Variance des variables aléatoires à densité

Exercice 1. Une densité polynomiale ★

Application du cours · 15 min · Niveau khôlle

Soit $f(t) = 3t^2$ sur $[0, 1]$ et $0$ ailleurs.

Vérifier que $f$ est une densité.

Calculer $E(X)$, $V(X)$ et $V(2X - 1)$.

Exercice 3. La loi de Laplace ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Soit $$f(t) = \frac{1}{2}\, e^{-|t|}.$$ Montrer que $f$ est une densité, que $X$ admet une variance, et la calculer.

Exercice 2. Existence selon un paramètre ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau khôlle

Soit $a > 0$ et $f(t) = a\,t^{-a-1}$ pour $t \geq 1$, $0$ sinon.

Vérifier que $f$ est une densité.

Discuter l'existence de $E(X)$ et de $V(X)$, puis calculer $V(X)$ quand elle existe.

Exercice 8. Inverse d'une variable gamma ★★

Classiques de khôlle et concours · 35 min · Niveau écrit ESSEC

Soit $X$ de loi $\gamma(\nu)$ avec $\nu > 0$.

Pour quelles valeurs de $\nu$ la variable $\frac{1}{X}$ admet-elle une espérance, une variance ?

Les calculer.

Exercice 4. La moyenne minimise l'écart quadratique ★★

Classiques de khôlle et concours · 20 min · Niveau khôlle

Soit $X$ admettant un moment d'ordre 2 et $m = E(X)$.

Pour $a$ réel, on pose $$g(a) = E((X - a)^2).$$ Montrer que $g$ atteint un minimum en un unique point, et identifier ce minimum.

Exercice 5. Simulation d'une loi exponentielle ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit Ecricome

Soit $X$ de loi $U[0, 1[$ et $\lambda > 0$.

On pose $$T = -\frac{1}{\lambda} \ln(1 - X).$$ Déterminer la loi de $T$ et en déduire $V(T)$.

Calculer aussi $V(X^2)$.

Exercice 10. Partie entière d'une exponentielle ★★

Classiques de khôlle et concours · 25 min · Niveau écrit HEC

Soit $X$ de loi $E(\lambda)$ et $Y = \lfloor X \rfloor$.

Déterminer la loi de $Y$, sa variance, et comparer à $V(X)$ quand $\lambda$ tend vers $0$.

Exercice 6. Moments de la loi normale ★★

Classiques de khôlle et concours · 40 min · Niveau écrit EDHEC

Soit $Z$ de loi $N(0, 1)$.

Montrer que $Z$ admet des moments de tout ordre, que les moments impairs sont nuls, et que $$m_{2n} = E(Z^{2n}) = \frac{(2n)!}{2^n\,n!}.$$

En déduire $V(Z^2)$, puis $V((X - \mu)^2)$ si $X$ suit $N(\mu, \sigma^2)$.

Exercice 7. La loi log-normale ★★

Classiques de khôlle et concours · 30 min · Niveau écrit emlyon

Soit $X$ de loi $N(\mu, \sigma^2)$ avec $\sigma > 0$ et $Y = e^X$.

Montrer que $Y$ admet une variance et la calculer.

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Exercice 9. Moment d'ordre 2 et queue de distribution ★★★

Approfondissement · 40 min · Niveau écrit HEC

Soit $X$ à densité $f$, à valeurs positives, admettant un moment d'ordre $2$. On note $G(t) = P(X > t)$. Montrer que $A^2 G(A)$ tend vers $0$ quand $A$ tend vers $+\infty$, puis que $E(X^2) = 2 \int_0^{+\infty} t\, G(t)\, dt$. Appliquer à $\mathcal{E}(\lambda)$ et à $\mathcal{U}([0, 1])$.