Ondes dans un conducteur, réflexion et guides d'ondes

Exercice 1. Régime lentement variable dans le cuivre ★

Application du cours · 10 min · Khôlle · Relaxation de charge

On prend pour le cuivre $$\gamma = 6 \times 10^{7}~\mathrm{S/m}.$$

Montrer qu'une charge volumique initiale disparaît et donner le temps caractéristique.

Jusqu'à quelle fréquence peut-on négliger le courant de déplacement ?

Conclure sur le domaine de validité du modèle.

Exercice 2. Effet de peau complet ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Khôlle · Effet de peau

Le cuivre occupe $x > 0$.

En $x = 0$, le champ vaut $$E_0 \cos(\omega t)\,u_y.$$

Établir l'équation vérifiée par $E$, en déduire $E(x, t)$, puis $B$, et commenter.

Exercice 3. Bilan de puissance dans le métal ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · D'après un écrit CCINP MP · Bilan énergétique

Avec le champ de l'exercice 2, calculer la puissance moyenne entrant par unité de surface en $x = 0$.

Calculer la puissance Joule moyenne dissipée par unité de surface dans tout le demi-espace $x > 0$.

Comparer.

Exercice 4. Résistance d'un fil à haute fréquence ★

Application du cours · 15 min · Khôlle · Effet de peau

Un fil de cuivre a un rayon $a = 1~\mathrm{mm}$ et une longueur $\ell$.

Donner sa résistance en continu.

Donner ensuite sa résistance en admettant que le courant circule uniformément sur une couronne d'épaisseur $\delta \ll a$.

Calculer le rapport à $1~\mathrm{MHz}$.

Exercice 5. Réflexion sur un conducteur parfait ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle · Réflexion sur un conducteur

Un conducteur parfait occupe $x > 0$.

L'onde incidente vaut $$E_0 \cos(\omega t - kx)\,u_y, \qquad k = \frac{\omega}{c}.$$

Les relations de passage sont fournies : $$E_2 - E_1 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\,n_{12}$$ et $$B_2 - B_1 = \mu_0\,j_s \wedge n_{12}.$$

Déterminer l'onde réfléchie, le champ total, $\sigma$ et $j_s$.

Exercice 6. Énergie d'un mode de cavité ★

Application du cours · 15 min · D'après un écrit CCINP MP · Bilan énergétique

Le mode $n$ d'une cavité $[0, L]$ s'écrit $$E = E_m \sin(k_n x) \sin(\omega t)\,u_y$$ et $$B = \frac{E_m}{c} \cos(k_n x) \cos(\omega t)\,u_z,$$ avec $k_n L = n\pi$.

Calculer les énergies électrique et magnétique par unité de surface, puis le vecteur de Poynting.

Exercice 7. Cavité micro-onde et cavité laser ★

Application du cours · 15 min · Khôlle · Cavités et guides d'ondes

Donner les trois premières fréquences propres d'une cavité de $3~\mathrm{cm}$ et leurs nœuds.

Une cavité laser de $30~\mathrm{cm}$ a une courbe de gain large de $1{,}5~\mathrm{GHz}$ : combien de modes peuvent osciller ?

Faire le lien avec le puits infini.

Exercice 8. Banc micro-ondes et minima non nuls ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type TP · Réflexion sur un conducteur

Une plaque placée en $x = 0$ réfléchit l'onde avec le coefficient $-\rho$, où $\rho$ est réel et compris entre 0 et 1.

La sonde mesure l'amplitude de $E$.

Deux minima consécutifs sont distants de $1{,}48~\mathrm{cm}$, et le rapport entre maximum et minimum vaut 3.

Trouver $\lambda$, $f$ et $\rho$.

Exercice 9. Guide d'ondes plan ★★

Classiques de khôlle et concours · 45 min · Type oral Mines, hors programme en MP et guidé · Cavités et guides d'ondes

Deux plans conducteurs parfaits sont en $y = 0$ et $y = a$, avec du vide entre eux.

On cherche $$E = f(y) \cos(\omega t - \beta x)\,u_z.$$

Trouver $f$, la relation de dispersion, la fréquence de coupure et les vitesses.

Application numérique avec $a = 2{,}3~\mathrm{cm}$.