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MP · Physique · semaine 23

Systèmes ouverts et machines thermiques

Bilans d'énergie et d'entropie pour un écoulement stationnaire, détente de Joule-Kelvin, cycles des machines thermiques, diagrammes de Clapeyron et enthalpique.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Pour un écoulement stationnaire unidimensionnel, le premier principe s'écrit Δh+Δe=wu+q\Delta h+\Delta e=w_u+q, et le second Δs=se+sc\Delta s=s_e+s_c.
  2. L'enthalpie apparaît parce qu'elle contient le travail de transvasement exercé par le fluide amont et sur le fluide aval.
  3. Chaque organe se traite en annulant les termes non pertinents : un échangeur donne q=Δhq=\Delta h, une turbine ou un compresseur wu=Δhw_u=\Delta h, un détendeur Δh=0\Delta h=0.
  4. Sur un cycle avec deux sources, le premier principe et l'inégalité de Clausius bornent tous les rendements et efficacités par les valeurs de Carnot.
  5. Le diagramme (P,h)(P,h) transforme l'étude d'une machine réelle en lectures d'écarts d'enthalpie : isobares horizontales, détente isenthalpique verticale.
Pourquoi ce chapitre

Presque toutes les machines réelles sont des systèmes ouverts. Elles fonctionnent avec un fluide qui traverse un dispositif en régime permanent :

  • une turbine ;
  • un compresseur ;
  • une chaudière ;
  • un radiateur ;
  • un réacteur d'avion ;
  • un réfrigérateur ;
  • une pompe à chaleur.

Les principes de la thermodynamique établis pour un système fermé ne s'y appliquent pas directement, il faut les réécrire. L'enthalpie massique remplace l'énergie interne. On l'exploite ensuite sur des machines réelles, avec un outil graphique adapté, le diagramme enthalpique.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Les exercices se suivent : garde leur ordre. Difficulté et durée indicatives.

Exercice 1. Joule-Kelvin contre turbine ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle · Détente et écoulement

De l'air, gaz parfait, avec cp=1,0 kJ/(kg K),γ=1,4,r=286 J/(kg K),\begin{aligned} c_p &= 1{,}0~\mathrm{kJ/(kg~K)}, \\ \gamma &= 1{,}4, \\ r &= 286~\mathrm{J/(kg~K)}, \end{aligned} s'écoule de 10 bar10~\mathrm{bar} et 300 K300~\mathrm{K} jusqu'à 1 bar1~\mathrm{bar}.

On compare deux cas : un bouchon poreux calorifugé, puis une turbine adiabatique réversible.

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Technique les deux principes ouverts, puis la loi de Laplace.

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  1. Bouchon : q = 0, wu = 0 et ∆e ≈ 0, donc ∆h = 0. Le gaz étant parfait, T₂ = 300 K.
  2. Entropie créée : sc = r ln 10 ≈ 660 J/(kg K). La détente est irréversible.
  3. Turbine : ∆s = 0, et la loi de Laplace donne T₂' = 300 × 0,10,286 ≈ 155 K.
  4. Travail : wu = cp (T₂' − T₁) ≈ −145 kJ/kg. Le détendeur perd ce travail. Il ne refroidit pas un gaz parfait, alors qu'un fluide réel se refroidit en général.

piège : Appliquer Laplace au bouchon poreux.

Exercice 2. Tuyère ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle · Détente et écoulement

Un gaz parfait cp=1,0 kJ/(kg K),γ=1,4c_p = 1{,}0~\mathrm{kJ/(kg\,K)}, \qquad \gamma = 1{,}4 entre à 1 000 K1\,000~\mathrm{K} avec une vitesse négligeable dans une tuyère adiabatique.

Il y est détendu réversiblement jusqu'à P1/10P_1/10.

Quelle est la vitesse de sortie ?

Quelle est la vitesse maximale possible ?

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  1. Ni travail, ni transfert thermique, ni dénivelé, donc c₂²/2 = cp (T₁ − T₂).

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Exercice 3. Compresseur réel ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · D'après un écrit CCINP MP · Compresseur réel

Un compresseur adiabatique aspire 0,5 kg/s0{,}5~\mathrm{kg/s} d'air à 300 K300~\mathrm{K} et 1 bar1~\mathrm{bar}, et le refoule à 8 bar8~\mathrm{bar}.

Son rendement isentropique vaut 0,850{,}85.

On prend les données de l'exercice 1.

Déterminer la puissance, la température de sortie et l'entropie créée.

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  1. Compression idéale : T₂s ≈ 543 K, donc ws ≈ 243 kJ/kg.

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Exercice 4. Réfrigérateur au diagramme (P, h) ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · D'après un écrit CCINP MP · Machines frigorifiques

Un fluide frigorigène fonctionne entre −20 ∘C-20~^\circ\mathrm{C} (évaporateur) et 40 ∘C40~^\circ\mathrm{C} (condenseur).

On lit sur le diagramme :

  • sortie d'évaporateur, vapeur saturante : h1=390 kJ/kgh_1 = 390~\mathrm{kJ/kg},
  • sortie du compresseur adiabatique : h2=435 kJ/kgh_2 = 435~\mathrm{kJ/kg},
  • sortie du condenseur, liquide saturant : h3=255 kJ/kgh_3 = 255~\mathrm{kJ/kg},
  • à basse pression : hl=175h_l = 175 et hv=390 kJ/kgh_v = 390~\mathrm{kJ/kg}.

Trouver l'efficacité, le titre après détente et le débit pour extraire 150 W150~\mathrm{W}, puis comparer à Carnot.

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  1. Détendeur : h₄ = h₃ = 255 kJ/kg, donc x₄ ≈ 0,37.

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Exercice 5. Cycle de Rankine ★★

Classiques de khôlle et concours · 35 min · D'après un écrit CCINP MP · Cycles moteurs

De l'eau décrit le cycle suivant :

  • point 1 : liquide saturant à 0,1 bar0{,}1~\mathrm{bar}, h1=192 kJ/kgh_1 = 192~\mathrm{kJ/kg}, v1=1,0×10−3 m3/kgv_1 = 1{,}0 \times 10^{-3}~\mathrm{m^3/kg},
  • de 1 à 2 : pompe adiabatique réversible jusqu'à 50 bar50~\mathrm{bar},
  • de 2 à 3 : chaudière isobare jusqu'à 500 ∘C500~^\circ\mathrm{C}, avec h3=3 434 kJ/kgh_3 = 3\,434~\mathrm{kJ/kg} et s3=6,98 kJ/(kg K)s_3 = 6{,}98~\mathrm{kJ/(kg~K)},
  • de 3 à 4 : turbine adiabatique réversible jusqu'à 0,1 bar0{,}1~\mathrm{bar},
  • de 4 à 1 : condenseur.

À 0,1 bar0{,}1~\mathrm{bar} : hl=192 et hv=2 584 kJ/kg,h_l = 192 \text{ et } h_v = 2\,584~\mathrm{kJ/kg}, sl=0,65 et sv=8,15 kJ/(kg K),s_l = 0{,}65 \text{ et } s_v = 8{,}15~\mathrm{kJ/(kg~K)}, saturation à 46 ∘C46~^\circ\mathrm{C}.

Calculer le rendement.

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  1. Pompe : wp = v₁ ∆P ≈ 5 kJ/kg, donc h₂ ≈ 197 kJ/kg.

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Exercice 6. Travail maximal entre deux corps finis ★★★

Approfondissement · 40 min · Khôlle · Transferts entre corps finis

Deux corps de capacité CC constante sont à T1>T2T_1 > T_2.

Un moteur réversible fonctionne entre eux par cycles infinitésimaux jusqu'à l'égalité des températures.

Trouver la température finale et le travail, puis comparer au contact direct.

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  1. L'ensemble est calorifugé, l'évolution réversible et le fluide cyclique. …

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Exercice 7. Cycle de Joule ★★★

Approfondissement · 40 min · Type écrit Mines ou Centrale · Cycles moteurs

De l'air, gaz parfait à cpc_p et γ\gamma constants, décrit un cycle en quatre étapes :

  • compression isentropique de (T1,P1)(T_1, P_1) à P2P_2,
  • combustion isobare jusqu'à T3T_3,
  • détente isentropique jusqu'à P1P_1,
  • refroidissement isobare.

On pose a=(P2P1)γ−1γ.a = \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}. Trouver le rendement et le aa qui maximise le travail net.

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  1. Laplace donne T₂ = a T₁ et T₄ = T₃/a.

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Exercice 8. Remplissage d'une bouteille vide ★★★

Approfondissement · 30 min · Type oral Mines · Remplissage d'un réservoir

Une bouteille rigide et calorifugée, de capacité thermique négligeable, est vide.

On l'ouvre sur l'atmosphère, un gaz parfait à P0P_0 et T0T_0, et on la referme à la pression P0P_0.

Température finale ?

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  1. Système : les n moles qui finiront dans la bouteille. …

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Exercice 9. Pompe à chaleur domestique ★

Application du cours · 10 min · Khôlle · Machines frigorifiques

Une maison perd 8 kW8~\mathrm{kW} avec 20 ∘C20~^\circ\mathrm{C} à l'intérieur et 0 ∘C0~^\circ\mathrm{C} à l'extérieur.

Elle est chauffée par une pompe à chaleur de COP 3,53{,}5.

Comparer à Carnot et à un radiateur électrique.

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  1. Puissance électrique : 8/3,5 ≈ 2,3 kW, contre 8 kW pour un radiateur.

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique-chimie de la voie MP (arrêté du 5 janvier 2021), partie « 5.1. Principes de la thermodynamique », principalement consacrée aux systèmes ouverts en régime stationnaire dans le cas d'un écoulement unidimensionnel, et à l'étude des machines thermiques réelles à l'aide du diagramme (P,h)(P,h). Les rappels sur les cycles et les rendements prolongent les acquis de MPSI.