Ondes électromagnétiques dans le vide

Exercice 1. Onde donnée et bilan local ★

Application du cours · 15 min · Khôlle

On propose $$E = E_0 \cos(\omega t - kx)\, e_y$$ dans le vide sans source.

Vérifier la compatibilité avec les équations de Maxwell, déterminer $B$, $u$ et $\Pi$, puis vérifier le bilan local d'énergie.

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Technique vérifier Maxwell composante par composante, puis dériver.

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1. div E = ∂E_y/∂y = 0, donc Maxwell-Gauss est vérifiée. L'équation de d'Alembert impose k = ω/c.
2. rot E = (∂E_y/∂x) e_z = kE₀ sin(ωt − kx) e_z. Maxwell-Faraday donne ∂B_z/∂t = −kE₀ sin(ωt − kx), donc B = (E₀/c) cos(ωt − kx) e_z, sans champ statique ajouté. Le trièdre (e_y, e_z, e_x) est direct.
3. On a u = ε₀E₀² cos²(ωt − kx) et Π = ε₀cE₀² cos²(ωt − kx) e_x.
4. ∂u/∂t = −2ε₀E₀²ω cos sin et div Π = 2ε₀cE₀²k cos sin. Comme ck = ω, la somme est nulle. Le bilan est conservatif.

piège : Ne vérifier que d'Alembert, ou ajouter une constante d'intégration sans l'écarter.

Exercice 2. Superposition de deux ondes opposées ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

On superpose $$E_1 = E_0 \cos(\omega t - kx)\, e_y$$ et $$E_2 = -E_0 \cos(\omega t + kx)\, e_y.$$ Déterminer le champ total, $B$, les nœuds et le Poynting moyen.

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1. E = 2E₀ sin(ωt) sin(kx) e_y. Les variables sont séparées, c'est une onde stationnaire.

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Exercice 8. Deux ondes obliques ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · D'après un écrit CCINP MP

Deux OPPM de même pulsation, polarisées selon $e_z$ et d'amplitude $E_0$, ont pour vecteurs d'onde $$k(\cos\theta\, e_x \pm \sin\theta\, e_y).$$ Exprimer le champ total, dire s'il s'agit d'une onde plane, et donner sa vitesse de phase selon $x$.

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1. E = 2E₀ cos(ky sin θ) cos(ωt − kx cos θ) e_z.

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Exercice 3. Reconnaître des polarisations ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Décrire la polarisation de chacun de ces champs, où $$\varphi = \omega t - kz\,:$$ (a) $E_0 \cos\varphi\,(e_x - e_y)$. (b) $E_0 \cos\varphi\, e_x + E_0 \cos(\varphi + \pi/2)\, e_y$. (c) $E_0 \cos\varphi\, e_x + 2E_0 \sin\varphi\, e_y$.

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1. (a) Le déphasage est nul. La polarisation est rectiligne selon e_x − e_y, d'amplitude E₀√2.

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Exercice 4. Le Soleil en ordres de grandeur ★

Application du cours · 10 min · Khôlle

Hors atmosphère, l'éclairement solaire vaut environ $1{,}36~\mathrm{kW/m^2}$, à la distance $d = 1{,}5 \times 10^{11}~\mathrm{m}$ du Soleil.

Estimer la puissance émise par le Soleil et l'amplitude des champs.

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1. L'émission est isotrope et le vide ne dissipe rien, donc toute la puissance traverse la sphère de rayon d.

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Exercice 5. Laser focalisé ★

Application du cours · 15 min · D'après un écrit CCINP MP

Un laser de $1~\mathrm{mW}$ a un faisceau de rayon $1~\mathrm{mm}$.

On le focalise sur une tache de rayon $10~\mu\mathrm{m}$.

Calculer l'éclairement et le champ dans les deux cas, puis la densité d'énergie moyenne.

Comparer au champ électrique qui lie un électron dans un atome d'hydrogène.

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1. Avant focalisation, I = 10⁻³/(π × 10⁻⁶) ≈ 3,2 × 10² W/m² et E₀ ≈ √(2,4 × 10⁵) ≈ 4,9 × 10² V/m.

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Exercice 6. Polariseur intercalé et limite continue ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Khôlle

Une lumière naturelle d'éclairement $I_0$ traverse deux polariseurs croisés.

On intercale un polariseur à l'angle $\theta$ du premier.

Exprimer l'éclairement transmis.

On remplace ensuite ce polariseur par $N - 1$ polariseurs, tournés chacun de $\pi/(2N)$ par rapport au précédent.

Étudier la limite $N \to \infty$.

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1. Après le premier polariseur, on a I₀/2.

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Exercice 7. Exploitation d'une mesure de Malus ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Khôlle

Une photodiode en régime linéaire délivre $U(\alpha)$ derrière un analyseur.

Le zéro de la graduation est mal repéré d'un angle $\alpha_0$ inconnu, et une lumière ambiante s'ajoute.

Proposer une exploitation rigoureuse.

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1. On mesure U_a faisceau coupé et on le soustrait.

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Exercice 9. Voile solaire ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Type oral Centrale

Énoncé, hors programme strict, guidé par le modèle du photon de première année.

On admet qu'un photon d'énergie $h\nu$ porte une quantité de mouvement $h\nu/c$.

Une voile parfaitement réfléchissante, de surface $S$ et de masse $m$, fait face au Soleil.

Calculer la force de radiation, puis la masse surfacique qui permet de compenser la gravitation.

On donne la luminosité solaire $$L \approx 3{,}8 \times 10^{26}~\mathrm{W}$$ et $$GM \approx 1{,}33 \times 10^{20}~\mathrm{m^3/s^2}.$$

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1. Le nombre de photons reçus par unité de surface et de temps vaut I/(hν). …

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