Thermodynamique statistique

Exercice 1. Atmosphère isotherme et composition ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

On modélise l'air comme un gaz parfait isotherme à $288~\mathrm{K}$.

Calculer l'altitude où la pression est divisée par deux, puis la pression au sommet de l'Everest ($8{,}85~\mathrm{km}$).

On traite ensuite $\mathrm{N_2}$ et $\mathrm{O_2}$ séparément.

Que devient le rapport de leurs densités à $10~\mathrm{km}$ ?

Exercice 2. Expérience de Perrin ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Des grains sphériques de rayon $a = 0{,}2~\mu\mathrm{m}$, de masse volumique supérieure de $\Delta\rho = 200~\mathrm{kg\cdot m^{-3}}$ à celle de l'eau, sont en suspension à $300~\mathrm{K}$.

Établir le profil de concentration et calculer la hauteur caractéristique.

Comment en déduire le nombre d'Avogadro ?

Exercice 3. Raie du sodium dans une flamme ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Le premier état excité du sodium est à $2{,}1~\mathrm{eV}$ du fondamental.

On ignore la dégénérescence.

Estimer la fraction d'atomes excités à $300~\mathrm{K}$, $2\,500~\mathrm{K}$ et $3\,000~\mathrm{K}$, et commenter.

Exercice 4. Anomalie de Schottky ★★

Classiques de khôlle et concours · 35 min · D'après un écrit CCINP MP

Un système a deux états d'énergies $0$ et $\Delta$.

Calculer $\langle E \rangle$ et $C$, localiser le maximum de $C$ et vérifier la relation entre variance et capacité.

Exercice 8. Capacités thermiques de gaz ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

On mélange une mole d'hélium et une mole de diazote à $300~\mathrm{K}$.

Calculer $C_V$ et $\gamma$ pour le mélange.

Pour $\mathrm{CO_2}$, molécule linéaire, on mesure $$C_{Vm} \approx 28{,}5~\mathrm{J\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}}.$$ Interpréter.

Exercice 9. Solide d'Einstein quantique ★★

Classiques de khôlle et concours · 40 min · Type oral Mines ou écrit Centrale

Le modèle d'Einstein quantique n'est pas au programme.

L'énoncé fournit donc le spectre.

Chaque atome est formé de trois oscillateurs indépendants d'énergies $(n + \frac{1}{2})\hbar\omega$, avec $n$ entier positif ou nul et des états non dégénérés.

Calculer $C_m$, étudier les limites et appliquer au diamant, pour lequel $$\frac{\hbar\omega}{k_B} \approx 1\,300~\mathrm{K}.$$

Exercice 5. Paramagnétisme de spins un demi ★

Application du cours · 20 min · D'après un écrit CCINP MP

Des moments magnétiques $\mu$ indépendants, de densité $n$, sont placés dans un champ $B$.

Leur énergie vaut $-\mu B$ (parallèle) ou $+\mu B$.

Exprimer l'aimantation $M$, étudier les limites et faire l'application numérique avec $$\mu = 9{,}27 \times 10^{-24}~\mathrm{J\cdot T^{-1}}.$$

Exercice 6. Fluctuations d'un échantillon ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · D'après un écrit CCINP MP

$N$ systèmes à deux niveaux $\pm\varepsilon$, indépendants, sont à la température telle que $x = 1$.

Calculer la fluctuation relative d'énergie pour $N = 1$ puis pour $N = 10^{20}$.

Exercice 7. Gaz dans une boîte et limite classique ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Khôlle

Des atomes d'hélium ($m = 6{,}6 \times 10^{-27}~\mathrm{kg}$) sont dans une boîte unidimensionnelle de longueur $1~\mathrm{cm}$ à $300~\mathrm{K}$.

Vérifier que l'hypothèse classique est valable, calculer $\langle E \rangle$, puis généraliser à trois dimensions.

Exercice classique. Impuretés à deux niveaux dans un cristal ★★★

Classique du chapitre

Un cristal contient $N$ impuretés discernables, indépendantes, chacune ayant deux niveaux non dégénérés d’énergies $0$ et $\varepsilon>0$. Le cristal est en équilibre avec un thermostat de température $T$ ; on néglige toute autre contribution à la capacité thermique. On pose $x=\varepsilon/(k_BT)$.

1. Déterminer la probabilité $p$ d’occupation du niveau excité, l’énergie interne $U(T)$ et la capacité thermique $C(T)$ en fonction de $N$, $k_B$ et $x$.
2. Étudier les limites de $C$ quand $T\to0$ et $T\to+\infty$, avec un équivalent dans chaque cas.
3. Montrer que $C$ présente en fonction de $x$ un unique maximum en $x_0$ solution de $x\tanh(x/2)=2$. On admettra la valeur numérique $x_0\simeq2{,}40$ et on exprimera $C(x_0)/(Nk_B)$ en fonction de $x_0$.
4. Calculer l’entropie $S(T)$ et ses limites en $0$ et $+\infty$.
5. Le pic est observé à $T_m=0{,}50$ K. Déduire $\varepsilon/k_B$, puis la valeur molaire maximale de $C$ (avec $N=\mathcal N_A$, $R=8{,}31\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}$) et l’entropie molaire totale gagnée de $T=0$ à $T\to\infty$.

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