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MP · Physique · semaine 19

Ondes électromagnétiques en milieu dispersif

Paquets d'ondes, vitesses de phase et de groupe, propagation dans l'ionosphère, relation de dispersion d'un plasma, réflexion et transmission d'un signal.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. Un milieu est dispersif quand la vitesse de phase dépend de la fréquence, ce qui déforme les signaux composés de plusieurs fréquences.
  2. L'enveloppe d'un paquet d'ondes se déplace à la vitesse de groupe vg=dω/dkv_g=\dd\omega/\dd k, qui est la vitesse de l'information et de l'énergie dans le cadre faiblement dispersif et non absorbant.
  3. Dans un plasma dilué sans collision, la conductivité est imaginaire pure, le milieu ne dissipe pas.
  4. La relation de dispersion k2c2=ω2−ωp2k^2c^2=\omega^2-\omega_p^2 donne une pulsation de coupure, avec propagation au-dessus et onde évanescente au-dessous.
  5. L'ionosphère a une fréquence de coupure de quelques mégahertz : elle réfléchit les ondes courtes et laisse passer la FM et les signaux satellites.
Pourquoi ce chapitre

Dans le vide, toutes les fréquences se propagent à la même vitesse et un signal ne se déforme jamais. Dès qu'un milieu matériel intervient, ce n'est plus vrai.

Ce chapitre introduit :

  • la dispersion, c'est-à-dire la dépendance de la vitesse de propagation en fonction de la fréquence ;
  • la notion de vitesse de groupe.

Le support d'étude imposé par le programme est le plasma dilué, qui se traite avec un modèle microscopique simple et donne un exemple d'onde évanescente et de fréquence de coupure.

L'application concrète est l'ionosphère et la propagation des ondes radio, dont dépendent la radio à grande distance, le GPS et les communications spatiales.

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Méthodes et exercices

Exercices classiques corrigés

Rangés par thème, du plus simple au plus exigeant. Difficulté et durée indicatives.

Propagation dans un plasma 3

Exercice 3. Coupure ionosphérique ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

On prend n=1012 m−3.n = 10^{12}~\mathrm{m^{-3}}. Calculer fpf_p, puis décrire le sort d'une onde à 1 MHz1~\mathrm{MHz} et d'une onde à 100 MHz100~\mathrm{MHz} en incidence normale.

Voir l'indice

Technique la relation de dispersion et la discussion de signe.

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  1. ωp = √(n e²/(m ε₀)) ≈ 5,6 × 10⁷ rad/s, donc fp ≈ 9 MHz.
  2. À 1 MHz, l'onde est évanescente et δ ≈ c/(2π × 8,9 × 10⁶) ≈ 5 m. Elle pénètre de quelques mètres puis est réfléchie. C'est la réception à grande distance par rebonds.
  3. À 100 MHz, vg = c √(1 − 0,0081) ≈ 0,996 c. L'onde est transmise presque comme dans le vide. La FM et les satellites passent.
  4. Conclusion : la couche coupe tout ce qui est en dessous de 9 MHz et laisse passer ce qui est au-dessus.

piège : Oublier le facteur 2π entre fp et ωp, ce qui donne une coupure six fois trop grande.

Exercice 1. Deux ondes dans un plasma ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Deux ondes de même amplitude, de fréquences 10,0 MHz10{,}0~\mathrm{MHz} et 10,2 MHz10{,}2~\mathrm{MHz}, se propagent dans un plasma de fréquence plasma 5 MHz5~\mathrm{MHz}.

Calculer la vitesse de l'enveloppe et la comparer à vgv_g et vφv_\varphi à 10,1 MHz10{,}1~\mathrm{MHz}.

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  1. La somme vaut 2 cos(δω t − δk x) cos(ω₀ t − k₀ x). …

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Exercice 9. Étalement d'une impulsion ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type écrit Mines

Une impulsion de durée τ\tau, de porteuse ω\omega très supérieure à ωp\omega_p, traverse une épaisseur LL de plasma.

Estimer l'étalement dû au second ordre et en déduire la durée minimale utilisable.

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  1. Le temps de groupe vaut tg(ω) = L/vg ≈ (L/c)(1 + ω_p²/(2ω²)).

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Validité du modèle 1

Exercice 2. Justifier le modèle ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

Dans l'ionosphère, E=1 V/mE = 1~\mathrm{V/m}, f=10 MHzf = 10~\mathrm{MHz} et la fréquence de collision est d'environ 103 s−110^3~\mathrm{s^{-1}} (valeur fournie).

Justifier chaque hypothèse du modèle.

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  1. Force magnétique : son rapport à la force électrique vaut v B/E. …

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Transport d'énergie 2

Exercice 4. Anatomie d'une onde évanescente ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Pour xx positif, E=E0exp⁡(−x/δ)cos⁡(ωt) uy.E = E_0 \exp(-x/\delta) \cos(\omega t)\, u_y. Trouver BB, le vecteur de Poynting et l'énergie électromagnétique moyenne.

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  1. Maxwell-Faraday donne ∂Bz/∂t = −∂Ey/∂x = (E₀/δ) exp(−x/δ) cos(ωt). …

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Exercice 8. Vitesse de l'énergie ★★★

Approfondissement · 35 min · Type oral Centrale

Pour ω\omega supérieur à ωp\omega_p, on prend E=E0cos⁡(ωt−kx) uy.E = E_0 \cos(\omega t - kx)\, u_y. Montrer que le rapport du flux moyen de Poynting à l'énergie volumique moyenne totale, énergie cinétique des électrons comprise, vaut vgv_g.

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  1. B = (k/ω) E₀ cos(ωt − kx) uz, donc ⟨Π⟩ = k E₀²/(2μ₀ ω).

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Réflexion sur un plasma 2

Exercice 5. Réflexion sur un plasma ★★

Classiques de khôlle et concours · 35 min · D'après un écrit CCINP MP

Le vide occupe x<0x < 0 et un plasma occupe x>0x > 0.

Une onde incidente Eiexp⁡(i(ωt−k1x)) uyE_i \exp(i(\omega t - k_1 x))\, u_y arrive sur l'interface.

On admet la continuité de EE tangentiel et de BB tangentiel en x=0x = 0.

Calculer r=Er/Eir = E_r/E_i et discuter selon la valeur de ω\omega.

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  1. Pour chaque onde, Bz = k Ey/ω, que k soit réel ou complexe. …

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Exercice 7. Sondage vertical et hauteur virtuelle ★★★

Approfondissement · 30 min · Type oral Mines

Au-dessus de l'altitude z0z_0, ωp2\omega_p^2 croît linéairement : ωp2(z)=ω2 z−z0L\omega_p^2(z) = \omega^2\, \frac{z - z_0}{L} pour la fréquence sondée.

Une impulsion est émise verticalement du sol.

On admet la relation de dispersion locale, car nn varie lentement à l'échelle de λ\lambda.

Calculer le temps d'aller-retour et la hauteur apparente c t/2c\,t/2.

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  1. La réflexion a lieu là où ωp = ω, soit en z₀ + L.

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Retard ionosphérique 1

Exercice 6. Retard ionosphérique du GPS ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · D'après un écrit CCINP MP

Un signal de fréquence ff, très supérieure à fpf_p, traverse l'ionosphère verticalement.

Exprimer le retard de groupe en fonction de l'intégrale N=∫n dzN = \int n\, dz, puis proposer une correction utilisant deux fréquences.

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  1. Pour ω très supérieur à ωp, 1/vg ≈ (1 + ω_p²/(2ω²))/c.

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Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique-chimie de la voie MP (arrêté du 5 janvier 2021), partie « 4.5. Propagation et rayonnement », points relatifs à l'onde plane transverse électrique monochromatique dans un plasma dilué, à la conductivité complexe, à la pulsation de coupure, aux ondes évanescentes, ainsi qu'aux vitesses de phase et de groupe. Elle utilise également la relation entre largeur spectrale et durée de l'annexe mathématique du programme.