline{OA'} > 0$ : elle se forme après la lentille et se recueille sur un écran. Elle est renversée ( $\gamma < 0$ ) et deux fois plus grande que l'objet.

Exercice 3. Image par une lentille divergente

Un objet réel $AB$ est placé $20 \unite{cm}$ avant une lentille mince divergente de distance focale $f' = -10 \unite{cm}$ . Déterminer la position et la nature de l'image, ainsi que le grandissement.

Voir le corrigé

On a $\overline{OA} = -20 \unite{cm}$ et $f' = -10 \unite{cm}$ . La formule de Descartes donne $\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{f'} + \frac{1}{\overline{OA}} = -\frac{1}{10} - \frac{1}{20} = -\frac{3}{20},$ en $\mathrm{cm}^{-1}$ , donc $\overline{OA'} = -\dfrac{20}{3} \approx -6{,}7 \unite{cm}$ . L'image est située avant la lentille, du côté d'où vient la lumière : seuls les prolongements des rayons émergents s'y coupent, elle est virtuelle. Le grandissement vaut $\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} = \frac{-20/3}{-20} = \frac{1}{3}.$ L'image est droite ( $\gamma > 0$ ) et trois fois plus petite que l'objet, conformément à la construction graphique : une lentille divergente donne d'un objet réel une image virtuelle, droite et réduite.

Exercice 4. Mesure d'une focale par la méthode de Bessel

Un objet réel et un écran sont fixés à la distance $D = 1{,}00 \unite{m}$ l'un de l'autre. On trouve deux positions d'une lentille convergente qui donnent une image nette sur l'écran, distantes de $d = 40 \unite{cm}$ .

Montrer que $d = \sqrt{D (D - 4 f')}$ .
En déduire $f'$ et vérifier la condition de formation d'une image réelle.

Voir le corrigé

Avec $x = \overline{OA}$ , les positions de la lentille pour lesquelles l'image se forme sur l'écran sont données par les racines de $x^2 + D x + D f' = 0$ , soit $x_{\pm} = \dfrac{-D \pm \sqrt{D (D - 4f')}}{2}$ . La lentille est à la distance $-x$ de l'objet, donc la distance entre les deux positions vaut $d = \abs{x_+ - x_-} = \sqrt{D (D - 4 f')}.$
En élevant au carré, $d^2 = D^2 - 4 D f'$ , d'où $f' = \frac{D^2 - d^2}{4 D} = \frac{1{,}00^2 - 0{,}40^2}{4 \times 1{,}00} = \frac{1{,}00 - 0{,}16}{4{,}00} = 0{,}21 \unite{m}.$ On vérifie que $4 f' = 0{,}84 \unite{m} \leqslant D = 1{,}00 \unite{m}$ : la condition $D \geqslant 4f'$ est satisfaite, et même strictement, ce qui est cohérent avec l'existence de deux positions distinctes.

Exercice 5. Fibre optique à saut d'indice

Une fibre à saut d'indice a un cœur d'indice $n_1 = 1{,}46$ et une gaine d'indice $n_2 = 1{,}44$ . On prend $c = 3{,}00 \times 10^{8} \unite{m.s^{-1}}$ .

Calculer l'ouverture numérique et le demi-angle au sommet du cône d'acceptance.
Calculer la dispersion intermodale sur une longueur $L = 2{,}0 \unite{km}$ et en déduire un ordre de grandeur du débit maximal.

Voir le corrigé

L'ouverture numérique vaut $\begin{aligned} \mathrm{ON} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2} &= \sqrt{1{,}46^2 - 1{,}44^2} \\ &= \sqrt{2{,}1316 - 2{,}0736} \\ &= \sqrt{0{,}0580} \approx 0{,}241. \end{aligned}$ Comme $\mathrm{ON} < 1$ , le demi-angle au sommet du cône d'acceptance vaut $\theta_{\max} = \arcsin(0{,}241) \approx 13{,}9^\circ$ .
La dispersion intermodale vaut $\delta t = \frac{n_1 L}{c \, n_2} (n_1 - n_2) = \frac{1{,}46 \times 2{,}0 \times 10^{3}}{3{,}00 \times 10^{8} \times 1{,}44} \times 0{,}02 \approx 1{,}4 \times 10^{-7} \unite{s}.$ Deux impulsions doivent être séparées d'au moins $\delta t$ pour être distinguées à l'arrivée. Le débit est donc limité à environ $1/\delta t \approx 7 \times 10^{6}$ impulsions par seconde, soit de l'ordre de $7 \unite{Mbit.s^{-1}}$ .

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Lois de Snell-Descartes. Rayons réfléchi et réfracté dans le plan d'incidence, r = i, et n₁ sin i₁ = n₂ sin i₂, angles comptés depuis la normale. Lois admises, énoncé exigible.
Réflexion totale. Si n₁ > n₂ et sin i₁ > n₂ / n₁, il n'y a pas de rayon réfracté. Exigible avec démonstration.
Miroir plan. Il est rigoureusement stigmatique pour tout point, et l'image est le symétrique de l'objet. Construction exigible.
Approximation de Gauss. Avec des rayons peu inclinés sur l'axe et proches de lui, tout système centré est approximativement stigmatique et aplanétique. Énoncé exigible, preuve générale admise.
Stigmatisme approché et détecteur. L'image est perçue nette si la tache image est plus petite que l'élément sensible, pixel ou cellule rétinienne. Exigible.
Lentille mince. Centre optique, foyers principaux et secondaires, distance focale, vergence. Définitions exigibles, propriétés admises dans le modèle.
Formules de Descartes et de Newton, avec le grandissement. Exigibles sans démonstration. Savoir passer de l'une à l'autre.
Image réelle d'un objet réel sur un écran à distance D par une lentille convergente, possible si et seulement si D ≥ 4f'. Exigible avec démonstration.
Œil : lentille de vergence variable et capteur fixe. Ordres de grandeur exigibles : résolution angulaire environ 3 × 10⁻⁴ rad, plage d'accommodation environ 4 δ.
Appareil photographique : lentille et capteur, profondeur de champ construite géométriquement, rôle de la focale, du diaphragme et de la durée d'exposition. Exigible.
Fibre à saut d'indice, entrée depuis l'air : sin θ_max = √(n₁² − n₂²) et δt = n₁ L (n₁ − n₂) / (n₂ c). Exigibles avec démonstration.
Hors programme en MPSI : associations de lentilles, lentilles épaisses, dioptres et miroirs sphériques, formules du prisme. Lunette et microscope n'apparaissent que comme applications guidées.

Clés de démonstration

Réflexion totale. La réfraction impose sin i₂ = (n₁ / n₂) sin i₁. Un sinus ne dépasse pas 1, donc un rayon réfracté existe si et seulement si (n₁ / n₂) sin i₁ ≤ 1, toujours vrai si n₁ < n₂. Astuce : raisonner sur l'existence d'une solution en i₂, pas sur un dessin.

Miroir plan. Soit A' le symétrique de A et I un point quelconque du miroir frappé par un rayon issu de A. La symétrie conserve l'angle avec la normale, donc A'I porte le rayon réfléchi. Astuce : I étant arbitraire, un seul rayon quelconque suffit.

Descartes vers Newton. Par Chasles, OA = FA − f' et OA' = f' + F'A'. On multiplie Descartes par f' × OA × OA', ce qui donne f' (OA − OA') = OA × OA', puis on substitue : il reste FA × F'A' = − f'². Astuce : chasser les dénominateurs avant de substituer.

Condition D ≥ 4f'. Avec x = OA, on a OA' = x + D et Descartes donne x² + D x + D f' = 0, de discriminant D (D − 4f'). Astuce souvent oubliée : la somme des racines vaut − D < 0 et leur produit D f' > 0, donc les deux racines sont négatives, l'objet est réel. De plus x₁ + D = − x₂ > 0, l'image est réelle.

Cône d'acceptance. À l'entrée, sin θ = n₁ sin r. Sur l'interface cœur-gaine l'incidence vaut 90° − r, et le guidage exige cos r ≥ n₂ / n₁, soit n₁ sin r ≤ √(n₁² − n₂²). Astuce : la monotonie de sinus et cosinus entre 0 et 90°.

Dispersion intermodale. Un rayon incliné de r parcourt L / cos r à la vitesse c / n₁, en n₁ L / (c cos r). Cette durée croît avec r, de r = 0 jusqu'à cos r = n₂ / n₁. Astuce : lire le rapport des longueurs sur un seul segment entre deux réflexions.

Profondeur de champ. Un point objet a son image à la distance q de la lentille, le capteur est à q₀. Le cône qui s'appuie sur le diaphragme de diamètre d découpe sur le capteur, par Thalès, un disque de diamètre d |q − q₀| / q. Astuce : travailler côté image, puis revenir côté objet.

Exemples et contre-exemples à connaître

Le miroir plan, seul système rigoureusement stigmatique pour tout point. Réponse attendue à « citez un système rigoureusement stigmatique ».
Le dioptre plan eau-air n'est pas rigoureusement stigmatique. L'image d'un caillou immergé n'est nette qu'en conditions de Gauss.
Un objet à l'infini donne une image dans le plan focal image. C'est l'œil au repos ou l'appareil réglé sur l'infini.
Un objet dans le plan focal objet donne une image à l'infini. C'est l'observation sans fatigue à la loupe.
Avec une lentille convergente, un objet réel a une image réelle si et seulement s'il est avant F. Elle est alors renversée, car γ = OA' / OA < 0.
Un objet réel entre F et O d'une convergente donne une image virtuelle, droite et agrandie. C'est la loupe.
Une divergente donne d'un objet réel une image virtuelle, droite et réduite. Contre-exemple : d'un objet virtuel entre O et F, elle donne une image réelle.
La réflexion totale est impossible de l'air vers l'eau.
Une fente de 10 µm éclairée à 500 nm diffracte sur environ 0,05 rad. Le modèle géométrique y est en défaut.

Techniques du chapitre

Technique 1 : traduire en mesures algébriques. Objet réel à 30 cm d'une lentille de focale 20 cm. On a OA = − 30 cm, 1 / OA' = 1/20 − 1/30 = 1/60, OA' = 60 cm et γ = − 2 : image réelle, renversée, deux fois plus grande.

Technique 2 : Newton quand l'objet est repéré par rapport à un foyer. Objet 5 cm avant F, f' = 10 cm. FA = − 5 cm, F'A' = − 100 / (− 5) = 20 cm, γ = f' / FA = − 2. Contrôle : OA = − 15 cm donne bien OA' = 30 cm = f' + F'A'.

Technique 3 : objet à l'infini, taille de l'image f' α. La Lune a un diamètre apparent d'environ 9 × 10⁻³ rad. Avec un objectif de 50 mm, son image mesure 50 × 9 × 10⁻³ ≈ 0,45 mm.

Technique 4 : rayon quelconque par un foyer secondaire. On trace le rayon parallèle passant par O, non dévié. Il coupe le plan focal image en φ'. Le rayon émergent cherché passe par φ'.

Technique 5 : vérifier le sens, puis comparer à i_lim. Prisme de verre (n = 1,5) à section rectangle isocèle, rayon entrant normalement par une face de l'angle droit. Il atteint l'hypoténuse sous 45° > i_lim ≈ 41,8°, donc il est totalement réfléchi.

Technique 6 : séparer le fixe du réglable. Œil réduit, cristallin à 17 mm de la rétine. Au repos V = 1 / 0,017 ≈ 59 δ, au proximum de 25 cm V ≈ 59 + 4 = 63 δ. Plage d'accommodation : 4 δ.

Technique 7 : résolution angulaire en distance. À 25 cm, l'œil sépare 0,25 × 3 × 10⁻⁴ ≈ 75 µm. Un pixel plus petit n'est pas vu séparément.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Deux positions de l'objet

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Un objet AB de 2 cm est placé devant une lentille convergente de focale 10 cm, à 15 cm puis à 5 cm. Donner position, taille et nature de l'image, et construire.

Technique Descartes, contrôlé par deux rayons particuliers.

Voir le corrigé

OA = − 15 cm : 1 / OA' = 1/10 − 1/15 = 1/30, OA' = 30 cm.
γ = − 2 : image réelle, renversée, A'B' = − 4 cm.
OA = − 5 cm : 1 / OA' = 1/10 − 1/5 = − 1/10, OA' = − 10 cm.
γ = 2 : image virtuelle, droite, 4 cm, du même côté que l'objet.
Construction du second cas : le rayon parallèle à l'axe émerge par F', celui passant par O n'est pas dévié. Les émergents divergent, leurs prolongements se coupent en B'.

piège : Écrire OA = 15 cm. Un objet réel avant la lentille a OA < 0.

Exercice 2. Lentille divergente et objet réel

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Montrer qu'une lentille divergente donne de tout objet réel une image virtuelle, droite et réduite. Application : f' = − 20 cm, objet à 20 cm.

Technique raisonner sur les signes dans Descartes.

Voir le corrigé

On a OA < 0 et f' < 0.
1 / OA' = 1/f' + 1/OA est somme de deux négatifs, donc OA' < 0 : image virtuelle.
De plus 1 / OA' < 1 / OA < 0, donc |OA'| < |OA| et 0 < γ < 1 : image droite et réduite.
Application : 1 / OA' = − 1/10, OA' = − 10 cm, γ = 0,5.

piège : Inverser l'inégalité de l'étape 3 sans tenir compte du signe.

Exercice 3. Se voir en pied dans un miroir

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Une personne de 1,80 m, yeux à 1,70 m du sol, fait face à un miroir plan vertical. Quelle hauteur minimale de miroir, placée où, pour se voir entièrement ? Le résultat dépend-il de la distance ?

Technique image symétrique, puis Thalès.

Voir le corrigé

À la distance d du miroir, l'image est un segment vertical de 1,80 m situé à d derrière le miroir.
Le rayon qui semble venir de l'image des pieds coupe le miroir à mi-distance entre l'œil et l'image, donc à 1,70 / 2 = 0,85 m.
Pour le sommet du crâne, il coupe le miroir à (1,80 + 1,70) / 2 = 1,75 m.
Le miroir doit couvrir de 0,85 m à 1,75 m, soit 0,90 m, la moitié de la taille.
Ce facteur 1/2 ne dépend pas de d.

piège : Croire qu'en reculant on se voit mieux.

Exercice 4. Le disque lumineux d'une piscine

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Une source ponctuelle est au fond d'une piscine de profondeur h = 2,0 m, d'eau d'indice 1,33. Montrer que la lumière ne sort que par un disque de la surface et calculer son rayon.

Technique angle limite, puis trigonométrie.

Voir le corrigé

On passe de l'eau vers l'air, du plus réfringent au moins réfringent : la réflexion totale est possible.
sin i_lim = 1 / 1,33 ≈ 0,752, i_lim ≈ 48,8°.
Un rayon atteint la surface à la distance ρ de la verticale de la source sous l'incidence i, avec tan i = ρ / h. Il ne sort que si i ≤ i_lim.
R = h tan i_lim = h / √(n² − 1) ≈ 2,3 m.

piège : Écrire sin i_lim = 1,33. Le rapport s'écrit indice d'arrivée sur indice de départ.

Exercice 5. Méthode de Bessel

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Objet et écran fixes, distants de D = 1,00 m. Deux positions nettes de la lentille sont distantes de d = 20 cm. En déduire f', et montrer que les deux grandissements sont inverses.

Technique relations entre les racines d'un trinôme.

Voir le corrigé

Les positions vérifient x² + D x + D f' = 0 : somme des racines − D, produit D f'.
L'écart des racines vaut d = √(D² − 4 D f'), donc f' = (D² − d²) / (4D).
f' = (1 − 0,04) / 4 = 0,24 m.
Pour la position 1, OA' = D + x₁ = − x₂, donc γ₁ = − x₂ / x₁. De même γ₂ = − x₁ / x₂, et γ₁ γ₂ = 1.
Les deux positions échangent les rôles de l'objet et de l'image : retour inverse de la lumière.

piège : Confondre d avec la distance lentille-écran.

Exercice 6. Fibre à faible écart d'indice

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Cœur d'indice 1,46, gaine d'indice 1,45. Calculer l'ouverture numérique et le demi-angle d'acceptance dans l'air puis dans l'eau (1,33), puis la dispersion intermodale sur 10 km et un ordre de grandeur du débit maximal.

Technique réfraction d'entrée avec l'indice extérieur, puis bilan de durées.

Voir le corrigé

ON = √(1,46² − 1,45²) = √0,0291 ≈ 0,171. Dans l'air, θ_max ≈ 9,8°.
Si la face d'entrée baigne dans un milieu d'indice n₀, n₀ sin θ = n₁ sin r, donc n₀ sin θ_max = ON. Dans l'eau, sin θ_max ≈ 0,128 et θ_max ≈ 7,4°.
δt = 1,46 × 10⁴ × 0,01 / (1,45 × 3,00 × 10⁸) ≈ 3,4 × 10⁻⁷ s.
Deux impulsions doivent être séparées d'au moins δt : débit de l'ordre de 1 / δt ≈ 3 × 10⁶ bits par seconde.
Un faible écart d'indice réduit la dispersion mais aussi l'ouverture, donc la lumière injectée.

piège : Écrire sin θ_max = ON hors de l'air. C'est n₀ sin θ_max qui vaut ON.

Exercice 7. Œil myope et verre de contact

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Œil modélisé par une lentille à 17 mm de la rétine. Remotum à 50 cm, proximum à 12 cm. Calculer la vergence au repos et la plage d'accommodation. Un verre de contact, lentille mince assimilée à une lentille placée au centre optique de l'œil, doit permettre de voir l'infini sans accommoder. Quelle focale ? Quel nouveau proximum ?

Technique conjugaison à capteur fixe, puis une seule conjugaison par le verre, sans formule d'association (hors programme).

Voir le corrigé

Au repos, V = 1/0,017 + 1/0,50 ≈ 58,8 + 2,0 = 60,8 δ. C'est trop pour cette taille d'œil, d'où la myopie.
Au proximum, V ≈ 58,8 + 8,3 = 67,1 δ. Plage : environ 6,3 δ.
Le verre doit donner d'un objet à l'infini une image au remotum : foyer image à 50 cm avant lui, f' = − 0,50 m, soit − 2 δ.
Nouveau proximum : l'image par le verre doit être en OA' = − 0,12 m. Donc 1 / OA = 1 / OA' − 1 / f' ≈ − 8,33 + 2,00 = − 6,33 m⁻¹, et OA ≈ − 16 cm.

piège : Corriger une myopie avec une convergente. L'œil myope converge trop.

Exercice 8. Profondeur de champ calculée

Approfondissement · Type écrit Mines

Objectif de focale 50 mm, diamètre utile d = 12,5 mm, réglé sur un sujet à 2,00 m. Diamètre de tolérance ε = 30 µm. Trouver l'intervalle des distances vues nettes, puis l'effet d'un diaphragme de 6,25 mm.

Technique tache d |q − q₀| / q, puis retour aux objets.

Voir le corrigé

1 / q₀ = 1/50 − 1/2000 = 39/2000, donc q₀ ≈ 51,28 mm.
Netteté : d |q − q₀| / q ≤ ε. Pour q > q₀, q ≤ q₀ / (1 − ε/d). Pour q < q₀, q ≥ q₀ / (1 + ε/d). Ici ε / d = 0,0024.
q est compris entre 51,159 mm et 51,405 mm.
La distance objet vaut p = f' q / (q − f'). Pour q = 51,405 mm, p ≈ 1,83 m. Pour q = 51,159 mm, p ≈ 2,21 m. Zone nette d'environ 0,38 m.
Avec d = 6,25 mm, ε / d double et la zone va de 1,68 m à 2,46 m, soit environ 0,78 m. La profondeur de champ augmente, mais la surface utile est divisée par quatre, donc la lumière reçue aussi.

piège : Croire la zone nette symétrique autour du plan de mise au point. Elle s'étend davantage vers l'arrière.

Exercice 9. Le caillou au fond du bassin

Approfondissement · Type oral Centrale

Un caillou A est au fond d'un bassin d'eau (n = 1,33) de profondeur h, observé depuis l'air. Montrer que le point d'où semblent venir les rayons émergents dépend de leur inclinaison. Calculer la profondeur apparente en vision quasi normale, puis pour un rayon émergeant à 30°. Pourquoi l'œil voit-il pourtant net ?

Technique Snell-Descartes exact, puis Gauss, puis lien avec le détecteur.

Voir le corrigé

Un rayon issu de A fait l'angle i₁ avec la verticale dans l'eau et sort sous i₂, avec n sin i₁ = sin i₂, à la distance x = h tan i₁ de la verticale de A.
Son prolongement recoupe cette verticale à la profondeur h' = h tan i₁ / tan i₂, qui dépend de i₁ : pas de stigmatisme rigoureux.
Aux petits angles, h' ≈ h / n ≈ 0,75 h.
Pour i₂ = 30°, sin i₁ ≈ 0,376, i₁ ≈ 22,1° et h' ≈ h × 0,406 / 0,577 ≈ 0,70 h.
La pupille, de quelques millimètres, ne reçoit qu'un pinceau étroit dans lequel h' varie très peu. La tache est plus petite que ce que la rétine résout : l'image paraît nette.

piège : Conclure au stigmatisme rigoureux parce que l'image paraît nette. C'est un stigmatisme approché, relatif au détecteur.

Erreurs fréquentes

Oublier les signes. Un objet réel avant la lentille a OA < 0. Un calcul en distances arithmétiques n'est juste qu'une fois sur deux.
Invoquer la réflexion totale du moins réfringent vers le plus réfringent, ou écrire sin i_lim = n₁ / n₂ avec n₁ > n₂.
Appliquer les formules de conjugaison sans rappeler qu'elles supposent une lentille mince en conditions de Gauss.
Inverser les rôles dans les instruments : l'œil règle sa vergence avec un capteur fixe, l'appareil photographique déplace sa lentille à focale fixée.
Donner un résultat sans le confronter au schéma ni aux ordres de grandeur. Une image virtuelle dessinée réelle, ou une profondeur de champ de 3 km, doivent alerter.

Formation des images

L'essentiel

1Sources lumineuses

Source ponctuelle monochromatique

Spectre et couleur

2Le modèle de l'optique géométrique

Définition du modèle

Limites du modèle

3Réflexion et réfraction

Lois de Snell-Descartes

Réflexion totale

4Stigmatisme et approximation de Gauss

Stigmatisme rigoureux et approché

Miroir plan

Conditions de l'approximation de Gauss

5Lentilles minces

Vocabulaire et propriétés

Nature de l'image

Formules de conjugaison

Condition de formation d'une image réelle

Constructions graphiques

6Modèles de dispositifs optiques

L'œil

L'appareil photographique

La fibre optique à saut d'indice

Méthodes

Exercices d'application

Exercice 1. Réfraction et réflexion totale à la surface de l'eau

Exercice 2. Image par une lentille convergente

Exercice 3. Image par une lentille divergente

Exercice 4. Mesure d'une focale par la méthode de Bessel

Exercice 5. Fibre optique à saut d'indice

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Deux positions de l'objet

Exercice 2. Lentille divergente et objet réel

Exercice 3. Se voir en pied dans un miroir

Exercice 4. Le disque lumineux d'une piscine

Exercice 5. Méthode de Bessel

Exercice 6. Fibre à faible écart d'indice

Exercice 7. Œil myope et verre de contact

Exercice 8. Profondeur de champ calculée

Exercice 9. Le caillou au fond du bassin

Erreurs fréquentes

Au concours