Le cours

Résumé en cinq points

$\R$ est un corps totalement ordonné, et les règles de manipulation des inégalités dépendent du signe par lequel on multiplie.
$\abs{x - b} \leqslant a$ signifie que $x$ est à distance au plus $a$ de $b$ . C'est la lecture à avoir en permanence.
Toute partie non vide majorée de $\R$ admet une borne supérieure. Cette propriété caractérise $\R$ face à $\Q$ et fonde toute l'analyse.
$\sup A$ est le plus petit des majorants, et se caractérise par : $M$ majore $A$ , et pour tout $\varepsilon > 0$ un élément de $A$ dépasse $M - \varepsilon$ .
$\R$ est archimédien, la partie entière existe et est unique, et $\Q$ comme son complémentaire sont denses dans $\R$ .

Pourquoi ce chapitre

Toute l'analyse repose sur une seule propriété de $\R$ , celle de la borne supérieure. Elle fait la différence entre $\R$ et $\Q$ . En dernière analyse, elle fait converger les suites croissantes majorées et fonctionne derrière le théorème des valeurs intermédiaires et derrière le théorème de Bolzano-Weierstrass.

Le chapitre installe aussi les automatismes de majoration, matière première de toutes les démonstrations d'analyse :

manipuler une valeur absolue ;
encadrer un quotient ;
utiliser une partie entière.

Ces gestes sont évalués en permanence aux concours, souvent de façon indirecte. Une erreur de signe dans une inégalité fait perdre le bénéfice d'une bonne idée.

1Les ensembles de nombres

Définition 1.1Ensembles usuels

$\N$ est l'ensemble des entiers naturels, $\Z$ celui des entiers relatifs ;
l'ensemble $\mathbb{D}$ des nombres décimaux est formé des réels de la forme $a/10^n$ avec $a \in \Z$ et $n \in \N$ ;
$\Q$ est l'ensemble des rationnels, quotients d'un entier relatif par un entier non nul ;
$\R$ est l'ensemble des réels, et les éléments de $\R \setminus \Q$ sont les irrationnels.

On a les inclusions strictes $\N \subset \Z \subset \mathbb{D} \subset \Q \subset \R.$

Il existe des irrationnels. Le résultat de référence est que $\sqrt{2}$ est irrationnel, ce qui se démontre par l'absurde à partir de la parité. Les nombres $\e$ et $\pi$ sont également irrationnels, mais les preuves sont hors programme.

Remarque

Résultat admis. $\R$ est un corps totalement ordonné qui contient $\Q$ et possède la propriété de la borne supérieure, énoncée plus bas. Sa construction est hors programme.

2KXF19FXK comme corps ordonné

2.1Compatibilité de l'ordre

La relation $\leqslant$ est une relation d'ordre total sur $\R$ : deux réels sont toujours comparables. Elle est compatible avec les opérations.

Propriété 2.1Règles sur les inégalités

On peut ajouter un même réel aux deux membres d'une inégalité sans changer son sens.
On peut additionner membre à membre deux inégalités de même sens.
On peut multiplier les deux membres par un réel positif sans changer le sens, et par un réel négatif en changeant le sens.
On peut multiplier membre à membre deux inégalités uniquement si tous les termes sont positifs.
Si $0 < a \leqslant b$ , alors $\dfrac{1}{b} \leqslant \dfrac{1}{a}$ .

Le passage à l'inverse renverse l'inégalité, à condition que les deux nombres soient de même signe strict. La multiplication par un réel négatif est la source de la moitié des erreurs de copie.

Deux réflexes : un carré est toujours positif, et une somme de carrés est nulle si et seulement si chaque terme est nul. Pour comparer deux réels, on étudie le signe de leur différence, ou le quotient s'ils sont strictement positifs.

Attention

On ne soustrait jamais deux inégalités membre à membre. Pour majorer $a - b$ , on majore $a$ et on minore $b$ .

2.2Valeur absolue

Définition 2.2Valeur absolue

Pour $x$ réel, $\abs{x}$ vaut $x$ si $x \geqslant 0$ et $-x$ sinon.

Propriété 2.3Propriétés de la valeur absolue

Pour tous réels $x$ et $y$ :

$\abs{x} \geqslant 0$ ;
$\abs{x} = 0$ si et seulement si $x = 0$ ;
$\abs{xy} = \abs{x}\,\abs{y}$ ;
$\abs{x}^2 = x^2$ ;
$\sqrt{x^2} = \abs{x}$ .

Propriété 2.4Traductions

Hypothèse : $a \geqslant 0$ .

Alors :

$\abs{x} \leqslant a$ équivaut à $-a \leqslant x \leqslant a$ ;
$\abs{x - b} \leqslant a$ équivaut à $b - a \leqslant x \leqslant b + a$ , c'est-à-dire $x \in \intff{b-a}{b+a}$ .

La deuxième s'interprète sur la droite réelle : $\abs{x-b}$ est la distance de $x$ à $b$ . Tous les raisonnements avec des $\varepsilon$ reposent sur cette lecture.

Théorème 2.5Inégalité triangulaire

Pour tous réels $x$ et $y$ : $\abs{x + y} \leqslant \abs{x} + \abs{y}.$ Il y a égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont de même signe au sens large, c'est-à-dire si $xy \geqslant 0$ .

Propriété 2.6Seconde inégalité triangulaire

Pour tous réels $x$ et $y$ : $\big|\,\abs{x} - \abs{y}\,\big| \leqslant \abs{x - y}.$ On l'obtient en appliquant deux fois la première.

Propriété 2.7Maximum et minimum

Pour tous réels $x$ et $y$ : $\begin{aligned} \max(x, y) &= \frac{x + y + \abs{x - y}}{2},\\ \min(x, y) &= \frac{x + y - \abs{x - y}}{2}. \end{aligned}$

2.3Intervalles

Définition 2.8Intervalles et segments

Les intervalles de $\R$ sont les ensembles de la forme :

$\intff{a}{b}$ , $\intoo{a}{b}$ , $\intfo{a}{b}$ , $\intof{a}{b}$ ;
$]-\infty, b]$ , $]-\infty, b[$ , $[a, +\infty[$ , $]a, +\infty[$ ;
$\R$ , ainsi que l'ensemble vide et les singletons.

Un segment est un intervalle $\intff{a}{b}$ avec $a \leqslant b$ , c'est-à-dire un intervalle fermé et borné.

Propriété 2.9Caractérisation des intervalles

Une partie $X$ de $\R$ est un intervalle si et seulement si, pour tous $a$ et $b$ de $X$ avec $a \leqslant b$ , le segment $\intff{a}{b}$ est inclus dans $X$ .

Un intervalle est une partie sans trou. C'est cette caractérisation qu'on utilise pour démontrer que l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Une intersection d'intervalles est un intervalle. Une réunion d'intervalles n'en est pas un en général.

Exemple 2.10Contre-exemple

$\intff{0}{1} \cup \intff{2}{3}$ n'est pas un intervalle.

3Majorants, minorants, bornes

3.1Vocabulaire

Soit $A$ une partie de $\R$ .

Définition 3.1Majorant, minorant, maximum

$M$ est un majorant de $A$ si tout élément de $A$ est inférieur ou égal à $M$ . $A$ est dite majorée s'il en existe un.
$m$ est un minorant de $A$ si tout élément de $A$ lui est supérieur ou égal. $A$ est dite minorée s'il en existe un.
$A$ est bornée si elle est majorée et minorée, ce qui équivaut à l'existence de $K \geqslant 0$ tel que $\abs{x} \leqslant K$ pour tout $x \in A$ .
Si un majorant de $A$ appartient à $A$ , il est unique et s'appelle le maximum de $A$ , noté $\max A$ . Définition symétrique pour le minimum.

Exemple 3.2Partie majorée sans maximum

L'intervalle $\intfo{0}{1}$ est majoré par 1, mais n'a pas de maximum : pour tout $x$ de cet intervalle, $\dfrac{1+x}{2}$ est un élément strictement plus grand.

3.2Borne supérieure

Définition 3.3Bornes supérieure et inférieure

La borne supérieure de $A$ , notée $\sup A$ , est le plus petit des majorants de $A$ , lorsqu'il existe. La borne inférieure $\inf A$ est le plus grand des minorants.

Théorème 3.4Propriété de la borne supérieure

Toute partie non vide et majorée de $\R$ admet une borne supérieure. Par symétrie, toute partie non vide et minorée admet une borne inférieure.

Résultat admis. C'est la propriété fondatrice de l'analyse réelle.

Exemple 3.5Fausse dans $\Q$

L'ensemble des rationnels de carré inférieur à 2 est non vide et majoré dans $\Q$ , mais n'y a pas de borne supérieure, car le candidat naturel $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel.

Propriété 3.6Caractérisation pratique

Hypothèses

$A$ est une partie non vide et majorée de $\R$ ;
$M$ est un réel.

Alors $M = \sup A$ si et seulement si :

$M$ est un majorant de $A$ , c'est-à-dire $x \leqslant M$ pour tout $x \in A$ ;
pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe $x \in A$ tel que $x > M - \varepsilon$ .

La seconde condition dit qu'aucun réel strictement plus petit que $M$ ne majore $A$ . C'est elle qu'on utilise dans les démonstrations, et elle se rédige toujours de la même manière.

Lien avec le maximum : si $A$ admet un maximum, alors $\sup A = \max A$ . La réciproque est fausse, la borne supérieure n'appartenant pas nécessairement à $A$ . Ainsi $\sup \intfo{0}{1} = 1$ alors que ce maximum n'existe pas.

Exemple 3.7Exemples de bornes

$\sup \intoo{0}{1} = 1$ et $\inf \intoo{0}{1} = 0$ , aucune des deux n'étant atteinte.
Pour $A = \{1/n,\ n \in \N^*\}$ , $\sup A = \max A = 1$ et $\inf A = 0$ , non atteinte.

Propriété 3.8Croissance de la borne

Hypothèses

$A \subset B$ ;
$B$ est bornée et $A$ est non vide.

Alors $\sup A \leqslant \sup B$ et $\inf A \geqslant \inf B$ .

4Partie entière et propriété d'Archimède

4.1Propriété d'Archimède

Propriété 4.1Propriété d'Archimède

$\R$ est archimédien : pour tout réel $x$ , il existe un entier naturel $n$ tel que $n > x$ . Autrement dit, $\N$ n'est pas majoré dans $\R$ .

Démonstration

Par l'absurde, avec la borne supérieure. Si $\N$ était majoré, il admettrait une borne supérieure $M$ . Alors $M - 1$ ne majorerait pas $\N$ , donc il existerait un entier $n$ avec $n > M - 1$ , puis $n + 1 > M$ . Cela contredit le fait que $M$ majore $\N$ .

Conséquence utile : pour tous réels $a > 0$ et $b$ , il existe un entier $n$ tel que $na > b$ .

4.2Partie entière

Définition 4.2Partie entière

Pour tout réel $x$ , il existe un unique entier relatif $n$ tel que $n \leqslant x < n + 1$ . On l'appelle partie entière de $x$ et on le note $\lfloor x \rfloor$ , ou $E(x)$ .

L'existence vient de la propriété d'Archimède et de l'existence d'un plus grand élément d'une partie non vide majorée de $\Z$ .

Propriété 4.3Propriétés de la partie entière

$E(x) \leqslant x < E(x) + 1$ , donc $x - 1 < E(x) \leqslant x$ ;
la fonction partie entière est croissante, constante sur chaque intervalle $\intfo{n}{n+1}$ , et discontinue en chaque entier ;
$E(x + n) = E(x) + n$ pour $n$ entier ;
en général, $E(x + y) \neq E(x) + E(y)$ .

Attention

Pour les réels négatifs, $E(-2{,}3) = -3$ et non $-2$ . La partie entière est l'entier immédiatement inférieur ou égal, pas la troncature.

4.3Approximations décimales

Pour $x$ réel et $n$ entier naturel, on pose $d_n = \frac{E(10^n x)}{10^n}.$ C'est la valeur décimale approchée de $x$ à $10^{-n}$ près par défaut, et $d_n + 10^{-n}$ est l'approximation par excès. On a $d_n \leqslant x < d_n + 10^{-n}.$ Cela fournit des approximations décimales aussi précises qu'on veut. C'est le principe de la représentation des réels en machine, à ceci près que la machine travaille en base deux et avec un nombre fini de chiffres.

5Densité

Définition 5.1Partie dense

Une partie $X$ de $\R$ est dense dans $\R$ si elle rencontre tout intervalle ouvert non vide, c'est-à-dire si entre deux réels distincts quelconques on trouve toujours un élément de $X$ .

Propriété 5.2Densité de $\mathbb{D}$ , $\Q$ et $\R \setminus \Q$

$\mathbb{D}$ , $\Q$ et l'ensemble des irrationnels sont denses dans $\R$ . Autrement dit, tout intervalle ouvert non vide rencontre à la fois $\Q$ et son complémentaire.

Démonstration

Soient $x < y$ . Par Archimède, il existe un entier $n \geqslant 1$ tel que $\dfrac{1}{n} < y - x$ . On pose $p = E(nx) + 1$ . Par définition de la partie entière, $nx < p \leqslant nx + 1$ , d'où $x < \frac{p}{n} \leqslant x + \frac{1}{n} < y.$ Le rationnel $p/n$ convient. Le pas $1/n$ étant plus petit que la longueur de l'intervalle, on ne peut pas l'enjamber.

Démonstration

On applique le résultat précédent à l'intervalle translaté. Si $x < y$ , il existe un rationnel $r$ dans $\intoo{x - \sqrt{2}}{y - \sqrt{2}}$ , et alors $r + \sqrt{2}$ est dans $\intoo{x}{y}$ . Il est irrationnel, car sinon $\sqrt{2}$ serait rationnel comme différence de deux rationnels.

Le chapitre sur les suites en donnera une caractérisation séquentielle : $X$ est dense dans $\R$ si et seulement si tout réel est limite d'une suite d'éléments de $X$ .

6La droite achevée

Définition 6.1Droite achevée

On note $\overline{\R}$ l'ensemble $\R$ auquel on ajoute deux éléments $+\infty$ et $-\infty$ , avec la relation d'ordre prolongée par $-\infty < x < +\infty$ pour tout réel $x$ .

Cela permet d'unifier des énoncés, notamment sur les limites. Avec cette convention, toute partie non vide de $\R$ admet une borne supérieure dans $\overline{\R}$ , égale à $+\infty$ si elle n'est pas majorée.

Attention

Les opérations ne sont que partiellement définies : les écritures $(+\infty) - (+\infty)$ et $0 \times (+\infty)$ n'ont pas de sens.

Méthodes

MéthodeProuver une inégalité

Étudier le signe d'une différence.
Ou introduire une fonction et l'étudier.
Ou utiliser la convexité.

MéthodeManipuler une valeur absolue

La faire disparaître par la traduction : $\abs{x - b} \leqslant a$ équivaut à $x \in \intff{b-a}{b+a}$ .
Ou passer au carré quand les deux membres sont positifs.

MéthodeMajorer un quotient

Majorer le numérateur en valeur absolue.
Minorer le dénominateur par un nombre strictement positif.

Attention

Ne jamais minorer un dénominateur par 0.

MéthodeMontrer que $M = \sup A$

Montrer que $M$ majore $A$ .
Pour tout $\varepsilon > 0$ , exhiber un élément de $A$ strictement plus grand que $M - \varepsilon$ .

MéthodeMontrer qu'un réel positif $a$ est nul

Montrer que $a \leqslant \varepsilon$ pour tout $\varepsilon > 0$ .
Conclure que $a = 0$ . C'est un argument très fréquent.

MéthodeFaire apparaître un entier bien choisi

Penser à la propriété d'Archimède ou à la partie entière.

MéthodeQuestion de densité

Chercher un pas plus fin que la longueur de l'intervalle visé.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Démontrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel.
Énoncer l'inégalité triangulaire, la démontrer et donner son cas d'égalité, puis en déduire la seconde inégalité triangulaire.
Donner un exemple de partie majorée sans maximum et expliquer la différence entre $\sup$ et $\max$ .
Énoncer la propriété de la borne supérieure et expliquer pourquoi elle est fausse dans $\Q$ .
Démontrer la caractérisation de la borne supérieure avec les $\varepsilon$ , et l'utiliser sur un exemple.
Démontrer que $\R$ est archimédien à partir de la propriété de la borne supérieure.
Établir l'existence et l'unicité de la partie entière, et donner ses propriétés.
Démontrer la densité de $\Q$ dans $\R$ , puis celle des irrationnels.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R, inclusions strictes, R privé de Q est l'ensemble des irrationnels : exigible.
√2 est irrationnel : exigible avec démonstration, par l'absurde à partir de la parité.
≤ est un ordre total sur R, compatible avec l'addition d'un même réel aux deux membres : exigible.
Multiplier par un réel positif conserve le sens d'une inégalité, multiplier par un réel négatif l'inverse : exigible.
Multiplier membre à membre deux inégalités n'est valable que si tous les termes concernés sont positifs : exigible, point de vigilance.
Pour 0 < a ≤ b, on a 1/b ≤ 1/a : exigible avec démonstration.
|x| ≤ a équivaut à −a ≤ x ≤ a, et |x − b| ≤ a équivaut à x ∈ [b−a, b+a] : exigibles.
Inégalité triangulaire, |x + y| ≤ |x| + |y|, égalité si et seulement si xy ≥ 0 : exigible avec démonstration.
Seconde inégalité triangulaire, la valeur absolue de |x| − |y| est majorée par |x − y| : exigible avec démonstration, déduite de la première.
Une partie X de R est un intervalle si et seulement si pour tous a, b de X avec a ≤ b, le segment [a, b] est inclus dans X : exigible.
Toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure : admis, propriété fondatrice de l'analyse réelle, fausse dans Q.
Caractérisation de M = sup A : M majore A, et pour tout ε > 0 il existe x dans A avec x > M − ε : exigible, à savoir rédiger.
R est archimédien, pour tout réel x il existe un entier naturel n tel que n > x : exigible avec démonstration à partir de la borne supérieure.
Existence et unicité de la partie entière d'un réel : exigible avec démonstration, à partir d'Archimède.
Tout intervalle ouvert non vide de R rencontre Q et rencontre R privé de Q : exigible avec démonstration, résultat explicitement au programme.
La droite achevée R barre ajoute +∞ et −∞, toute partie non vide admet dans R barre une borne supérieure, les opérations n'y sont que partiellement définies : mentionné, sans exigence de démonstration.

Clés de démonstration

Irrationalité de √2. Par l'absurde, on suppose √2 = p/q avec p, q entiers naturels non nuls premiers entre eux. L'égalité p² = 2q² donne p pair, donc p = 2k, puis q² = 2k² donne q pair, ce qui contredit p et q premiers entre eux. L'astuce : l'hypothèse de fraction irréductible est ce qui permet de conclure à une contradiction.

Inégalité triangulaire. On part de −|x| ≤ x ≤ |x| et −|y| ≤ y ≤ |y|, on additionne membre à membre ces deux encadrements, ce qui donne −(|x|+|y|) ≤ x+y ≤ |x|+|y|, donc |x+y| ≤ |x|+|y|. L'astuce : encadrer chaque terme puis additionner les encadrements, jamais les inégalités simples.

R archimédien. Par l'absurde, si N était majoré, il admettrait une borne supérieure M. Alors M − 1 ne majore pas N, donc il existe un entier n avec n > M − 1, d'où n + 1 > M, ce qui contredit que M majore N. L'astuce : utiliser le fait qu'aucun réel strictement inférieur à M ne majore N.

Existence de la partie entière. L'ensemble des entiers relatifs inférieurs ou égaux à x est non vide et majoré par x, grâce à Archimède appliqué à x et à −x. Une partie non vide et majorée de Z admet un plus grand élément, qui est la partie entière de x. L'astuce : ramener un problème sur R à un problème sur Z, où l'existence d'un maximum est plus simple.

Densité de Q dans R. Soient x < y. Par Archimède, il existe un entier n ≥ 1 tel que 1/n < y − x. On pose p = E(nx) + 1, ce qui donne nx < p ≤ nx + 1, donc x < p/n ≤ x + 1/n < y. L'astuce : choisir un pas 1/n plus petit que la longueur de l'intervalle visé, pour être certain de ne pas l'enjamber.

Exemples et contre-exemples à connaître

[0, 1[ est majoré par 1 mais n'a pas de maximum, car pour tout x de cet intervalle, (1+x)/2 est un élément strictement plus grand : sup et max ne coïncident pas toujours.
L'ensemble des rationnels de carré inférieur à 2 est non vide et majoré dans Q, mais n'a pas de borne supérieure dans Q : la propriété de la borne supérieure est fausse dans Q, c'est ce qui distingue R.
E(−2,3) = −3, et non −2 : la partie entière est l'entier immédiatement inférieur ou égal, pas la troncature vers zéro.
[0, 1] ∪ [2, 3] n'est pas un intervalle, bien que chacun des deux morceaux en soit un : une réunion d'intervalles n'est pas un intervalle en général.
sup ]0, 1[ = 1 et inf ]0, 1[ = 0, aucune des deux bornes n'étant atteinte : un intervalle ouvert n'a ni maximum ni minimum.
Pour A = {1/n, n entier ≥ 1}, sup A = max A = 1 est atteint, mais inf A = 0 ne l'est pas : les deux comportements peuvent coexister dans le même ensemble.
Avec a = 1 ≤ b = 2 et c = 0 ≤ d = 5, on a a − c = 1 et b − d = −3, donc a − c > b − d alors que a ≤ b et c ≤ d : on ne soustrait jamais deux inégalités membre à membre.
Avec −3 ≤ −2 et −5 ≤ −1, deux inégalités vraies, le produit membre à membre donnerait 15 ≤ 2, ce qui est faux : la multiplication membre à membre exige la positivité de tous les termes.
Le rationnel 1,4142 approche √2 par défaut à 10⁻⁴ près, mais aucune approximation décimale finie n'est jamais exactement √2, puisque √2 est irrationnel.
Dans la droite achevée, +∞ − ∞ et 0 × (+∞) n'ont pas de sens : les opérations n'y sont que partiellement définies, contrairement à ce qu'on pourrait croire en manipulant les limites.

Techniques du chapitre

Technique 1, majorer un quotient en majorant le numérateur en valeur absolue et en minorant le dénominateur par un réel strictement positif. Mini-exercice : majorer (n+1)/(n²+1) pour n entier ≥ 1. On a n+1 ≤ 2n et n²+1 ≥ n², donc le quotient est majoré par 2n/n² = 2/n, lui-même majoré par 2.

Technique 2, faire disparaître une valeur absolue par la traduction en encadrement. Mini-exercice : résoudre |2x − 1| ≤ 3. Cela équivaut à −3 ≤ 2x − 1 ≤ 3, soit x dans [−1, 2].

Technique 3, montrer qu'un réel positif est nul en majorant par tout ε > 0. Mini-exercice : soit a ≥ 0 tel que a ≤ 1/n pour tout entier n ≥ 1. Par Archimède, 1/n devient aussi petit qu'on veut, donc a ≤ 0, et avec a ≥ 0 cela donne a = 0.

Technique 4, exhiber un entier grâce à la propriété d'Archimède. Mini-exercice : montrer qu'il existe un entier n tel que n > 10⁶π. Il suffit d'appliquer Archimède au réel 10⁶π.

Technique 5, rédiger une preuve de borne supérieure en deux points systématiques. Mini-exercice : montrer que sup{1 − 1/n, n entier ≥ 1} = 1. 1 majore l'ensemble car 1 − 1/n < 1 pour tout n. Pour ε > 0, Archimède donne un entier n tel que n > 1/ε, donc 1 − 1/n > 1 − ε.

Technique 6, trouver un rationnel dans un intervalle donné par la méthode de densité. Mini-exercice : trouver un rationnel strictement compris entre 1,41 et 1,42. On peut prendre 1,415, c'est-à-dire 283/200.

Technique 7, utiliser la caractérisation des intervalles comme parties sans trou. Mini-exercice : montrer que {x réel, x² ≤ 4} est un intervalle. Cet ensemble vaut [−2, 2], et pour tous a, b dans [−2, 2] avec a ≤ b, le segment [a, b] y est inclus.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Démontrer que √2 est irrationnel

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique raisonnement par l'absurde à partir d'une fraction irréductible.

Voir le corrigé

Supposons √2 = p/q avec p, q entiers naturels non nuls, premiers entre eux.
En élevant au carré, p² = 2q², donc p² est pair, donc p est pair, car le carré d'un impair est impair. On écrit p = 2k.
En reportant, 4k² = 2q², donc q² = 2k², donc q est pair par le même argument.
p et q sont tous deux pairs, ce qui contredit l'hypothèse qu'ils sont premiers entre eux.

piège : Oublier l'hypothèse de fraction irréductible, sans laquelle l'argument ne conclut à aucune contradiction.

Exercice 2. Résoudre dans R l'équation |2x − 5| = |x + 1|

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique une égalité de deux valeurs absolues équivaut à une égalité ou à une opposition des deux expressions.

Voir le corrigé

|2x − 5| = |x + 1| équivaut à 2x − 5 = x + 1 ou 2x − 5 = −(x + 1).
Premier cas : x = 6.
Second cas : 2x − 5 = −x − 1, donc 3x = 4, x = 4/3.
Solutions : 4/3 et 6, vérification immédiate dans les deux cas.

piège : Ne traiter qu'un seul des deux cas, en oubliant que l'égalité des valeurs absolues autorise aussi les expressions opposées.

Exercice 3. Déterminer sup et inf de A = {(n−1)/(n+1), n entier naturel}

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique réécrire le terme général pour lire la monotonie, puis rédiger la caractérisation ε.

Voir le corrigé

Pour n dans N, (n−1)/(n+1) = 1 − 2/(n+1). Comme n+1 croît avec n, 2/(n+1) décroît, donc la suite est croissante.
Le minimum est donc atteint en n = 0, valeur −1, qui est inf A et min A.
1 majore A car 1 − 2/(n+1) < 1 pour tout n. Pour ε > 0, Archimède donne n tel que n+1 > 2/ε, donc 1 − 2/(n+1) > 1 − ε.
sup A = 1, non atteint, alors que inf A = −1 est atteint.

piège : Confondre la limite de la suite, qui vaut 1, et la borne supérieure de l'ensemble de ses valeurs, en croyant que 1 appartient à A.

Exercice 4

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Montrer que pour tous réels a, b positifs ou nuls, √(ab) ≤ (a+b)/2, avec égalité si et seulement si a = b.

Technique étudier le signe du carré (√a − √b)², sans passer par la convexité.

Voir le corrigé

Pour tous réels a, b positifs ou nuls, (√a − √b)² ≥ 0, un carré étant toujours positif ou nul.
En développant, a − 2√(ab) + b ≥ 0, soit a + b ≥ 2√(ab).
En divisant par 2, qui est positif, le sens est conservé : (a+b)/2 ≥ √(ab).
Égalité si et seulement si (√a − √b)² = 0, c'est-à-dire a = b.

piège : Élever l'inégalité finale au carré dans le mauvais sens, ou oublier de justifier que diviser par 2 ne change pas le sens de l'inégalité.

Exercice 5. Résoudre dans R l'inéquation |x − 1| + |x + 1| ≤ 4

Classiques de khôlle et concours · Khôlle vers écrit

Technique découper R en intervalles délimités par les points où chaque valeur absolue change d'expression.

Voir le corrigé

Les points critiques sont −1 et 1, on étudie séparément ]−∞, −1], [−1, 1] et [1, +∞[.
Sur [−1, 1] : |x−1| = 1−x et |x+1| = x+1, la somme vaut 2, toujours inférieure à 4, tout l'intervalle est solution.
Sur [1, +∞[ : |x−1| = x−1 et |x+1| = x+1, la somme vaut 2x, donc 2x ≤ 4 donne x ≤ 2. Avec x ≥ 1, solutions [1, 2].
Sur ]−∞, −1] : |x−1| = 1−x et |x+1| = −x−1, la somme vaut −2x, donc −2x ≤ 4 donne x ≥ −2. Avec x ≤ −1, solutions [−2, −1].
En réunissant les trois morceaux, l'ensemble des solutions est [−2, 2].

piège : Oublier un des trois intervalles, ou se tromper de signe dans l'expression d'une valeur absolue sur l'intervalle considéré.

Exercice 6. Montrer que pour tout entier n ≥ 1, il existe un unique entier k tel que k² ≤ n < (k+1)²

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Technique adapter l'argument d'existence et unicité de la partie entière à un ensemble d'entiers borné.

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L'ensemble E = {m entier naturel, m² ≤ n} est non vide, il contient 0, et il est majoré, car m² ≤ n entraîne m ≤ n.
Une partie non vide et majorée de N admet un plus grand élément, noté k, comme pour l'existence de la partie entière.
Par définition de k comme maximum, k² ≤ n, et k+1 n'est pas dans E, donc (k+1)² > n.
Unicité : la fonction m ↦ m² est strictement croissante sur N, donc les intervalles [m², (m+1)²[ pour des entiers m distincts sont disjoints, et un seul peut contenir n.

piège : Invoquer directement la partie entière de √n sans avoir construit l'existence de la racine carrée, alors que l'exercice demande de raisonner uniquement avec des entiers.

Exercice 7

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP ou e3a

Soit A une partie non vide et bornée de R. Montrer que sup(−A) = −inf(A), où −A désigne {−x, x dans A}.

Technique caractérisation ε de la borne inférieure, puis changement de signe des inégalités.

Voir le corrigé

A est minorée, donc elle admet une borne inférieure m = inf A.
Pour tout x de A, x ≥ m, donc −x ≤ −m : −m majore −A.
Pour tout ε > 0, la caractérisation de m donne un x de A avec x < m + ε, donc −x > −m − ε : aucun réel plus petit que −m ne majore −A.
Les deux points établissent sup(−A) = −m, c'est-à-dire sup(−A) = −inf(A).

piège : Se tromper de sens en changeant les signes dans la caractérisation ε, ce qui inverse « plus petit » et « plus grand ».

Exercice 8

Approfondissement · Type écrit Centrale ou Mines, plus délicat

Soit A = {x rationnel, x > 0 et x² < 2}. Montrer que A est non vide, majoré dans Q, mais n'admet pas de borne supérieure dans Q.

Technique combiner l'irrationalité de √2 et la densité de Q, par l'absurde sur un éventuel majorant minimal rationnel.

Voir le corrigé

A est non vide, il contient 1, et il est majoré dans Q par 2, car x > 0 et x² < 2 < 4 entraînent x < 2.
Dans R, sup A = √2 : √2 majore A par croissance de la fonction carré sur R+, et tout réel strictement inférieur à √2 n'est pas un majorant, par densité de Q.
Supposons par l'absurde qu'un rationnel M soit le plus petit des majorants rationnels de A. Comme √2 est irrationnel, M ≠ √2.
Si M < √2, la densité de Q donne un rationnel r avec M < r < √2, et r² < 2 par croissance du carré, donc r appartient à A et dépasse M, contredisant que M majore A. Si M > √2, la densité donne un rationnel r avec √2 < r < M, et r majore aussi A tout en étant plus petit que M, contredisant la minimalité de M.
Les deux cas sont impossibles, donc aucun rationnel n'est la borne supérieure de A dans Q.

piège : Utiliser silencieusement √2 comme borne supérieure réelle de A sans le justifier, ou ne traiter qu'un seul des deux cas M < √2 et M > √2.

Erreurs fréquentes

Soustraire deux inégalités membre à membre, ce qui n'est pas une opération valide. Pour majorer a − b, on majore a et on minore b séparément.
Multiplier deux inégalités membre à membre sans avoir vérifié que tous les termes concernés sont positifs.
Croire que la borne supérieure d'un ensemble lui appartient toujours, en oubliant qu'elle n'est un maximum que lorsqu'elle est effectivement atteinte.
Se tromper sur la partie entière d'un réel négatif, par exemple écrire E(−2,3) = −2 au lieu de −3.
Élever une inégalité au carré sans vérifier le signe des deux membres, ce qui peut inverser ou invalider le sens de l'inégalité.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de MPSI (2021), partie « Compléments de calcul algébrique et de trigonométrie », paragraphe « Inégalités », et partie « Nombres réels et suites numériques », paragraphes « Ensembles de nombres usuels » et « Propriété de la borne supérieure ». La construction de $\R$ est hors programme. Les suites font l'objet du chapitre suivant.