Rayonnement dipolaire électrique

Exercice 1. Analyse de la structure du champ ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

On fournit $E$ et $B$ rayonnés par $$p(t) = p_0 \cos(\omega t)\, u_z$$ dans la zone de rayonnement.

Justifier sans calcul leur direction, leur décroissance et leur forme.

Commenter la polarisation.

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Technique symétrie, énergie, dimensions.

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1. Le plan (Oz, M) est un plan de symétrie, donc E est dans ce plan et B est porté par u_φ.
2. La propagation est radiale et l'onde est localement plane, donc transverse. On en déduit E selon u_θ et B = u_r ∧ E/c.
3. La puissance à travers une sphère ne dépend pas de r, donc E r est indépendant de r.
4. Le seul assemblage de μ₀, p̈ et r en 1/r homogène à un champ est μ₀ p̈/r, à un facteur numérique près.
5. La polarisation est rectiligne selon u_θ, dans le plan contenant l'axe et la direction d'observation.

piège : Affirmer « E est transverse » sans préciser que c'est une propriété de la zone de rayonnement.

Exercice 4. Champ reçu d'un émetteur ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Un émetteur dipolaire de $1~\mathrm{kW}$ est à $10~\mathrm{km}$, et le récepteur est dans son plan équatorial.

Calculer l'amplitude de $E$ et de $B$, puis la f.é.m. induite dans une antenne réceptrice de $1~\mathrm{m}$ parallèle à l'émetteur.

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1. On a ⟨Π⟩ = (3/2) P/(4π r²) ≈ 1,2 × 10⁻⁶ W/m².

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Exercice 2. Puissance et directivité ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Calculer $\langle \Pi \rangle$, puis $\langle P \rangle$.

Définir la directivité comme le rapport entre la puissance surfacique maximale et celle d'une source isotrope de même puissance totale, et la calculer.

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1. On a Π = E²/(μ₀ c) u_r = μ₀ sin²θ p̈²/(16π² c r²) u_r.

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Exercice 3. Résistance de rayonnement d'une antenne courte ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Un brin de longueur $\ell \ll \lambda$ est parcouru par un courant $I_0 \cos(\omega t)$ supposé uniforme.

Les charges s'accumulent aux extrémités.

Exprimer la puissance rayonnée et la résistance $R$ telle que $$\langle P \rangle = \frac{R I_0^2}{2}.$$

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1. Les extrémités portent ±q avec dq/dt = I, et p = q ℓ. …

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Exercice 5. Charge élastiquement liée ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · D'après un écrit CCINP MP

Un électron élastiquement lié, de pulsation propre $\omega_0$ et de temps d'amortissement $\tau$, est éclairé par $E_0 \cos(\omega t)\, u_x$.

Exprimer $p$, la puissance diffusée, et tracer son allure.

Identifier les domaines.

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1. On obtient p = (e² E₀/m)/(ω₀² − ω² + jω/τ), aligné sur u_x.

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Exercice 6. Bleu du ciel et polariseur ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · D'après un écrit CCINP MP

La lumière solaire, non polarisée, arrive selon $u_x$.

On observe selon $u_y$ à travers un polariseur.

Calculer le rapport des puissances diffusées à $450~\mathrm{nm}$ et $700~\mathrm{nm}$.

Décrire la polarisation observée et l'intensité transmise en fonction de l'angle $\alpha$ entre l'axe du polariseur et $u_z$.

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1. Le rapport vaut (700/450)⁴ ≈ 5,9, et le bleu domine.

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Exercice 8. Indicatrice en lumière naturelle ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Type oral Centrale

Une lumière non polarisée d'intensité $I$ se propage selon $u_x$ et éclaire une molécule en domaine de Rayleigh.

On observe dans le plan $(x, y)$, à l'angle $\psi$ de $u_x$.

Trouver la dépendance angulaire de l'intensité diffusée et le taux de polarisation.

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1. Chaque polarisation porte une intensité I/2. …

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Exercice 9. Coucher de soleil ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type oral Centrale

On définit la section efficace $$\sigma = \frac{\langle P_{\text{diffusée}} \rangle}{I_{\text{incidente}}}.$$

L'air contient $n$ molécules par unité de volume.

Établir la loi d'atténuation d'un faisceau.

On donne la longueur d'extinction $1/(n\sigma) \approx 80~\mathrm{km}$ à $530~\mathrm{nm}$.

L'épaisseur équivalente d'atmosphère vaut $8~\mathrm{km}$ au zénith et est de l'ordre de $300~\mathrm{km}$ à l'horizon.

Comparer le bleu à $450~\mathrm{nm}$ et le rouge à $700~\mathrm{nm}$.

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1. Une tranche de section S et d'épaisseur dx contient n S dx molécules et retire la puissance n S dx σ I. …

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Exercice 7. Durée de vie classique d'un atome ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · D'après un écrit CCINP MP

Un électron élastiquement lié oscille librement avec une amplitude $a$ lentement décroissante, à la pulsation $\omega_0$.

Par un bilan énergétique, trouver la loi de décroissance de son énergie et le temps caractéristique pour $\lambda = 500~\mathrm{nm}$.

La force de réaction de rayonnement est hors programme, et l'on raisonne uniquement sur l'énergie.

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1. L'énergie de l'oscillateur vaut ℰ = m ω₀² a²/2, et son dipôle a pour amplitude p₀ = e a.

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Exercice 10. Réseau de deux antennes ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type oral Mines

Deux dipôles identiques $p_0 \cos(\omega t)\, u_z$ sont placés en $x = \pm d/2$.

On observe loin, dans le plan équatorial, dans une direction faisant l'angle $\varphi$ avec $u_x$.

Trouver la dépendance angulaire de la puissance, puis la commenter pour $d = \lambda/2$.

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1. Pour r ≫ d, les distances valent r ∓ (d/2) cosφ. …

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