Le cours

Résumé en cinq points

Converger vers $\ell$ , c'est être dans tout intervalle centré en $\ell$ à partir d'un certain rang. Le rang dépend de $\varepsilon$ .
Les inégalités larges passent à la limite, les strictes non. Le théorème des gendarmes donne à la fois l'existence de la limite et sa valeur.
Toute suite croissante majorée converge. C'est la traduction directe de la propriété de la borne supérieure.
Une suite extraite hérite de la limite, ce qui sert surtout à prouver des divergences. De toute suite bornée on peut extraire une suite convergente.
Pour $u_{n+1} = f(u_n)$ : stabilité d'un intervalle, monotonie, convergence, et seulement ensuite recherche du point fixe, avec $f$ continue en la limite.

Pourquoi ce chapitre

Les suites sont le premier objet limite du programme : on y apprend à écrire et à manipuler des quantificateurs imbriqués.
Tous les grands théorèmes d'analyse du reste de l'année se démontrent avec des suites, du théorème des valeurs intermédiaires jusqu'au théorème des bornes atteintes.
Une suite sert aussi à approcher un réel, base du calcul numérique, et à modéliser un phénomène discret.
On distingue les aspects qualitatifs (monotonie, convergence) et les aspects quantitatifs (majorations, vitesse de convergence).
Aux concours, les suites récurrentes sont un exercice d'oral très fréquent, avec une méthode bien rodée à savoir dérouler.

1Généralités

Définition 1.1Suite réelle

Une suite réelle est une application de $\N$ , ou d'une partie de $\N$ formée des entiers supérieurs à $n_0$ , dans $\R$ . On note $u_n$ l'image de $n$ et $(u_n)$ la suite elle-même.

Attention

Ne pas confondre la suite $(u_n)$ , qui est une application, et le terme $u_n$ , qui est un nombre.

Définition 1.2Suite majorée, minorée, bornée

Une suite $(u_n)$ est :

majorée s'il existe $M$ tel que $u_n \leqslant M$ pour tout $n$ ;
minorée si l'inégalité inverse a lieu pour un réel $m$ ;
bornée si elle est majorée et minorée.

Une suite est bornée si et seulement si la suite des $\abs{u_n}$ est majorée.

Définition 1.3Monotonie

Une suite est croissante si $u_{n+1} \geqslant u_n$ pour tout $n$ , strictement croissante si l'inégalité est stricte, et de même pour la décroissance.

Elle est monotone si elle est croissante ou décroissante.
Elle est stationnaire si elle est constante à partir d'un certain rang.

MéthodeÉtudier la monotonie

Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ .
Si la suite est à termes strictement positifs, comparer le quotient $u_{n+1}/u_n$ à 1.

Trois modes de définition coexistent :

explicite, quand $u_n$ est donné par une formule en $n$ ;
par récurrence, quand $u_{n+1}$ s'exprime à partir des termes précédents ;
implicite, quand $u_n$ est défini comme l'unique solution d'une équation dépendant de $n$ , l'existence étant justifiée par le théorème de la bijection.

Définition 1.4À partir d'un certain rang

Une propriété est vraie à partir d'un certain rang s'il existe $N$ tel qu'elle soit vraie pour tout $n \geqslant N$ .

Toutes les notions de limite sont insensibles à la modification d'un nombre fini de termes.

2Limite d'une suite réelle

2.1Définitions

Définition 2.1Convergence vers un réel

La suite $(u_n)$ converge vers le réel $\ell$ si $\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \N,\ \forall n \geqslant N,\ \abs{u_n - \ell} \leqslant \varepsilon.$ Le programme énonce les définitions avec des inégalités larges.

À partir d'un certain rang, tous les termes sont dans l'intervalle centré en $\ell$ de rayon $\varepsilon$ , aussi petit soit ce rayon. Le rang $N$ dépend de $\varepsilon$ , et il n'y a aucune raison qu'il soit le même pour tous les $\varepsilon$ .

Définition 2.2Limite infinie

La suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si $\forall A \in \R,\ \exists N,\ \forall n \geqslant N,\ u_n \geqslant A.$ La définition est symétrique pour $-\infty$ .

Une suite est convergente si elle admet une limite finie, divergente sinon. Une suite qui tend vers $+\infty$ est divergente. Une suite peut aussi diverger sans avoir de limite, comme $\big((-1)^n\big)$ .

2.2Premiers résultats

Théorème 2.3Unicité de la limite

Une suite admet au plus une limite, ce qui autorise la notation $\lim u_n$ .

Démonstration

Par l'absurde, supposons deux limites distinctes $\ell$ et $\ell'$ . On prend $\varepsilon$ plus petit que la moitié de $\abs{\ell - \ell'}$ , ce qui rend les deux intervalles disjoints.

Propriété 2.4Suite convergente et bornée

Toute suite convergente est bornée.

Attention

La réciproque est fausse : $\big((-1)^n\big)$ est bornée et divergente.

2.3Opérations

Propriété 2.5Opérations sur les limites

Hypothèses

$(u_n)$ tend vers $\ell$ et $(v_n)$ vers $\ell'$ , avec $\ell$ et $\ell'$ réels.

Alors :

$\lambda u_n + \mu v_n$ tend vers $\lambda\ell + \mu\ell'$ ;
$u_n v_n$ tend vers $\ell\ell'$ ;
si $\ell' \neq 0$ , le quotient $u_n/v_n$ est défini à partir d'un certain rang et tend vers $\ell/\ell'$ .

Ces règles s'étendent partiellement aux limites infinies, avec quatre formes indéterminées :

$\infty - \infty$ ;
$0 \times \infty$ ;
$\infty / \infty$ ;
$0 / 0$ .

Devant une forme indéterminée, il faut transformer l'expression : factorisation du terme dominant, quantité conjuguée, ou plus tard développement limité.

Propriété 2.6Suite bornée fois suite de limite nulle

Le produit d'une suite bornée par une suite de limite nulle tend vers 0.

Exemple 2.7

La suite $\big(\sin(n)/n\big)$ tend vers 0, bien que $\sin(n)$ n'ait pas de limite.

2.4Limites et inégalités

Propriété 2.8Passage à la limite

Hypothèses

$u_n \leqslant v_n$ à partir d'un certain rang ;
les deux suites convergent.

Alors $\lim u_n \leqslant \lim v_n$ .

Attention

Les inégalités strictes ne passent pas à la limite : de $1/n > 0$ pour tout $n$ , on ne peut conclure qu'à une limite positive au sens large, et elle vaut 0.

Propriété 2.9Signe d'une limite strictement positive

Si $(u_n)$ converge vers $\ell > 0$ , alors $u_n > 0$ à partir d'un certain rang.

Démonstration

On prend $\varepsilon = \ell/2$ dans la définition.

Théorème 2.10Théorème d'encadrement

Hypothèses

$u_n \leqslant v_n \leqslant w_n$ à partir d'un certain rang ;
$(u_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite $\ell$ .

Alors $(v_n)$ converge et sa limite est $\ell$ .

La convergence de $(v_n)$ fait partie de la conclusion, elle n'est pas supposée.

Théorème 2.11Théorèmes de divergence

Si $u_n \leqslant v_n$ à partir d'un certain rang et si $u_n$ tend vers $+\infty$ , alors $v_n$ tend vers $+\infty$ . L'énoncé est symétrique pour $-\infty$ , avec une majoration.

3Suites monotones

Théorème 3.1Théorème de la limite monotone

Toute suite monotone admet une limite dans $\overline{\R}$ . Plus précisément :

toute suite croissante majorée converge, et sa limite est la borne supérieure de l'ensemble de ses termes ;
toute suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ .

Les énoncés sont symétriques pour les suites décroissantes.

Démonstration

Cas croissant majoré. L'ensemble $A$ des valeurs de la suite est non vide et majoré, donc admet une borne supérieure $\ell$ . Soit $\varepsilon > 0$ . Par caractérisation de la borne supérieure, il existe un rang $N$ tel que $u_N > \ell - \varepsilon$ . Par croissance, pour $n \geqslant N$ on a $\ell - \varepsilon < u_N \leqslant u_n \leqslant \ell$ , donc $\abs{u_n - \ell} \leqslant \varepsilon$ .

C'est l'application la plus importante de la propriété de la borne supérieure.

Attention

Ce théorème donne la convergence, pas la valeur de la limite. Une suite croissante majorée par $M$ converge vers une limite inférieure ou égale à $M$ , pas nécessairement égale à $M$ .

Définition 3.2Suites adjacentes

Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si :

l'une est croissante et l'autre décroissante ;
$v_n - u_n$ tend vers 0.

Théorème 3.3Théorème des suites adjacentes

Deux suites adjacentes convergent vers une même limite $\ell$ , et pour tout $n$ on a $u_n \leqslant \ell \leqslant v_n$ .

C'est l'outil des encadrements emboîtés, et il fournit une majoration de l'erreur, à savoir $v_n - u_n$ .

4Suites extraites

Définition 4.1Suite extraite

Une suite extraite, ou sous-suite, de $(u_n)$ est une suite de la forme $(u_{\varphi(n)})$ où $\varphi$ est une application strictement croissante de $\N$ dans $\N$ .

On démontre par récurrence que $\varphi(n) \geqslant n$ . Exemples : $(u_{2n})$ , $(u_{2n+1})$ , $(u_{n^2})$ .

Propriété 4.2Limite d'une suite extraite

Si $(u_n)$ admet une limite, finie ou infinie, alors toute suite extraite admet la même limite.

On l'utilise surtout par contraposée, pour prouver une divergence : si deux suites extraites ont des limites différentes, la suite diverge. La suite $\big((-1)^n\big)$ en est l'exemple type, ses termes pairs valant 1 et ses termes impairs $-1$ .

Propriété 4.3Réciproque partielle

Si $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite $\ell$ , alors $(u_n)$ converge vers $\ell$ .

Attention

Il faut bien la même limite, et il faut que les deux extractions recouvrent tous les indices.

Théorème 4.4Théorème de Bolzano-Weierstrass

De toute suite réelle bornée on peut extraire une suite convergente.

Le principe de la démonstration, par dichotomie, est exigible :

on enferme la suite dans un segment ;
on le coupe en deux et on garde une moitié qui contient une infinité de termes ;
on recommence ;
les extrémités des segments obtenus forment deux suites adjacentes, et l'on extrait un terme de la suite dans chaque segment.

La formalisation précise n'est pas exigible.

5Traduction séquentielle

Définition 5.1Partie dense

Une partie $X$ de $\R$ est dense dans $\R$ si elle rencontre tout intervalle ouvert non vide.

Propriété 5.2Caractérisation séquentielle de la densité

$X$ est dense dans $\R$ si et seulement si tout réel est limite d'une suite d'éléments de $X$ .

Par exemple, tout réel est limite d'une suite de rationnels, et aussi d'une suite d'irrationnels. Les approximations décimales fournissent une telle suite de manière explicite.

Propriété 5.3Suites et borne supérieure

Si $X$ est une partie non vide et majorée de $\R$ , il existe une suite d'éléments de $X$ qui converge vers $\sup X$ .
Si $X$ est non vide et non majorée, il existe une suite d'éléments de $X$ qui tend vers $+\infty$ .

La construction se fait en appliquant la caractérisation de la borne supérieure avec $\varepsilon = 1/n$ .

6Suites complexes

Les définitions se transposent en remplaçant la valeur absolue par le module.

Définition 6.1Suite complexe convergente

Une suite complexe $(z_n)$ converge vers $z$ si, pour tout $\varepsilon > 0$ , on a $\abs{z_n - z} \leqslant \varepsilon$ à partir d'un certain rang. Elle est bornée si la suite des modules est majorée.

Propriété 6.2Parties réelle et imaginaire

$(z_n)$ converge vers $z$ si et seulement si $\operatorname{Re}(z_n)$ converge vers $\operatorname{Re}(z)$ et $\Im(z_n)$ converge vers $\Im(z)$ .

Cette équivalence ramène toute question sur les suites complexes à deux questions sur des suites réelles.

Les opérations sur les limites restent valables. En revanche, tout ce qui utilise l'ordre disparaît :

pas de monotonie ;
pas de théorème d'encadrement ;
pas de limite infinie de la forme $+\infty$ .

On peut toutefois écrire que le module tend vers $+\infty$ .

Théorème 6.3Bolzano-Weierstrass complexe

De toute suite complexe bornée on peut extraire une suite convergente.

Sa démonstration n'est pas exigible : elle s'obtient en appliquant deux fois le cas réel, d'abord aux parties réelles, puis aux parties imaginaires de la suite déjà extraite.

7Suites particulières

7.1Arithmétiques et géométriques

Propriété 7.1Suite arithmétique

Une suite arithmétique de raison $r$ vérifie $u_{n+1} = u_n + r$ , d'où $u_n = u_0 + nr$ . Elle converge seulement si $r = 0$ .

Propriété 7.2Suite géométrique

Une suite géométrique de raison $q$ vérifie $u_{n+1} = q u_n$ , d'où $u_n = u_0 q^n$ .

Pour $q$ réel :

si $\abs{q} < 1$ , $q^n$ tend vers 0 ;
si $q = 1$ , la suite est constante égale à 1 ;
si $q > 1$ , elle tend vers $+\infty$ ;
si $q \leqslant -1$ , elle diverge sans limite.

Pour $q$ complexe, $q^n$ tend vers 0 si et seulement si $\abs{q} < 1$ .

7.2Suites arithmético-géométriques

Elles vérifient $u_{n+1} = a u_n + b$ avec $a \neq 1$ .

MéthodeSuite arithmético-géométrique

Chercher le point fixe $\ell$ solution de $\ell = a\ell + b$ , soit $\ell = \dfrac{b}{1 - a}$ .
Poser $v_n = u_n - \ell$ : on obtient $v_{n+1} = a v_n$ , donc $(v_n)$ est géométrique.
Conclure : $u_n = \ell + (u_0 - \ell)a^n$ .

La suite converge vers $\ell$ si et seulement si $\abs{a} < 1$ , ou si $u_0 = \ell$ .

7.3Récurrences linéaires d'ordre 2

Elles vérifient $u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n$ , avec $b \neq 0$ . On introduit l'équation caractéristique $r^2 = ar + b$ .

Théorème 7.3Cas complexe

Hypothèses

$(u_n)$ vérifie $u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n$ , avec $b \neq 0$ .

Alors :

si l'équation caractéristique a deux racines distinctes $r_1$ et $r_2$ , $u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n$ ;
si elle a une racine double $r$ , $u_n = (\lambda n + \mu)\,r^n$ .

Les constantes $\lambda$ et $\mu$ sont déterminées par $u_0$ et $u_1$ , ce qui donne un système linéaire de deux équations.

Propriété 7.4Cas réel

Hypothèses

$a$ et $b$ sont réels et la suite est réelle ;
le discriminant est strictement négatif.

Alors les racines sont conjuguées, de la forme $\rho\e^{\ii\theta}$ et $\rho\e^{-\ii\theta}$ , et les solutions réelles sont $u_n = \rho^n\big(\lambda\cos(n\theta) + \mu\sin(n\theta)\big).$

Exemple 7.5Fibonacci

La suite de Fibonacci vérifie $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$ . L'équation caractéristique $r^2 = r + 1$ a pour racines le nombre d'or $\dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$ et $\dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$ .

7.4Suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$

C'est le cas le plus fréquent en exercice.

MéthodeÉtudier $u_{n+1} = f(u_n)$

Trouver un intervalle $I$ stable par $f$ , c'est-à-dire tel que $f(I) \subset I$ , et contenant $u_0$ . On montre par récurrence que tous les termes sont dans $I$ . Cette étape est indispensable, ne serait-ce que pour que la suite soit bien définie.
Étudier la monotonie. Si $f$ est croissante sur $I$ , la suite est monotone, et son sens est donné par le signe de $u_1 - u_0$ . Si $f$ est décroissante, la suite n'est pas monotone en général, mais $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ sont monotones, de sens contraires, car elles sont associées à $f \circ f$ qui est croissante.
Conclure à la convergence par le théorème de la limite monotone, en utilisant les bornes de $I$ .
Identifier la limite : on résout $f(x) = x$ , puis on écarte les racines incompatibles avec l'intervalle de travail.

Propriété 7.6Limite et point fixe

Hypothèses

$(u_n)$ converge vers $\ell$ ;
$f$ est continue en $\ell$ .

Alors $f(\ell) = \ell$ : la limite est un point fixe de $f$ .

Attention

Chercher la limite avant d'avoir prouvé la convergence est une erreur classique. L'équation $f(\ell) = \ell$ peut avoir des solutions même quand la suite diverge. L'étape 4 ne dispense jamais des étapes 1 à 3.

Un graphique en escalier ou en escargot, obtenu en traçant la courbe de $f$ et la première bissectrice, permet de conjecturer le comportement avant de le démontrer.

Méthodes

MéthodeRéflexes du chapitre

Pour montrer qu'une suite converge sans connaître sa limite : monotonie et bornitude, ou suites adjacentes, ou encadrement.
Pour montrer qu'une suite diverge : exhiber deux extractions de limites différentes, ou montrer qu'elle n'est pas bornée.
Pour une forme indéterminée : factoriser le terme dominant, utiliser la quantité conjuguée pour une différence de racines, ou les croissances comparées.
Pour majorer l'écart à la limite : chercher une inégalité $\abs{u_{n+1} - \ell} \leqslant k\abs{u_n - \ell}$ avec $0 \leqslant k < 1$ , puis conclure par récurrence que $\abs{u_n - \ell} \leqslant k^n\abs{u_0 - \ell}$ . C'est la méthode de la vitesse géométrique.
Pour une suite définie implicitement : utiliser le théorème de la bijection pour définir $u_n$ , puis la monotonie pour l'étudier.
Toujours vérifier qu'une suite récurrente est bien définie avant de l'étudier.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Écrire avec des quantificateurs la définition de la convergence, et sa négation.
Démontrer l'unicité de la limite et le fait que toute suite convergente est bornée.
Démontrer le théorème d'encadrement à partir de la définition.
Démontrer le théorème de la limite monotone dans le cas croissant majoré, en utilisant la borne supérieure.
Énoncer le théorème des suites adjacentes et l'appliquer à un encadrement.
Prouver qu'une suite diverge à l'aide de suites extraites, et énoncer le principe de la démonstration de Bolzano-Weierstrass.
Résoudre une récurrence arithmético-géométrique et une récurrence linéaire d'ordre 2, y compris dans le cas de racines complexes.
Mener l'étude complète d'une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ : stabilité, monotonie, convergence, point fixe.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Unicité de la limite, finie ou infinie : exigible avec démonstration.
Toute suite convergente est bornée : exigible avec démonstration. La réciproque est fausse.
Opérations sur les limites (combinaison linéaire, produit, quotient si la limite du dénominateur est non nulle) : exigible. La preuve du produit est à connaître.
Une suite bornée multipliée par une suite de limite nulle donne une suite de limite nulle : exigible avec démonstration.
Passage à la limite d'une inégalité large, les deux suites étant supposées convergentes : exigible avec démonstration.
Si u_n tend vers l > 0, alors u_n > 0 à partir d'un certain rang : exigible avec démonstration.
Existence d'une limite par encadrement (limite finie), par minoration (+∞), par majoration (−∞), ou par |u_n − l| ≤ v_n avec v_n de limite nulle : exigible avec démonstration.
Théorème de la limite monotone : exigible avec démonstration, par la borne supérieure.
Théorème des suites adjacentes : exigible avec démonstration.
Toute suite extraite d'une suite qui a une limite a la même limite. Si (u_2n) et (u_2n+1) tendent vers l, alors (u_n) tend vers l : exigible.
Bolzano-Weierstrass réel : énoncé exigible, principe de dichotomie exigible, formalisation non exigible.
Caractérisation séquentielle de la densité. Densité de D, de Q et de R privé de Q : exigible.
Si X est non vide et majorée, une suite d'éléments de X tend vers sup X. Si X est non vide et non majorée, une suite d'éléments de X tend vers +∞ : exigible.
Une suite complexe converge si et seulement si ses parties réelle et imaginaire convergent : exigible. Bolzano-Weierstrass complexe : énoncé exigible, démonstration non exigible.
Récurrence u_n+1 = a u_n + b, avec a dans C privé de 1 et b dans C : méthode du point fixe exigible.
Récurrences linéaires homogènes d'ordre 2 à coefficients constants : forme des solutions exigible.
Si u_n+1 = f(u_n), si (u_n) tend vers l et si f est continue en l, alors f(l) = l : exigible.
Hors programme : valeurs d'adhérence, limites supérieure et inférieure, suites de Cauchy. Le lemme de Cesàro n'est pas un théorème du cours, on le redémontre à chaque usage.

Clés de démonstration

Convergente implique bornée. Avec ε = 1, on a |u_n| ≤ |l| + 1 pour n ≥ N. Il reste un nombre fini de termes. Astuce : M = max(|u₀|, …, |u_N−1|, |l| + 1) convient, car un nombre fini de valeurs a toujours un maximum.

Limite d'un produit. On écrit u_n v_n − l l' = u_n (v_n − l') + l' (u_n − l). Le premier terme est borné fois nul, le second tend vers 0. Astuce : ajouter et retrancher un terme croisé, et se souvenir qu'une suite convergente est bornée.

Passage à la limite d'une inégalité large. On suppose u_n ≤ v_n et, par l'absurde, l > l'. Avec ε = (l − l')/3, pour n assez grand, v_n ≤ l' + ε < l − ε ≤ u_n, ce qui contredit u_n ≤ v_n. Astuce : c'est le geste de l'unicité, séparer deux intervalles disjoints.

Encadrement. Soit ε > 0. On prend N supérieur aux deux rangs fournis par (u_n) et (w_n). Pour n ≥ N, l − ε ≤ u_n ≤ v_n ≤ w_n ≤ l + ε. Astuce : prendre le maximum des rangs.

Suites adjacentes. Si (u_n) croît et (v_n) décroît, alors (v_n − u_n) décroît et tend vers 0, donc elle est positive. Ainsi u₀ ≤ u_n ≤ v_n ≤ v₀, et les deux suites monotones bornées convergent. Astuce : la différence tend vers 0, donc les limites sont égales.

Suites extraites. On montre φ(n) ≥ n par récurrence, car φ(n + 1) > φ(n) ≥ n entre entiers donne φ(n + 1) ≥ n + 1. Donc n ≥ N entraîne φ(n) ≥ N, et la définition de la limite se transmet. Astuce : une inégalité stricte entre entiers donne un décalage d'au moins 1.

Indices pairs et impairs. Si |u_2p − l| ≤ ε pour p ≥ N₁ et |u_2p+1 − l| ≤ ε pour p ≥ N₂, on pose N = max(2N₁, 2N₂ + 1). Tout n ≥ N s'écrit 2p ou 2p + 1 avec p assez grand. Astuce : traduire la condition sur p en condition sur n.

Suite qui tend vers sup X. Pour n ≥ 1, sup X − 1/n n'est pas un majorant, d'où x_n dans X avec sup X − 1/n < x_n ≤ sup X. On conclut par encadrement. Astuce : ε = 1/n transforme une caractérisation en suite. La densité séquentielle se prouve de même avec ]x − 1/n, x + 1/n[.

Suites complexes. On utilise |Re z| ≤ |z|, |Im z| ≤ |z| et |z| ≤ |Re z| + |Im z|. Chaque sens découle d'une majoration. Astuce : l'inégalité triangulaire dans les deux sens.

Limite point fixe. Si u_n tend vers l, alors u_n+1 aussi, et f(u_n) tend vers f(l) par continuité en l. L'unicité de la limite donne f(l) = l. Astuce : la suite décalée est une suite extraite.

Récurrence d'ordre 2. Deux solutions qui ont les mêmes deux premiers termes sont égales, par récurrence double. Il suffit donc d'ajuster λ et μ sur u₀ et u₁. Astuce : le système est inversible car r₁ ≠ r₂, ou car r ≠ 0 dans le cas d'une racine double (b non nul).

Exemples et contre-exemples à connaître

La suite des (−1)ⁿ : bornée, divergente, avec des extraits pair et impair de limites distinctes. C'est le contre-exemple universel.
La suite des 1/n : termes strictement positifs, limite nulle. Une inégalité stricte devient large à la limite.
La suite harmonique H_n : H_n+1 − H_n tend vers 0, mais H_n tend vers +∞. Des pas qui tendent vers 0 ne garantissent pas la convergence.
La suite des √n : elle diverge alors que √(n + 1) − √n tend vers 0. Même phénomène, avec un calcul explicite.
La suite des sin(n)/n : borné fois nul. On ne sait pas étudier sin(n) seul, et on n'en a pas besoin.
(1 + 1/n)ⁿ tend vers e : « 1 puissance infini » est indéterminé. On passe par exp(n ln(1 + 1/n)).
u_n+1 = u_n² avec u₀ = 2 : les points fixes sont 0 et 1, et pourtant la suite tend vers +∞. Un point fixe n'est pas une limite.
u_n+1 = 1 − u_n avec u₀ = 0 : la suite vaut 0, 1, 0, 1… Les deux extraits convergent vers des limites différentes.
La suite des iⁿ : de module constant 1, elle diverge, car i⁴ⁿ = 1 et i⁴ⁿ⁺¹ = i.
u_n = Σ 1/k! pour k de 0 à n et v_n = u_n + 1/(n·n!) : deux suites adjacentes qui encadrent e avec une erreur connue.

Techniques du chapitre

Technique 1 : majorer l'écart à la limite. u_n = (n + cos n)/(n + 1). On devine 1. Alors |u_n − 1| = |cos n − 1|/(n + 1) ≤ 2/(n + 1), qui tend vers 0. Donc u_n tend vers 1.

Technique 2 : quantité conjuguée. √(n + 1) − √n = 1/(√(n + 1) + √n). Le dénominateur tend vers +∞, donc la différence tend vers 0.

Technique 3 : encadrer une somme terme à terme. S_n = Σ n/(n² + k) pour k de 1 à n. Chacun des n termes est entre n/(n² + n) et n/(n² + 1). Donc n²/(n² + n) ≤ S_n ≤ n²/(n² + 1), et S_n tend vers 1.

Technique 4 : deux extraits pour une divergence. u_n = cos(nπ/3). On a u_6n = 1 et u_6n+3 = cos(2nπ + π) = −1. Deux limites distinctes, donc (u_n) diverge.

Technique 5 : signe de f(x) − x et absurde sur la limite. u₀ réel et u_n+1 = u_n + e^−u_n. Ici f(x) − x = e^−x > 0, donc la suite croît. Une limite finie l vérifierait e^−l = 0, impossible. Croissante et divergente, elle tend vers +∞.

Technique 6 : vitesse géométrique. u₀ = 0 et u_n+1 = √(2 + u_n). Les termes sont positifs et le point fixe est 2. Par conjugaison, |u_n+1 − 2| = |u_n − 2|/(√(2 + u_n) + 2) ≤ |u_n − 2|/2. Donc |u_n − 2| ≤ 2/2ⁿ.

Technique 7 : racines complexes conjuguées. u₀ = 0, u₁ = 1, u_n+2 = u_n+1 − u_n. Les racines de r² − r + 1 = 0 sont e^±iπ/3, donc u_n = λ cos(nπ/3) + μ sin(nπ/3). On trouve λ = 0 et μ = 2/√3. La suite est 6-périodique.

Technique 8 : arithmético-géométrique complexe. z_n+1 = a z_n + 1 avec a = (1 + i)/2. Le point fixe vaut 1/(1 − a) = 2/(1 − i) = 1 + i, donc z_n = 1 + i + (z₀ − 1 − i) aⁿ. Comme |a| = √2/2 < 1, z_n tend vers 1 + i.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Deux formes indéterminées

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Limites de a_n = √(n² + 3n) − n, et de b_n = (n + (−1)ⁿ)/(n − (−1)ⁿ) pour n ≥ 2.

Technique conjugaison, puis factorisation du terme dominant.

Voir le corrigé

a_n = 3n/(√(n² + 3n) + n) = 3/(√(1 + 3/n) + 1), qui tend vers 3/2.
b_n = (1 + (−1)ⁿ/n)/(1 − (−1)ⁿ/n). Or (−1)ⁿ/n est borné fois nul, donc tend vers 0.
Donc b_n tend vers 1.

piège : Écrire « √(n² + 3n) équivaut à n, donc a_n tend vers 0 ». On ne soustrait pas des équivalents.

Exercice 2. Divergence de la suite harmonique

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

H_n = Σ 1/k pour k de 1 à n. Montrer que H_2n − H_n ≥ 1/2, puis que H_n tend vers +∞.

Technique extraction et limite monotone.

Voir le corrigé

H_2n − H_n compte n termes, tous au moins égaux à 1/(2n). Elle vaut donc au moins 1/2.
Si (H_n) convergeait vers l, l'extrait (H_2n) aussi, et H_2n − H_n tendrait vers 0.
Le passage à la limite donnerait 0 ≥ 1/2. Contradiction.
(H_n) est croissante et ne converge pas. Par la limite monotone, elle tend vers +∞.

piège : Oublier l'étape 4 : une suite divergente n'a pas forcément une limite infinie. C'est la croissance qui la donne.

Exercice 3. Moyennes de Cesàro

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

(u_n)_n≥1 converge vers un réel l et m_n = (u₁ + … + u_n)/n. Montrer que m_n tend vers l. Étudier la réciproque.

Technique couper la somme au rang N.

Voir le corrigé

En remplaçant u_n par u_n − l, on se ramène à l = 0.
Soit ε > 0 et N tel que |u_k| ≤ ε pour k > N. On pose C = |u₁| + … + |u_N|, indépendant de n.
Pour n > N, |m_n| ≤ C/n + (n − N)ε/n ≤ C/n + ε.
Il existe N' tel que C/n ≤ ε pour n ≥ N'. Pour n ≥ max(N, N') + 1, |m_n| ≤ 2ε.
Réciproque fausse : pour u_n = (−1)ⁿ, |m_n| ≤ 1/n, donc m_n tend vers 0 alors que (u_n) diverge.

piège : Choisir N en fonction de n. N dépend de ε seulement, sinon C n'est pas une constante.

Exercice 4. Fibonacci et nombre d'or

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

F₀ = 0, F₁ = 1, F_n+2 = F_n+1 + F_n. Exprimer F_n, puis trouver la limite de F_n+1/F_n.

Technique équation caractéristique, puis terme dominant.

Voir le corrigé

r² = r + 1 a deux racines distinctes φ = (1 + √5)/2 et ψ = (1 − √5)/2. Donc F_n = λ φⁿ + μ ψⁿ.
F₀ = 0 donne μ = −λ, F₁ = 1 donne λ√5 = 1. Donc F_n = (φⁿ − ψⁿ)/√5.
Par récurrence double, F_n ≥ 1 pour n ≥ 1, donc le quotient est défini.
Avec q = ψ/φ, on a F_n+1/F_n = φ(1 − qⁿ⁺¹)/(1 − qⁿ).
|ψ| ≈ 0,618 < 1 < φ, donc |q| < 1 et le quotient tend vers φ.

piège : Factoriser par ψⁿ, qui tend vers 0, au lieu du terme dominant φⁿ.

Exercice 5. Suites adjacentes et irrationalité

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Pour n ≥ 1, u_n = Σ 1/k! pour k de 0 à n et v_n = u_n + 1/(n·n!). Montrer qu'elles sont adjacentes, puis que leur limite ℓ est irrationnelle.

Technique adjacence, puis encadrement strict multiplié par un entier.

Voir le corrigé

u_n+1 − u_n = 1/(n + 1)! > 0 : (u_n) est strictement croissante.
Sur le dénominateur commun n(n + 1)(n + 1)!, v_n+1 − v_n a pour numérateur n(n + 1) + n − (n + 1)² = −1. Donc (v_n) est strictement décroissante.
v_n − u_n = 1/(n·n!) tend vers 0 : les suites sont adjacentes.
Par stricte monotonie, u_q < ℓ < v_q pour tout q ≥ 1.
Si ℓ = p/q avec p, q entiers et q ≥ 1, on multiplie par q·q!. L'entier A = q·q!·u_q vérifie A < p·q! < A + 1.
Un entier strictement entre deux entiers consécutifs, c'est impossible. On verra plus tard que ℓ = e.

piège : Écrire u_q ≤ ℓ ≤ v_q avec des inégalités larges. Sans le strict, pas de contradiction.

Exercice 6. Discussion selon u₀

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

u₀ réel, u_n+1 = (u_n² + 1)/2. Étudier la convergence selon u₀.

Technique signe de f(x) − x, intervalle stable, absurde sur la limite.

Voir le corrigé

u_n+1 − u_n = (u_n − 1)²/2 ≥ 0 : la suite croît, quel que soit u₀.
f(x) = x équivaut à (x − 1)² = 0 : le seul point fixe est 1.
Si |u₀| ≤ 1, alors u₁ est dans [1/2, 1]. Comme f([0, 1]) = [1/2, 1], l'intervalle [0, 1] est stable, donc u_n ≤ 1 pour n ≥ 1. Croissante majorée, la suite converge, et f continue donne la limite 1.
Si |u₀| > 1, alors u₁ > 1. Une limite finie vaudrait 1, mais la croissance impose une limite au moins égale à u₁ > 1. Contradiction.
Croissante non convergente, la suite tend alors vers +∞.

piège : Déclarer f croissante sur R, alors qu'elle ne l'est que sur [0, +∞[. Le signe de f(x) − x évite ce piège.

Exercice 7. Une fonction décroissante

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit CCINP

u₀ = 0 et u_n+1 = 1/(1 + u_n). Montrer que (u_n) converge et donner sa limite.

Technique extraits pair et impair via f∘f.

Voir le corrigé

f(x) = 1/(1 + x) envoie [0, 1] dans [1/2, 1] : [0, 1] est stable et contient tous les termes.
g = f∘f vérifie g(x) = (1 + x)/(2 + x) = 1 − 1/(2 + x), croissante sur [0, 1].
u_n+2 = g(u_n). Comme u₀ = 0 < u₂ = 1/2, (u_2n) croît. Comme u₁ = 1 > u₃ = 2/3, (u_2n+1) décroît.
Monotones et bornés, les deux extraits convergent, vers des points fixes de g dans [0, 1] car g est continue.
g(x) = x équivaut à x² + x − 1 = 0, de seule racine dans [0, 1] α = (√5 − 1)/2.
Les deux extraits tendent vers α, donc (u_n) aussi.

piège : Supposer que g a les mêmes points fixes que f sans le vérifier. En général g peut en avoir davantage.

Exercice 8. Suite définie implicitement

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit e3a

Pour n ≥ 1, montrer que xⁿ + x = 1 a une unique solution x_n dans [0, 1]. Étudier la monotonie et la limite de (x_n).

Technique théorème de la bijection, puis comparaison de f_n et f_n+1.

Voir le corrigé

f_n(x) = xⁿ + x − 1 est continue, strictement croissante sur [0, 1], avec f_n(0) = −1 et f_n(1) = 1. La bijection fournit un unique x_n, dans ]0, 1[.
f_n+1(x_n) = x_nⁿ⁺¹ − x_nⁿ = x_nⁿ(x_n − 1) < 0 = f_n+1(x_n+1).
Par stricte croissance de f_n+1, x_n < x_n+1.
Croissante et majorée par 1, (x_n) converge vers l ≤ 1.
Si l < 1, alors 0 < x_nⁿ ≤ lⁿ, qui tend vers 0. Donc x_n = 1 − x_nⁿ tend vers 1, contradiction. Donc l = 1.

piège : Dire que x_nⁿ tend vers lⁿ. Base et exposant varient ensemble, c'est une forme indéterminée.

Exercice 9. Vitesse de convergence vers 0

Approfondissement · D'après un écrit Mines-Ponts

u₀ dans ]0, 1[ et u_n+1 = u_n − u_n². Montrer que u_n tend vers 0, puis que n u_n tend vers 1.

Technique étude standard, puis Cesàro sur une suite bien choisie.

Voir le corrigé

f(x) = x − x² envoie ]0, 1[ dans ]0, 1/4] : tous les termes sont dans ]0, 1[.
u_n+1 − u_n = −u_n² < 0. Décroissante minorée par 0, la suite converge vers l avec l = l − l², donc l = 0.
1/u_n+1 − 1/u_n = u_n²/(u_n²(1 − u_n)) = 1/(1 − u_n), qui tend vers 1.
Par l'exercice 3, la moyenne des n premiers de ces écarts tend vers 1. Par télescopage, elle vaut (1/u_n − 1/u₀)/n.
Donc 1/(n u_n) tend vers 1, et n u_n aussi.

piège : Chercher un télescopage sur u_n. C'est 1/u_n qui a des pas asymptotiquement constants.

Exercice 10. Une seule limite pour les extraits

Approfondissement · Type oral Centrale

(u_n) est une suite réelle bornée dont toute suite extraite convergente a pour limite l. Montrer que (u_n) tend vers l.

Technique négation de la convergence, extraction, Bolzano-Weierstrass.

Voir le corrigé

Par l'absurde, il existe ε > 0 tel que pour tout N, il existe n ≥ N avec |u_n − l| > ε.
On prend φ(0) un tel n pour N = 0, puis φ(k + 1) un tel n pour N = φ(k) + 1. Ainsi φ est strictement croissante et |u_φ(k) − l| > ε.
(u_φ(k)) est bornée. Bolzano-Weierstrass en extrait (u_φ(ψ(k))) convergeant vers un réel l'.
Le passage à la limite donne |l' − l| ≥ ε.
Or φ∘ψ est strictement croissante, donc l' = l par hypothèse. Contradiction.

piège : Oublier « bornée ». Pour u_n = n si n est pair et 0 sinon, tout extrait convergent tend vers 0, et la suite diverge.

Erreurs fréquentes

Résoudre f(l) = l avant d'avoir prouvé la convergence, ou sans vérifier la continuité de f en l. Une limite devinée ne rapporte rien.
Oublier de montrer qu'une suite récurrente est bien définie : u_n dans le domaine de f, dénominateur non nul.
Passer à la limite dans une inégalité stricte, ou avant de savoir que les suites convergent. On obtient une inégalité large, et seulement pour des suites convergentes.
Conclure « croissante majorée par M, donc tend vers M ». La limite est inférieure ou égale à M, rien de plus.
Appliquer aux suites complexes des outils qui utilisent l'ordre : monotonie, encadrement, limite +∞. On passe par le module ou par les parties réelle et imaginaire.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de MPSI (2021), partie « Nombres réels et suites numériques », paragraphes « Généralités sur les suites réelles », « Limite d'une suite réelle », « Suites monotones », « Suites extraites », « Traduction séquentielle de certaines propriétés », « Suites complexes » et « Suites particulières ». La notion de valeur d'adhérence est hors programme.

Suites réelles et complexes

Résumé en cinq points

1Généralités

2Limite d'une suite réelle

2.1Définitions

2.2Premiers résultats

2.3Opérations

2.4Limites et inégalités

3Suites monotones

4Suites extraites

5Traduction séquentielle

6Suites complexes

7Suites particulières

7.1Arithmétiques et géométriques

7.2Suites arithmético-géométriques

7.3Récurrences linéaires d'ordre 2

7.4Suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Deux formes indéterminées

Exercice 2. Divergence de la suite harmonique

Exercice 3. Moyennes de Cesàro

Exercice 4. Fibonacci et nombre d'or

Exercice 5. Suites adjacentes et irrationalité

Exercice 6. Discussion selon u₀

Exercice 7. Une fonction décroissante

Exercice 8. Suite définie implicitement

Exercice 9. Vitesse de convergence vers 0

Exercice 10. Une seule limite pour les extraits

Erreurs fréquentes

Au concours

Suites réelles et complexes

Résumé en cinq points

1Généralités

2Limite d'une suite réelle

2.1Définitions

2.2Premiers résultats

2.3Opérations

2.4Limites et inégalités

3Suites monotones

4Suites extraites

5Traduction séquentielle

6Suites complexes

7Suites particulières

7.1Arithmétiques et géométriques

7.2Suites arithmético-géométriques

7.3Récurrences linéaires d'ordre 2

7.4Suites définies par un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n)un+1​=f(un​)

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Deux formes indéterminées

Exercice 2. Divergence de la suite harmonique

Exercice 3. Moyennes de Cesàro

Exercice 4. Fibonacci et nombre d'or

Exercice 5. Suites adjacentes et irrationalité

Exercice 6. Discussion selon u₀

Exercice 7. Une fonction décroissante

Exercice 8. Suite définie implicitement

Exercice 9. Vitesse de convergence vers 0

Exercice 10. Une seule limite pour les extraits

Erreurs fréquentes

Au concours

7.4Suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$