Transferts thermiques

Exercice 1. Mur à deux couches ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Un mur de $1~\mathrm{m^2}$ comporte $20~\mathrm{cm}$ de béton ($\lambda_1 = 1$) côté intérieur et $10~\mathrm{cm}$ d'isolant ($\lambda_2 = 0{,}04$) côté extérieur.

Ses faces sont à $19~^\circ\mathrm{C}$ et à $-1~^\circ\mathrm{C}$.

Déterminer le flux, la température à l'interface et l'allure du profil.

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Technique conservation du flux et résistances en série.

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1. En régime stationnaire sans source, le profil est affine dans chaque couche.
2. Une interface d'épaisseur nulle ne stocke pas d'énergie, donc le flux y est continu. Les deux couches sont en série.
3. On a R₁ = 0,2 K/W et R₂ = 2,5 K/W, soit un total de 2,7 K/W. Le flux vaut Φ = 20/2,7 ≈ 7,4 W.
4. La température d'interface vaut 19 − Φ R₁ ≈ 17,5 °C. Les pentes sont dans le rapport inverse des conductivités : elle est 25 fois plus forte dans l'isolant.

piège : Écrire la continuité de dT/dx à l'interface. C'est λ dT/dx qui est continu.

Exercice 2. Simple et double vitrage ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Une vitre de $1~\mathrm{m^2}$ sépare une pièce à $20~^\circ\mathrm{C}$ de l'extérieur à $0~^\circ\mathrm{C}$, avec $h_i = 10$ et $h_e = 20~\mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-1}}$.

Comparer un simple vitrage de $4~\mathrm{mm}$ ($\lambda = 1$) et un double vitrage formé de $4~\mathrm{mm}$ de verre, $12~\mathrm{mm}$ d'air immobile et $4~\mathrm{mm}$ de verre.

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1. Pour le simple vitrage, R = 0,1 + 0,004 + 0,05 ≈ 0,154 K/W, d'où Φ ≈ 130 W.

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Exercice 3. Fil chauffé par effet Joule ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Un fil de rayon $a$, de conductivités électrique $\gamma$ et thermique $\lambda$, est parcouru par un courant $I$ uniformément réparti.

Sa surface est à $T_a$.

Déterminer $T(r)$ en régime stationnaire.

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1. La puissance volumique Joule vaut p_v = I²/(γ π² a⁴).

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Exercice 4. Boule avec source refroidie par un fluide ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Une boule de rayon $R$ produit une puissance volumique uniforme $p_v$.

Elle échange avec un fluide à $T_f$ selon la loi de Newton, avec un coefficient $h$.

Déterminer les températures de surface et au centre en régime stationnaire.

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1. Bilan global : (4/3)πR³ p_v = 4πR² h (T_s − T_f), donc T_s = T_f + p_v R/(3h).

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Exercice 5. Rayon critique d'isolation ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · D'après un écrit CCINP MP

La paroi extérieure d'un tube, de rayon $a$, est à $T_1$.

On l'entoure d'une gaine de conductivité $\lambda$ jusqu'au rayon $b$.

L'air extérieur est à $T_a$, avec un coefficient $h$.

Étudier la perte thermique en fonction de $b$.

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1. Dans la gaine, 2πrL j ne dépend pas de r. …

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Exercice 9. Ailette ou cuillère ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit Mines

Une tige très longue, de diamètre $d$ et de conductivité $\lambda$, a sa base à $T_0$.

Elle échange latéralement avec l'air à $T_a$, avec un coefficient $h$.

Déterminer $T(x)$ en régime stationnaire et la puissance évacuée.

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1. Sur une tranche de section S = πd²/4 et de périmètre P = πd : F(x) − F(x + dx) − hP dx (T − T_a) = 0, avec F = −λS T'. …

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Exercice 6. Température d'une cave ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type oral Centrale

Le sol occupe la région $z \geq 0$ et a une diffusivité $D \approx 5\cdot 10^{-7}~\mathrm{m^2/s}$.

En surface, $$T = T_0 + \theta_0 \cos(\omega t).$$ L'énoncé propose la solution $$T = T_0 + \theta_0 \exp(-z/\delta) \cos(\omega t - z/\delta).$$ Trouver $\delta$ et commenter.

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1. On écrit T − T₀ comme la partie réelle de θ₀ exp(iωt − kz), avec k = (1 + i)/δ. …

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Exercice 7. Refroidissement d'une bille ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · D'après un écrit CCINP MP

Une bille d'acier de rayon $R = 1~\mathrm{cm}$ ($\rho = 7{,}8\cdot 10^3~\mathrm{kg/m^3}$, $c = 450~\mathrm{J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}$, $\lambda = 50$) refroidit dans l'air à $T_a$, avec $h = 10$, à partir de $T_i$.

Justifier un modèle isotherme et déterminer $T(t)$.

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1. La diffusivité vaut D ≈ 1,4·10⁻⁵ m²/s, d'où un temps de diffusion interne τ_int ≈ R²/D ≈ 7 s.

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Exercice 8. Stabilité du schéma explicite ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Khôlle avec ordinateur

Une barre est découpée en $N$ intervalles, et ses extrémités sont maintenues à $T_g$ et $T_d$.

Décrire la boucle de calcul, justifier la condition $$r = \frac{D\,\Delta t}{\Delta x^2} \leq \frac{1}{2},$$ puis estimer le coût du calcul pour $10~\mathrm{cm}$ d'acier avec $\Delta x = 1~\mathrm{mm}$.

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1. À chaque pas de temps, on calcule un nouveau tableau à partir de l'ancien, avec nouveau[i] = T[i] + r (T[i+1] − 2T[i] + T[i−1]) pour i allant de 1 à N − 1. …

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