Le cours

Résumé en cinq points

Le théorème de l'énergie cinétique donne une équation scalaire, dans laquelle les forces orthogonales à la vitesse disparaissent.
Une force conservative dérive d'une énergie potentielle, $\vec F = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,E_p$ . Sur un graphe, la force est l'opposé de la pente.
L'énergie mécanique varie du travail des seules forces non conservatives. Elle se conserve quand toutes les forces qui travaillent sont conservatives.
Un graphe d'énergie potentielle donne, sans calcul, le domaine accessible, les points de vitesse nulle, les puits et les barrières, les équilibres et leur stabilité.
Au voisinage d'un équilibre stable, tout système conservatif se comporte comme un oscillateur harmonique de pulsation $\sqrt{E_p''(x_0)/m}$ .

Pourquoi ce chapitre

L'approche énergétique n'est pas une nouvelle physique, c'est une conséquence des lois de Newton. Mais elle change la façon de résoudre :

elle donne une équation scalaire au lieu d'une équation vectorielle ;
elle élimine d'office les forces qui ne travaillent pas ;
elle fournit une intégrale première du mouvement, c'est-à-dire une relation entre position et vitesse sans passer par le temps.

Le programme met l'accent sur la capacité prédictive du graphe d'énergie potentielle. Devant une courbe d'énergie potentielle et une valeur d'énergie mécanique, on doit pouvoir dire sans résoudre la moindre équation :

si le mouvement est borné, s'il est périodique ;
où la vitesse s'annule ;
où sont les équilibres et lesquels sont stables.

Cette compétence resservira pour les forces centrales, pour les états liés en physique quantique et en thermodynamique.

1Puissance, travail, énergie cinétique

1.1Puissance et travail d'une force

Définition 1.1Puissance d'une force

La puissance d'une force $\vec F$ s'exerçant sur un point de vitesse $\vec v$ , dans un référentiel donné, est le produit scalaire $P = \vec F \cdot \vec v.$ Elle s'exprime en watts.

Définition 1.2Travail d'une force

Le travail élémentaire est $\delta W = \vec F \cdot \dd\vec{OM} = P\,\dd t.$ Le travail sur un trajet de $A$ à $B$ est l'intégrale de $\vec F \cdot \dd\vec{OM}$ le long du trajet. Il s'exprime en joules.

Définition 1.3Force motrice, force résistante

Une force est motrice si sa puissance est positive, résistante si elle est négative. Cela se lit sur l'angle entre la force et la vitesse.

Propriété 1.4Force orthogonale à la vitesse

Une force constamment orthogonale à la vitesse ne travaille jamais. C'est le cas de :

la tension d'un fil inextensible ;
la réaction normale d'un support sans frottement ;
la force magnétique.

Cette remarque fait disparaître les inconnues de liaison.

AttentionDépendance au référentiel

La puissance et le travail dépendent du référentiel, puisque la vitesse en dépend.

1.2Énergie cinétique et théorèmes

Définition 1.5Énergie cinétique

L'énergie cinétique d'un point matériel de masse $m$ est $E_c = \tfrac{1}{2}\,m v^2.$

Théorème 1.6Théorème de la puissance cinétique

Hypothèse

référentiel galiléen.

Alors $\frac{\dd E_c}{\dd t} = \sum P,$ somme des puissances des forces s'exerçant sur le point.

Théorème 1.7Théorème de l'énergie cinétique

Hypothèse

référentiel galiléen.

Alors entre deux instants, la variation d'énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces : $E_c(B) - E_c(A) = \sum W_{A \to B}.$

Démonstration

On part de $m\,\dfrac{\dd \vec v}{\dd t} = \sum \vec F$ et on multiplie scalairement par $\vec v$ . Le membre de gauche devient $m\,\vec v \cdot \frac{\dd \vec v}{\dd t} = \frac{\dd}{\dd t}\left(\tfrac{1}{2}\,m v^2\right),$ le membre de droite $\sum \vec F \cdot \vec v$ . On intègre pour obtenir la version en travail.

MéthodeChoisir entre les deux formes

Pour une équation différentielle du mouvement, utiliser le théorème de la puissance cinétique : la relation instantanée se dérive ou se simplifie.
Pour une vitesse en un point connaissant la vitesse en un autre, sans se soucier de la durée, utiliser le théorème de l'énergie cinétique.

2Forces conservatives et énergie potentielle

2.1Définition

Définition 2.1Force conservative

Une force est conservative si son travail entre deux points ne dépend pas du chemin suivi, mais seulement des positions de départ et d'arrivée. On peut alors définir une énergie potentielle $E_p$ , fonction de la seule position, telle que $W_{A \to B} = E_p(A) - E_p(B),$ soit $\delta W = -\dd E_p$ .

L'énergie potentielle est définie à une constante additive près, fixée par une convention de référence. Seules les différences ont un sens physique.

2.2Lien avec le gradient

Propriété 2.2Force et gradient

La relation $\delta W = \vec F \cdot \dd\vec{OM} = -\dd E_p$ s'écrit $\vec F = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,E_p.$ En cartésiennes, les composantes du gradient sont les dérivées partielles de $E_p$ par rapport à $x$ , $y$ , $z$ . L'expression du gradient est fournie par l'énoncé. À une dimension : $F_x = -\frac{\dd E_p}{\dd x}.$

Lecture graphique, exigible. Sur le graphe de $E_p$ en fonction de $x$ , la force est l'opposé de la pente.

Elle est dirigée vers les $x$ décroissants là où la courbe monte, vers les $x$ croissants là où elle descend.
Son intensité est d'autant plus grande que la pente est raide.

Image commode : la force pousse le point vers le bas de la courbe, comme la gravité pousserait une bille posée sur ce profil.

2.3Les trois énergies potentielles au programme

Propriété 2.3Énergie potentielle de pesanteur

Hypothèse

champ uniforme, force $m\vec g$ constante.

Alors avec un axe $Oz$ vertical ascendant, $E_p = mgz + \text{cte}$ . Avec un axe orienté vers le bas, $E_p = -mgz + \text{cte}$ .

Démonstration

Le travail du poids entre deux points vaut $mg\,(z_A - z_B)$ avec l'axe ascendant.

AttentionOrientation de l'axe

Il faut toujours annoncer l'orientation choisie.

Propriété 2.4Énergie potentielle gravitationnelle

Hypothèses

astre ponctuel de masse $M$ ;
masse $m$ à la distance $r$ , force $-\dfrac{GMm}{r^2}\,\vec u_r$ .

Alors, avec la convention d'énergie nulle à l'infini, $E_p = -\frac{GMm}{r}.$

Vérification : $-\dfrac{\dd E_p}{\dd r} = -\dfrac{GMm}{r^2}$ , composante radiale de la force, négative donc attractive.

Propriété 2.5Énergie potentielle élastique

Hypothèse

ressort de raideur $k$ et de longueur à vide $l_0$ .

Alors, avec la convention d'énergie nulle quand le ressort n'est ni étiré ni comprimé, $E_p = \tfrac{1}{2}\,k\,(l - l_0)^2.$

Vérification : la dérivée par rapport à $l$ vaut $k\,(l - l_0)$ , et la force est son opposée, donc bien une force de rappel.

2.4Forces non conservatives

Les forces de frottement, fluides ou solides, ne sont pas conservatives. Leur travail dépend du chemin et il est toujours négatif quand le mouvement est réel, puisque la force est opposée à la vitesse. Aucune énergie potentielle ne leur est associée.

3Énergie mécanique

3.1Définition et théorème

Définition 3.1Énergie mécanique

L'énergie mécanique est $E_m = E_c + E_p$ , où $E_p$ regroupe les énergies potentielles de toutes les forces conservatives.

Théorème 3.2Théorème de l'énergie mécanique

Hypothèse

référentiel galiléen.

Alors la variation d'énergie mécanique est égale au travail des forces non conservatives : $E_m(B) - E_m(A) = W_{\text{nc}},$ ou, en version instantanée, $\dfrac{\dd E_m}{\dd t} = P_{\text{nc}}$ .

Démonstration

On repart du théorème de l'énergie cinétique et on remplace le travail des forces conservatives par l'opposé de la variation d'énergie potentielle.

3.2Mouvement conservatif

Définition 3.3Mouvement conservatif

Le mouvement est conservatif quand $E_m$ se conserve. Cela se produit quand toutes les forces qui travaillent sont conservatives. Les forces qui ne travaillent pas (tension d'un fil, réaction normale sans frottement) ne gênent pas.

MéthodeReconnaître la conservation de l'énergie mécanique

Lister les forces.
Écarter celles qui ne travaillent pas.
Vérifier que toutes les restantes sont conservatives.

L'énergie mécanique se calcule une fois pour toutes à partir des conditions initiales. On obtient $\tfrac{1}{2}\,m v^2 + E_p(x) = E_m,$ valable à tout instant. C'est une intégrale première du mouvement.

4Mouvement conservatif à une dimension

On se donne le graphe de $E_p$ en fonction de $x$ et une valeur de $E_m$ représentée par une droite horizontale.

4.1Domaine accessible

Comme $E_c = E_m - E_p(x)$ est positive ou nulle, le point ne peut se trouver que là où la courbe $E_p(x)$ est sous la droite $E_m$ . Les régions où $E_p$ dépasse $E_m$ sont interdites.

Les points où la courbe coupe la droite sont les points où la vitesse s'annule. Ce sont les points de rebroussement : le mouvement y change de sens.

4.2Puits et barrière

Définition 4.1Puits de potentiel

Un puits de potentiel est un minimum local de $E_p$ , entouré de deux branches croissantes. Si $E_m$ est inférieure au maximum des deux bords, le point reste piégé entre deux points de rebroussement. Le mouvement est alors borné et périodique : c'est un état lié.

Définition 4.2Barrière de potentiel

Une barrière de potentiel est un maximum local.

Un point venant d'un côté avec $E_m$ inférieure à la hauteur de la barrière est réfléchi.
Avec $E_m$ supérieure, il franchit en ralentissant au sommet puis repart.

Remarque

Le franchissement par effet tunnel est étranger à la mécanique classique, il relève de la physique quantique.

Si le domaine accessible est non borné, la trajectoire est non bornée : le point part à l'infini avec une vitesse limite déterminée par la valeur asymptotique de $E_p$ .

4.3Positions d'équilibre et stabilité

Définition 4.3Position d'équilibre

Une position d'équilibre est un point où la force s'annule, donc un extremum de $E_p$ , caractérisé par $\dfrac{\dd E_p}{\dd x} = 0$ .

Un minimum de $E_p$ est un équilibre stable : écarté légèrement, le point subit une force qui le ramène. C'est le fond d'un puits.
Un maximum de $E_p$ est un équilibre instable : écarté légèrement, le point subit une force qui l'éloigne. C'est le sommet d'une bosse.

Propriété 4.4Critère analytique

La dérivée seconde de $E_p$ est positive en un équilibre stable, négative en un équilibre instable. Un cas de dérivée seconde nulle demande d'aller plus loin dans le développement.

4.4Petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable

Propriété 4.5Puits harmonique

Hypothèses

$x_0$ position d'équilibre stable ;
$E_p$ développable au voisinage de $x_0$ .

Alors, le terme d'ordre 1 étant nul puisque la dérivée s'annule, $E_p(x) \approx E_p(x_0) + \tfrac{1}{2}\,E_p''(x_0)\,(x - x_0)^2.$ La force vaut $F = -E_p''(x_0)\,(x - x_0)$ , force de rappel linéaire. L'équation du mouvement devient $m\,\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} + E_p''(x_0)\,(x - x_0) = 0,$ équation d'un oscillateur harmonique de pulsation propre $\omega_0 = \sqrt{\frac{E_p''(x_0)}{m}}.$

Tout système conservatif oscille harmoniquement au voisinage d'un équilibre stable, quelle que soit la forme exacte de son énergie potentielle. C'est la raison pour laquelle l'oscillateur harmonique apparaît partout en physique. Le puits est localement assimilé à une parabole : on parle de puits harmonique.

Exemple 4.6Pendule simple

Avec l'origine au point d'attache et un axe vers le haut, $E_p = -mgl\cos\theta$ .

La dérivée vaut $mgl\sin\theta$ , nulle pour $\theta = 0$ et $\theta = \pi$ .
La dérivée seconde vaut $mgl\cos\theta$ : positive en $\theta = 0$ (équilibre stable), négative en $\theta = \pi$ (équilibre instable).
Le terme d'inertie est $ml^2$ , donc $\omega_0 = \sqrt{\frac{mgl}{ml^2}} = \sqrt{\frac{g}{l}},$ ce qui redonne la période $2\pi\sqrt{l/g}$ .

4.5Capacité numérique

Le programme demande de résoudre numériquement une équation différentielle du second ordre non linéaire et de faire apparaître l'effet des termes non linéaires.

Exemple 4.7Pendule simple non linéaire

L'équation est $\ddot\theta + \frac{g}{l}\sin\theta = 0.$

On la met sous forme d'un système du premier ordre à deux inconnues, $\theta$ et sa dérivée, puis on intègre avec une méthode numérique.
En augmentant l'amplitude initiale, on observe que la période augmente, contrairement à la prévision de l'approximation linéaire.
Comparer la solution numérique et la solution harmonique sur un même graphe rend l'écart visible et quantifiable.
Le portrait de phase (vitesse en fonction de la position) montre des courbes fermées pour les mouvements bornés.

Méthodes

MéthodeChoisir l'approche énergétique

Se demander d'abord si une approche énergétique est plus rapide : c'est le cas quand on cherche une vitesse en fonction de la position, ou quand plusieurs forces ne travaillent pas.
Avant d'écrire une énergie potentielle, poser l'orientation de l'axe et la référence choisie, sinon le signe est indécidable.
Vérifier toute expression d'énergie potentielle en la dérivant : on doit retrouver la force au signe près.

MéthodeMouvement conservatif à une dimension

Dessiner la courbe de $E_p$ .
Tracer la droite $E_m$ avant toute autre chose.
Lire sur ce dessin la réponse qualitative complète.

MéthodePulsation de petites oscillations

Calculer la dérivée seconde de l'énergie potentielle à l'équilibre, plutôt que de linéariser l'équation du mouvement : c'est plus rapide et moins exposé aux erreurs de signe.
En déduire $\omega_0 = \sqrt{E_p''(x_0)/m}$ .

AttentionLimite de l'approche énergétique

Elle donne une équation scalaire. Elle ne suffit pas si l'on cherche une force de liaison, comme la tension d'un fil : il faut alors revenir à la deuxième loi de Newton.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Démontrer le théorème de l'énergie cinétique à partir de la deuxième loi de Newton et donner sa version en puissance.
Définir une force conservative et établir la relation $\vec F = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,E_p$ .
Établir les trois énergies potentielles du programme (pesanteur uniforme, gravitation d'un astre ponctuel, élasticité), en précisant la référence.
Justifier que la tension d'un fil et la réaction normale d'un support lisse ne travaillent pas.
Sur un graphe d'énergie potentielle donné, identifier puits et barrières, déterminer le domaine accessible, les points de vitesse nulle et la nature du mouvement.
Localiser les positions d'équilibre sur un graphe et discuter leur stabilité, avec l'argument sur la dérivée seconde.
Établir l'équation des petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable et donner la pulsation propre en fonction de $E_p''$ .
Traiter le pendule simple par l'énergie, retrouver l'équation du mouvement et la période des petites oscillations.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Puissance et travail dans un référentiel : P = F · v et δW = P dt. Définitions exigibles. La force est motrice si P > 0, résistante si P < 0.
Force orthogonale à la vitesse : puissance et travail nuls. À justifier pour la tension d'un fil à point d'attache fixe et pour la réaction d'un support fixe sans frottement.
Théorème de la puissance cinétique. Référentiel galiléen, point matériel : dE_c/dt = Σ P. Exigible avec démonstration.
Théorème de l'énergie cinétique. Mêmes hypothèses : ΔE_c = Σ W entre deux instants. Exigible avec démonstration.
Force conservative : son travail ne dépend que des positions extrêmes. Alors δW = − dE_p et F = − grad E_p. Exigible, l'expression du gradient étant fournie.
Trois énergies potentielles, à savoir établir. Pesanteur uniforme : m g z avec un axe ascendant. Gravitation d'un astre ponctuel : − G M m / r, nulle à l'infini. Élasticité : ½ k (l − l₀)².
Théorème de l'énergie mécanique. Référentiel galiléen : ΔE_m égale le travail des forces non conservatives. Exigible avec démonstration.
Conservation de E_m si toutes les forces qui travaillent sont conservatives. Reconnaître ces cas est exigible.
Domaine accessible à une dimension : E_p(x) ≤ E_m, conséquence immédiate de E_c ≥ 0.
Équilibre : x₀ est une position d'équilibre si et seulement si E_p'(x₀) = 0. Exigible.
Stabilité : E_p''(x₀) > 0 ⇒ stable, E_p''(x₀) < 0 ⇒ instable. Si E_p''(x₀) = 0, on ne conclut pas à cet ordre. Analyse qualitative exigible.
Petits mouvements : m ẍ = − E_p''(x₀)(x − x₀), d'où ω₀ = √(E_p''(x₀)/m). Exigible avec établissement. Pour un angle avec E_c = ½ m l² θ̇², ω₀² = E_p''(θ₀)/(m l²).
Hors programme ou reporté, à signaler si un énoncé l'utilise : critère de conservativité par le rotationnel, formule intégrale exacte de la période d'un oscillateur non linéaire, énergie cinétique d'un solide, énergie potentielle d'inertie en référentiel non galiléen. L'énergie potentielle électrique q V relève de la partie suivante du programme.

Clés de démonstration

Théorèmes cinétiques. On multiplie scalairement la deuxième loi de Newton par v. Le seul point technique est v · dv/dt = ½ d(v · v)/dt. L'astuce est de projeter sur la vitesse plutôt que sur des axes, ce qui élimine d'office les forces orthogonales au mouvement.

Travail du poids. Le champ m g est constant, il sort de l'intégrale : W = m g · AB. Avec un axe ascendant, W = m g (z_A − z_B), d'où E_p = m g z. L'astuce est qu'un champ uniforme donne un travail qui ne dépend que du déplacement total.

Gravitation et élasticité. On écrit OM = r u_r, donc dOM = dr u_r + r du_r, et u_r · du_r = 0 car u_r est unitaire. D'où u_r · dOM = dr. Pour la gravitation, δW = − G M m dr/r² = − d(− G M m/r). Pour le ressort, δW = − k (l − l₀) dl. L'astuce commune est cette propriété du vecteur unitaire.

Tension d'un fil tendu. Si O est fixe et le fil tendu, OM² = l² est constant. En dérivant, 2 OM · v = 0. La tension, colinéaire à OM, est orthogonale à v. L'astuce est de dériver une contrainte géométrique.

Théorème de l'énergie mécanique. On sépare les travaux en forces conservatives et non conservatives. On remplace le premier groupe par − ΔE_p et on le passe à gauche.

Petits mouvements. On dérive ½ m ẋ² + E_p(x) = E_m, d'où ẋ (m ẍ + E_p'(x)) = 0. On simplifie par ẋ, non identiquement nul, puis E_p'(x) ≈ E_p''(x₀)(x − x₀). L'astuce est le développement de Taylor à l'ordre un de la dérivée, dont le terme constant est nul.

Exemples et contre-exemples à connaître

Pendule simple. La tension ne travaille pas tant que le fil est tendu. L'énergie donne la vitesse, seule la loi de Newton donne la tension. C'est l'exemple type de la limite de la méthode.
Frottement fluide − α v. On a dE_m/dt = − α v² ≤ 0 : l'énergie décroît quel que soit le sens du mouvement.
Plancher d'ascenseur. Dans le référentiel du sol, la réaction a la direction de la vitesse du point posé dessus, donc elle travaille. La règle « la réaction normale ne travaille pas » ne vaut que pour un support fixe.
Frottement solide sur un aller-retour. Le travail vaut − 2 f N d et non zéro, preuve directe que la force n'est pas conservative.
Vitesse de libération terrestre : √(2 G M/R) ≈ 11,2 km/s. Ordre de grandeur à connaître, calcul en une ligne.
Potentiel c x⁴ avec c > 0. L'équilibre en 0 est stable alors que E_p''(0) = 0. Les oscillations ne sont pas harmoniques, leur période dépend de l'amplitude.
Potentiel en x³. En 0, E_p' = E_p'' = 0, mais l'équilibre est instable. Il faut regarder le signe de la force de part et d'autre.
Molécule diatomique. Puits dissymétrique, raide à courte distance, plat à grande distance. Il illustre l'état lié et la dissociation.

Techniques du chapitre

Lire le signe de la puissance. Mini-exercice : pierre lancée vers le haut, le poids est-il moteur ? À la montée, m g et v sont opposés, P < 0, le poids est résistant. À la descente, P > 0, il est moteur.

Théorème de l'énergie cinétique pour une vitesse. Mini-exercice : chute libre sans vitesse initiale de h = 5,0 m. On a ½ m v² = m g h, donc v = √(2 g h) = 9,9 m/s. Aucune durée n'intervient.

Équation du mouvement par la puissance. Mini-exercice : masse m, ressort k, frottement − α v, mouvement horizontal. E_m = ½ m ẋ² + ½ k x² et dE_m/dt = − α ẋ². Donc ẋ (m ẍ + α ẋ + k x) = 0, soit m ẍ + α ẋ + k x = 0.

Tracer la droite E_m sur le graphe. Mini-exercice : E_p = − E₀ exp(− x²/a²). Si − E₀ < E_m < 0, mouvement borné et périodique. Si E_m ≥ 0, mouvement non borné, vitesse limite √(2 E_m/m). Si E_m = − E₀, repos en x = 0.

Calculer E_p'' plutôt que linéariser. Mini-exercice : ressort vertical, axe Oz descendant depuis le point d'attache. E_p = ½ k (z − l₀)² − m g z, équilibre en z = l₀ + m g/k. Comme E_p'' = k, ω₀ = √(k/m) : la pesanteur ne change pas la pulsation.

Garder l'énergie cinétique au plus bas ordre. Mini-exercice : glissement sans frottement dans une gouttière z = x²/(2R). E_p = m g x²/(2R). Le terme ż² = x² ẋ²/R² est d'ordre quatre en l'amplitude, donc E_c ≈ ½ m ẋ² et ω₀ = √(g/R).

Contrôler une énergie potentielle par sa dérivée. Mini-exercice : un élève écrit E_p = + G M m/r. Alors − dE_p/dr = + G M m/r² > 0, force répulsive. L'expression est fausse.

Préparer une résolution numérique. Mini-exercice : pendule simple. On pose θ' = Ω et Ω' = − (g/l) sin θ. Avec un pas h, θ_(n+1) = θ_n + h Ω_n et Ω_(n+1) = Ω_n − h (g/l) sin θ_n. Test de validité : E_m calculée doit rester constante.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Freinage sur un plan incliné

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Un bloc de masse m est lancé vers le haut d'un plan incliné d'angle α à la vitesse v₀. Le coefficient de frottement vaut f, en statique comme en dynamique. Quelle distance parcourt-il avant l'arrêt ? Reste-t-il ensuite immobile ?

Technique Théorème de l'énergie cinétique avec une force non conservative, puis lois de Coulomb.

Voir le corrigé

Forces : poids, réaction normale N, frottement T opposé à la vitesse, avec T = f N pendant le glissement.
Pas de mouvement perpendiculaire au plan, donc la loi de Newton projetée donne N = m g cos α. L'énergie ne fournit pas ce résultat.
Entre départ et arrêt : 0 − ½ m v₀² = − m g d sin α − f m g cos α d.
D'où d = v₀²/(2 g (sin α + f cos α)).
À l'arrêt, hypothèse de non-glissement : il faut m g sin α ≤ f m g cos α, soit tan α ≤ f. Sinon le bloc redescend.

piège : Oublier que le frottement reste résistant à la descente, car il change de sens avec la vitesse.

Exercice 2. Pendule faisant un tour complet

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Un point de masse m est suspendu à un fil de longueur l et lancé depuis la position basse avec une vitesse horizontale v₀. À quelle condition fait-il un tour complet fil tendu ? Même question avec une tige rigide de masse négligeable.

Technique Énergie pour la vitesse, loi de Newton radiale pour la tension.

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La tension ne travaille pas, E_m se conserve. Avec θ repéré depuis la verticale descendante, v² = v₀² − 2 g l (1 − cos θ).
Projection radiale, l'accélération selon OM valant − v²/l : T = m g cos θ + m v²/l.
D'où T = m v₀²/l − 2 m g + 3 m g cos θ, minimale en θ = π où elle vaut m v₀²/l − 5 m g.
Le fil reste tendu sur tout le tour si v₀ ≥ √(5 g l).
Si √(2 g l) < v₀ < √(5 g l), le fil se détend au-dessus de l'horizontale et le point suit une chute parabolique.
Avec une tige, la tension peut changer de signe. Il suffit que la vitesse ne s'annule pas en haut, soit v₀ > 2 √(g l). Pour v₀ = 2 √(g l), le sommet est atteint en un temps infini.

piège : Conclure au tour complet dès que E_m ≥ 2 m g l, en oubliant que le fil peut se détendre.

Exercice 3. Tir vertical depuis la Terre

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

On néglige l'atmosphère et la rotation terrestre. Un projectile est lancé verticalement depuis le sol à la vitesse v₀. On note g₀ = G M/R². Trouver l'altitude maximale et la vitesse de libération.

Technique Conservation de l'énergie avec l'énergie potentielle gravitationnelle.

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Seule la gravitation agit, elle est conservative : ½ v₀² − g₀ R = ½ v² − g₀ R²/r.
Au sommet, v = 0, donc r_max = R/(1 − v₀²/(2 g₀ R)), si v₀² < 2 g₀ R.
Si v₀² ≥ 2 g₀ R, la vitesse ne s'annule jamais et le projectile part à l'infini. Vitesse de libération : √(2 × 9,8 × 6,4 × 10⁶) ≈ 11 km/s.
Si v₀² ≪ g₀ R, un développement donne r_max − R ≈ v₀²/(2 g₀), le résultat en pesanteur uniforme.

piège : Utiliser m g h pour des altitudes comparables au rayon terrestre.

Exercice 4. Brisure de symétrie entre deux ressorts

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP PC

Un point M de masse m glisse sans frottement sur une glissière horizontale Ox. Deux ressorts identiques, de raideur k et de longueur à vide l₀, le relient à A(0, a) et B(0, − a). Étudier les équilibres et leur stabilité selon le signe de a − l₀.

Technique Extrémums de E_p et calcul de E_p''.

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Poids et réaction ne travaillent pas. On pose u(x) = √(a² + x²) − l₀, et E_p = k u².
E_p' = 2 k u u', avec u' = x/√(a² + x²). Équilibre en x = 0, ou là où √(a² + x²) = l₀.
E_p'' = 2 k (u'² + u u''). En 0, u' = 0 et u'' = 1/a, d'où E_p''(0) = 2 k (a − l₀)/a.
Si a > l₀, 0 est stable, avec ω₀ = √(2 k (a − l₀)/(m a)).
Si a < l₀, 0 est instable. Deux équilibres apparaissent en x = ± √(l₀² − a²), où E_p'' = 2 k (l₀² − a²)/l₀² > 0 : ils sont stables.
Si a = l₀, E_p ≈ k x⁴/(4 a²) : équilibre stable mais non harmonique.

piège : Projeter les forces des ressorts au lieu de passer par l'énergie. Le calcul vectoriel est bien plus long.

Exercice 5. Puits moléculaire

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP PC

Un atome de masse m se déplace sur un axe près d'un atome lourd fixe à l'origine. On donne E_p(r) = E₀ ((a/r)¹² − 2 (a/r)⁶). Tracer l'allure de E_p, trouver l'équilibre, sa pulsation, et discuter selon E_m.

Technique Lecture de graphe et dérivée seconde.

Voir le corrigé

E_p tend vers + ∞ en 0 et vers 0⁻ à l'infini. F = (12 E₀/a)((a/r)¹³ − (a/r)⁷), répulsive pour r < a, attractive pour r > a.
Équilibre en r = a, avec E_p(a) = − E₀. C'est le fond du puits, donc stable.
E_p''(a) = E₀ (156 − 84)/a² = 72 E₀/a², d'où ω₀ = √(72 E₀/(m a²)).
Si − E₀ < E_m < 0, oscillation entre deux points de rebroussement : mouvement lié, périodique, anharmonique à grande amplitude.
Si E_m ≥ 0, la molécule se dissocie, vitesse à l'infini √(2 E_m/m). L'énergie de dissociation depuis le repos à l'équilibre vaut E₀.

piège : Confondre le zéro de E_p, en r = a/2^1/6, avec la position d'équilibre.

Exercice 6. Double puits et séparatrice

Approfondissement · Type oral Centrale

On donne E_p(x) = E₀ (x²/a² − 1)², avec E₀ > 0. Étudier les équilibres, décrire le mouvement selon E_m, et le cas E_m = E₀.

Technique Graphe d'énergie potentielle et comportement près d'un maximum.

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E_p' = 4 E₀ x (x²/a² − 1)/a² et E_p'' = 4 E₀ (3 x²/a² − 1)/a².
En 0, E_p'' = − 4 E₀/a² : instable, barrière de hauteur E₀. En ± a, E_p'' = 8 E₀/a² : stables, ω₀ = √(8 E₀/(m a²)).
Si 0 < E_m < E₀, le point reste dans un puits, entre x² = a² (1 − √(E_m/E₀)) et x² = a² (1 + √(E_m/E₀)).
Si E_m > E₀, il oscille d'un puits à l'autre, entre ± a √(1 + √(E_m/E₀)), toujours périodiquement.
Si E_m = E₀, près de 0 on a E_p ≈ E₀ − 2 E₀ x²/a², donc |ẋ| = 2 |x| √(E₀/m)/a. La distance au sommet décroît exponentiellement, x = 0 est atteint en un temps infini. C'est la séparatrice.

piège : Affirmer que le point franchit le sommet à vitesse nulle en un temps fini.

Exercice 7. Dérive de la méthode d'Euler

Approfondissement · Type écrit Mines

On intègre ẍ + ω₀² x = 0 par la méthode d'Euler explicite de pas h. Montrer que ω₀² x² + v² est multipliée par un facteur fixe à chaque pas. Commenter pour la simulation du pendule non linéaire.

Technique L'énergie comme test d'un schéma numérique.

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Schéma : x_(n+1) = x_n + h v_n et v_(n+1) = v_n − h ω₀² x_n.
Dans ω₀² x_(n+1)² + v_(n+1)², les doubles produits 2 h ω₀² x_n v_n se compensent. Il reste (ω₀² x_n² + v_n²)(1 + ω₀² h²).
L'énergie croît d'un facteur (1 + ω₀² h²) par pas. Avec h = T₀/100, cela fait environ exp(2π ω₀ h) ≈ 1,48 par période, près de 50 % de hausse.
Pour le pendule, il faut un pas plus fin ou un solveur d'ordre élevé, comme odeint ou solve_ivp. On vérifie la conservation de E_m avant d'interpréter.
On observe alors l'effet non linéaire : la période croît avec l'amplitude, T/T₀ ≈ 1,18 pour θ₀ = 90°. La formule de Borda, T ≈ T₀ (1 + θ₀²/16), est hors programme et ne sert de comparaison que si l'énoncé la fournit.

piège : Prendre la dérive numérique pour un effet physique non linéaire.

Exercice 8. Paradoxe du satellite freiné

Approfondissement · Type écrit Centrale

Un satellite de masse m est en orbite circulaire de rayon r autour d'un astre de masse M. Il subit un faible frottement d'intensité f. Montrer que sa vitesse augmente et estimer la perte de rayon par tour.

Technique Théorème de l'énergie mécanique sur des orbites quasi circulaires.

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Pour un mouvement circulaire uniforme, v² = G M/r. Donc E_c = G M m/(2 r) et E_m = − G M m/(2 r) = − E_c.
Le frottement est résistant, E_m diminue, donc r diminue.
Comme E_c = − E_m, l'énergie cinétique augmente. Le travail de la gravitation vaut deux fois la valeur absolue de celui du frottement.
Sur un tour, ΔE_m = − 2π r f. Avec dE_m/dr = G M m/(2 r²), Δr = − 4π r³ f/(G M m).
L'orbite devient une spirale lente. La vitesse a une petite composante vers l'astre, qui rend la gravitation motrice.

piège : Raisonner « le frottement freine, donc la vitesse diminue » sans bilan de tous les travaux.

Erreurs fréquentes

Déclarer E_m conservée sans lister les forces. Un frottement solide ou un support mobile suffit à rompre la conservation.
Écrire une énergie potentielle sans axe ni référence. On se trompe de signe sur m g z, ou on utilise m g h à l'échelle planétaire.
Chercher une tension ou une réaction avec la seule énergie. L'équation énergétique est scalaire, la force de liaison exige la loi de Newton.
Mal calculer la pulsation. Il faut diviser E_p'' par la bonne inertie, m pour une position, m l² pour un angle, et dériver par rapport à la variable du mouvement.
Conclure sur la stabilité quand E_p'' est nul, ou simplifier par ẋ sans justification. Il faut alors examiner le signe de la force de part et d'autre de l'équilibre.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique de PCSI (2021), premier semestre, thème 2 « mouvements et interactions », partie 2.3 « Approche énergétique du mouvement d'un point matériel ». Elle couvre puissance et travail, les théorèmes de l'énergie cinétique et de la puissance cinétique, les forces conservatives et l'énergie potentielle, l'énergie mécanique et la lecture des graphes d'énergie potentielle.

Approche énergétique du mouvement d'un point matériel

Résumé en cinq points

1Puissance, travail, énergie cinétique

1.1Puissance et travail d'une force

1.2Énergie cinétique et théorèmes

2Forces conservatives et énergie potentielle

2.1Définition

2.2Lien avec le gradient

2.3Les trois énergies potentielles au programme

2.4Forces non conservatives

3Énergie mécanique

3.1Définition et théorème

3.2Mouvement conservatif

4Mouvement conservatif à une dimension

4.1Domaine accessible

4.2Puits et barrière

4.3Positions d'équilibre et stabilité

4.4Petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable

4.5Capacité numérique

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Freinage sur un plan incliné

Exercice 2. Pendule faisant un tour complet

Exercice 3. Tir vertical depuis la Terre

Exercice 4. Brisure de symétrie entre deux ressorts

Exercice 5. Puits moléculaire

Exercice 6. Double puits et séparatrice

Exercice 7. Dérive de la méthode d'Euler

Exercice 8. Paradoxe du satellite freiné

Erreurs fréquentes

Au concours