Particules chargées dans des champs électrique et magnétique

Résumé en cinq points

1La force de Lorentz

1.1Expression

On distingue deux contributions :

• la composante électrique, $q\vec E$ : elle est colinéaire à $\vec E$, de même sens si $q > 0$, de sens opposé si $q < 0$. Elle ne dépend pas de la vitesse, elle agit même sur une particule immobile ;
• la composante magnétique, $q\,\vec v \times \vec B$ : elle est perpendiculaire à la fois à $\vec v$ et à $\vec B$. Elle est nulle si la particule est immobile, et nulle aussi si $\vec v$ est colinéaire à $\vec B$.

1.2Ordres de grandeur et comparaison des forces

Prenons un électron, de charge $-e$ avec $e = 1{,}60 \times 10^{-19} \unite{C}$, et de masse $m = 9{,}11 \times 10^{-31} \unite{kg}$.

La force électrique est environ $10^{14}$ fois plus grande que le poids, et la force magnétique encore cent fois plus. On néglige donc systématiquement la gravitation dans l'étude du mouvement d'une particule chargée. Cette conclusion est exigible, et l'ordre de grandeur du rapport doit pouvoir être retrouvé rapidement.

1.3Puissance de la force de Lorentz

La force magnétique ne travaille jamais. Elle ne peut donc ni augmenter ni diminuer l'énergie cinétique d'une particule, elle ne fait que courber la trajectoire. Seul un champ électrique peut modifier l'énergie cinétique d'une particule chargée.

Cette distinction explique le partage des rôles dans un accélérateur de particules : les champs électriques accélèrent, les champs magnétiques guident et focalisent.

2Mouvement dans un champ électrostatique uniforme

2.1Mise en équation

La particule n'est soumise qu'à la force électrique, le poids étant négligé. La deuxième loi de Newton dans un référentiel galiléen donne $$m\vec a = q\vec E, \quad \text{soit} \quad \vec a = \frac{q\vec E}{m}.$$

Le champ étant uniforme et stationnaire, $\vec a$ est un vecteur constant. On reconnaît un mouvement à vecteur accélération constant, exactement analogue au mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur uniforme, avec $q\vec E/m$ à la place de $\vec g$. Toutes les conclusions du chapitre de cinématique s'appliquent.

La trajectoire est une droite si $\vec v_0$ est colinéaire à $\vec E$ ou nulle, une parabole sinon.

2.2Déviation d'un faisceau

Dispositif type à savoir décrire. Une particule entre avec la vitesse $v_0$ selon $Ox$, dans la région située entre deux plaques parallèles horizontales de longueur $L$, séparées de $d$, entre lesquelles règne un champ $\vec E$ uniforme dirigé selon $Oy$. Un écran est placé à la distance $D$ après les plaques.

Le mouvement selon $Ox$ est uniforme, $x = v_0 t$, et le mouvement selon $Oy$ est uniformément accéléré : $$y = \frac{1}{2}\frac{qE}{m}\,t^2.$$ En éliminant le temps on obtient une parabole à l'intérieur des plaques, puis une droite une fois sorti du champ.

Elle est proportionnelle au rapport $q/m$ de la particule, ce qui fait de ce dispositif un instrument de tri, et elle décroît quand la vitesse d'entrée augmente. C'est le principe historique du tube cathodique à déviation électrostatique.

2.3Accélération par une différence de potentiel

C'est la situation la plus utilisée. Une particule de charge $q$ part sans vitesse initiale d'un point $A$ et atteint un point $B$, entre lesquels règne une différence de potentiel $U = V_A - V_B$.

Pour que la particule soit effectivement accélérée, il faut que $qU$ soit positif. Un électron, de charge négative, est accéléré des potentiels bas vers les potentiels élevés, donc dans le sens inverse d'un proton.

Le dispositif précédent communique donc à un électron une énergie de $U$ électronvolts, ce qui évite les puissances de dix.

3Mouvement dans un champ magnétostatique uniforme

3.1Cadre d'étude

On se place dans le seul cas au programme, une vitesse initiale $\vec v_0$ perpendiculaire au champ $\vec B$, supposé uniforme et stationnaire. On oriente l'axe $Oz$ selon $\vec B$, et $\vec v_0$ est donc dans le plan $Oxy$.

3.2Deux résultats préalables

3.3Caractère circulaire, rayon et pulsation

Le mouvement est donc plan et uniforme. Comme il est uniforme, l'accélération n'a pas de composante tangentielle, elle est purement normale. Or la force a pour norme $\abs{q}vB$, constante. Une accélération purement normale et de norme constante impose un rayon de courbure constant, donc une trajectoire circulaire.

La pulsation, donc la période $T = 2\pi m/(\abs{q}B)$, ne dépend pas de la vitesse de la particule. Toutes les particules de même rapport charge sur masse tournent à la même fréquence, quelle que soit leur énergie. C'est le principe du cyclotron, où une tension alternative de fréquence fixe accélère les particules à chaque demi-tour tandis que leur rayon croît.

3.4Sens de parcours

Le sens se détermine directement à partir de l'expression de la force, sans formule à mémoriser.

Une charge négative tourne en sens inverse. Règle de synthèse : le vecteur rotation est antiparallèle à $\vec B$ pour une charge positive, parallèle à $\vec B$ pour une charge négative. Cette observation du sens de parcours permet d'identifier le signe de la charge sur une photographie de chambre à bulles.

3.5Applications

Autres exemples à citer :

• le confinement des particules chargées par le champ magnétique terrestre, qui les fait s'enrouler autour des lignes de champ et les guide vers les pôles, à l'origine des aurores polaires ;
• la déviation magnétique des faisceaux dans les accélérateurs ;
• la focalisation d'un faisceau d'électrons dans un microscope électronique.

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

1. Écrire la force de Lorentz et distinguer précisément ses deux contributions.
2. Comparer par le calcul les ordres de grandeur des forces électrique, magnétique et gravitationnelle sur un électron, et conclure.
3. Montrer que la puissance de la force de Lorentz se réduit au terme électrique, et en tirer le rôle respectif des deux champs.
4. Mettre en équation le mouvement dans un champ électrostatique uniforme et le caractériser comme un mouvement à accélération constante.
5. Traiter la déviation d'un faisceau entre deux plaques et exprimer la déviation en sortie.
6. Établir $v = \sqrt{2qU/m}$ par un bilan énergétique et faire l'application numérique pour un électron sous $1 \unite{kV}$.
7. Démontrer que le mouvement dans un champ magnétique uniforme avec vitesse initiale perpendiculaire est circulaire uniforme, et établir le rayon et la pulsation cyclotron.
8. Déterminer le sens de parcours à partir du produit vectoriel, et expliquer le principe du spectromètre de masse.

Les résultats à connaître

• Force de Lorentz. F = q(E + v × B) sur une charge ponctuelle q, dans le référentiel où les champs sont donnés. Loi admise, expression exigible.
• Cadre de validité. Particule non relativiste, champs extérieurs imposés, rayonnement de la particule négligé. La relativité est hors programme. Il faut la signaler dès que v dépasse environ c/10.
• Négligeabilité du poids. Pour un électron dans 10⁴ V/m, eE/(mg) vaut environ 10¹⁴. Exigible, à retrouver par le calcul.
• Puissance de la force de Lorentz. P = qE·v. Exigible avec démonstration.
• Rôle des deux champs. Dans un champ magnétique seul, l'énergie cinétique est constante, donc la norme de la vitesse aussi. Exigible avec justification.
• Champ entre deux plaques. Entre deux plaques planes parallèles distantes de d, sous la tension U, le champ est uniforme, de norme U/d. Il est dirigé vers la plaque de plus bas potentiel. Relation admise dans ce chapitre.
• Travail électrique. Le travail de qE de A vers B vaut q(V_A − V_B). Il ne dépend pas du chemin, et l'énergie potentielle associée vaut qV. Exigible.
• Mouvement dans E uniforme et stationnaire. L'accélération vaut qE/m et elle est constante. La trajectoire est une droite ou une parabole. Exigible avec démonstration.
• Vitesse acquise sous une tension U. Si la particule part du repos et si qU > 0, v = √(2qU/m). Dans le cas général, v² = v₀² + 2qU/m. Exigible avec démonstration.
• Déviation électrostatique. En sortie de plaques de longueur L, y_s = qEL²/(2mv₀²) et tan α = qEL/(mv₀²). Exigible, à établir à chaque fois.
• Mouvement dans B uniforme avec v₀ ⊥ B. Le mouvement est circulaire uniforme, de rayon R = mv₀/(|q|B) et de pulsation ω_c = |q|B/m. Exigible avec démonstration.
• Sens de parcours. Le vecteur rotation vaut Ω = − qB/m. Exigible, à retrouver par un produit vectoriel.
• Hors programme, à signaler. Vitesse initiale quelconque dans B (trajectoire en hélice). Mouvement général dans E et B superposés (cycloïde). Champs non uniformes. Seule la trajectoire rectiligne du filtre de Wien se traite avec les outils du programme, par un simple équilibre des forces.

Clés de démonstration

Puissance de la force de Lorentz. On calcule F·v = qE·v + q(v × B)·v. Le produit vectoriel v × B est orthogonal à v, donc le second terme est nul. L'astuce consiste à ne rien calculer en coordonnées : un produit mixte contenant deux fois le même vecteur est nul.

Accélération constante dans E. Le poids est écarté par ordre de grandeur, puis la deuxième loi de Newton donne ma = qE. Comme E est uniforme et stationnaire, a ne dépend ni du point ni du temps. L'astuce est l'analogie avec la chute libre : on remplace g par qE/m, et tout le chapitre de cinématique s'applique.

Vitesse acquise. On applique le théorème de l'énergie cinétique entre le départ et l'arrivée. Le travail vaut q(V_A − V_B) = qU quel que soit le trajet. L'astuce est le caractère conservatif de la force électrique : on évite d'intégrer les équations horaires.

Déviation en sortie de plaques. On projette : x = v₀t et y = ½(qE/m)t². À la sortie, t = L/v₀. L'angle se lit sur le rapport v_y/v_x. L'astuce est de calculer l'angle par les vitesses et non en dérivant l'équation de la trajectoire.

Mouvement circulaire, méthode géométrique. La norme de la vitesse est constante (bilan de puissance) et le mouvement est plan (aucune force selon B). L'accélération est donc purement normale, de norme constante |q|vB/m. En l'égalant à v²/R, on obtient un rayon de courbure constant, donc un cercle.

Mouvement circulaire, méthode analytique. On projette sur Ox et Oy et l'on obtient deux équations couplées. On pose w = v_x + i v_y, ce qui donne dw/dt = − iωw avec ω = qB/m. L'astuce est la variable complexe : elle découple le système et fournit en même temps le rayon, le centre et le sens de parcours.

Exemples et contre-exemples à connaître

1. Vitesse initiale colinéaire à B. La force magnétique est nulle et le mouvement est rectiligne uniforme. C'est le contre-exemple à l'idée qu'un champ magnétique courbe toujours la trajectoire.
2. Particule neutre. Un neutron ou un photon traverse les champs sans être dévié. Sur un cliché de chambre à bulles, une particule neutre ne laisse pas de trace.
3. Électron et proton de même énergie cinétique. R = √(2mE_c)/(|q|B), donc le rapport des rayons vaut √(m_p/m_e) ≈ 43. Le proton tourne beaucoup plus large.
4. Électron sous 1 V. Sa vitesse vaut 5,9 × 10⁵ m/s. C'est l'ordre de grandeur de base pour les estimations mentales.
5. Électron sous 1 MV. Le calcul classique donne 5,9 × 10⁸ m/s, soit plus que c. Ce résultat absurde montre la limite du modèle non relativiste.
6. Tension retardatrice. Si qU < 0, la particule est freinée et peut rebrousser chemin. C'est le principe de la mesure d'une énergie cinétique par potentiel d'arrêt.
7. Champ magnétique terrestre. Un électron à 10⁶ m/s dans 5 × 10⁻⁵ T décrit un cercle d'environ 11 cm, et un proton à la même vitesse un cercle d'environ 200 m. Cela montre l'efficacité du piégeage à grande échelle.
8. Filtre de Wien. Avec E et B croisés, seules les particules de vitesse E/B vont tout droit, quels que soient leur charge et leur signe. Ce dispositif sélectionne une vitesse, il ne sélectionne pas une masse.

Techniques du chapitre

Écarter le poids par un rapport chiffré. Mini-exercice : proton dans un champ de 10³ V/m. On a eE = 1,6 × 10⁻¹⁶ N et mg = 1,6 × 10⁻²⁶ N. Le rapport vaut 10¹⁰, on néglige le poids.

Préférer le bilan d'énergie. Mini-exercice : électron entrant à 1,0 × 10⁶ m/s dans une zone accélératrice de 100 V. v² = v₀² + 2eU/m = 10¹² + 3,5 × 10¹³ = 3,6 × 10¹³ m²/s². On obtient v = 6,0 × 10⁶ m/s.

Compter en électronvolts. Mini-exercice : ion He²⁺ accéléré sous 5 kV. Sa charge vaut 2e, il gagne donc 10 keV, soit 1,6 × 10⁻¹⁵ J. Il ne faut pas oublier le facteur 2.

Orienter le champ à partir de la tension. Mini-exercice : plaques distantes de 1 cm sous 200 V. E = 2 × 10⁴ V/m, dirigé de la plaque positive vers la négative. Un électron est attiré vers la plaque positive.

Trouver le sens de parcours par un produit vectoriel. Mini-exercice : électron de vitesse v e_y dans B e_z. F = − evB (e_y × e_z) = − evB e_x, donc le centre est du côté des x négatifs. L'électron monte avec le centre à sa gauche : il tourne dans le sens direct autour de B.

Écrire le rayon avec la quantité de mouvement. R = p/(|q|B). Mini-exercice : isotopes 235 et 238 de l'uranium, accélérés sous la même tension. Alors p = √(2mqU), donc R est proportionnel à √m. Le rapport des rayons vaut √(238/235) = 1,006.

Contrôler par l'homogénéité. qvB est une force, donc qB/m est une accélération divisée par une vitesse, soit une pulsation. Mini-exercice : repérer l'erreur dans R = |q|B/(mv). Cette expression a la dimension de l'inverse d'une longueur, elle est donc inversée.

Relier l'angle de déviation au rayon. Mini-exercice : particule entrant perpendiculairement dans une bande de champ B de largeur ℓ = 5 cm, avec R = 10 cm. Elle ressort déviée d'un angle θ tel que sin θ = ℓ/R = 0,5, soit θ = 30°.

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