Le cours

Résumé en cinq points

Une loi interne peut être associative, commutative, avoir un neutre, avoir des inversibles. Le neutre est unique, et l'inverse aussi dès que la loi est associative.
Un groupe est un ensemble muni d'une loi interne associative, avec neutre, dont tout élément est inversible. Pour prouver qu'un ensemble est un groupe, on le voit presque toujours comme sous-groupe d'un groupe connu.
La caractérisation d'un sous-groupe est : partie non vide et stable par $x \ast y^{-1}$ .
Un anneau a deux lois, un corps est un anneau commutatif où tout élément non nul est inversible. Dans un anneau quelconque il peut exister des diviseurs de zéro, donc on ne simplifie pas.
Un morphisme de groupes conserve neutre et inverses. Il est injectif si et seulement si son noyau est réduit au neutre, et son image comme son noyau sont des sous-groupes. Même vocabulaire pour les anneaux, où l'on exige en plus $f(1) = 1$ .

Pourquoi ce chapitre

Ce chapitre ne démontre presque rien de nouveau. Son rôle est de donner un nom commun à des situations déjà rencontrées, pour ne plus refaire dix fois la même vérification.

Additionner des entiers, composer des permutations, multiplier des matrices inversibles, multiplier des complexes de module 1 : quatre fois la même structure, celle de groupe.
Additionner et multiplier des entiers, des polynômes ou des matrices carrées : trois fois la structure d'anneau.

Le gain est double. D'abord on démontre une fois pour toutes des résultats comme l'unicité du neutre ou la formule du binôme. Ensuite on acquiert un réflexe : quand on demande de montrer qu'un ensemble muni d'une loi est un groupe, on sait quoi vérifier et dans quel ordre.

Les morphismes ajoutent le moyen de comparer deux structures, avec le couple image et noyau que l'on retrouvera tel quel pour les applications linéaires. Ce vocabulaire est réutilisé en algèbre linéaire, dans le groupe symétrique et dans l'étude des déterminants.

1Lois de composition interne

1.1Définition

Définition 1.1Loi de composition interne

Soit $E$ un ensemble. Une loi de composition interne sur $E$ est une application de $E \times E$ dans $E$ . On la note en général de façon infixe, par exemple $x \ast y$ .

Le mot interne est essentiel : le résultat de l'opération doit rester dans $E$ .

Exemple 1.2

L'addition et la multiplication sur $\Z$ , $\R$ ou $\C$ .
La composition sur l'ensemble des applications de $E$ dans $E$ .
La réunion sur l'ensemble des parties d'un ensemble.
La soustraction sur $\N$ n'est pas interne, car $2 - 5 \notin \N$ .

1.2Propriétés usuelles

Définition 1.3Associativité et commutativité

La loi $\ast$ est associative si $(x \ast y) \ast z = x \ast (y \ast z)$ pour tous $x$ , $y$ , $z$ de $E$ . Elle permet d'écrire les produits sans parenthèses.

La loi $\ast$ est commutative si $x \ast y = y \ast x$ pour tous $x$ et $y$ .

Définition 1.4Élément neutre

Un élément $e$ de $E$ est neutre si $e \ast x = x \ast e = x$ pour tout $x$ de $E$ .

Propriété 1.5Unicité du neutre

Il y a au plus un neutre. On parle donc du neutre.

Démonstration

Si $e$ et $e'$ sont neutres, alors $e \ast e'$ vaut $e'$ parce que $e$ est neutre, et vaut $e$ parce que $e'$ est neutre. Donc $e = e'$ .

Définition 1.6Élément inversible

Soit $\ast$ associative de neutre $e$ . Un élément $x$ est inversible s'il existe $y$ tel que $x \ast y = y \ast x = e$ . Cet $y$ est unique : c'est l'inverse de $x$ , noté $x^{-1}$ en notation multiplicative et $-x$ en notation additive.

Démonstration

Si $y$ et $z$ conviennent, alors $\begin{aligned} y &= y \ast e = y \ast (x \ast z)\\ &= (y \ast x) \ast z = e \ast z = z. \end{aligned}$

Propriété 1.7Inverse d'un produit

Si $x$ et $y$ sont inversibles, alors $x \ast y$ l'est et $(x \ast y)^{-1} = y^{-1} \ast x^{-1}$ .

Attention

L'ordre s'inverse. Il ne se conserve que si la loi est commutative. C'est une erreur classique en calcul matriciel.

1.3Distributivité et partie stable

Définition 1.8Distributivité

Si $E$ est muni de deux lois $+$ et $\times$ , la loi $\times$ est distributive sur $+$ si $x(y + z) = xy + xz$ et $(y + z)x = yx + zx$ pour tous $x$ , $y$ , $z$ .

Les deux égalités sont à vérifier quand $\times$ n'est pas commutative.

Définition 1.9Partie stable

Une partie $F$ de $E$ est stable par $\ast$ si $x \ast y \in F$ pour tous $x$ et $y$ de $F$ .

La loi induite hérite alors de l'associativité et de la commutativité. Elle n'hérite ni du neutre ni de l'inversibilité, qui sont à vérifier.

2Groupes

2.1Définition et exemples

Définition 2.1Groupe

Un groupe est un couple $(G, \ast)$ où $\ast$ est une loi de composition interne sur $G$ , associative, possédant un neutre, et telle que tout élément de $G$ soit inversible. Le groupe est abélien, ou commutatif, si de plus la loi est commutative.

Exemples usuels à connaître :

groupes additifs : $(\Z, +)$ , $(\Q, +)$ , $(\R, +)$ , $(\C, +)$ , tous abéliens ;
groupes multiplicatifs : $(\Q^*, \times)$ , $(\Q_+^*, \times)$ , $(\R^*, \times)$ , $(\R_+^*, \times)$ , $(\C^*, \times)$ , tous abéliens ;
le groupe $\mathbb{U}$ des complexes de module 1, et pour $n \geqslant 1$ le groupe $\mathbb{U}_n$ des racines $n$ -ièmes de l'unité, qui a $n$ éléments ;
le groupe des permutations d'un ensemble $X$ , c'est-à-dire l'ensemble des bijections de $X$ dans $X$ muni de la composition, noté $S_X$ , non commutatif dès que $X$ a au moins trois éléments ;
plus tard dans l'année : le groupe linéaire $GL(E)$ des automorphismes d'un espace vectoriel, et $GL_n(\K)$ pour les matrices.

Propriété 2.2Puissances dans un groupe

Dans un groupe multiplicatif, $x^0 = e$ , $x^{n+1} = x^n x$ pour $n \geqslant 0$ , et $x^{-n} = (x^{-1})^n$ . Pour tous entiers relatifs $m$ et $n$ : $x^{m+n} = x^m x^n, \qquad (x^m)^n = x^{mn}.$ En notation additive, on écrit $nx$ .

Attention

$(xy)^n = x^n y^n$ seulement si $x$ et $y$ commutent.

2.2Sous-groupes

Définition 2.3Sous-groupe

Soit $(G, \ast)$ un groupe. Une partie $H$ de $G$ est un sous-groupe de $G$ si :

$H$ contient le neutre ;
$H$ est stable par la loi ;
$H$ est stable par passage à l'inverse.

Un sous-groupe, muni de la loi induite, est lui-même un groupe.

Propriété 2.4Caractérisation pratique

$H$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si $H$ est non vide et si, pour tous $x$ et $y$ de $H$ , $x \ast y^{-1} \in H$ . En notation additive : $H$ non vide et $x - y \in H$ .

C'est elle qu'il faut utiliser en exercice. Le point à ne jamais sauter est le caractère non vide, que l'on prouve en exhibant le neutre.

Exemple 2.5

Les sous-groupes de $(\Z, +)$ sont exactement les ensembles $n\Z$ pour $n$ entier naturel.
$\mathbb{U}_n$ est un sous-groupe de $\mathbb{U}$ , qui est lui-même un sous-groupe de $(\C^*, \times)$ .
L'ensemble des permutations de $\intent{1}{n}$ fixant l'entier 1 est un sous-groupe de $S_n$ .

Pour montrer qu'un ensemble est un groupe, il est presque toujours plus rapide de le voir comme sous-groupe d'un groupe connu que de tout revérifier à la main. Cela évite notamment de démontrer l'associativité.

2.3Groupe produit

Propriété 2.6Groupe produit

Si $(G, \ast)$ et $(G', \star)$ sont deux groupes, $G \times G'$ muni de la loi $(x, x') \cdot (y, y') = (x \ast y, x' \star y')$ est un groupe. Neutre et inverses se calculent composante par composante. La construction s'étend à un nombre fini de facteurs.

2.4Morphismes de groupes

Définition 2.7Morphisme de groupes

Soient $(G, \ast)$ et $(G', \star)$ deux groupes. Une application $f$ de $G$ dans $G'$ est un morphisme de groupes si $f(x \ast y) = f(x) \star f(y)$ pour tous $x$ et $y$ de $G$ . Un isomorphisme est un morphisme bijectif. La réciproque d'un isomorphisme est alors automatiquement un morphisme.

Propriété 2.8Premières propriétés

Un morphisme envoie le neutre sur le neutre, et $f(x^{-1})$ est l'inverse de $f(x)$ . On en déduit $f(x^n) = f(x)^n$ pour tout entier relatif $n$ . La composée de deux morphismes est un morphisme.

Exemple 2.9

L'exponentielle réelle est un isomorphisme de $(\R, +)$ sur $(\R_+^*, \times)$ , de réciproque le logarithme.
L'application $\theta \mapsto \e^{\ii\theta}$ est un morphisme de $(\R, +)$ dans $(\mathbb{U}, \times)$ .
Le déterminant est un morphisme de $GL_n(\K)$ dans $(\K^*, \times)$ .
La signature est un morphisme de $S_n$ dans $\{-1, 1\}$ .

Propriété 2.10Images de sous-groupes

Hypothèses

$f$ est un morphisme de $G$ dans $G'$ .

Alors :

si $H$ est un sous-groupe de $G$ , $f(H)$ est un sous-groupe de $G'$ ;
si $H'$ est un sous-groupe de $G'$ , son image réciproque, l'ensemble des $x$ de $G$ tels que $f(x) \in H'$ , est un sous-groupe de $G$ .

Définition 2.11Image et noyau

L'image de $f$ , notée $\Im f$ , est $f(G)$ : c'est un sous-groupe de $G'$ . Le noyau de $f$ , noté $\Ker f$ , est l'image réciproque du neutre de $G'$ , c'est-à-dire l'ensemble des $x$ de $G$ tels que $f(x)$ soit le neutre de $G'$ . C'est un sous-groupe de $G$ .

Propriété 2.12Caractérisation de l'injectivité

Le morphisme $f$ est injectif si et seulement si $\Ker f$ est réduit au neutre de $G$ . Il est surjectif si et seulement si $\Im f = G'$ .

Démonstration

$f(x) = f(y)$ équivaut à $f(x \ast y^{-1})$ neutre, donc à $x \ast y^{-1} \in \Ker f$ .

Exemple 2.13Exemple de lecture

Le noyau du déterminant est l'ensemble des matrices inversibles de déterminant 1. C'est donc un sous-groupe de $GL_n(\K)$ , sans aucune vérification supplémentaire.

3Anneaux et corps

3.1Anneaux

Définition 3.1Anneau

Un anneau est un triplet $(A, +, \times)$ tel que :

$(A, +)$ est un groupe abélien ;
la multiplication est associative et distributive par rapport à l'addition ;
il existe un élément neutre pour la multiplication, noté $1_A$ .

La convention du programme est que tout anneau est unitaire. L'anneau est commutatif si la multiplication l'est.

Exemples usuels :

$\Z$ , $\Q$ , $\R$ , $\C$ ;
l'anneau $\K[X]$ des polynômes ;
l'anneau $M_n(\K)$ des matrices carrées, non commutatif dès que $n \geqslant 2$ ;
l'anneau des fonctions d'un ensemble dans $\R$ muni des opérations usuelles.

Propriété 3.2Règles de calcul

Pour tous $x$ et $y$ de $A$ : $0_A \times x = x \times 0_A = 0_A$ et $(-x)y = -(xy)$ .

Démonstration

$0x = (0 + 0)x = 0x + 0x$ , et on simplifie dans le groupe additif.

Remarque

Si $1_A = 0_A$ , alors $A$ est réduit à $\{0\}$ . C'est l'anneau nul.

Définition 3.3Diviseur de zéro, anneau intègre

Un élément $x$ non nul tel qu'il existe $y$ non nul avec $xy = 0$ est un diviseur de zéro. Un anneau commutatif non nul sans diviseur de zéro est dit intègre : $xy = 0$ entraîne $x = 0$ ou $y = 0$ .

Dans un anneau général, $xy = 0$ n'entraîne pas $x = 0$ ou $y = 0$ : les matrices carrées en fournissent un exemple. Les anneaux $\Z$ , $\K[X]$ et tout corps sont intègres, $M_n(\K)$ ne l'est pas pour $n \geqslant 2$ .

Attention

Hors du cas intègre, on ne simplifie pas une égalité $xy = xz$ par $x$ , sauf si $x$ est inversible.

3.2Calcul dans un anneau

Les deux formules suivantes sont exigibles, et leurs hypothèses sont essentielles.

Théorème 3.4Formule du binôme

Hypothèses

$A$ est un anneau ;
$a$ et $b$ commutent, c'est-à-dire $ab = ba$ ;
$n \in \N$ .

Alors $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k b^{n-k}.$

Propriété 3.5Factorisation de $a^n - b^n$

Hypothèses

$a$ et $b$ commutent.

Alors $\begin{aligned} a^n - b^n = (a - b)\big(&a^{n-1} + a^{n-2}b\\ &+ \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1}\big). \end{aligned}$

Attention

Sans l'hypothèse de commutation, les deux formules sont fausses. Dans $M_2(\R)$ , on trouve deux matrices $A$ et $B$ telles que $(A + B)^2 \neq A^2 + 2AB + B^2$ , puisque le développement correct est $A^2 + AB + BA + B^2$ .

Ces formules servent au calcul des puissances d'une matrice écrite comme somme d'une matrice scalaire et d'une matrice nilpotente. Les deux commutent, le binôme s'applique, et la somme se réduit à quelques termes.

3.3Groupe des inversibles

Propriété 3.6Groupe des inversibles

Soit $A$ un anneau. L'ensemble des éléments inversibles de $A$ pour la multiplication, souvent noté $A^\times$ , est un groupe pour la multiplication : le groupe des inversibles de $A$ .

La démonstration est un bon exercice de synthèse : $1_A$ est inversible, le produit de deux inversibles l'est, et l'inverse d'un inversible l'est aussi.

Exemple 3.7

Les inversibles de $\Z$ sont $1$ et $-1$ .
Les inversibles de $M_n(\K)$ forment le groupe $GL_n(\K)$ .
Les inversibles de $\K[X]$ sont les polynômes constants non nuls.
Les inversibles de l'anneau des fonctions de $\R$ dans $\R$ sont les fonctions qui ne s'annulent en aucun point.

3.4Corps

Définition 3.8Corps

Un corps est un anneau commutatif dans lequel $1 \neq 0$ et dont tout élément non nul est inversible. La convention du programme est que tout corps est commutatif.

Exemples usuels : $\Q$ , $\R$ , $\C$ . L'ensemble $\Z$ n'est pas un corps, car 2 n'y est pas inversible.

Propriété 3.9Pas de diviseur de zéro

Dans un corps, si $xy = 0$ et $x \neq 0$ , alors $y = 0$ .

Démonstration

On multiplie par $x^{-1}$ et on obtient $y = 0$ .

On peut donc simplifier par tout élément non nul, exactement comme dans $\R$ .

3.5Sous-anneaux et morphismes d'anneaux

Définition 3.10Sous-anneau

Une partie $B$ d'un anneau $A$ est un sous-anneau si elle contient $1_A$ , si elle est stable par différence et si elle est stable par produit. Munie des lois induites, elle est alors elle-même un anneau.

Attention

Ne pas oublier la condition portant sur $1_A$ : les entiers pairs sont stables par différence et par produit, mais ne forment pas un sous-anneau de $\Z$ .

Exemples corrects : $\Z$ dans $\Q$ , ou l'ensemble des $a + b\sqrt{2}$ avec $a$ et $b$ entiers dans $\R$ .

Définition 3.11Morphisme d'anneaux

Une application $f$ de $A$ dans $A'$ est un morphisme d'anneaux si :

$f(x + y) = f(x) + f(y)$ ;
$f(xy) = f(x)f(y)$ ;
$f(1_A) = 1_{A'}$ .

Un isomorphisme d'anneaux est un morphisme bijectif, et sa réciproque est encore un morphisme.

Attention

La troisième condition n'est pas conséquence des deux autres et doit être vérifiée.

Propriété 3.12Propriétés des morphismes d'anneaux

C'est en particulier un morphisme pour les groupes additifs, donc $f(0) = 0$ et $f(-x) = -f(x)$ . Il envoie tout inversible sur un inversible, avec $f(x^{-1}) = f(x)^{-1}$ , et son image est un sous-anneau de l'anneau d'arrivée.

Exemple 3.13

La conjugaison complexe est un isomorphisme de $\C$ sur lui-même.
L'évaluation en $a$ , qui à $P$ associe $P(a)$ , est un morphisme d'anneaux de $\K[X]$ dans $\K$ .

Remarque

La construction des anneaux $\Z/n\Z$ est explicitement hors programme en MPSI. Les congruences sont manipulées directement dans $\Z$ , comme dans le chapitre d'arithmétique.

Méthodes

MéthodeMontrer qu'un ensemble muni d'une loi est un groupe

Chercher d'abord s'il s'agit d'une partie d'un groupe connu.
Si oui, utiliser la caractérisation des sous-groupes.
Commencer par exhiber le neutre pour justifier que la partie est non vide.

MéthodeProuver l'unicité du neutre ou de l'inverse

Supposer deux objets convenables.
Les faire agir l'un sur l'autre.

MéthodeVérifier la commutation avant de calculer

Avant d'écrire $(xy)^n = x^n y^n$ , $(x + y)^n$ en binôme, ou $(xy)^{-1} = x^{-1}y^{-1}$ , se demander si les éléments commutent.
Dans un anneau non commutatif, ces trois écritures sont fausses en général.

MéthodeMontrer qu'un élément est inversible dans un anneau

Exhiber un inverse explicite.
Sinon, utiliser une relation polynomiale annulatrice.

Si $a^2 - 3a + 2 \cdot 1 = 0$ dans un anneau, alors $a(3 \cdot 1 - a) = 2 \cdot 1$ , donc $a$ est inversible dès que $2$ est inversible.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Démontrer l'unicité du neutre, puis l'unicité de l'inverse dans une loi associative.
Énoncer la caractérisation d'un sous-groupe et l'appliquer à une partie donnée d'un groupe classique.
Montrer que $\mathbb{U}_n$ est un sous-groupe de $\mathbb{U}$ , et que $\mathbb{U}$ est un sous-groupe de $\C^*$ .
Démontrer que les sous-groupes de $(\Z, +)$ sont les $n\Z$ , en utilisant la division euclidienne.
Démontrer qu'un morphisme de groupes est injectif si et seulement si son noyau est réduit au neutre.
Montrer que le noyau et l'image d'un morphisme de groupes sont des sous-groupes, et l'illustrer sur le déterminant.
Énoncer la formule du binôme dans un anneau en précisant l'hypothèse de commutation, et donner un contre-exemple matriciel.
Démontrer que l'ensemble des inversibles d'un anneau est un groupe, et donner un exemple de diviseurs de zéro dans $M_2(\R)$ .

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Unicité de l'élément neutre : exigible avec démonstration.
Unicité de l'inverse quand la loi est associative : exigible avec démonstration.
Inverse d'un produit : si x et y sont inversibles, xy l'est et (xy)⁻¹ = y⁻¹x⁻¹. Exigible avec démonstration.
Une partie stable hérite de l'associativité et de la commutativité, pas du neutre ni des inverses : exigible.
Groupe, groupe abélien, exemples usuels Z, Q, R, C additifs, Q*, Q*₊, R*, R*₊, C*, U, U_n multiplicatifs, groupe S_X des permutations : exigibles.
Règles des puissances x^m+n = x^m xⁿ et (x^m)ⁿ = x^mn pour m, n ∈ Z : exigibles. (xy)ⁿ = xⁿ yⁿ seulement si x et y commutent.
Caractérisation d'un sous-groupe : H non vide et xy⁻¹ ∈ H pour tous x, y de H. Exigible avec démonstration.
Les sous-groupes de (Z, +) sont les nZ, n ∈ N : résultat classique de la fiche, démonstration à savoir refaire par division euclidienne.
Groupe produit : exigible.
Morphisme de groupes : f(e) = e', f(x⁻¹) = f(x)⁻¹, image et image réciproque d'un sous-groupe sont des sous-groupes, noyau et image sont des sous-groupes. Exigibles avec démonstration. Ces notions figurent dans la fiche, elles sont absentes du texte de 2013 fourni, qui les reporte en seconde année.
Injectivité : f est injectif si et seulement si Ker f est réduit au neutre. Exigible avec démonstration.
Anneau : 0 × x = 0 et (−x)y = −(xy). Exigibles avec démonstration. Si 1 = 0, l'anneau est nul.
Formule du binôme et factorisation de aⁿ − bⁿ dans un anneau, sous l'hypothèse ab = ba : exigibles avec démonstration.
Groupe des inversibles d'un anneau : exigible avec démonstration.
Corps : un corps n'a pas de diviseur de zéro, on simplifie par tout élément non nul. Exigible avec démonstration.
Sous-anneau et morphisme d'anneaux, avec la condition sur 1 : dans la fiche, absents du texte de 2013.
Hors programme signalé : Z/nZ, ordre d'un élément, groupes cycliques, théorème de Lagrange, idéaux. Un énoncé qui y touche redémontre ce qu'il utilise.

Clés de démonstration

Unicité du neutre. Si e et e' sont neutres, e ∗ e' vaut e' car e est neutre, et vaut e car e' est neutre. L'astuce : faire agir les deux candidats l'un sur l'autre.

Unicité de l'inverse. Si y et z sont inverses de x, alors y = y(xz) = (yx)z = z. L'astuce : l'associativité est indispensable, on l'annonce.

Inverse d'un produit. (xy)(y⁻¹x⁻¹) = x(yy⁻¹)x⁻¹ = xx⁻¹ = e, et de même dans l'autre sens. L'astuce : l'ordre s'inverse comme quand on enlève ses chaussures et ses chaussettes.

Caractérisation d'un sous-groupe. H non vide contient un x, donc xx⁻¹ = e. Puis ex⁻¹ = x⁻¹ ∈ H. Enfin pour x, y ∈ H, y⁻¹ ∈ H donc x(y⁻¹)⁻¹ = xy ∈ H. L'astuce : dérouler neutre, inverses, stabilité dans cet ordre, chacun s'appuyant sur le précédent.

Sous-groupes de Z. Si H ≠ {0}, H contient un entier strictement positif, donc un plus petit, n. Pour h ∈ H, la division euclidienne h = nq + r donne r = h − nq ∈ H avec 0 ≤ r < n, donc r = 0. L'astuce : la minimalité de n contredit tout reste non nul.

Injectivité et noyau. f(x) = f(y) équivaut à f(x)f(y)⁻¹ = e', soit f(xy⁻¹) = e', soit xy⁻¹ ∈ Ker f. Si le noyau est trivial, xy⁻¹ = e. L'astuce : ramener une égalité d'images à une appartenance au noyau.

Règle 0 × x = 0. On écrit 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x, puis on simplifie dans le groupe additif. L'astuce : la distributivité, puis la structure de groupe de (A, +).

Binôme. Récurrence sur n. Au passage de n à n + 1 on multiplie par a + b, et pour regrouper il faut déplacer a devant les b, ce qui utilise ab = ba. L'astuce : c'est exactement là que sert l'hypothèse de commutation.

Groupe des inversibles. 1 est inversible, le produit de deux inversibles est inversible par la formule du produit, l'inverse d'un inversible est inversible d'inverse lui-même. L'associativité est celle de A. L'astuce : on ne vérifie que la stabilité, l'associativité est héritée.

Exemples et contre-exemples à connaître

(N, +) n'est pas un groupe : 1 n'a pas d'opposé. (Z, ×) non plus : 2 n'a pas d'inverse. Le neutre ne suffit pas.
(R, ×) n'est pas un groupe à cause de 0, mais (R*, ×) l'est. Retirer les éléments non inversibles est le réflexe.
S₃ n'est pas commutatif. Avec s qui échange 1 et 2 et t qui échange 2 et 3, s ∘ t envoie 1 sur 2 alors que t ∘ s envoie 1 sur 3.
Dans M₂(R), la matrice E₁₁ qui n'a qu'un 1 en position (1, 1) et E₂₂ vérifient E₁₁E₂₂ = 0 sans être nulles. Ce sont des diviseurs de zéro, on ne simplifie pas.
Avec A = E₁₂ et B = E₂₁, on a AB = E₁₁ et BA = E₂₂, donc (A + B)² = AB + BA = I₂ alors que A² + 2AB + B² = 2E₁₁. Le binôme exige la commutation.
2Z est un sous-groupe de (Z, +) mais pas un sous-anneau de Z, car il ne contient pas 1. Les entiers impairs ne sont même pas stables par addition.
2Z ∪ 3Z n'est pas un sous-groupe de Z : 2 + 3 = 5 n'y est pas. Une réunion de sous-groupes n'est un sous-groupe que si l'un contient l'autre.
θ ↦ e^iθ est un morphisme de (R, +) dans (U, ×), surjectif, de noyau 2πZ, donc non injectif. Le noyau se calcule, il ne se devine pas.
Q(√2), ensemble des a + b√2 avec a, b rationnels, est un corps, alors que Z[√2], avec a, b entiers, est un anneau qui n'est pas un corps : 2 n'y est pas inversible.
Dans un groupe, l'équation ax = b a une unique solution x = a⁻¹b, alors que dans l'anneau Z l'équation 2x = 3 n'en a aucune. Inversibilité et résolution d'équations sont la même chose.

Techniques du chapitre

Technique 1, voir l'ensemble comme sous-groupe d'un groupe connu. Mini-exercice : U est un groupe. On le voit comme partie de (C*, ×) : 1 ∈ U, et pour z, w ∈ U, |zw⁻¹| = |z|/|w| = 1. Aucune vérification d'associativité n'est à faire.

Technique 2, vérifier un morphisme puis lire noyau et image. Mini-exercice : f : (R*, ×) → (R*, ×), x ↦ x². C'est un morphisme car (xy)² = x²y². Ker f = {x, x² = 1} = {−1, 1}, donc f n'est pas injectif. Im f = R*₊, donc f n'est pas surjectif.

Technique 3, transporter un sous-groupe par un morphisme. Mini-exercice : l'ensemble des eⁿ, n ∈ Z, est un sous-groupe de (R*₊, ×). C'est l'image de Z par le morphisme exp de (R, +) dans (R*₊, ×), et l'image d'un sous-groupe est un sous-groupe.

Technique 4, binôme avec une matrice nilpotente. Mini-exercice : N = E₁₂ dans M₂(R) vérifie N² = 0, et I commute avec N. Donc (I + N)ⁿ = I + nN pour tout n ≥ 0, les autres termes du binôme étant nuls.

Technique 5, inversibilité par relation annulatrice. Mini-exercice : dans un anneau, si a³ = 0, alors 1 − a est inversible. On a (1 − a)(1 + a + a²) = 1 − a³ = 1 et de même dans l'autre ordre, car a commute avec ses puissances. L'inverse est 1 + a + a².

Technique 6, non-inversibilité par diviseur de zéro. Mini-exercice : si xy = 0 avec y ≠ 0, alors x n'est pas inversible. Sinon y = x⁻¹xy = x⁻¹0 = 0. Ainsi E₁₁ n'est pas inversible dans M₂(R).

Technique 7, déterminer les morphismes au départ de Z. Mini-exercice : les morphismes de (Z, +) dans un groupe G sont les n ↦ xⁿ avec x ∈ G. Si f est un morphisme, on pose x = f(1), et f(n) = f(1)ⁿ par récurrence puis passage aux opposés. Réciproquement n ↦ xⁿ est un morphisme par la règle x^m+n = x^m xⁿ.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Montrer que les sous-groupes de (Z, +) sont exactement les nZ, n ∈ N

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique plus petit élément strictement positif et division euclidienne.

Voir le corrigé

Pour n ∈ N, nZ est non vide et stable par différence, c'est un sous-groupe.
Soit H un sous-groupe. Si H = {0}, alors H = 0Z. Sinon H contient un élément non nul, donc son opposé aussi, donc un entier strictement positif. Soit n le plus petit.
nZ ⊂ H par stabilité. Réciproquement, pour h ∈ H, on écrit h = nq + r avec 0 ≤ r < n. Alors r = h − nq ∈ H, et par minimalité de n, r = 0. Donc h ∈ nZ.

piège : Oublier le cas H = {0}, ou ne pas justifier que H contient un entier strictement positif avant d'en prendre le plus petit.

Exercice 2. Soit G un groupe dans lequel x² = e pour tout x. Montrer que G est abélien

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique chaque élément est son propre inverse, puis inverse d'un produit.

Voir le corrigé

x² = e signifie x = x⁻¹ pour tout x.
Pour x, y ∈ G, xy = (xy)⁻¹ = y⁻¹x⁻¹ = yx.

piège : Écrire (xy)⁻¹ = x⁻¹y⁻¹, ce qui rend l'exercice vide et faux.

Exercice 3

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soient H et K deux sous-groupes d'un groupe G. Montrer que H ∩ K est un sous-groupe, et que H ∪ K en est un si et seulement si H ⊂ K ou K ⊂ H.

Technique caractérisation, puis raisonnement par l'absurde avec un élément de chaque côté.

Voir le corrigé

e ∈ H ∩ K. Si x, y ∈ H ∩ K, alors xy⁻¹ ∈ H et xy⁻¹ ∈ K. Donc H ∩ K est un sous-groupe.
Si H ⊂ K, alors H ∪ K = K, sous-groupe. De même dans l'autre cas.
Supposons H ∪ K sous-groupe et aucune inclusion. Il existe h ∈ H hors de K et k ∈ K hors de H. Le produit hk est dans H ∪ K. Si hk ∈ H, alors k = h⁻¹(hk) ∈ H, contradiction. Si hk ∈ K, alors h = (hk)k⁻¹ ∈ K, contradiction.

piège : Conclure directement que la réunion n'est jamais un sous-groupe. L'exemple 2Z ∪ 3Z illustre le cas négatif, le cas d'inclusion est le cas positif.

Exercice 4

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit G un groupe. Montrer que le centre Z(G), ensemble des x qui commutent avec tous les éléments de G, est un sous-groupe abélien de G.

Technique caractérisation, en manipulant des inverses.

Voir le corrigé

e ∈ Z(G). Soient x, y ∈ Z(G) et g ∈ G. On a yg = gy, donc en multipliant par y⁻¹ des deux côtés, gy⁻¹ = y⁻¹g. Donc y⁻¹ ∈ Z(G).
xy⁻¹g = xgy⁻¹ = gxy⁻¹. Donc xy⁻¹ ∈ Z(G), et Z(G) est un sous-groupe.
Deux éléments de Z(G) commutent entre eux par définition. Z(G) est abélien.

piège : Passer de yg = gy à gy⁻¹ = y⁻¹g sans détailler la multiplication à gauche et à droite par y⁻¹.

Exercice 5. Montrer que Q(√2), ensemble des a + b√2 avec a et b rationnels, est un corps

Classiques de khôlle et concours · Khôlle vers écrit

Technique sous-anneau de R, puis inverse par la quantité conjuguée, avec l'irrationalité de √2.

Voir le corrigé

Q(√2) contient 1, est stable par différence et par produit car (a + b√2)(c + d√2) = (ac + 2bd) + (ad + bc)√2. C'est un sous-anneau de R, commutatif, avec 1 ≠ 0.
Soit x = a + b√2 non nul. Si a² − 2b² = 0 avec b ≠ 0, alors √2 = ±a/b serait rationnel. Donc b = 0, puis a = 0, contradiction. Ainsi a² − 2b² ≠ 0.
(a + b√2)(a − b√2) = a² − 2b², donc x⁻¹ = (a − b√2)/(a² − 2b²), qui est dans Q(√2).

piège : Oublier de justifier a² − 2b² ≠ 0, ce qui est le seul point non mécanique et qui repose sur l'irrationalité de √2.

Exercice 6

Classiques de khôlle et concours · Écrit, type CCINP

Soit A un anneau et a, b ∈ A qui commutent, avec a^p = 0 et b^q = 0. Montrer que a + b est nilpotent et que 1 − a est inversible.

Technique binôme sous hypothèse de commutation, somme géométrique.

Voir le corrigé

Comme ab = ba, (a + b)^p+q−1 est la somme des C(p + q − 1, k) a^k b^p+q−1−k. Pour chaque k, soit k ≥ p et a^k = 0, soit k ≤ p − 1 et alors p + q − 1 − k ≥ q, donc b^p+q−1−k = 0. Tous les termes sont nuls.
(1 − a)(1 + a + ⋯ + a^p−1) = 1 − a^p = 1, et le produit dans l'autre ordre vaut aussi 1 car a commute avec ses puissances. Donc 1 − a est inversible.

piège : Oublier l'hypothèse de commutation, sans laquelle a + b peut ne pas être nilpotent. E₁₂ et E₂₁ sont nilpotentes et leur somme a pour carré I₂.

Exercice 7

Classiques de khôlle et concours · Écrit, type CCINP

Soit G un groupe fini de cardinal n et x ∈ G. Montrer qu'il existe un entier k avec 1 ≤ k ≤ n et x^k = e.

Technique principe des tiroirs sur les puissances.

Voir le corrigé

Les n + 1 éléments x⁰, x¹, …, xⁿ appartiennent à G, qui a n éléments. Deux d'entre eux coïncident : xⁱ = x^j avec 0 ≤ i < j ≤ n.
En multipliant par x⁻ⁱ, x^j−i = e, avec 1 ≤ j − i ≤ n.

piège : Invoquer « l'ordre de x », notion hors programme, alors que l'exercice demande justement d'en établir l'existence.

Exercice 8. Montrer que le seul morphisme de groupes de (Q, +) dans (Z, +) est le morphisme nul

Classiques de khôlle et concours · Type oral

Technique divisibilité infinie dans Q contre finitude des diviseurs dans Z.

Voir le corrigé

Soit f un tel morphisme et n = f(1). Pour tout entier k ≥ 1, 1 = k × (1/k), donc n = f(1) = kf(1/k). Ainsi k divise n pour tout k ≥ 1, ce qui impose n = 0.
De même, pour tout q ≥ 1, qf(1/q) = f(1) = 0 donc f(1/q) = 0, puis f(p/q) = pf(1/q) = 0 pour tout p ∈ Z.

piège : Écrire f(p/q) = f(p)/f(q), qui n'a pas de sens. Un morphisme additif vérifie f(kx) = kf(x), rien de plus.

Exercice 9

Approfondissement · Écrit, type Mines

Soit A un anneau et a, b ∈ A tels que 1 − ab soit inversible. Montrer que 1 − ba est inversible.

Technique deviner l'inverse par un calcul formel, puis vérifier par deux produits.

Voir le corrigé

On note c = (1 − ab)⁻¹ et l'on propose d = 1 + bca. Heuristique hors copie : si c = 1 + ab + abab + ⋯, alors 1 + bca = 1 + ba + baba + ⋯.
(1 − ba)d = 1 + bca − ba − babca = 1 − ba + b(1 − ab)ca = 1 − ba + ba = 1, en utilisant (1 − ab)c = 1.
d(1 − ba) = 1 − ba + bca − bcaba = 1 − ba + bc(1 − ab)a = 1 − ba + ba = 1, en utilisant c(1 − ab) = 1.

piège : Ne vérifier qu'un seul des deux produits. Dans un anneau non commutatif, l'inverse à gauche et à droite doivent être établis séparément, sauf argument de dimension finie.

Erreurs fréquentes

Oublier que H est non vide dans la caractérisation d'un sous-groupe. Le réflexe est d'exhiber le neutre.
Écrire (xy)⁻¹ = x⁻¹y⁻¹ ou (xy)ⁿ = xⁿ yⁿ sans commutation. Le contre-exemple matriciel doit être immédiat.
Appliquer le binôme ou la factorisation de aⁿ − bⁿ à deux éléments qui ne commutent pas.
Simplifier xy = xz par x dans un anneau. Ce n'est licite que si x est inversible, ou dans un corps avec x ≠ 0.
Oublier f(1) = 1 dans la définition d'un morphisme d'anneaux, ou 1 ∈ B pour un sous-anneau. L'application nulle et 2Z sont les contre-exemples.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de MPSI (2021), partie « Structures algébriques usuelles ». Elle couvre les lois de composition interne, les groupes, sous-groupes et morphismes de groupes, les anneaux, les sous-anneaux, les morphismes d'anneaux et les corps. Le programme est limité à ce vocabulaire, l'étude de lois artificielles est exclue, et les anneaux $\Z/n\Z$ sont hors programme.

Structures algébriques usuelles

Résumé en cinq points

1Lois de composition interne

1.1Définition

1.2Propriétés usuelles

1.3Distributivité et partie stable

2Groupes

2.1Définition et exemples

2.2Sous-groupes

2.3Groupe produit

2.4Morphismes de groupes

3Anneaux et corps

3.1Anneaux

3.2Calcul dans un anneau

3.3Groupe des inversibles

3.4Corps

3.5Sous-anneaux et morphismes d'anneaux

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Montrer que les sous-groupes de (Z, +) sont exactement les nZ, n ∈ N

Exercice 2. Soit G un groupe dans lequel x² = e pour tout x. Montrer que G est abélien

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5. Montrer que Q(√2), ensemble des a + b√2 avec a et b rationnels, est un corps

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8. Montrer que le seul morphisme de groupes de (Q, +) dans (Z, +) est le morphisme nul

Exercice 9

Erreurs fréquentes

Au concours